Функтор полувариантов для конечных групп
Jun. 18th, 2007 06:07 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПусть G — конечная группа и H — ее подгруппа. (На самом деле мне неважно будет, что G конечна, но важно, что H конечна). Я хочу определить группу (G,H)-полувариантов G-модуля M так чтобы, в частности, когда подгруппа H нормальна, это была группа G/H-коинвариантов в H-инвариантах M. Вот как это делается.
Я буду считать, что G действует на M справа и записывать это действие в экспоненциальной форме, вот так: (m,g) → mg. Для любого G-модуля M, на свободном G-модуле M[G], порожденном M, наряду со свободным правым действием (m⋅g)g' = m⋅gg', имеется еще присоединенное действие (m⋅g)g' = mg⋅g' -1gg'. Для любого H-модуля N, рассмотрим отображение N[H][G] → N[G], определенное формулой n⋅h⋅g → nh⋅g − n⋅hg. Это отображение согласовано как со свободными правыми действиями G, так и с присоединенными действиями H на обеих группах. Коядро этого отображения я буду обозначать через N~[H\G]; это, конечно, просто тензорное произведение N и Z[G] над Z[H]. В частности, это точный функтор от N; кроме того, когда N = E[H] — свободный (я буду называть "индуцированные" модули над группами свободными для ясности) H-модуль, отображение E[H][G] → E[G], e⋅h⋅g → e⋅hg, индуцирует изоморфизм E[H]~[H\G] ≅ E[G]. Как видно из формулы, этот изоморфизм переводит правое свободное действие G в правое свободное действие G и присоединенное действие H, основанное на правом свободном действии H на E[H], в правое свободное действие H на E[G]. Присоединенное и свободное действия H на N~[H\G] вообще всегда совпадают (хотя на N[G] они совершенно различны).
Наша цель — построить для любого G-модуля M отображение M~[H\G]H → MH (коядром которого будут полуварианты). Небольшая проблема состоит в том, что пространство M~[H\G] у нас определено как коядро некоторого отображения, но инварианты с коядром не коммутируют. Поэтому мы поступим так: представим M в виде ядра морфизма G-модулей, свободных над H (например, косвободных G-модулей); тогда левая и правая стороны искомого отображения у нас представятся в виде ядер, так что достаточно будет построить искомое отображение в случае, когда M свободен над H. В этом же случае у нас имеется точная последовательность M[H][G] → M[G] → M~[H\G] → 0 свободных H-модулей в присоединенном действии H. Такая последовательность сохраняет точность при переходе к H-инвариантам [здесь удобно использовать тейтовские когомологии H, или иначе соображения относительной проективности плюс то, что последовательность расщепима над Z], так что M~[H\G]H есть коядро отображения M[H][G]H → M[G]H. Ну вот и все; теперь у нас есть очевидное отображение M[G] → M, m⋅g → mg − m; оно согласовано с присоединенным (но не со свободным) действием H. Перейдем к H-инвариантам; явным вычислением проверяется, что элементы, приходящие из H-инвариантов в M[G][H], этим отображением аннулируются.
Когда H — нормальная подгруппа в G, имеется естественный изоморфизм M~[H\G]H ≅ MH[G/H], при котором элемент g⋅n из правой группы переходит в элемент g⋅n из левой группы; так что полуварианты отождествляются с коинвариантами инвариантов.
Производным функтором этого дела будут полубесконечные когомологии (дискретной или конечной) группы относительно конечной подгруппы. Вот уж не знаю, на что могут быть похожи такие штуки. Все это должно обобщаться, быть может, на топологические группы с открытыми проконечными подгруппами, с одной стороны, и на конечномерные алгебры Хопфа, с другой.
Я буду считать, что G действует на M справа и записывать это действие в экспоненциальной форме, вот так: (m,g) → mg. Для любого G-модуля M, на свободном G-модуле M[G], порожденном M, наряду со свободным правым действием (m⋅g)g' = m⋅gg', имеется еще присоединенное действие (m⋅g)g' = mg⋅g' -1gg'. Для любого H-модуля N, рассмотрим отображение N[H][G] → N[G], определенное формулой n⋅h⋅g → nh⋅g − n⋅hg. Это отображение согласовано как со свободными правыми действиями G, так и с присоединенными действиями H на обеих группах. Коядро этого отображения я буду обозначать через N~[H\G]; это, конечно, просто тензорное произведение N и Z[G] над Z[H]. В частности, это точный функтор от N; кроме того, когда N = E[H] — свободный (я буду называть "индуцированные" модули над группами свободными для ясности) H-модуль, отображение E[H][G] → E[G], e⋅h⋅g → e⋅hg, индуцирует изоморфизм E[H]~[H\G] ≅ E[G]. Как видно из формулы, этот изоморфизм переводит правое свободное действие G в правое свободное действие G и присоединенное действие H, основанное на правом свободном действии H на E[H], в правое свободное действие H на E[G]. Присоединенное и свободное действия H на N~[H\G] вообще всегда совпадают (хотя на N[G] они совершенно различны).
Наша цель — построить для любого G-модуля M отображение M~[H\G]H → MH (коядром которого будут полуварианты). Небольшая проблема состоит в том, что пространство M~[H\G] у нас определено как коядро некоторого отображения, но инварианты с коядром не коммутируют. Поэтому мы поступим так: представим M в виде ядра морфизма G-модулей, свободных над H (например, косвободных G-модулей); тогда левая и правая стороны искомого отображения у нас представятся в виде ядер, так что достаточно будет построить искомое отображение в случае, когда M свободен над H. В этом же случае у нас имеется точная последовательность M[H][G] → M[G] → M~[H\G] → 0 свободных H-модулей в присоединенном действии H. Такая последовательность сохраняет точность при переходе к H-инвариантам [здесь удобно использовать тейтовские когомологии H, или иначе соображения относительной проективности плюс то, что последовательность расщепима над Z], так что M~[H\G]H есть коядро отображения M[H][G]H → M[G]H. Ну вот и все; теперь у нас есть очевидное отображение M[G] → M, m⋅g → mg − m; оно согласовано с присоединенным (но не со свободным) действием H. Перейдем к H-инвариантам; явным вычислением проверяется, что элементы, приходящие из H-инвариантов в M[G][H], этим отображением аннулируются.
Когда H — нормальная подгруппа в G, имеется естественный изоморфизм M~[H\G]H ≅ MH[G/H], при котором элемент g⋅n из правой группы переходит в элемент g⋅n из левой группы; так что полуварианты отождествляются с коинвариантами инвариантов.
Производным функтором этого дела будут полубесконечные когомологии (дискретной или конечной) группы относительно конечной подгруппы. Вот уж не знаю, на что могут быть похожи такие штуки. Все это должно обобщаться, быть может, на топологические группы с открытыми проконечными подгруппами, с одной стороны, и на конечномерные алгебры Хопфа, с другой.
