Утверждение "ночью светло" можно вывести из утверждения "дважды два пять" по стандартным правилам математических рассуждений.
Пусть известно, что дважды два пять. Докажем, что ночью светло. Будем рассуждать от противного: предположим, что ночью темно, и, исходя из этого, придем к противоречию. Можно доказать, что дважды два -- четыре (здесь следует доказательство). По условию задачи нам известно также, что дважды два пять. Эти два утверждения противоречат одно другому, то есть мы пришли к противоречию. Полученное противоречие доказывает, что исходное предположение "ночью темно" неверно, то есть ночью светло.
Всё вѣрно. Однако остаётся одинъ вопросъ - собственно тотъ-же самый вопросъ, который задавали въ другомъ журналѣ. А именно: при доказательствѣ мы на самомъ дѣлѣ совсѣмъ не использовали предпосылки "ночью темно". Мы пришли къ противорѣчію въ самомъ утвержденіи, что 2*2=5. На уровнѣ формальной логики: доказательство является наборомъ символовъ типа (A => B), гдѣ A,B нѣкіе утвержденія, а => означаетъ импликацію. Видно, что исходная предпосылка "ночью темно" не входитъ нигдѣ въ этотъ наборъ символовъ какъ лѣвая часть.
Разумѣется вѣрно, что въ правилахъ математическаго доказательства не требуется реально использовать всѣ предпосылки, но именно это и является интуитивно непонятнымъ. Почему это мы имѣемъ право не использовать предпосылку и всё равно получать какой-то выводъ по поводу этой предпосылки?
Аналогично можно доказать, что из вѣрнаго A слѣдуетъ любое другое вѣрное B. Напримѣръ, утверждаемъ, что из 2*2=4 слѣдуетъ, что подмножество {0,1} цѣлыхъ чиселъ открыто въ дискретной топологіи. Доказательство: Предполагаемъ, что 2*2=4, и замѣчаемъ, что подмножество {0,1} является объединеніемъ подмножествъ {0} и {1}, открытыхъ по опредѣленію. Слѣдовательно, {0,1} открыто, ч.т.д. Опять мы получили вѣрный результатъ, не используя предпосылки 2*2=4.
Я на самомъ дѣлѣ не знаю, какъ правильно относиться къ этому. Но я знаю, что въ математикѣ очень важно узнать, какія предпосылки реально нужны для доказательства, а какія не нужны. Математикъ знаетъ, что важно провѣрять нужность предпосылокъ. Каждый математикъ понимаетъ, что "ночью темно" не имѣетъ никакого отношенія къ "2*2=5" и не является необходимой предпосылкой для доказательства. Также и "2*2=4" не является необходимой предпосылкой для доказательства открытости {0,1}. Болѣе того, доказать открытость {0,1} нельзя, исходя только из 2*2=4 - необходимо использовать опредѣленіе открытости.
Но однако "импликація" опредѣлена такъ, что изъ истиннаго A слѣдуетъ любое истинное B. Это на мой взглядъ какая-то ужъ слишкомъ формальная "импликація." Когда математикъ доказываетъ утвержденіе, или когда просто любой человѣкъ разсуждаетъ о чём-то логически, то они используютъ какую-то другую - "человѣческую" что ли - импликацію, которая связываетъ дѣйствительно связанные утвержденія. Только такая "человѣческая" импликація позволяетъ реально сдѣлать слѣдующій шагъ въ разсужденіи. Иными словами, люди пытаются угадать, какія предпосылки могли бы дать ходъ разсужденію.
Получивъ результатъ, физикъ останавливается, а математикъ пытается ещё разобраться, какія предпосылки были по-настоящему важны, и сдѣлать доказательство простымъ и "стройнымъ". И въ математической литературѣ именно такія доказательства считаются цѣнными. Доказательство, содержащее завѣдомо лишнія предпосылки, считается недоработаннымъ. А если удалось передоказать то же самое изъ меньшихъ предпосылокъ (чего раньше не умѣли), то считается, что произошёлъ прогрессъ. По крайней мѣрѣ, я так понимаю процессъ математической работы.
Если это вѣрно, то получается, что формальная логическая "импликація" (1=>1, 0=>1,0=>0) вообще не имѣетъ отношенія къ тому, какъ на самомъ дѣлѣ люди дѣлаютъ логическіе заключенія (какъ въ математической теоріи, такъ и въ реальной жизни). На самомъ дѣлѣ используется "человѣческая" импликація. А как опредѣлить, что она такое, я не знаю.
Ну, конечно, операция логической импликации -- слишком простая штука, чтобы адекватно описывать такую сложную вещь, как реальный процесс логического рассуждения. Цель моего коммента была -- показать, что определение операции логической импликации не является произвольным, что на самом деле есть причина считать, что из ложного утверждения следует любое (и из любого следует истинное).
Что касается полного использования посылок, то у этой идеи есть формализация -- импликация, в которой все посылки используются в полную силу, называется эквивалентностью. Это просто значит, что все посылки можно обратно вывести из заключения. Математики действительно больше любят эквивалентности, чем импликации, но все-таки заменить все до единой импликации эквивалентностями не представляется возможным.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png)
timeasmymeasure
no subject
Date: 2007-03-21 09:54 am (UTC)Утверждение "ночью светло" можно вывести из утверждения "дважды два пять" по стандартным правилам математических рассуждений.
Пусть известно, что дважды два пять. Докажем, что ночью светло. Будем рассуждать от противного: предположим, что ночью темно, и, исходя из этого, придем к противоречию. Можно доказать, что дважды два -- четыре (здесь следует доказательство). По условию задачи нам известно также, что дважды два пять. Эти два утверждения противоречат одно другому, то есть мы пришли к противоречию. Полученное противоречие доказывает, что исходное предположение "ночью темно" неверно, то есть ночью светло.
Всё вѣрно. Однако остаётся одинъ вопросъ - собственно тотъ-же самый вопросъ, который задавали въ другомъ журналѣ. А именно: при доказательствѣ мы на самомъ дѣлѣ совсѣмъ не использовали предпосылки "ночью темно". Мы пришли къ противорѣчію въ самомъ утвержденіи, что 2*2=5. На уровнѣ формальной логики: доказательство является наборомъ символовъ типа (A => B), гдѣ A,B нѣкіе утвержденія, а => означаетъ импликацію. Видно, что исходная предпосылка "ночью темно" не входитъ нигдѣ въ этотъ наборъ символовъ какъ лѣвая часть.
Разумѣется вѣрно, что въ правилахъ математическаго доказательства не требуется реально использовать всѣ предпосылки, но именно это и является интуитивно непонятнымъ. Почему это мы имѣемъ право не использовать предпосылку и всё равно получать какой-то выводъ по поводу этой предпосылки?
Аналогично можно доказать, что из вѣрнаго A слѣдуетъ любое другое вѣрное B. Напримѣръ, утверждаемъ, что из 2*2=4 слѣдуетъ, что подмножество {0,1} цѣлыхъ чиселъ открыто въ дискретной топологіи. Доказательство: Предполагаемъ, что 2*2=4, и замѣчаемъ, что подмножество {0,1} является объединеніемъ подмножествъ {0} и {1}, открытыхъ по опредѣленію. Слѣдовательно, {0,1} открыто, ч.т.д. Опять мы получили вѣрный результатъ, не используя предпосылки 2*2=4.
Я на самомъ дѣлѣ не знаю, какъ правильно относиться къ этому. Но я знаю, что въ математикѣ очень важно узнать, какія предпосылки реально нужны для доказательства, а какія не нужны. Математикъ знаетъ, что важно провѣрять нужность предпосылокъ. Каждый математикъ понимаетъ, что "ночью темно" не имѣетъ никакого отношенія къ "2*2=5" и не является необходимой предпосылкой для доказательства. Также и "2*2=4" не является необходимой предпосылкой для доказательства открытости {0,1}. Болѣе того, доказать открытость {0,1} нельзя, исходя только из 2*2=4 - необходимо использовать опредѣленіе открытости.
Но однако "импликація" опредѣлена такъ, что изъ истиннаго A слѣдуетъ любое истинное B. Это на мой взглядъ какая-то ужъ слишкомъ формальная "импликація." Когда математикъ доказываетъ утвержденіе, или когда просто любой человѣкъ разсуждаетъ о чём-то логически, то они используютъ какую-то другую - "человѣческую" что ли - импликацію, которая связываетъ дѣйствительно связанные утвержденія. Только такая "человѣческая" импликація позволяетъ реально сдѣлать слѣдующій шагъ въ разсужденіи. Иными словами, люди пытаются угадать, какія предпосылки могли бы дать ходъ разсужденію.
Получивъ результатъ, физикъ останавливается, а математикъ пытается ещё разобраться, какія предпосылки были по-настоящему важны, и сдѣлать доказательство простымъ и "стройнымъ". И въ математической литературѣ именно такія доказательства считаются цѣнными. Доказательство, содержащее завѣдомо лишнія предпосылки, считается недоработаннымъ. А если удалось передоказать то же самое изъ меньшихъ предпосылокъ (чего раньше не умѣли), то считается, что произошёлъ прогрессъ. По крайней мѣрѣ, я так понимаю процессъ математической работы.
Если это вѣрно, то получается, что формальная логическая "импликація" (1=>1, 0=>1,0=>0) вообще не имѣетъ отношенія къ тому, какъ на самомъ дѣлѣ люди дѣлаютъ логическіе заключенія (какъ въ математической теоріи, такъ и въ реальной жизни). На самомъ дѣлѣ используется "человѣческая" импликація. А как опредѣлить, что она такое, я не знаю.
no subject
Date: 2007-03-21 04:34 pm (UTC)Что касается полного использования посылок, то у этой идеи есть формализация -- импликация, в которой все посылки используются в полную силу, называется эквивалентностью. Это просто значит, что все посылки можно обратно вывести из заключения. Математики действительно больше любят эквивалентности, чем импликации, но все-таки заменить все до единой импликации эквивалентностями не представляется возможным.