Cotor^I (классически известный как просто Cotor)

Здесь и в предыдущем постинге речь идет о двух "неправильных" дифференциальных производных функторах. Правильные функторы суть Tor^I и Cotor^II, определение которых не представляет никакой трудности, а хорошие свойства очевидны.

Более того, понятно, что при необходимости иметь дело с функтором Cotor первого рода или функтором Tor второго рода лучше всего просто перейти к провекторным пространствам или проабелевым группам, после чего роли алгебр и коалгебр меняются местами. Для того, чтобы это работало, может быть нужно наложить условия на градуировки (не всякая градуированная алгебра является градуированной алгеброй в категории провекторных пространств -- градуировка должна быть ограничена сверху или снизу), но эти условия как раз выполнены в классических примерах (спектральная последовательность Эйленберга-Мура) и упоминаются в классических работах.

Тем не менее, для полноты картины можно рассмотреть и "неправильные" Tor^II и Cotor^I; первый определен по ссылке выше, а определение второго следует ниже. Заодно обсуждается понятие A_∞-коалгебры. ( Read more... )