Жизненные константы и переменные
Jun. 8th, 2019 12:46 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicЯ всю жизнь занимаюсь одним и тем же. Ну, то есть, в каком смысле? Конечно, квадратичные алгебры и сильно плоские модули -- это очень разные сюжеты в алгебре. Но я прошел путь от одного до другого. Этот путь размечен моими текстами (статьями, монографиями, препринтами). Это не смена тематики, а ее логическое развитие.
Где квадратичные алгебры, там и кошулева двойственность. Где кошулева двойственность, там и коалгебры, и комодули над коалгебрами. Где комодули, там и контрамодули над коалгебрами. Где контрамодули над коалгебрами, там и контрамодули над топологическими кольцами. Где контрамодули над топологическими кольцами, там и контрамодули над коммутативными кольцами с идеалами или мультипликативными подмножествами. Где контрамодули над коммутативными кольцами с мультипликативными подмножествами, там и сильно плоские модули.
В первой половине 90-х в Москве я размышлял про кошулевы алгебры с конечномерными компонентами над полями. Приехал визитором в Гарвард -- и мы написали статью про кошулевы алгебры и коалгебры с бесконечномерными компонентами над полями, в приложении к когомологиям про-l-групп и когомологиям Галуа. Потом приехал туда же в аспирантуру, чтобы размышлять про кошулевы кольца и кокольца над кольцами, в приложении к мотивам Артина-Тейта с конечными коэффициентами.
Про производную неоднородную кошулеву двойственность думал еще в начале 90-х в Москве -- и построил ее в итоге в 99 году в постдоке в IAS'е, придумав для этого производные категории второго рода. Про полубесконечные когомологии ассоциативных алгебр думал еще в середине 90-х в Москве -- и решил в итоге эту задачу в Москве на протяжении 00-х, основываясь на производных категориях второго рода и других результатах размышлений американских лет.
Из моих размышлений про теории кокручения в категориях контрамодулей в последние московские годы выросла работа, сделанная осенью 2015 в Брно. Из занятий комодульно-контрамодульным соответствием в 00-х и начале 10-х в Москве -- выросли работы про тильтинго-котильтинговое соответствие, написанные в в 2016-19 годах в Израиле и Праге.
Я писал о "наивном ко-контра соответствии" в длинном препринте о контрагерентных копучках в Москве в начале 10-х годов -- и из этого выросла работа про MGM-двойственность, сделанная в Израиле в 2014-15. Очень плоскую гипотезу я сформулировал в последней московской версии контрагерентного препринта в начале 2014 года -- и мы доказали ее в Праге в июне 2017.
***
Соответственно, если тематика исследований остается постоянной -- вернее сказать, плавно развивается в соответствии со своей внутренней логикой -- то остальные обстоятельства жизни оказываются сильно и резко переменными. В конечном итоге, видимо, можно сказать, что изменения эти были вызваны необходимостью обеспечить себе оптимальные условия для научной работы.
Другие люди ищут себе работу, чтобы содержать семью. Мое семейное положение менялось в соответствии с потребностями поддержания условий для работы. Это констатация, скорее, печальная, но мне кажется, что она соответствует действительности.
Насколько эффективны были все эти решения -- другой вопрос. По факту, они оказались достаточно эффективными, чтобы позволить мне пройти путь от квадратичных алгебр с конечномерными компонентами до бесконечномерных алгебр Ли и до сильно плоских модулей. Сейчас он продолжается дальше -- к теории разложений модулей в прямые суммы и т.д.
Что может быть дальше, как всегда, непонятно, но чем большая часть жизни позади, тем важнее прошлое и тем менее важно будущее. Многие теоремы доказаны, многие тексты написаны. Дело в немалой степени уже сделано.
Где квадратичные алгебры, там и кошулева двойственность. Где кошулева двойственность, там и коалгебры, и комодули над коалгебрами. Где комодули, там и контрамодули над коалгебрами. Где контрамодули над коалгебрами, там и контрамодули над топологическими кольцами. Где контрамодули над топологическими кольцами, там и контрамодули над коммутативными кольцами с идеалами или мультипликативными подмножествами. Где контрамодули над коммутативными кольцами с мультипликативными подмножествами, там и сильно плоские модули.
В первой половине 90-х в Москве я размышлял про кошулевы алгебры с конечномерными компонентами над полями. Приехал визитором в Гарвард -- и мы написали статью про кошулевы алгебры и коалгебры с бесконечномерными компонентами над полями, в приложении к когомологиям про-l-групп и когомологиям Галуа. Потом приехал туда же в аспирантуру, чтобы размышлять про кошулевы кольца и кокольца над кольцами, в приложении к мотивам Артина-Тейта с конечными коэффициентами.
Про производную неоднородную кошулеву двойственность думал еще в начале 90-х в Москве -- и построил ее в итоге в 99 году в постдоке в IAS'е, придумав для этого производные категории второго рода. Про полубесконечные когомологии ассоциативных алгебр думал еще в середине 90-х в Москве -- и решил в итоге эту задачу в Москве на протяжении 00-х, основываясь на производных категориях второго рода и других результатах размышлений американских лет.
Из моих размышлений про теории кокручения в категориях контрамодулей в последние московские годы выросла работа, сделанная осенью 2015 в Брно. Из занятий комодульно-контрамодульным соответствием в 00-х и начале 10-х в Москве -- выросли работы про тильтинго-котильтинговое соответствие, написанные в в 2016-19 годах в Израиле и Праге.
Я писал о "наивном ко-контра соответствии" в длинном препринте о контрагерентных копучках в Москве в начале 10-х годов -- и из этого выросла работа про MGM-двойственность, сделанная в Израиле в 2014-15. Очень плоскую гипотезу я сформулировал в последней московской версии контрагерентного препринта в начале 2014 года -- и мы доказали ее в Праге в июне 2017.
***
Соответственно, если тематика исследований остается постоянной -- вернее сказать, плавно развивается в соответствии со своей внутренней логикой -- то остальные обстоятельства жизни оказываются сильно и резко переменными. В конечном итоге, видимо, можно сказать, что изменения эти были вызваны необходимостью обеспечить себе оптимальные условия для научной работы.
Другие люди ищут себе работу, чтобы содержать семью. Мое семейное положение менялось в соответствии с потребностями поддержания условий для работы. Это констатация, скорее, печальная, но мне кажется, что она соответствует действительности.
Насколько эффективны были все эти решения -- другой вопрос. По факту, они оказались достаточно эффективными, чтобы позволить мне пройти путь от квадратичных алгебр с конечномерными компонентами до бесконечномерных алгебр Ли и до сильно плоских модулей. Сейчас он продолжается дальше -- к теории разложений модулей в прямые суммы и т.д.
Что может быть дальше, как всегда, непонятно, но чем большая часть жизни позади, тем важнее прошлое и тем менее важно будущее. Многие теоремы доказаны, многие тексты написаны. Дело в немалой степени уже сделано.
