![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
полезно пользоваться теоремой 8.1 из главы 4 книжки про квадратичные алгебры (более сильной версией, сформулированной в начале доказательства).
Пусть SP -- алгебра косых многочленов, т.е., квадратичная алгебра с образующими x1, ..., xN и соотношениями xjxi = qijxixj, i < j, где qij -- ненулевые константы. Пусть A -- факторалгебра SP по системе мономиальных квадратичных соотношений на образующие xi, и пусть I -- левый идеал в A, порожденный некоторым подмножеством xi. Тогда A -- кошулева алгебра, и A/I -- кошулев A-модуль.
Все-таки мои попытки размышлять о базисах Гребнера и т.п. в 90-х годах не совсем пропали даром.
P.S. Полезно, да не всегда! Рассмотрим коммутативную алгебру A над полем Z/2 с тремя образующими a,b,c в компоненте A1, второй компонентой A2 размерности 1, и третьей и последующими компонентами, равными нулю. Умножение A1×A1 → A2 есть невырожденное спаривание, задаваемое формулами {c,c}=1 и {a,b}={b,a}=1, а все остальные спаривания образующих равны нулю. Рассмотрим в алгебре A идеал, порожденный c. Этот идеал кошулев, но не существует никакого коммутативного PBW-базиса в A, такого что присоединенный фактор этого идеала по индуцированной фильтрации является кошулевым идеалом в присоединенном факторе A. Вместо этого, для доказательства кошулевости (c) нужно написать первый шаг его резульвенты как A-модуля, а там уже дальше дело сводится к кошулевости (a) или (b), которую можно и с помощью PBW-базисов проверить.
Собственно, алгебра A -- это KM(Q2)/2, причем элемент c -- это класс числа -1. А элементы a и b -- это классы чисел 2 и 5.
Пусть SP -- алгебра косых многочленов, т.е., квадратичная алгебра с образующими x1, ..., xN и соотношениями xjxi = qijxixj, i < j, где qij -- ненулевые константы. Пусть A -- факторалгебра SP по системе мономиальных квадратичных соотношений на образующие xi, и пусть I -- левый идеал в A, порожденный некоторым подмножеством xi. Тогда A -- кошулева алгебра, и A/I -- кошулев A-модуль.
Все-таки мои попытки размышлять о базисах Гребнера и т.п. в 90-х годах не совсем пропали даром.
P.S. Полезно, да не всегда! Рассмотрим коммутативную алгебру A над полем Z/2 с тремя образующими a,b,c в компоненте A1, второй компонентой A2 размерности 1, и третьей и последующими компонентами, равными нулю. Умножение A1×A1 → A2 есть невырожденное спаривание, задаваемое формулами {c,c}=1 и {a,b}={b,a}=1, а все остальные спаривания образующих равны нулю. Рассмотрим в алгебре A идеал, порожденный c. Этот идеал кошулев, но не существует никакого коммутативного PBW-базиса в A, такого что присоединенный фактор этого идеала по индуцированной фильтрации является кошулевым идеалом в присоединенном факторе A. Вместо этого, для доказательства кошулевости (c) нужно написать первый шаг его резульвенты как A-модуля, а там уже дальше дело сводится к кошулевости (a) или (b), которую можно и с помощью PBW-базисов проверить.
Собственно, алгебра A -- это KM(Q2)/2, причем элемент c -- это класс числа -1. А элементы a и b -- это классы чисел 2 и 5.
