posic

Окончание этого -- http://posic.livejournal.com/193713.html , этого -- http://posic.livejournal.com/193906.html и этого -- http://posic.livejournal.com/194419.html

Osnovnye idei nizhesleduyuschego pocherpnuty iz preprinta Kontsevicha
i Rozenberga "Noncommutative smooth spaces" (Section 2).

Pust' teper' C -- koalgebroid nad kol'com A i A\to B -- gomomorfizm
kolec. Postroim koalgebroid D = B_C_B nad kol'com B sleduyuschim
obrazom. Kak B-bimodul', B_C_B raven B\ot_A C\ot_A B. Otobrazhenie
koumnozheniya na B_C_B opredelyaetsya kak kompoziciya B\ot_A C\ot_A B
\to B\ot_A C\ot_A C\ot_A B \to B\ot_A C\ot A B\ot_A C\ot_A B =
(B\ot_A C\ot_A B)\ot_B (B\ot_A C\ot_A B), gde pervoe komponuemoe
otobrazhenie inducirovano koumnozheniem na C, a vtoroe -- vlozheniem
A\to B. Otobrazhenie koedinicy B_C_B\to B opredelyaetsya kak
kompoziciya B\ot_A C\ot_A B \to B\ot_A B \to B, gde pervoe komponuemoe
otobrazhenie inducirovano koediniciej na C, a vtoroe -- umnozheniem
na B. Koalgebroid B_C_B yavlyaetsya universal'nym nachal'nym ob''ektom
v kategorii vseh koalgebroidov D, snabzhennyh otobrazheniem C\to D,
soglasovannym s otobrazheniem kolec A\to B.

Kol'co B nazyvaetsya strogo ploskim nad A sprava, esli ono yavlyaetsya
ploskim pravym A-modulem i dlya lyubogo nenulevogo levogo A-modulya M
levyj B-modul' B\ot_A M ne raven nulyu. V predpolozhenii pervogo
usloviya, vtoroe uslovie ekvivalentno tomu, chtoby otobrazhenie M =
A\ot_A M \to B\ot_A M bylo vlozheniem dlya lyubogo levogo A-modulya M,
otkuda vidno, chto kol'co B strogo plosko nad A sprava togda i tol'ko
togda, kogda otobrazhenie A\to B -- vlozhenie i faktorgruppa B/A
yavlyaetsya ploskim pravym A-modulem. Analogichnym obrazom, kol'co B
nazyvaetsya strogo proektivnym nad A sleva, esli ono yavlyaetsya
proektivnym levym A-modulem i dlya lyubogo nenulevogo levogo A-modulya
M levyj B-modul' Hom_A(B,M) ne raven nulyu. V predpolozhenii pervogo
usloviya, vtoroe uslovie ekvivalentno tomu, chtoby otobrazhenie
Hom_A(B,M) \to Hom_A(A,M) = M bylo surjekciej dlya lyubogo levogo
A-modulya M, otkuda vidno, chto kol'co B strogo proektivno nad A
sleva togda i tol'ko togda, kogda otobrazhenie A\to B -- vlozhenie
i faktorgruppa B/A yavlyaetsya proektivnym levym A-modulem.

Esli koalgebroid C yavlyaetsya ploskim pravym A-modulem i kol'co B
strogo plosko nad A sprava, to funktor M \mapsto M_B yavlyaetsya
ekvivalentnost'yu abelevyh kategorij levyh C-komodulej i levyh
B_C_B-komodulej. Analogichno, esli C yavlyaetsya proektivnym levym
A-modulem i B strogo proektivno nad A sleva, to funktor P \mapsto P^B
yavlyaetsya ekvivalentnost'yu abelevyh kategorij levyh C-kontramodulej
i levyh B_C_B-kontramodulej. Oba eti utverzhdeniya vytekayut iz
sleduyuschego obschego rezul'tata.

Teorema (Barra-Beka dlya abelevyh kategorij i tochnyh funktorov).
Esli F: W\to V -- tochnyj funktor iz abelevoj kategorii W v abelevu
kategoriyu V, perevodyaschij nenulevye ob''ekty v nenulevye ob''ekty,
i G: V\to W -- funktor sopryazhennyj sprava (sootv., sleva) k F,
to estestvennyj funktor iz kategorii W v kategoriyu komodulej nad
komonadoj FG (sootv., modulej nad monadoj FG) na kategorii V
yavlyaetsya ekvivalentnost'yu abelevyh kategorij.

Chtoby dokazat' sformulirovannye utverzhdeniya, dostatochno primenit'
teoremu Barra-Beka k funktoru F: C-comod \to B-mod, perevodyaschemu
C-komodul' M v B-modul' B\ot_A M, i sopryazhennomu k nemu sprava
funktoru G: B-mod \to C-comod, perevodyaschemu B-modul' N v C-komodul'
C\ot_A N, a takzhe k funktoru F: C-contra \to B-mod, perevodyaschemu
C-kontramodul' P v B-modul' Hom_A(B,P), i sopryazhennomu k nemu sleva
funktoru G: B-mod \to C-contra, perevodyaschemu B-modul' N
v C-kontramodul' Hom_A(C,N).

Nachinaya s etogo momenta my budem predpolagat', chto koalgebroid C
yavlyaetsya proektivnym levym i ploskim pravym A-modulem, a kol'co B
strogo proektivno nad A sleva i strogo plosko nad A sprava.

Iz Predlozheniya 1 sleduet, chto dlya lyubogo pravogo C-komodulya N
i levogo C-komodulya M imeetsya estestvennoe otobrazhenie
N\oc_C M \to N_B\oc_{B_C_B} M_B, kotoroe yavlyaetsya izomorfizmom,
esli pravyj A-modul' N ploskij ili levyj A-modul' M ploskij.
Analogichno, dlya lyubogo levogo C-komodulya M i levogo
C-kontramodulya P imeetsya estestvennoe otobrazhenie
Cohom_{B_C_B}(M_B, P^B) \to Cohom_C(M,P), kotoroe yavlyaetsya
izomorfizmom, esli A-modul' M proektiven ili A-modul' P injektiven.

Zamechanie 1. V obschem sluchae otobrazhenie N\oc_C M \to
N_B\oc_{B_C_B} M_B ne yavlyaetsya izomorfizmom. Naprimer, pust' C=A i
B_C_B = B\ot_A B; togda N\oc_C M = N\ot_A M, a N_B\oc_{B_C_B} M_B ravno
yadru pary otobrazhenij iz N\ot_A B\ot_A M v N\ot_A B\ot_A B\ot_A M,
inducirovannyh vlozheniem A\to B. Posledovatel'nost' 0 \to N\ot_A M
\to N\ot_A B\ot_A M \to N\ot_A B\ot_A B\ot_A M tochna, esli odin
iz A-modulej M i N ploskij ili dopuskaet strukturu B-modulya,
no v obschem sluchae otobrazhenie N\ot_A M \to N\ot_A B\ot_A M
ne yavlyaetsya vlozheniem. V samom dele, pust' A=k[x] -- kol'co
mnogochlenov ot odnoj peremennoj nad polem k i B=k[d_x,x] -- algebra
differencial'nyh operatorov na affinnoj pryamoj. Togda esli M i N --
odnomernye A-moduli s trivial'nym dejstviem x, to otobrazhenie
M\ot_A N \to M\ot_A B\ot_A N -- nulevoe, poskol'ku m\ot 1\ot n =
m\ot (d_x x - x d_x)\ot n = 0 v M\ot_A B\ot_A N.

V chastnosti, imeetsya tenzornyj funktor iz tenzornoj kategorii
C-bikomodulej, koproektivnyh nad C sleva i koploskih nad C sprava,
v tensornuyu kategoriyu B_C_B-bikomodulej, koproektivnyh nad B_C_B
sleva i koploskih nad B_C_B sprava, perevodyaschij C-bikomodul' S
v B_C_B-bikomodul' B_S_B = B\ot_A S\ot_A B. Bolee togo, etot funktor
yavlyaetsya ekvivalentnost'yu tenzornyh kategorij. Poetomu esli na
C-bikomodule S, koproektivnom nad C sleva i koploskom nad C sprava,
est' struktura algebry nad koalgebroidom C, to na B_C_B-bikomodule
B_S_B est' struktura algebry nad B_C_B. Algebra B_S_B nad koalgebroidom
B_C_B yavlyaetsya universal'nym nachal'nym ob''ektom v kategorii vseh
algebr T nad koalgebroidami D, snabzhennyh otobrazheniyami C\to D i
S\to T, soglasovannymi s otobrazheniem kolec A\to B i mezhdu soboj.
Dalee, funktor M\mapsto M_B = B\ot_A M opredelyaet ekvivalentnost'
mezhdu kategoriej levyh S-modulej i kategoriej levyh B_S_B-modulej,
a funktor P\mapsto P^B = Hom_A(B,P) opredelyaet ekvivalentnost' mezhdu
kategoriej levyh S-kontramodulej i kategoriej levyh B_S_B-kontramodulej.
Netrudno videt', chto funktor M\mapsto M_B na kategorii S-modulej
estestvenno izomorfen opredelennomu vyshe funktoru M\mapsto M_{B_S_B},
a funktor P\mapsto P^B na kategorii S-kontramodulej estestvenno
izomorfen opredelennomu vyshe funktoru P\mapsto P^{B_S_B}.

Netrudno videt', chto ekvivalentnost' mezhdu kategoriyami
C-komodulej i B_C_B-komodulej i mezhdu kategoriyami C-kontramodulej
i B_C_B-kontramodulej perevodit funktory \Psi_C i \Phi_C
v funktory \Psi_{B_C_B} i \Phi_{B_C_B}. Dalee, ekvivalentnost'
mezhdu kategoriyami S-modulej i B_S_B-modulej i mezhdu kategoriyami
S-kontramodulej i B_S_B-kontramodulej perevodit funktory
\Psi_S i \Phi_S v funktory \Psi_{B_S_B} i \Phi_{B_S_B}.

Predpolozhim teper', chto kol'ca A i B imeyut konechnuyu
gomologicheskuyu razmernost'. Togda esli pravyj S-modul' N ploskij
nad A ili levyj S-modul' M ploskij nad A, to imeetsya estestvennyj
izomorfizm N\os_S M \to N_B\os_{B_S_B} M_B. Analogichno, esli levyj
S-modul' M proektiven nad A ili levyj S-kontramodul' P injektiven
nad A, to imeetsya estestvennyj izomorfizm SemiHom_{B_C_B}(M_B, P^B)
\to SemiHom_S(M,P).

Ochevidno, chto kompleks C-komodulej M koaciklichen togda i tol'ko
togda, kogda kompleks B_C_B-komodulej M_B koaciklichen i kompleks
C-kontramodulej P kontraaciklichen togda i tol'ko togda, kogda
kompleks B_C_B-kontramodulej P_B kontraaciklichen. Poetomu funktor
M\to M_B induciruet ekvivalentnost' poluproizvodnyh kategorij
S-modulej i S_B-modulej, a funktor P\to P^B induciruet ekvivalentnost'
poluproizvodnyh kategorij S-kontramodulej i S_B-kontramodulej.
Iz Sledstvij 1-4 sleduet, chto eti ekvivalentnosti poluproizvodnyh
kategorij perevodyat funktor SemiTor nad S v funktor SemiTor nad B_S_B,
funktor SemiExt nad S v funktor SemiExt nad B_S_B, i funktory R\Psi_S
i L\Phi_S v funktory R\Psi_{B_S_B} i L\Phi_{B_S_B}.

Zamechanie 2. Pochti vse rassmatrivavshiesya vyshe svojstva komodulej
i kontramodulej nad koalgebroidami, modulej i kontramodulej nad
algebrami nad koalgebroidami, i ih kompleksov sohranyayutsya pri
perehode ot koalgebroida C i algebry S nad C k koalgebroidu B_C_B i
algebre B_S_B nad B_C_B i obratno. V chastnosti, eto otnositsya
k svojstvam koploskosti, koproektivnosti, koinjektivnosti,
otnositel'noj koploskosti, otnositel'noj koproektivnosti, otnositel'noj
koinjektivnosti, injektivnosti, proektivnosti, kontraploskosti,
otnositel'noj injektivnosti, otnositel'noj proektivnosti, otnositel'noj
kontraploskosti, poluploskosti, poluproektivnosti, poluinjektivnosti,
biotnositel'noj kontraploskosti, biotnositel'noj proektivnosti,
biotnositel'noj injektivnosti, vpolne biotnositel'noj poluploskosti,
vpolne biotnositel'noj poluproektivnosti, vpolne biotnositel'noj
poluinjektivnosti. (Vse eto sleduet, v tom chisle, iz togo fakta,
chto A-modul' M ploskij togda i tol'ko togda, kogda B-modul' B\ot_A M
ploskij. Analogichno, A-modul' M proektiven togda i tol'ko togda, kogda
B-modul' B\ot_A M proektiven, i A-modul' P injektiven togda i tol'ko
togda, kogda B-modul' Hom_A(B,P) injektiven. V samom dele, pust'
B-modul' B\ot_A M ploskij. Vsyakij ploskij B-modul' yavlyaetsya ploskim
A-modulem, poskol'ku kol'co B plosko nad A sleva. Rassmotrim tenzornoe
proizvedenie kompleksov (A\to B)\ot_A (A\to B) \ot_A ... \ot_A (A\to B)
\ot_A M, gde chislo somnozhitelej (A\to B) ne men'she gomologicheskoj
razmernosti kol'ca A. Etot kompleks tochen vsyudu, krome samogo
pravogo svoego chlena, poskol'ku otobrazhenie A\to B -- vlozhenie i
pravyj A-modul' B/A ploskij. Tak kak vse chleny etogo kompleksa, krome,
mozhet byt', samogo levogo, yavlyayutsya ploskimi A-modulyami, samyj
levyj chlen M tozhe yavlyaetsya ploskim A-modulem. Otmetim, chto bez
predpolozheniya konechnosti gomologicheskoj razmernosti kol'ca A
rassmatrivaemoe utverzhdenie neverno, poskol'ku kol'co B mozhno vybrat'
poluprostym v nekotoryh sluchayah -- sm. Zamechanie 3 nizhe.)
V to zhe vremya, vpolne C/A-injektivnyh C-komodulej, voobsche govorya,
bol'she, chem vpolne B_C_B/B-injektivnyh B_C_B-komodulej i vpolne
C/A-proektivnyh C-kontramodulej, voobsche govorya, bol'she, chem vpolne
B_C_B/B-proektivnyh B_C_B-kontramodulej. Chtoby ubedit'sya v etom,
dostatochno rassmotret' sluchaj, kogda C=A i B_C_B = B\ot_A B; togda
vse C-komoduli koinducirovany i vse C-kontramoduli inducirovany, no
vpolne B_C_B/B-injektivnymi yavlyayutsya tol'ko te B_C_B-komoduli,
a vpolne B_C_B/B-proektivnymi tol'ko te B_C_B-kontramoduli, kotorye
sootvetstvuyut A-modulyam, yavlyayuschimsya pryamymi slagaemymi
A-modulej, dopuskayuschih strukturu B-modulya. Naprimer, esli, kak
v Zamechanii 1 vyshe, A=k[x] i B=k[d_x,x], to odnomernyj A-modul' M
s trivial'nym dejstviem x ne yavlyaetsya pryamym slagaemym kakogo-libo
A-modulya, dopuskayuschego strukturu B-modulya, poskol'ku iz ravenstva
xm=0 sleduet, chto m = -x(d_xm). Otsyuda vytekaet, sredi prochego,
chto ne vsyakij faktorkomodul' vpolne C/A-injektivnogo C-komodulya
po vpolne C/A-injektivnomu podkomodulyu yavlyaetsya vpolne
C/A-injektivnym C-komodulem.

Pust' teper' C -- koalgebroid nad kol'com A, proektivnyj nad A sleva i
ploskij nad A sprava, D -- koalgebroid nad kol'com B, proektivnyj nad B
sleva i ploskij nad B sprava, A\to B -- gomomorfizm kolec, i C\to D --
otobrazhenie koalgebroidov, sovmestimoe s otobrazheniem A\to B.

Pust' T -- algebra nad koalgebroidom D, yavlyayuschayasya koploskim
pravym D-komodulem. Predpolozhim, chto B -- ploskij pravyj A-modul'
i C\ot_A B -- koploskij pravyj D-komodul'. Postroim algebru C_T_C
nad koalgebroidom C sleduyuschim obrazom. Kak C-bikomodul', C_T_C =
(C\ot_A B)\oc_D T\oc_D (B\ot_A C). Legko videt', chto C_T_C yavlyaetsya
koploskim pravym C-komodulem. Otobrazhenie umnozheniya na C_T_C
opredelyaetsya kak kompoziciya ((C\ot_A B)\oc_D T\oc_D (B\ot_A C))\oc_C
((C\ot_A B)\oc_D T\oc_D (B\ot_A C)) = (C\ot_A B)\oc_D T\oc_D (B_C_B)
\oc_D T\oc_D (B\ot_A C) \to (C\ot_A B)\oc_D T\oc_D T\oc_D (B\ot_A C) \to
(C\ot_A B)\oc_D T\oc_D (B\ot_A C), gde pervoe komponuemoe otobrazhenie
inducirovano otobrazheniem B_C_B\to D, a vtoroe -- umnozheniem na T.
Algebra C_T_C yavlyaetsya universal'nym konechnym ob''ektom v kategorii
vseh algebr S nad koalgebroidom C, snabzhennyh otobrazheniem S\to T,
soglasovannym s otobrazheniyami A\to B i C\to D.

Budem nazyvat' koploskij levyj D-komodul' E strogo koploskim, esli
kotenzornoe proizvedenie N\oc_D E ne ravno nulyu dlya lyubogo nenulevogo
pravogo D-komodulya N. Analogichno, budem nazyvaet' koproektivnyj levyj
D-komodul' E strogo koproektivnym, esli gruppa Cohom_D(E,Q) ne ravna
nulyu dlya lyubogo nenulevogo levogo D-kontramodulya Q. Netrudno
videt', chto vsyakij strogo koproektivnyj levyj D-komodul' yavlyaetsya
strogo koploskim. Pravyj D-komodul' C\ot_A B yavlyaetsya strogo
koploskim togda i tol'ko togda, kogda otobrazhenie C\ot_A B \to D
surjektivno i ego yadro yavlyaetsya koploskim pravym D-komodulem,
a levyj D-komodul' B\ot_A C yavlyaetsya strogo koproektivnym togda
i tol'ko togda, kogda otobrazhenie B\ot_A C \to D surjektivno i ego
yadro yavlyaetsya koproektivnym levym D-komodulem.

Esli B\ot_A C -- strogo koploskij pravyj D-komodul', to funktor N\to N_C
yavlyaetsya ekvivalentnost'yu abelevyh kategorij levyh T-modulej i
levyh C_T_C-modulej. Eto sleduet iz Teoremy Barra-Beka, primenennoj
k funktoru F: T-mod \to C-comod, perevodyaschemu T-modul' N v C-komodul'
N_C, i sopryazhennomu k nemu sleva funktoru G: C-comod \to T-mod,
perevodyaschemu C-komodul' M v T-modul' T\oc_D M_B. Analogichno, esli T
yavlyaetsya koproektivnym levym D-komodulem, B yavlyaetsya proektivnym
levym A-modulem i levyj D-komodul' C\ot_A B strogo koproektiven, to
funktor Q\to Q^C yavlyaetsya ekvivalentnost'yu abelevyh kategorij
levyh T-kontramodulej i levyh C_T_C-kontramodulej. Eto sleduet iz
Teoremy Barra-Beka, primenennoj k funktoru F: T-contra \to C-contra,
perevodyaschemu T-kontramodul' Q v C-kontramodul' Q^C, i sopryazhennomu
k nemu sprava funktoru G: C-contra \to T-contra, perevodyaschemu
C-kontramodul' P v T-kontramodul' Cohom_D(T,P^B).

Nachinaya s etogo momenta my budem predpolagat', chto algebra T nad
koalgebroidom D yavlyaetsya koproektivnym levym i koploskim pravym
D-komodulem, kol'co B yavlyaetsya proektivnym levym i ploskim pravym
A-modulem, levyj D-komodul' B\ot_A C strogo koproektiven, i pravyj
D-komodul' C\ot_A B strogo koploskij.

Iz Predlozheniya V.2(e) sleduet, chto dlya lyubogo D-komodulya N
estestvennoe otobrazhenie C-kontramodulej (\Psi_D N)^C \to \Psi_C(N_C)
yavlyaetsya izomorfizmom. Analogichno, iz Predlozheniya V.1(e)
sleduet, chto dlya lyubogo D-kontramodulya Q estestvennoe otobrazhenie
C-komodulej \Phi_C(Q^C) \to (\Phi_D Q)_C, kotoroe yavlayetsya
izomorfizmom. Poetomu ekvivalentnost' mezhdu kategoriyami
T-modulej i C_T_C-modulej i mezhdu kategoriyami T-kontramodulej
i C_T_C-kontramodulej perevodit funktory \Psi_T i \Phi_T v funktory
\Psi_{C_T_C} i \Phi_{C_T_C}.

Nachinaya s etogo momenta my budem predpolagat', chto kol'ca A i B
imeyut konechnuyu gomologicheskuyu razmernost'.

Iz Predlozheniya 1(a) i Predlozheniya I.1(d) sleduet, chto dlya levogo
C-komodulya M i pravogo D-komodulya N estestvennoe N_C\oc_C M \to
N\oc_D M_B yavlyaetsya izomorfizmom, po krajnej mere, esli A-modul' M
ploskij ili B-modul' N ploskij. Analogichno, dlya pravogo C-komodulya M
i levogo D-komodulya N estestvennoe otobrazhenie M\oc_C N_C \to
M_B\oc_D N yavlyaetsya izomorfizmom, po krajnej mere, esli A-modul' M
ploskij ili B-modul' N ploskij. Dalee, dlya levogo C-kontramodulya P
i levogo D-komodulya N estestvennoe otobrazhenie Cohom_D(N,P^B) \to
Cohom_C(N_C,P) yavlyaetsya izomorfizmom, po krajnej mere, esli
A-modul' P injektiven ili B-modul' N proektiven. Nakonec, dlya levogo
C-komodulya M i levogo D-kontramodulya Q estestvennoe otobrazhenie
Cohom_D(M_B,Q) \to Cohom_C(M,Q^C) yavlyaetsya izomorfizmom, po krajnej
mere, esli A-modul' M proektiven ili B-modul' Q injektiven.

Esli pravyj T-modul' N ili levyj T-modul' M yavlyaetsya ploskim
B-modulem, to imeetsya estestvennoe otobrazhenie N_C\os_{C_T_C} M_C
\to N\os_T M. Iz Predlozheniya 2(a-b) sleduet, chto ono yavlyaetsya
izomorfizmom, po krajnej mere, esli odin iz C-komodulej M i N koploskij.
Analogichno, esli levyj T-modul' N yavlyaetsya proektivnym A-modulem ili
levyj T-kontramodul' Q yavlyaetsya injektivnym A-modulem, to imeetsya
estestvennoe otobrazhenie Cohom_T(N,Q) \to Cohom_{C_T_C}(N_C,Q^C).
Iz Predlozheniya 2(c-d) sleduet, chto ono yavlyaetsya izomorfizmom,
po krajnej mere, esli C-komodul' N koproektiven ili C-kontramodul' Q
koinjektiven.

Lemma 3. (a) Funktor M\mapsto M_B perevodit koaciklichnye
kompleksy C-komodulej v koaciklichnye kompleksy D-komodulej.
Funktor N\mapsto N_C perevodit koaciklichnye kompleksy D-komodulej
v koaciklichnye kompleksy C-komodulej. Esli lyuboj kompleks
D-komodulej N, dlya kotorogo kompleks C-komodulej N_C styagivaem,
koaciklichen, to kompleks D-komodulej N koaciklichen togda i tol'ko
togda, kogda kompleks C-komodulej N_C koaciklichen.
(b) Funktor P\mapsto P^B perevodit kontraaciklichnye kompleksy
C-kontramodulej v kontraaciklichnye kompleksy D-kontramodulej.
Funktor Q\mapsto Q^C perevodit kontraaciklichnye kompleksy
D-kontramodulej v kontraaciklichnye kompleksy C-kontramodulej.
Esli lyuboj kompleks D-kontramodulej Q, dlya kotorogo kompleks
C-kontramodulej Q^C styagivaem, kontraaciklichen, to kompleks
D-kontramodulej Q kontraaciklichen togda i tol'ko togda, kogda
kompleks C-kontramodulej Q^C kontraaciklichen.

Dokazatel'stvo (a): pervoe utverzhdenie sleduet iz ploskosti pravogo
A-modulya B, vtoroe -- iz koploskosti pravogo D-komodulya C\ot_A B.
Chtoby dokazat' tret'e utverzhdenie, rassmotrim bikompleks D-komodulej
...\to B_C_B\ot_D B_C_B\ot_D N \to B_C_B\ot_D N \to N, differencialy
kotorogo yavlyayutsya znakoperemennymi summami otobrazhenij,
inducirovannyh morfizmom D-bikomodulej B_C_B\to D. Total'nyj kompleks
etogo bikompleksa, obrazovannyj s pomosch'yu vzyatiya beskonechnyh
pryamyh summ vdol' diagonalej, stanovitsya styagivaemym posle
kotenzornogo umnozheniya na C-D-bikomodul' C\ot_A B. V samom dele,
otobrazhenie C\ot_A B = (C\ot_A B) \ot_{B_C_B} B_C_B \to
(C\ot_A B)\ot_D B_C_B induciruet styagivayuschuyu gomotopiyu.
Poetomu v nashih predpolozheniyah rassmatrivaemyj total'nyj kompleks
koaciklichen. S drugoj storony, esli kompleks C-komodulej N_C
koaciklichen, to kompleks D-komodulej B_C_B\oc_D N koaciklichen,
a znachit, koaciklichny i vse kompleksy D-komodulej vida
B_C_B\oc_D ... B_C_B\oc_D N, krome, mozhet byt', samogo kompleksa N.
Sledovatel'no, total'nyj kompleks bikompleksa ...\to
B_C_B\ot_D B_C_B\ot_D N \to B_C_B\ot_D N s tochnost'yu do
gomotopicheskoj ekvivalentnosti mozhet byt' poluchen iz koaciklichnyh
kompleksov s pomosch'yu operacij konusa, sdviga i beskonechnoj
pryamoj summy, a znachit, tozhe koaciklichen. Togda koaciklichen
i kompleks N. Punkt (a) dokazan; punkt (b) mozhno dokazat' sovershenno
analogichnym obrazom, no krome togo, tret'e utverzhdenie punkta (b)
mozhno vyvesti iz rezul'tatov Zamechaniya VI.2. V samom dele, dlya
lyubogo kompleksa D-kontramodulej Q najdetsya kompleks A-injektivnyh
D-kontramodulej Q' i kompleks koinjektivnyh D-kontramodulej Q'' vmeste
s otobrazheniyami Q\to Q' i Q''\to Q' s kontraaciklichnymi konusami.
Togda konusy morfizmov Q^C\to Q'^C i Q''^C\to Q'^C kontraaciklichny,
tak chto esli kompleks Q^C kontraaciklichen, to i kompleks Q''^C
kontraaciklichen. S drugoj storony, Q''^C yavlyaetsya kompleksom
koinjektivnyh C-komodulej, tak kak pravyj C-komodul' B\ot_A C
koploskij. Poetomu kompleks Q''^C styagivaem. Po nashemu
predpolozheniyu, otsyuda sleduet, chto kompleks Q'' konstraaciklichen,
tak chto kompleks Q tozhe kontraacklichen.

Iz vtorogo utverzhdeniya Lemmy 3(a) sleduet, chto funktor N\to N_C
iz gomotopicheskoj kategorii kompleksov T-modulej v gomotopicheskuyu
kategoriyu kompleksov C_T_C-modulej induciruet funktor iz
poluproizvodnoj kategorii T-modulej v poluproizvodnuyu kategoriyu
C_T_C-modulej, prichem poluchennyj funktor mezhdu poluproizvodnymi
kategoriyami otobrazhaet triangulirovannuyu kategoriyu
v ee faktorkategoriyu. Ochevidno, chto etot funktor sovpadaet
s opredelennym vyshe proizvodnym funktorom N\to N_C^R. Esli vypolneny
usloviya tret'ego utverzhdeniya Lemmy 3(a), to etot funktor yavlyaetsya
ekvivalentnost'yu triangulirovannyh kategorij. Analogichnym obrazom,
funktor Q\to Q^C iz gomotopicheskoj kategorii kompleksov T-kontramodulej
v gomotopicheskuyu kategoriyu kompleksov C_T_C-kontramodulej induciruet
funktor iz poluproizvodnoj kategorii T-kontramodulej v poluproizvodnuyu
kategoriyu C_T_C-kontramodulej, prichem poluchennyj funktor mezhdu
poluproizvodnymi kategoriyami otobrazhaet triangulirovannuyu kategoriyu
v ee faktorkategoriyu. Etot funktor sovpadaet s opredelennym vyshe
proizvodnym funktorom Q\to Q^C_L. Esli vypolneny usloviya tret'ego
utverzhdeniya Lemmy 3(b), to etot funktor yavlyaetsya ekvivalentnost'yu
triangulirovannyh kategorij.

Zamechanie 3. Voobsche govorya, poluproizvodnye kategorii T-modulej
i C_T_C-modulej ne ekvivalentny. V samom dele, pust' A=B=k -- pole,
E -- konechnomernaya frobeniusova algebra nad k, D = E^* i C =
End_k(E)^*. Togda imeetsya otobrazhenie koalgebr C\to D, dvojstvennoe
k vlozheniyu algebr E\to End_k(E), svyazannomu s dejstviem E na sebe
levymi umnozheniyami. Legko videt', chto E-bimodul' End_k(E) izomorfen
E\ot_k E^*; poskol'ku algebra E frobeniusova, End(E) yavlyaetsya
svobodnym levym i pravym E-modulem. Poetomu C yavlyaetsya kosvobodnym
levym i pravym D-komodulem, i v chastnosti, C strogo koproektivna nad D
sleva i sprava. Pust' teper' algebra T nad D sovpadaet s D. Togda
poluproizvodnaya kategoriya T-modulej est' koproizvodnaya kategoriya
D-komodulej. V to zhe vremya, kompleks C-komodulej koaciklichen togda
i tol'ko togda, kogda on aciklichen v obychnom smysle etogo slova, tak
chto poluproizvodnaya kategoriya C_T_C-modulej sovpadaet s obychnoj
proizvodnoj kategoriej C_T_C-modulej i ekvivalentna obychnoj
proizvodnoj kategorii D-komodulej. Esli algebra E imeet beskonechnuyu
gomologicheskuyu razmernost', to funktor iz poluproizvodnoj kategorii
T-modulej v poluproizvodnuyu kategoriyu C_T_C modulej, inducirovannyj
funktorom N\mapsto N_C, ne yavlyaetsya ekvivalentnost'yu kategorij.

VIII. Konstrukciya algebr nad koalgebroidami nad kol'cami.

Dlya lyubogo konechno-porozhdennogo proektivnogo levogo A-modulya U
i lyubogo levogo A-modulya V imeetsya estestvennyj izomorfizm
Hom_A(U,A)\ot_A V \to Hom_A(U,V), opredelennyj formuloj u^*\ot v
\mapsto (u \mapsto < u, u^* > v). V chastnosti, dlya lyubyh konechno
porozhdennyh i proektivnyh nad A sleva A-bimodulej C i D imeetsya
estestvennyj izomorfizm Hom_A(C\ot_A D, A) = Hom_A(D, Hom_A(C,A)) =
Hom_A(D,A)\ot_A Hom_A(C,A).

Drugimi slovami, mezhdu tenzornymi kategoriyami konechno-porozhdennyh
i proektivnyh nad A sleva A-bimodulej i konechno-porozhdennyh i
proektivnyh nad A sprava A-bimodulej imeetsya tenzornaya
anti-ekvivalentnost', zadavaemaya vzaimno-obratnymi funktorami
C\mapsto Hom_A(C,A) i K\mapsto Hom_{A^op}(K,A). Poetomu struktury
kol'ca na konechno porozhdennom i proektivnom nad A sprava A-bimodule
K nahodyatsya v biektivnom sootvetstvii so strukturami koalgebroida na
konechno porozhdennom i proektivnom nad A sleva A-bimodule Hom_A(K,A).

Dalee, pust' K -- kol'co, snabzhennoe gomomorfizmom kolec A\to K, takim
chto K yavlyaetsya konechno-porozhdennym proektivnym pravym A-modulem.
Togda izomorfizm N\oc_A C = Hom_{A^op}(K,N) pokazyvaet, chto imeetsya
vzaimno-odnoznachnoe sootvetvstvie mezhdu strukturami pravogo K-modulya
na pravom A-module N i strukturami pravogo komodulya nad koalgebroidom
C=Hom_{A^op}(K,A) na N. Analogichno, izomorfizm Hom_A(C,P) = K\ot_A P
pokazyvaet, chto imeetsya vzaimno-odnoznachnoe sootvetstvie mezhdu
strukturami levogo K-modulya na levom A-module P i strukturami levogo
C-kontramodulya na P. Drugimi slovami, imeyutsya izomorfizmy
abelevyh kategorij comod-C \to mod-K i C-contra \to K-mod.

Vot nekotoroe obobschenie opisannoj situacii. Pust' mezhdu
koalgebroidom C nad A i kol'com K, snabzhennym otobrazheniem kolec
A\to K, zadano sparivanie f: C\ot_A K \to A, yavlyayuscheesya
gomomorfizmom A-bimodulej i udovletvoryayuschee sleduyuschemu usloviyu
soglasovaniya s koumnozheniem na C i umnozheniem na K: kompozicii
otobrazhenij C\ot_A K\ot_A K \to C\ot_A C\ot_A K\ot_A K \to C\ot_A K
\to A (gde pervoe otobrazhenie inducirovano koumnozheniem na C,
a posleduyuschie dva -- sparivaniem f) i C\ot_A K\ot_A K \to C\ot_A K
\to A (gde pervoe otobrazhenie inducirovano umnozheniem na K, a vtoroe
-- sparivaniem f) dolzhny sovpadat'. Togda dlya lyubogo pravogo
C-komodulya N kompoziciya otobrazhenij N\ot_A K \to N\ot_A C\ot_A K
\to N (gde pervoe otobrazhenie inducirovano kodejstviem na N, a vtoroe
-- sparivaniem f) opredelyaet na N strukturu pravogo K-modulya.
Analogichno, dlya lyubogo levogo C-kontramodulya P kompoziciya
otobrazhenij K\ot_A P \to Hom_A(C,P) \to P (gde pervoe otobrazhenie
zadaetsya formuloj k\ot p \mapsto (c\mapsto f(c,k)p), a vtoroe
inducirovano kontradejstviem na P) opredelyaet na P strukturu levogo
K-modulya. Takim obrazom, sparivanie f porozhdaet strogie funktory
comod-C \to mod-K i C-contra \to K-mod.

V chastnosti, koalgebroid C priobretaet strukturu levogo C-komodulya,
na kotorom sprava dejstvuet komodul'nymi endomorfizmami kol'co K.

Esli C yavlyaetsya proektivnym levym C-komodulem, to funktor C-contra
\to K-mod imeet levyj sopryazhennyj funktor K-mod \to C-contra.
Etot funktor perevodit inducirovannyj levyj K-modul' K\ot_A V
v inducirovannyj levyj C-kontramodul' Hom_A(C,V); chtoby vychislit'
ego znachenie na proizvol'nom K-module, mozhno predstavit' etot
K-modul' v vide koyadra otobrazheniya inducirovannyh K-modulej.
Analogichno, esli C yalyaetsya ploskim levym C-komodulem, to funktor
comod-C \to mod-K imeet pravyj sopryazhennyj funktor mod-K \to comod-C.
Etot funktor perevodit koinducirovannyj pravyj K-modul' Hom_{A^op}(K,V)
v koinducirovannyj pravyj C-komodul' V\ot_A C; chtoby vychislit' ego
znachenie na proizvol'nom K-module, mozhno predstavit' etot K-modul'
v vide yadra otobrazheniya koinducirovannyh K-modulej.

Bez kakih-libo uslovij na koalgebroid C, kompoziciya funktora
\Psi_C: C-comod \to C-contra i funktora C-contra \to K-mod imeet
levyj sopryazhennyj funktor K-mod \to C-comod, perevodyaschij levyj
K-modul' M v levyj C-komodul' C\ot_K M. Analogichno, kompoziciya
funktora \Phi_{C^op}: contra-C \to comod-C i funktora comod-C \to mod-K
imeet pravyj sopryazhennyj funktor mod-K \to contra-C, perevodyaschij
pravyj K-modul' N v pravyj C-kontramodul' Hom_{K^op}(C,N). Takim
obrazom vychislyayutsya kompozicii postroennyh vyshe funktorov K-mod
\to C-contra i mod-K \to comod-C s funktorami \Phi_C i \Psi_{C^op}.

Predlozhenie 1. Dlya lyubogo pravogo C-komodulya N i levogo K-modulya
M imeetsya estestvennoe otobrazhenie N\ot_K M \to N\oc_C (C\ot_K M),
kotoroe yavlyaetsya izomorfizmom, po krajnej mere, esli K-modul' M
ploskij ili C-komodul' N kvazikoploskij.

Predlozhenie 2. Dlya lyubogo levogo K-modulya M i levogo C-kontramodulya
P imeetsya estestvennoe otobrazhenie Cohom_C(C\ot_K M, P) \to Hom_K(M,P),
kotoroe yavlyaetsya izomorfizmom, po krajnej mere, esli K-modul' M
proektiven ili C-kontramodul' P kvazikoinjektiven.

Predlozhenie 3. Dlya lyubogo pravogo C-komodulya M i pravogo K-modulya
N imeetsya estestvennoe otobrazhenie Cohom_{C^op}(M, Hom_{K^op}(C,N)) \to
Hom_{K^op}(M,N), kotoroe yavlyaetsya izomorfizmom, po krajnej mere, esli
K-modul' N injektiven ili C-komodul' M kvazikoproektiven.

Dokazatel'stva: Predlozhenie 1 sleduet iz Predlozheniya V.1(a,e),
Predlozhenie 2 sleduet iz Predlozheniya V.3(a,e) i Predlozhenie 3 sleduet
iz Predlozheniya V.2(a,e) (sm. takzhe Predlozheniya I.1 i III.1).

Netrudno videt', chto funktor comod-C \to mod-K yavlyaetsya vpolne
strogim, esli dlya lyubogo pravogo A-modulya M otobrazhenie M\ot_A C
\to Hom_{A^op}(K,M), zadavaemoe formuloj m\ot c \mapsto
(k\mapsto mf(c,k)), injektivno. Nachinaya s etogo momenta my budem
predpolagat', chto funktor comod-C \to mod-K vpolne strogij.
Budem govorit', chto pravyj K-modul' N yavlyaetsya C-komodulem, esli
on yavlyaetsya obrazom nekotorogo pravogo C-komodulya pod dejstviem
funktora comod-C \to mod-K. Krome togo, my budem predpolagat', chto
koalgebroid C yavlyaetsya ploskim levym i pravym A-modulem.

Ispol'zuya Predlozhenie 1, netrudno ubedit'sya, chto kategoriya vseh
K-bimodulej M, ploskih nad K sleva i takih, chto pravyj K-modul'
C\ot_K M yavlyaetsya C-komodulem, yavlyaetsya tenzornoj podkategoriej
tenzornoj kategorii K-bimodulej, a funktor M \mapsto C\ot_K M
yavlyaetsya tenzornym funktorom iz tenzornoj kategorii K-bimodulej
s perechislennymi svojstvami v tenzornuyu kategoriyu C-bikomodulej,
koproektivnyh nad C sleva. Otsyuda sleduet, chto dlya vsyakogo
kol'ca R, snabzhennogo otobrazheniem kolec K\to R i ploskogo nad K
sleva, prichem takogo, chto pravyj K-modul' S = C\ot_K R yavlyaetsya
pravym C-komodulem, C-bikomodul' S okazyvaetsya algebroj nad
koalgebroidom C, koploskoj nad C sleva. Krome togo, vsyakij pravyj
S-modul' imeet estestvennuyu strukturu pravogo R-modulya, tak chto
imeetsya tochnyj vpolne strogij funktor mod-S \to mod-R, soglasovannyj
s funktorom comod-C \to mod-K, prichem obrazu funktora mod-S \to mod-R
prinadlezhat rovno te pravye R-moduli, kotorye kak pravye K-moduli
yavlyayutsya C-komodulyami. Dalee, iz Predlozheniya 2 sleduet, chto
esli levyj A-modul' C proektiven i levyj K-modul' R proektiven,
to S yavlyaetsya koproektivnym levym C-komodulem i vsyakij levyj
S-kontramodul' imeet estestvennuyu strukturu levogo R-modulya.
Takim obrazom, imeetsya tochnyj strogij funktor S-contra \to R-mod,
soglasovannyj s funktorom C-contra \to K-mod. Bolee togo, kategoriya
levyh S-kontramodulej izomorfna kategorii abelevyh grupp P
so strukturami levogo C-kontramodulya i levogo R-modulya,
udovletvoryayuschimi sleduyuschim usloviyam soglasovaniya:
vo-pervyh, inducirovannye struktury levogo K-modulya dolzhny sovpadat';
vo-vtoryh, otobrazhenie dejstviya P\to Hom_K(R,P) dolzhno byt'
morfizmom C-kontramodulej, gde struktura C-kontramodulya na Hom_K(R,P)
dostavlyaetsya izomorfizmom Hom_K(R,P) = Cohom_C(S,P).

Esli K -- konechno-porozhdennyj proektivnyj pravyj A-modul' i
C = Hom_{A^op}(K,A), to izomorfizmy kategorij comod-C \to mod-K
i C-contra \to K-mod perevodyat funktor kontratenzornogo proizvedeniya
nad C v funktor tenzornogo proizvedeniya nad K: N\ocn_C P = N\ot_K P.
Esli, krome togo, R yavlyaetsya proektivnym levym K-modulem, to
izomorfizmy kategorij mod-S \to mod-R i S-contra \to R-mod perevodyat
funktor kontratenzornogo proizvedeniya nad S v funktor tenzornogo
proizvedeniya nad R: N\ocn_S P = N\ot_R P.

Funktor mod-S \to mod-R imeet pravyj sopryazhennyj funktor mod-R \to
mod-S, soglasovannyj s funktorom mod-K \to comod-C, sopryazhennym
sprava k funktoru comod-C \to mod-K. Stroitsya etot sopryazhennyj
funktor sleduyuschim obrazom. Pust' N -- ob''ekt mod-K; oboznachim
cherez N^- sootvetstvuyuschij objekt comod-C; togda v kategorii
mod-K imeetsya morfizm sopryazhenija N^- \to N. Pust' na N imeetsya
struktura pravogo R-modulya; togda kompoziciya N^-\oc_C S = N^-\ot_K R
\to N\ot_K R \to N yavlyaetsya otobrazheniem K-modulej iz pravogo
C-komodulya N^-\oc_C S v pravyj K-modul' N; tak chto imeetsya
inducirovannyj morfizm C-komodulej N^-\oc_C S \to N^-, opredelyayuschij
strukturu pravogo S-modulya na N^-. Analogichno, esli C yavlyaetsya
proektivnym levym A-modulem i R yavlyaetsya proektivnym levym K-modulem,
to funktor S-contra \to R-mod imeet levyj sopryazhennyj funktor
R-mod \to S-contra, soglasovannyj s funktorom K-mod \to C-contra,
sopryazhennym sleva k funktoru C-contra \to K-mod. Stroitsya etot
sopryazhennyj funktor tak. Pust' M -- ob''ekt K-mod; oboznachim cherez
M^+ sootvetstvuyuschij ob''ekt C-contra; togda v kategorii K-mod
imeetsya morfizm sopryazheniya M \to M^+. Pust' na M imeetsya struktura
levogo R-modulya; togda kompoziciya M \to Hom_K(R,M) \to Hom_K(R,M^+) =
Cohom_C(S,M^+) yavlyaetsya otobrazheniem K-modulej iz levogo K-modulya M
v levyj C-kontramodul' Cohom_C(S,M^+); tak chto imeetsya inducirovannyj
morfizm C-kontramodulej M^+ \to Cohom_C(S,M^+), opredelyayuschij
strukturu levogo S-kontramodulya na M^+.

Zametim, chto algebra S nad C imeet strukturu levogo S-modulya,
na kotorom sprava dejstvuet S-modul'nymi endomorfizmami kol'co R.
Poetomu esli S okazyvaetsya koploskim pravym C-komodulem, to imeetsya
funktor S-mod \to R-mod, otobrazhayuschij levyj S-modul' M v levyj
R-modul' Hom_S(S,M). Etot funktor imeet levyj sopryazhennyj funktor,
otobrazhayuschij levyj R-modul' M v levyj S-modul' S\ot_R M = C\ot_K M.
V sluchae, kogda C -- proektivnyj levyj A-modul' i R -- proektivnyj
levyj K-modul', pervyj funktor yavlyaetsya prosto kompoziciej funktora
\Psi_S: S-mod \to S-contra i opredelennogo vyshe strogogo funktora
S-contra \to R-mod, a vtoroj funktor, sootvetstvenno, yavlyaetsya
kompoziciej postroennogo vyshe funktora R-mod \to S-contra i funktora
\Phi_S: S-contra \to S-mod. Analogichno, esli C yavlyaetsya
proektivnym pravym A-modulem i S okazyvaetsya koproektivnym pravym
C-komodulem, to kompoziciya postroennogo vyshe funktora mod-R \to mod-S
i funktora \Psi_{S^op}: mod-S \to contra-S otobrazhaet pravyj R-modul'
N v pravyj C-kontramodul' Hom_{R^op}(S,N) = Hom_{K^op}(C,N).

Pust' imeetsya kommutativnaya diagramma otobrazhenij kolec A\to K,
K\to R, A'\to K', K'\to R', A\to A', K\to K', R\to R', i pust'
imeyutsya koalgebroidy C nad A i C' nad A' vmeste s otobrazheniem
C\to C', sovmestimym s otobrazheniem A\to A'. Dalee, pust' imeyutsya
sparivaniya C\ot_A K \to A i C'\ot_A' K' kak vyshe, obrazuyuschie
kommutativnuyu diagrammu vmeste s otobrazheniyami A\to A' i C\ot_A K
\to C'\to_A' K', prichem funktoru comod-C \to mod-K i comod-C' \to
mod-K' vpolne strogi. Predpolozhim, chto otobrazhenie K\ot_A A' \to K'
yavlyaetsya izomorfizmom. Krome togo, predpolozhim, chto C yavlyaetsya
ploskim levym i pravym A-modulem, a C' yavlyaetsya ploskim levym i pravym
A'-modulem. Togda estestvennoe otobrazhenie C\ot_K R \to C'\ot_K R'
yavlyaetsya otobrazheniem iz algebry nad koalgebroidom C v algebru nad
koalgebroidom C', sovmestimym s otobrazheniyami A\to A' i C\to C'.

Pust' imeetsya kommutativnaya diagramma otobrazhenij kolec A\to K,
K\to R, A\to K', K'\to R', K\to K', R\to R', i pust' imeyutsya
koalgebroidy C i C' nad A vmeste s otobrazheniem koalgebroidov C'\to C.
Dalee, pust' imeyutsya sparivaniya C\ot_A K \to A i C'\ot_A K' \to A
kak vyshe, dlya kotoryh diagramma otobrazhenij C'\ot_A K \to C\ot_A K,
C\ot_A K \to A, C'\t_A K \to C'\ot_A K' i C'\ot_A K' \to A
kommutativna, a funktory comod-C \to mod-K i comod-C' \to mod-K' vpolne
strogi. Predpolozhim, chto otobrazhenie K'\ot_K R \to R' yavlyaetsya
izomorfizmom. Krome togo, predpolozhim, chto C i C' yavlyayutsya
ploskimi levymi i pravymi A-modulyami. Togda otobrazhenie C'\ot_K' R'
= C'\ot_K' K'\ot_K R = C'\ot_K R \to C\ot_K R yavlyaetsya otobrazheniem
iz algebry nad koalgebroidom C' v algebru nad koalgebroidom C,
sovmestimym s otobrazheniem koalgebrodov C'\to C.