Теорема Уотса (1960)

[posic]

Такой странный факт из теории категорий: всякий ковариантный функтор из категории модулей над кольцом R в категорию абелевых групп, аддитивный и сохраняющий обратные пределы, представим (то есть изоморфен функтору Hom из некоторого R-модуля). Странен этот факт тем, что хотя он сразу следует из общекатегорной теоремы о представимости/существовании сопряженных функторов, я что-то не вижу никакого его прямого элементарного доказательства. Можно видеть, что достаточно рассмотреть случай, когда R -- кольцо целых чисел; при этом непонятно даже, как разобраться со случаем, когда R -- поле. Аналогичные утверждения о ковариантных функторах, сохраняющих прямые пределы (тензорное умножение на R-модуль) и контравариантных функторах, переводящих прямые пределы в обратные пределы (Hom в R-модуль) совершенно очевидны.

Comments

[siyuv.livejournal.com]

Если мне не изменяет память, то в оригинальной статье как раз и дается элементарное доказательство этого факта, т.е. без использования теоремы Фрейда, правда оно несколько длиннее.

[posic.livejournal.com]

Как я понял, в этой статье есть две теоремы: одна про функторы тензорного произведения, другая про функторы Hom_R(M,-). Первая очевидна, а как доказывается вторая, любопытно было бы узнать. Может быть, вы помните доказательство? А то мне лень в библиотеку ехать...

Давно дело было...

[siyuv.livejournal.com]

К сожалению деталей не помню, да и ни к чему как-то, имея теорему Фрейда. Статья, кстати, есть в сети, так что ехать в библиотеку не обязательно. Но Вы правы, действительно доказательство занимает пару страниц, хотя результат для ковариантных представимых функторов доказывается просто. Напоминает ситуацию с теоремой Брауна: контравариантная версия известна давно, а вот двойственная, ковариантная, была получена относительно недавно и доказывается сложнее.

У того же Уотса есть, кстати, замечательная теоремка о том что Эйлерова характеристика это универсальный аддитивный инвариант, т.е. это свойство ее характеризует.

Re: Давно дело было...

[posic.livejournal.com]

Спасибо! Похоже, у Уотса примерно тот же самый аргумент, который получается, если применить доказательство теоремы Фрейда к данному частному случаю.