Ошибки

В моих математических ЖЖ-постингах частота ошибок (доля неудачных попыток и т.д.) явно стала гораздо выше, чем была два-три года назад. Поскольку я по-прежнему стараюсь отмечать ошибки в апдейтах или последующих постингах, это легко усмотреть из поверхностного просматривания постингов.

Возможные объяснения:
а) Я стал легче относится к математическим ЖЖ-постингам и менее внимательно проверять свои рассуждения перед ЖЖ-публикацией.
б) Я стал заниматься более трудными вопросами или вещами, опыта работы с которыми у меня меньше, чем с тем, чем я занимался раньше; поэтому и ошибаюсь чаще.
в) Я старею и мне становится труднее следить за деталями.

Непонятно.

Объявлены победители конкурса фонда "Династия" 2010 года

На странице конкурса на mccme.ru этой информации до сих пор нет, но она появилась на сайте самой "Династии" -- http://www.dynastyfdn.com/news/701

11.01.11 - Update. http://www.mccme.ru/dfc/2010/winners.html

Квазилогарифмический коцикл

Пусть x -- унипотентный линейный оператор, действующий на конечно-порожденном модуле V над кольцом целых l-адических чисел Z_l (или даже просто на абелевой группе l-кручения, или на векторном пространстве над Z/l). Если бы у нас был модуль над рациональными числами, мы могли бы определить логарифм log(x) как сумму конечного ряда (обрывающегося ввиду унипотентности x). Но над целыми l-адическими числами это невозможно, поскольку мешают натуральные числа, делящиеся на l, в знаменателях ряда для логарифма.

Неожиданным частичным решением этой неразрешимой проблемы является следующий 1-коцикл на группе Z_l*. Представим себе, что логарифм нам нужен для того, чтобы он преобразовывал степени x в его аддитивные кратные. Этого у нас нет, но во всяком случае, мы можем написать x−1 вместо log(x). Разумеется, это не обладает нужным свойством; xⁿ−1 не равно n(x−1). Но насколько сильно одно отличается от другого?

Сопоставим натуральному числу n, не делящемуся на l, выражение (1 + x + … + xⁿ⁻¹)/n. Это тоже унипотентный линейный оператор, действующий на том же модуле V. Обозначим его через ψ(x,n). Легко проверить, что ψ(x,n) как функция от n продолжается по непрерывности с натуральных чисел, не делящихся на l, на обратимые целые l-адические числа. Эта функция удовлетворяет уравнению коцикла ψ(xⁿ,m)ψ(x,n) = ψ(x,nm). Тому же уравнению удовлетворяет и функция &psi'(x,n) = nψ(x,n), но ее значения суть просто обратимые операторы, не унипотентные.

Аналогичному уравнению удовлетворяет любая функция вида f(x,n) = θ(xⁿ)/θ(x), где φ -- любое отображение, скажем, из унипотентных операторов на V в унипотентные, или хотя бы в обратимые (вопрос о коммутативности я пока игнорирую -- можно считать, что все операторы, так или иначе выражающиеся через x, предполагаются коммутирующими между собой). Но наши функции ψ и ψ' такого вида (судя по всему) не имеют, поскольку для этого пришлось бы (если говорить о ψ') взять θ(x) = x−1, а такие операторы не обратимы, и вообще в интересующем нас случае нильпотентны.

Продолжение следует.