Теорема Уотса (1960)

[posic]

Такой странный факт из теории категорий: всякий ковариантный функтор из категории модулей над кольцом R в категорию абелевых групп, аддитивный и сохраняющий обратные пределы, представим (то есть изоморфен функтору Hom из некоторого R-модуля). Странен этот факт тем, что хотя он сразу следует из общекатегорной теоремы о представимости/существовании сопряженных функторов, я что-то не вижу никакого его прямого элементарного доказательства. Можно видеть, что достаточно рассмотреть случай, когда R -- кольцо целых чисел; при этом непонятно даже, как разобраться со случаем, когда R -- поле. Аналогичные утверждения о ковариантных функторах, сохраняющих прямые пределы (тензорное умножение на R-модуль) и контравариантных функторах, переводящих прямые пределы в обратные пределы (Hom в R-модуль) совершенно очевидны.