Определение функтора

В связи с подзамочным постингом Винопивца публикуется мемуар о том, как начиналось мое знакомство с теорией категорий.

Я был тогда школьником предвыпускного класса. Выдался скучный, ленивый выходной день. За отсутствием лучших занятий, я решил прояснить для себя давно волновавший меня терминологический вопрос о разнице между понятиями прямой суммы и прямого произведения. Не в категориях, конечно, а просто для векторных пространств или групп.

Еще несколькими месяцами раньше я, безусловно, воспользовался бы учебником Ван-дер-Вардена, но ко времени описываемых событий я уже в нем разочаровался, прийдя к выводу, что учебник Ленга лучше. Поэтому я открыл книгу Ленга, точнее терминологический указатель к ней. В Ленге не было пояснений к прямых суммам и произведениям групп, а давались сразу определения для объектов категории.

Это само по себе еще не могло меня смутить; в конце концов, определение категории я уже где-то встречал. У меня осталось от него впечатление, сводившееся к недоумению от того, кому и зачем могла понадобиться такая нелепая и тривиальная вещь. Но кроме слова "категория", определение прямых сумм и произведений у Ленга использовало также слово "функтор". Этого я не знал.

Я снова полез в терминологический указатель и нашел страницу, где обсуждались функторы. Но определения функтора там не обнаружилось. Насколько можно было установить, в учебнике Ленга вообще не содержалось определения функтора, хотя определение вроде бы более базового понятия категории там присутствовало.

Вместо этого, Ленг давал определения двух частных случаев -- ковариантного функтора и контравариантного функтора. Шокированный и оскорбленный в своих лучших чувствах, я закрыл книгу Ленга, так и не узнав про прямые суммы и произведения.

А с чем едят категории и как ими пользоваться, мне потом рассказал М.Ф. Я к тому времени уже в выпускном классе учился.