Читая диссертацию Марсело А.: алгебра, связанная с полуалгеброй

Пусть S -- полуалгебра над коалгеброй C над полем k (можно и над кокольцом C над кольцом A). Тогда морфизмы левых C-комодулей C → S образуют алгебру R^r, хотя бы уже потому, что они же суть эндоморфизмы левого S-полумодуля S. Все правые S-полумодули и левые S-полуконтрамодули являются естественным образом модулями над R^r. Эта конструкция двойственна к конструкции кольца, действующего на правых комодулях и левых контрамодулях над данным кокольцом. Аналогично, левые S-полумодули и правые S-полуконтрамодули являются модулями над алгеброй R^l, состоящей из морфизмов правых C-комодулей C → S.

Когда S -- инъективный левый C-комодуль, R^r является к тому же проективной образующей абелевой категории левых S-полуконтрамодулей (это мы и раньше знали).

Читая диссертацию Марсело А. - 2: полуалгебра, связанная с категорией

Пусть X -- множество; рассмотрим коалгебру C над коммутативным кольцом k, являющуюся прямой суммой по X коалгебр k над k. Тогда полуалгебры над C (в которых левое и правое действия k совпадают) суть то же самое, что k-линейные малые категории с множеством объектов X.