Функториальность по неабелевым аргументам
Dec. 8th, 2006 03:06 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПродолжение этого -- http://posic.livejournal.com/193713.html и этого -- http://posic.livejournal.com/193906.html
VII. Funktorial'nost' po neabelevym argumentam.
Pust' C -- koalgebroid nad kol'com A i D -- koalgebroid nad kol'com B.
Budem nazyvat' otobrazhenie C\to D sovmestimym s gomomorfizmom kolec
A\to B, esli otobrazheniya dejstviya A\times C\times A \to C i
B\times D\times B \to D obrazuyut kommutativnuyu diagrammu
s otobrazheniyami C\to D i A\times C\times A \to B\times D\times B
(to est' otobrazhenie C\to D yavlyaetsya gomomorfizmom A-bimodulej),
a otobrazheniya koedinicy C\to A i D\to B i otobrazheniya
koumnozheniya C\to C\ot_A C i D\to D\ot_B D obrazuyut kommutativnye
diagrammy s otobrazheniyami A\to B, C\to D, i C\ot_A C \to D\ot_B D.
Pust' C\to D -- otobrazhenie koalgebroidov, sovmestimoe s otobrazheniem
kolec A\to B. Pust' M -- komodul' nad C i N -- komodul' nad D. Budem
nazyvat' otobrazhenie M\to N sovmestimym s otobrazheniyami A\to B i
C\to D, esli otobrazheniya dejstviya A\times M \to M i B\times N \to N
obrazuyut kommutativnuyu diagrammu s otobrazheniyami M\to N i A\times M
\to B\times N, a otobrazheniya kodejstviya M\to C\ot_A M i N\to D\ot_B N
obrazuyut kommutativnuyu diagrammu s otobrazheniyami M\to N i C\ot_A M
\to B\ot_D N. Analogichnym obrazom, pust' P -- kontramodul' nad C i
Q -- kontramodul' nad D. Budem nazyvat' otobrazhenie Q\to P
sovmestimym s otobrazheniyami A\to B i C\to D, esli otobrazheniya
dejstviya P\to Maps(A,P) i Q\to Maps(B,Q) obrazuyut kommutativnuyu
diagrammu s otobrazheniyami Q\to P i Maps(B,Q) \to Maps(A,P),
a otobrazheniya kontradejstviya Hom_A(C,P)\to P i Hom_B(D,Q)\to Q
obrazuyut kommutativnuyu diagrammu s otobrazheniyami Q\to P i
Hom_B(D,Q) \to Hom_A(C,P).
Pust' M'\to N' -- otobrazhenie iz pravogo C-komodulya M' v pravyj
D-komodul' N', sovmestimoe s otobrazheniyami A\to B i C\to D, i pust'
M''\to N'' -- otobrazhenie iz levogo C-komodulya M'' v levyj D-komodul'
N'', sovmestimoe s otobrazheniyami A\to B i C\to D. Togda imeetsya
estestvennoe otobrazhenie M'\oc_C M'' \to N'\oc_D N''. Analogichnym
obrazom, pust' M\to N -- otobrazhenie iz levogo C-komodulya M v
levyj C-komodul' N, sovmestimoe s otobrazheniyami A\to B i C\to D,
i pust' Q\to P -- otobrazhenie iz levogo D-kontramodulya Q v levyj
D-kontramodul' P, sovmestimoe s otobrazheniyami A\to B i C\to D.
Togda imeetsya estestvennoe otobrazhenie Cohom_D(N,Q) \to Cohom_C(M,P).
Pust' C\to D -- otobrazhenie koalgebroidov, sovmestimoe s otobrazheniem
kolec A\to B. Togda imeetsya funktor iz kategorii levyh C-komodulej
v kategoriyu levyh D-komodulej, perevodyaschij C-komodul' M v D-komodul'
M_B = B\ot_A N s otobrazheniem kodejstviya, zadavaemym kompoziciej
B\ot_A M \to B\ot_A C\ot_A M \to D\ot_A M = D\ot_B (B\ot_B M),
gde pervoe komponuemoe otobrazhenie inducirovano kodejstviem C na M,
a vtoroe -- levym dejstviem kol'ca B na D i otobrazheniem C\to D.
Analogichnym obrazom, imeetsya funktor iz kategorii levyh
C-kontramodulej v kategoriyu levyh D-kontramodulej, perevodyaschij
C-kontramodul' P v D-kontramodul' P^B = Hom_A(B,P) s otobrazheniem
kontradejstviya, zadavaemym kompoziciej Hom_B(D, Hom_A(B,P)) =
Hom_A(D,P) \to Hom_A(C\ot_A B, P) = Hom_A(B,Hom_A(C,P)) \to Hom_A(B,P),
gde pervoe otobrazhenie inducirovano pravym dejstviem kol'ca B na D
i otobrazheniem C\to D, a vtoroe -- kontradejstivem C na P.
Esli C yavlyaetsya ploskim pravym A-modulem, to funktor M\mapsto M_B
imeet pravyj sopryazhennyj funktor, perevodyaschij D-komodul' N
v C-komodul' N_C = (C\ot_A B)\oc_D M, gde C\ot_A B yavlyaetsya
C-D-bikomodulem, struktura pravogo D-komodulya na kotorom
dostavlyaetsya vysheopisannoj konstrukciej. Eti funktory sopryazheny,
poskol'ku obe gruppy Hom_D(M_B,N) i Hom_C(M,N_C) izomorfny gruppe vseh
otobrazhenij M\to N, sovmestimyh s otobrazheniyami A\to B i C\to D.
Analogichnym obrazom, esli C yavlyaetsya proektivnym levym A-modulem,
to funktor P\mapsto P^B imeet levyj sopryazhennyj funktor, perevodyaschij
D-kontramodul' Q v C-kontramodul' Q^C = Cohom_D(B\ot_A C, Q). Obe gruppy
Hom_D(Q,P^B) i Hom_C(Q^C,P) izomorfny gruppe vseh otobrazhenij Q\to P,
sovmestimyh s otobrazheniyami A\to B i C\to D. Krome togo, esli C
yavlyaetsya proektivnym levym A-modulem, to dlya lyubogo pravogo
C-komodulya M i lyubogo levogo D-kontramodulya Q imeetsya estestvennyj
izomorfizm M_B\ocn_D Q = M\ocn_C Q^C, poskol'ku obe gruppy izomorfny
koyadru pary otobrazhenij iz M\ot_A Hom_B(D,Q) v M\ot_A Q.
Nachinaya s etogo momenta my budem predpolagat', chto koalgebroid C
nad kol'com A yavlyaetsya proektivnym levym i ploskim pravym A-modulem,
koalgebroid D nad kol'com B yavlyaetsya proektivnym levym i ploskim
pravym B-modulem, i chto fiksirovano otobrazhenie kolec A\to B i
sovmestimoe s nim otobrazhenie koalgebroidov C\to D.
Predlozhenie 1. (a) Dlya lyubogo levogo C-komodulya M i pravogo
D-komodulya N imeetsya estestvennoe otobrazhenie N_C\oc_C M \to
N\oc_D M_B, kotoroe yavlyaetsya izomorfizmom, po krajnej mere, kogda
M ploskij A-modul' ili N koploskij D-komodul'.
(b) Dlya lyubogo pravogo C-komodulya M i levogo D-komodulya N imeetsya
estestvennoe otobrazhenie M\oc_C N_C \to M_B\oc_D N, kotoroe
yavlyaetsya izomorfizmom, po krajnej mere, kogda M ploskij A-modul'
ili N koploskij D-komodul'.
(c) Dlya lyubogo levogo C-kontramodulya P i levogo D-komodulya N
imeetsya estestvennoe otobrazhenie Cohom_D(N,P^B) \to Cohom_C(N_C,P),
kotoroe yavlyaetsya izomorfizmom, po krajnej mere, kogda P injektivnyj
A-modul' ili N koproektivnyj D-komodul'.
(d) Dlya lyubogo levogo C-komodulya M i levogo D-kontramodulya Q
imeetsya estestvennoe otobrazhenie Cohom_D(M_B,Q) \to Cohom_C(M,Q^C),
kotoroe yavlyaetsya izomorfizmom, po krajnej mere, kogda M proektivnyj
A-modul' ili Q koinjektivnyj D-komodul'.
Dokazatel'stvo (a): Dlya lyubogo levogo C-komodulya M i pravogo
D-komodulya N imeyutsya otobrazheniya komodulej N_C\to N i M\to M_B,
sovmestimye s otobrazheniyami A\to B i C\to D. Otsyuda proishodit
inducirovannoe otobrazhenie N_C\oc_C M \to N\oc_D M_B. S drugoj
storony, dlya lyubogo levogo C-komodulya M imeetsya estestvennyj
izomorfizm levyh D-komodulej M_B = (B\ot_A C)\oc_C M, tak chto
N_C\oc_C M = (N\oc_D (B\ot_A C))\oc_C M i N\oc_D M_B =
N\oc_D ((B\ot_A C)\oc_C M). Mozhno proverit', chto otobrazheniya
N_C\oc_C M \to N\oc_D M_B, N\oc_C M \to N\ot_B (B\ot_A C)\ot_A M
i N\oc_C M \to N\ot_B (B\ot_A C)\ot_A M obrazuyut kommutativnuyu
diagrammu. Poetomu utverzhdenie (a) sleduet iz Predlozheniya I.1(e,b).
Dokazatel'stvo punktov (b), (c) i (d) sovershenno analogichno.
Dlya lyubogo D-komodulya N imeetsya estestvennoe otobrazhenie
C-kontramodulej (\Psi_D N)^C \to \Psi_C(N_C), kotoroe yavlyaetsya
izomorfizmom, kogda komodul' N D/B-injektiven. V samom dele,
\Psi_C(N_C) = Hom_C(C,N_C) = Hom_D(B\ot_A C, N) i (\Psi_D N)^C =
Cohom_D(B\ot_A C, Hom_D(D,N)), tak chto ostaetsya primenit'
Predlozhenie V.2(c). Analogichno, dlya lyubogo D-kontramodulya Q
imeetsya estestvennoe otobrazhenie C-komodulej \Phi_C(Q^C) \to
(\Phi_D Q)_C, kotoroe yavlayetsya izomorfizmom, kogda kontramodul' Q
D/B-kontraploskij. V samom dele, \Phi_C(Q^C) = C\ocn_C Q^C =
(C\ot_A B)\ocn_D Q i (\Phi_D Q)_C = (C\ot_A B)\oc_D (D\ocn_D Q),
tak chto ostaetsya primenit' Predlozhenie V.1(c).
Teorema 1. (a) Funktor N\mapsto N_C perevodit D-komoduli,
koploskie (koproektivnye) otnositel'no B, v C-komoduli, koploskie
(koproektivnye) otnositel'no A. Tot zhe samyj funktor, primenennyj
k kompleksam, perevodit koaciklichnye kompleksy D/B-koploskih
D-komodulej v koaciklichnye kompleksy C-komodulej.
(b) Funktor Q\mapsto Q^C perevodit D-kontramoduli, koinjektivnye
otnositel'no B, v C-kontramoduli, koinjektivnye otnositel'no A.
Tot zhe samyj funktor, primenennyj k kompleksam, perevodit
kontraaciklichnye kompleksy D/B-koinjektivnyh D-kontramodulej
v kontraaciklichnye kompleksy C-kontramodulej.
Dokazatel'stvo (a): pervoe utverzhdenie sleduet iz formul,
svyazyvayuschih funktory N\mapsto N_C, M\mapsto M_B i P\mapsto P^B
s kotenzornym proizvedeniem i kogomomorfizmami. Chtoby dokazat' vtoroe
utverzhdenie, oboznachim cherez E kobar-rezol'ventu (C\ot_A B)\ot_B D
\to (C\ot_A B)\ot_B D\ot_B D \to ... pravogo D-komodulya C\ot_A B.
Togda E yavlyaetsya kompleksom D-koploskih C-D-bikomodulej, a kompleks
(C\ot_A B) \to (C\ot_A B)\ot_B D \to (C\ot_A B)\ot_B D\ot_B D \to ...
s tochnost'yu do gomotopicheskoj ekvivalentnosti mozhet byt'
poluchen iz total'nyh kompleksov tochnyh troek kompleksov B-ploskih
C-D-bikomodulej s pomosch'yu konusov, sdvigov i beskonechnyh pryamyh
summ. Poetomu esli M -- koaciklichnyj kompleks levyh D-komodulej,
to kompleks C-komodulej E\oc_D M koaciklichen; a esli M -- kompleks
D/B-koploskih levyh D-komodulej, to konus morfizma kompleksov
C-komodulej (C\ot_B A)\oc_D M \to E\oc_D M koaciklichen. Punkt (a)
dokazan; dokazatel'stvo punkta (b) sovershenno analogichno.
Lemma 1. (a) Funktor N\mapsto N_C perevodit vpolne D/B-injektivnye
D-komoduli vo vpolne C/A-injektivnye C-komoduli i D/B-injektivnye
D-komoduli v C/A-injektivnye C-komoduli.
(b) Funktor Q\mapsto Q^C perevodit vpolne D/B-proektivnye
D-kontramoduli vo vpolne C/A-proektivnye C-kontramoduli i
D/B-proektivnye D-kontramoduli v C/A-proektivnye C-kontramoduli.
Dokazatel'stvo (a): ispol'zovat' sopryazhennost' funktorov
N\mapsto N_C i M\mapsto M_B. Dokazatel'stvo punkta (b): ispol'zovat'
sopryazhennost' funktorov Q\mapsto Q^C i P\mapsto P^B.
Nachinaya s etogo momenta my budem predpolagat', chto kol'ca A i B
imeyut konechnuyu gomologicheskuyu razmernost'.
Ochevidno, chto funktor M\mapsto M_B, perevodit kompleksy A-ploskih
C-komodulej v kompleksy B-ploskih D-komodulej. Iz sleduyuschej
Teoremy vytekaet, chto on perevodit koaciklichnye kompleksy A-ploskih
C-komodulej v koaciklichnye kompleksy D-komodulej.
Teorema 2. (a) Gomotopicheskaya kategoriya koaciklichnyh kompleksov
A-ploskih (A-proektivnyh) C-komodulej sovpadaet s minimal'noj
triangulirovannoj podkategoriej gomotopicheskoj kategorii kompleksov
C-komodulej, soderzhaschej total'nye kompleksy tochnyh troek
kompleksov A-ploskih (A-proektivnyh) C-komodulej i zamknutoj
otnositel'no beskonechnyh pryamyh summ.
(b) Gomotopicheskaya kategoriya kontraaciklichnyh kompleksov
A-injektivnyh C-kontramodulej sovpadaet s minimal'noj triangulirovannoj
podkategoriej gomotopicheskoj kategorii kompleksov C-kontramodulej,
soderzhaschej total'nye kompleksy tochnyh troek kompleksov A-injektivnyh
C-kontramodulej i zamknutoj otnositel'no beskonechnyh proizvedenij.
Dokazatel'stvo neslozhno v sluchae, kogda kol'co A soderzhit pole, tak
kak v etom sluchae funktory iz Lemmy I.1 i Lemmy III.1 mozhno sdelat'
additivnymi i tochnymi (a dal'she rassuzhdat', kak v dokazatel'stve
Teoremy 4 nizhe). Krome togo, punkt (a) dlya A-proektivnyh C-komodulej
i punkt (b) mozhno vyvesti iz rezul'tatov Zamechaniya VI.2, ispol'zuya
kobar- i bar-konstrukcii dlya C-komodulej i C-kontramodulej (a mozhno
i dokazat' sovershenno analogichno rassuzhdeniyu nizhe). Bolee togo,
utverzhdenie Teoremy dlya A-ploskih levyh C-komodulej mozhno vyvesti
iz utverzhdeniya dlya A-proektivnyh levyh C-komodulej, ispol'zuya
Lemmu III.1(a). Odnako, utverzhdenie Teoremy dlya A-ploskih pravyh
C-komodulej, po-vidimomu, ne mozhet byt' dokazano takim sposobom,
poskol'ku Lemma III.1 zavisit ot predpolozheniya proektivnosti levogo
A-modulya C, a proektivnosti pravogo A-modulya C my ne predpolagaem.
Vot pryamoe dokazatel'stvo punkta (a) dlya A-ploskih C-komodulej.
Nazovem kompleks C-komodulej m-ploskim, esli ego chleny, kak A-moduli,
imeyut ploskuyu razmernost', ne prevoshodyaschuyu m, i m-koaciklichnym,
esli on prinadlezhit minimal'noj triangulirovannoj podkategorii
gomotopicheskoj kategorii kompleksov C-komodulej, soderzhaschej
total'nye kompleksy tochnyh troek m-ploskih kompleksov C-komodulej
i zamknutoj otnositel'no beskonechnyh pryamyh summ. Podcherknem,
chto m-koaciklichnyj kompleks ne obyazan byt' m-ploskim, poskol'ku
m-koaciklichnost' yavlyaetsya svojstvom klassa gomotopicheskoj
ekvivalentnosti kompleksa, a m-ploskost' pri gomotopicheskoj
ekvivalentnosti ne sohranyaetsya. My pokazhem, chto dlya lyubogo
m-ploskogo m-koaciklichnogo kompleksa C-komodulej M najdetsya
(m-1)-ploskij (m-1)-koaciklichnyj kompleks C-komodulej L vmeste
s surjektivnym morfizmom kompleksov C-komodulej L\to M, yadro K
kotorogo takzhe (m-1)-plosko i (m-1)-koaciklichno. Iz etogo budet
sledovat', chto vsyakij (m-1)-ploskij m-koaciklichnyj kompleks
C-komodulej M (m-1)-koaciklichen, poskol'ku total'nyj kompleks tochnoj
trojki K\to L\to M (m-1)-koaciklichen, tak zhe kak i konus morfizma
K\to L. Otsyuda uzhe po indukcii vytekaet, chto vsyakij 0-ploskij
d-koaciklichnyj (gde d -- gomologicheskaya razmernost' kol'ca A)
kompleks C-komodulej 0-koaciklichen, chto nam i trebuetsya.
Pust' M -- total'nyj kompleks tochnoj trojki m-ploskih kompleksov
C-komodulej M'\to M''\to M'''. Dlya kazhdogo n vyberem proektivnye
A-moduli F'^n i F'''^n, snabzhennye surjektivnymi otobrazheniyami
A-modulej F'^n\to M'^n i F'''^n\to M'''^n. Poslednee otobrazhenie
mozhno podnyat' do otobrazheniya A-modulej F'''^n\to M''^n, poluchiv
surjektivnoe otobrazhenie iz tochnoj trojki A-modulej F'^n \to
F'^n\op F'''^n \to F'''^n v tochnuyu trojku M'^n\to M''^n\to M'''^n.
Primeniv konstrukciyu iz dokazatel'stva Lemmy I.1, mozhno poluchit'
otsyuda surjektivnoe otobrazhenie iz tochnoj trojki A-ploskih
C-komodulej P'^n\to P''^n\to P'''^n v tochnuyu trojku C-komodulej
M'^n\to M''^n\to M'''^n. Rassmotrim teper' tri kompleksa C-komodulej
L', L'' i L''', chleny kotoryh sut' L^{(s)n} = P^{(s)n-1} \op P^{(s)n},
a differencial d_{L^{(s)}}^n: L^{(s)n} \to L^{(s)n+1} otobrazhaet
tozhdestvenno P^{(s)n} v sebya i zanulyaetsya v ogranichenii na
P^{(s)n-1} i v proekcii na P^{(s)n+1}. Imeyutsya estestvennye
surjektivnye otobrazheniya kompleksov L^{(s)}\to M^{(s)}, sostavlennye
iz otobrazhenij C-komodulej P^{(s)n-1} \op P^{(s)n} \to M^{(s)n},
komponenty kotoryh sut' d_{M^{(s)}}^{n-1}p^{(s)n-1} i p^{(s)n}, gde
p^{(s)n} oboznachaet surjekciyu P^{(s)n} \to M^{(s)n}. Vzyatye vmeste,
eti otobrazheniya obrazuyut surjektivnoe otobrazhenie iz tochnoj trojki
kompleksov L'\to L''\to L''' v tochnuyu trojku kompleksov M'\to M''
\to M'''. Pust' K'\to K''\to K''' -- yadro etogo otobrazheniya tochnyh
troek kompleksov; togda kompleksy L^{(s)} 0-ploski, v to vremya kak
kompleksy K^{(s)} (m-1)-ploski. Poetomu total'nyj kompleks tochnoj
trojki kompleksov L'\to L''\to L''' 0-koaciklichnyj i 0-ploskij,
v to vremya kak total'nyj kompleks tochnoj trojki K'\to K''\to K''' --
(m-1)-koaciklichnyj i (m-1)-ploskij, i imeetsya surjektivnoe
otobrazhenie kompleksov L\to M s yadrom K.
Pust' teper' K'\to L'\to M' i K''\to L''\to M'' -- tochnye trojki
kompleksov C-komodulej, v kotoryh kompleksy K', K'', L' i L''
(m-1)-ploski i (m-1)-koaciklichny, i pust' imeetsya morfizm kompleksov
C-komodulej M'\to M''. Postroim dlya kompleksa M = cone(M'\to M'')
tochnuyu trojku kompleksov C-komodulej K\to L\to M s (m-1)-ploskimi
i (m-1)-koaciklichnymi kompleksami K i L. Oboznachim cherez L'''
kompleks L'\op L''; imeetsya vlozhenie pryamogo slagaemogo L'\to L'''
i surjektivnoe otobrazhenie kompleksov L'''\to M'', komponentami
kotorogo yavlyayutsya kompoziciya L'\to M' \to M'' i otobrazhenie
L''\to M''; prichem eti otobrazheniya L'\to L''' i L'''\to M''
obrazuyut kommutativnyj kvadrat s otobrazheniyami L'\to M' i M'\to M''.
Yadro K''' otobrazheniya kompleksov L'''\to M'' vklyuchaetsya
v tochnuyu trojku kompleksov K''\to K'''\to L'. Poskol'ku kompleksy
K'' i L' (m-1)-ploski, kompleks K''' tozhe (m-1)-ploskij, i poskol'ku
kompleksy K'', L' i total'nyj kompleks tochnoj trojki K''\to K'''\to L'
(m-1)-koaciklichny, kompleks K''' tozhe (m-1)-koaciklichen. Teper'
polozhim L = cone (L'\to L''') i K = cone(K'\to K'''); togda imeetsya
tochnaya trojka kompleksov K\to L\to M s trebuemymi svojstvami.
Nakonec, pust' M\to M' -- gomotopicheskaya ekvivalentnost' m-ploskih
kompleksov C-komodulej, i pust' imeetsya tochnyaya trojka C-komodulej
K'\to L'\to M', v kotoroj kompleksy K' i L' (m-1)-ploski i
(m-1)-koaciklichny; postroim tochnuyu trojku kompleksov K\to L\to M
s analogichnymi svojstvami. Rassmotrim konus otobrazheniya M\to M';
on styagivaem, i sledovatel'no, izomorfen pryamoj summe kompleksov
vida 0 \to N^n \to N^n \to 0 s tozhdestvennym otobrazheniem v kachestve
differenciala; drugimi slovami, on izomorfen konusu tozhdestvennogo
endomorfizma nekotorogo kompleksa N (s nulevym differencialom).
Kompleks N yavlyaetsya m-ploskim, tak chto on izomorfen faktorkompleksu
nekotorogo (m-1)-ploskogo kompleksa L_N po (m-1)-ploskomu podkompleksu
K_N, a kompleks cone(M\to M') izomorfen faktorkompleksu (m-1)-ploskogo
styagivaemogo kompleksa cone(id_{L_N}) po (m-1)-ploskomu styagivaemomu
podkompleksu cone(id_{K_N}). Soglasno dokazannomu vyshe, konus M''
morfizma M'[-1]\to cone(M\to M')[-1] vklyuchaetsya v tochnuyu trojku
K\to L''\to M'' s (m-1)-ploskimi i (m-1)-koaciklichnymi kompleksami
K i L''. Kompleks M'' izomorfen pryamoj summe kompleksa M i konusa
tozhdestvennogo endomorfizma kompleksa M'[-1]. Etot konus yavlyaetsya
m-ploskim styagivaemym kompleksom; predstavim ego v vide faktorkompleksa
(m-1)-ploskogo styagivaemogo kompleksa P po (m-1)-ploskomu styagivaemomu
podkompleksu Q. Polozhim M''' = M \op P; togda imeetsya surjektivnoe
otobrazhenie kompleksov M'''\to M'' s yadrom Q. Pust' L''' --
rassloennoe proizvedenie kompleksov M''' i L'' nad M''; togda imeyutsya
tochnye trojki kompleksov K\to L'''\to M''' i Q \to L'''\to L''.
Iz vtoroj tochnoj trojki yasno, chto kompleks L''' (m-1)-ploskij,
a poskol'ku total'nyj kompleks etoj tochnoj trojki, kak i kompleksy
L'' i Q, (m-1)-koaciklichen, kompleks L''' tozhe (m-1)-koaciklichen.
Dalee, imeetsya vlozhenie kompleksov M\to M''' s koyadrom P. Pust'
L -- rassloennoe proizvedenie kompleksov M i L''' nad M'''; togda
imeyutsya tochnye trojki kompleksov K\to L\to M i L\to L'''\to P.
Iz vtoroj tochnoj trojki vidno, chto kompleks L (m-1)-ploskij i
(m-1)-koaciklichnyj. Teorema dokazana.
Pust' S -- algebra nad koalgebroidom C i T -- algebra nad koalgebroidom
D. Budem nazyvat' otobrazhenie S\to T nazyvaetsya sovmestimym
s otobrazheniyami A\to B i C\to D, esli otobrazheniya dejstviya
A\times S\times A \to S i B\times T\times B \to T obrazuyut
kommutativnuyu diagrammu s otobrazheniyami S\to T i A\times S\times A
\to B\times T\times B, otobrazheniya kodejstviya S\to C\ot_A S\ot_A C
i T\to D\ot_B T\ot_B D obrazuyut kommutativnuyu diagrammu
s otobrazheniyami S\to T i C\ot_A S\ot_A S \to D\ot_B T\ot_B D
(drugimi slovami, inducirovannoe otobrazhenie B-bimodulej
B\ot_A S\ot_A B \to T yavlyaetsya morfizmom D-bikomodulej) i dalee,
otobrazheniya edinicy C\to S i D\to T i otobrazheniya umnozheniya
S\ot_C S\to S i T\ot_D T\to T obrazuyut kommutativnye diagrammy
s otobrazheniyami C\to D, S\to T i S\oc_C S \to T\oc_D T.
Pust' S\to T -- otobrazhenie algebr nad koalgebroidami, sovmestimoe
s otobrazheniyami A\to B i C\to D. Pust' M -- modul' nad algebroj S
i N -- modul' nad algebroj T. Budem nazyvat' otobrazhenie M\to N
sovmestimym s otobrazheniyami A\to B, C\to D i S\to T, esli ono kak
otobrazhenie iz C-komodulya v D-komodul' sovmestimo s otobrazheniyami
A\to B i C\to D, i dalee, otobrazheniya dejstviya S\oc_C M\to M i
T\oc_D N\to N obrazuyut kommutativnuyu diagrammu s otobrazheniyami
M\to N i S\oc_C M \to T\oc_D N. Analogichnym obrazom, pust' P --
kontramodul' nad S i Q -- kontramodul' nad T. Budem nazyvat'
otobrazhenie Q\to P sovmestimym s otobrazheniyami A\to B, C\to D
i S\to T, esli ono kak otobrazhenie iz D-kontramodulya
v C-kontramodul' sovmestimo s otobrazheniyami A\to B i C\to D, i dalee,
otobrazheniya kontradejstviya P\to Cohom_C(S,P) i Q\to Cohom_D(T,Q)
obrazuyut kommutativnuyu diagrammu s otobrazheniyami Q\to P i
Cohom_D(T,Q)\to Cohom_C(S,P).
Pust' M'\to N' -- otobrazhenie iz pravogo S-modulya M' v pravyj T-modul'
N', sovmestimoe s otobrazheniyami A\to B, C\to D, i S\to T, i pust'
M''\to N'' -- otobrazhenie iz levogo S-modulya M'' v levyj T-modul' N'',
sovmestimoe s otobrazheniyami A\to B, C\to D i S\to T. Predpolozhim,
chto odin iz A-modulej M' i M'' ploskij i odin iz B-modulej N' i N''
ploskij. Togda imeetsya estestvennoe otobrazhenie M'\os_S M'' \to
N'\os_T N''. Analogichnym obrazom, pust' M\to N -- otobrazhenie iz
levogo S-modulya M v levyj T-modul' N, sovmestimoe s otobrazheniyami
A\to B, C\to D i S\to T, i pust' Q\to P -- otobrazhenie iz levogo
D-kontramodulya Q v levyj D-kontramodul' P, sovmestimoe
s otobrazheniyami A\to B, C\to D i S\to T. Predpolozhim, vo-pervyh,
chto A-modul' M proektiven ili A-modul' P injektiven, i vo-vtoryh,
chto B-modul' N proektiven ili B-modul' Q injektiven. Togda imeetsya
estestvennoe otobrazhenie SemiHom_T(N,Q) \to SemiHom_S(M,P).
Pust' S\to T -- otobrazhenie, sovmestimoe s otobrazheniyami A\to B i
C\to D. Togda dlya lyubogo T-modulya N na C-komodule N_C imeetsya
estestvennaya struktura S-modulya, kotoraya stroitsya tak. Komposiciya
otobrazhenij S\oc_C N_C \to T\oc_D N \to N yavlyaetsya otobrazheniem iz
C-komodulya v D-komodul', sovmestimym s otobrazheniyami A\to B i C\to D;
poetomu imeetsya inducirovannoe otobrazhenie C-komodulej S\oc_C N_C \to
N_C. Analogichno, dlya lyubogo T-kontramodulya Q na C-kontramodule Q^C
imeetsya estestvennaya struktura S-kontramodulya, kotoraya stroitsya
tak. Kompoziciya Q \to Cohom_D(T,Q) \to Cohom_C(S, Q^C) yavlyaetsya
otobrazheniem iz D-kontramodulya v C-kontramodul', sovmestimym
s otobrazheniyami A\to B i C\to D; poetomu imeetsya inducirovannoe
otobrazhenie C-kontramodulej Q^C \to Cohom_C(S,Q^C).
Nachinaya s etogo momenta my budem predpolagat', chto S yavlyaetsya
koproektivnym levym i koploskim pravym C-komodulem, T yavlyaetsya
koproektivnym levym i koploskim pravym D-komodulem, i chto fiksirovano
otobrazhenie algebr nad koalgebroidami S\to T, sovmestimoe
s otobrazheniem kolec A\to B i otobrazheniem koalgebroidov C\to D.
Funktor, perevodyaschij T-modul' N v S-modul' N_C, imeet levyj
sopryazhennyj funktor M\mapsto M_T, prichem v sluchae, kogda pravyj
A-modul' B ploskij ili levyj A-modul' M ploskij, spravedliva formula
M_T = (T\oc_D (B\ot_A C))\os_S N (gde T\oc_D (B\ot_A C) -- eto
T-S-bimodul', struktura pravogo S-modulya na kotorom dostavlyaetsya
vysheopisannoj konstrukciej). Obe gruppy Hom_S(M,N_C) i Hom_T(M_T,N)
izomorfny gruppe vseh otobrazhenij M\to N, sovmestimyh s otobrazheniyami
A\to B, C\to D i S\to D. Analogichnym obrazom, funktor, perevodyaschij
T-kontramodul' Q v S-kontramodul' Q^C, imeet pravyj sopryazhennyj
funktor P\mapsto P^T, prichem v sluchae, kogda levyj A-modul' B
proektiven ili levyj A-modul' P injektiven, spravedliva formula
P^T = SemiHom_S((C\ot_A B)\oc_D T, P). Obe gruppy Hom_S(Q^C,P) i
Hom_T(Q,P^T) izomorfny gruppe vseh otobrazhenij Q\to P, sovmestimyh
s otobrazheniyami A\to B, C\to D i S\to T. Krome togo, dlya lyubogo
pravogo S-modulya M i lyubogo levogo T-kontramodulya Q imeetsya
estestvennyj izomorfizm M_T\ocn_T Q = M\ocn_S Q^C, poskol'ku obe gruppy
izomorfny koyadru pary otobrazhenij iz ((M\oc_C S)\ot_A B)\ocn_D Q
v (M\ot_A B)\ocn_D Q.
Predlozhenie 2. (a) Dlya lyubyh levogo S-modulya M i pravogo T-modulya
N, dlya kotoryh opredeleny polutenzornye proizvedeniya N_C\os_S M
i N\os_T M_T, imeetsya estestvennoe otobrazhenie N_C\os_S M \to
N\os_T M_T. Eto otobrazhenie yavlyaetsya izomorfizmom, po krajnej mere,
esli D-komodul' N koploskij i ili levyj A-modul' M ploskij, ili pravyj
A-modul' B ploskij, a takzhe esli S-modul' M poluploskij.
(b) Dlya lyubyh pravogo S-modulya M i levogo T-modulya N, dlya kotoryh
opredeleny polutenzornye proizvedeniya M\os_S N_C i M_T\os_T N,
imeetsya estestvennoe otobrazhenie M\os_S N_C \to M_T\os_T N.
Eto otobrazhenie yavlyaetsya izomorfizmom, po krajnej mere, esli
D-komodul' N koploskij i ili pravyj A-modul' M ploskij, ili levyj
A-modul' B ploskij, a takzhe esli S-modul' M poluploskij.
(c) Dlya lyubyh levygo S-kontramodulya P i levogo T-modulya N, dlya
kotoryh opredeleny gruppy polugomomorfizmov SemiHom_T(N,P^T) i
SemiHom_S(N_C,P), imeetsya estestvennoe otobrazhenie SemiHom_T(N,P^T)
\to SemiHom_S(N_C,P). Eto otobrazhenie yavlyaetsya izomorfizmom, po
krajnej mere, esli D-komodul' N koproektiven i ili levyj A-modul' P
injektiven, ili levyj A-modul' B proektiven, a takzhe esli
S-kontramodul' P poluinjektiven.
(d) Dlya lyubyh levogo S-modulya M i levogo T-kontramodulya Q, dlya
kotoryh opredeleny gruppy polugomomorfizmov SemiHom_T(M_T,Q) i
SemiHom_S(M,Q^C), imeetsya estestvennoe otobrazhenie SemiHom_T(M_T,Q)
\to SemiHom_S(M,Q^C). Eto otobrazhenie yavlyaetsya izomorfizmom, po
krajnej mere, esli D-kontramodul' Q koinjektiven i ili levyj A-modul' M
proektiven, ili pravyj A-modul' B ploskij, a takzhe esli S-modul' M
poluproektiven.
Dokazatel'stvo (a): Dlya lyubogo levogo S-modulya M i pravogo
T-modulya N imeyutsya otobrazheniya N_C\to N i M\to M_T, sovmestimye
s otobrazheniyami A\to B, C\to D i S\to T. Poetomu imeetsya
inducirovannoe otobrazhenie N_C\os_S M \to N\os_T M_T. S drugoj
storony, dlya lyubogo pravogo T-modulya N imeetsya estestvennyj
izomorfizm pravyh S-modulej N_C = N\os_T (T\oc_D (B\ot_A C)), tak chto
N_C\os_S M = (N\os_T (T\oc_D (B\ot_A C)))\os_S M. Dalee, esli levyj
S-modul' M yavlyaetsya ploskim levym A-modulem ili B -- ploskij pravyj
A-modul', to N\os_T M_T = N\os_T ((T\oc_D (B\ot_A C))\os_S M). Mozhno
proverit', chto dlya lyubyh levogo S-modulya M i pravogo T-modulya N,
dlya kotoryh iterirovannye polutenzornye proizvedeniya
(N\os_T (T\oc_D (B\ot_A C)))\os_S M i N\os_T ((T\oc_D (B\ot_A C))\os_S M)
opredeleny, a iterirovannoe kotenzornoe proizvedenie
N\oc_D (T\oc_D (B\ot_A C))\oc_C M associativno (t.e., dlya nego
vypolneno zaklyuchenie Predlozheniya I.1), otobrazheniya
(N\os_T (T\oc_D (B\ot_A C)))\os_S M \to N\os_T ((T\oc_D (B\ot_A C))\os_S M)
(inducirovannoe otobrazheniyami N\os_T (T\oc_D (B\ot_A C)) \to N i
M \to (T\oc_D (B\ot_A C))\os_S M),
(N\os_T (T\oc_D (B\ot_A C)))\os_S M \to N\oc_D (T\oc_D (B\ot_A C))\oc_C M
i N\os_T ((T\oc_D (B\ot_A C))\os_S M) \to N\oc_D (T\oc_D (B\ot_A C))\oc_C M
obrazuyut kommutativnuyu diagrammu. Poetomu utverzhdenie (a) sleduet iz
Predlozheniya I.1(c,b) i Predlozheniya I.2(e,b). Dokazatel'stvo punktov
(b), (c) i (d) sovershenno analogichno.
Dlya lyubogo T-komodulya N estestvennoe otobrazhenie C-kontramodulej
(\Psi_D N)^C \to \Psi_C(N_C) yavlyaetsya morfizmom S-kontramodulej
(\Psi_T N)^C \to \Psi_S(N_C). V samom dele, \Psi_S(N_C) =
Hom_S(S,N_C) = Hom_T(T\oc_D (B\ot_A C), N) i (\Psi_T N)^C =
Cohom_D(B\ot_A C, Hom_T(T,N)) = SemiHom_T(T\oc_D (B\ot_A C), Hom_T(T,N)).
Analogichno, dlya lyubogo T-kontramodulya Q estestvennoe otobrazhenie
C-komodulej \Phi_C(Q^C) \to (\Phi_D Q)_C yavlayetsya morfizmom S-modulej
\Phi_S(Q^C) \to (\Phi_T Q)_C. V samom dele, \Phi_S(Q^C) = S\ocn_S Q^C =
((C\ot_A B)\oc_D T)\ocn_T Q i (\Phi_T Q)_C = (C\ot_A B)\oc_D (T\ocn_T Q)
= ((C\ot_A B)\oc_D T)\os_T (T\ocn_T Q).
Teorema 3. (a) Funktor, otobrazhayuschij faktorkategoriyu
gomotopicheskoj kategorii kompleksov D/B-koploskih
(D/B-koproektivnyh) T-modulej po tolstoj podkategorii
D-koaciklichnyh kompleksov D/B-koploskih (D/B-koproektivnyh)
T-modulej v poluproizvodnuyu kategoriyu T-modulej yavlyaetsya
ekvivalentnost'yu triangulirovannyh kategorij.
(b) Funktor, otobrazhayuschij faktorkategoriyu gomotopicheskoj
kategorii kompleksov D/B-koinjektivnyh T-kontramodulej po tolstoj
podkategorii D-kontraaciklichnyh kompleksov D/B-koinjektivnyh
S-kontramodulej v poluproizvodnuyu kategoriyu T-kontramodulej
yavlyaetsya ekvivalentnost'yu triangulirovannyh kategorij.
Dokazatel'stvo: ispol'zovat' rezul'taty Zamechaniya iz razdela I,
konstrukcii morfizmov kompleksov M\to R_2(M) i L_2(P)\to P iz
dokazatel'stva Teorem iz razdelov II i IV, i Lemmu iz razdela II.
Punkt (a) dlya kompleksov D/B-proektivnyh T-modulej i punkt (b)
mozhno takzhe vyvesti iz Lemmy V.3 i (dokazatel'stva) Teoremy VI.1
(no chtoby dokazat' punkt (a) dlya kompleksov D/B-koploskih pravyh
T-modulej, nuzhno vse-taki ispol'zovat' Zamechanie iz razdela I).
Budem nazyvat' kompleks S-modulej vpolne S/C/A-poluploskim
(vpolne S/C/A-poluproektivnym), esli on prinadlezhit minimal'noj
triangulirovannoj podkategorii gomotopicheskoj kategorii kompleksov
S-modulej, soderzhaschej kompleksy, inducirovannye s kompleksov
A-ploskih (A-proektivnyh) C-komodulej i zamknutoj otnositel'no
beskonechnyh pryamyh summ. Analogichno, budem nazyvat' kompleks
S-kontramodulej vpolne S/C/A-poluinjektivnym, esli on prinadlezhit
minimal'noj triangulirovannoj podkategorii gomotopicheskoj kategorii
komleksov S-kontramodulej, soderzhaschej kompleksy, koinducirovannye
s kompleksov A-injektivnyh C-kontramodulej, i zamknutoj otnositel'no
beskonechnyh proizvedenij. Vsyakij vpolne S/C/A-poluploskij
kompleks A-ploskih S-modulej yavlyaetsya S/C/A-poluploskim v smysle
Zamechaniya iz razdela II. Vsyakij vpolne S/C/A-poluploskij
kompleks pravyh S-modulej yavlyaetsya S/C/A-kontraploskim, vsyakij
vpolne S/C/A-poluproektivnyj kompleks levyh S-modulej yavlyaetsya
S/C/A-proektivnym i vsyakij vpolne S/C/A-poluinjektivnyj kompleks
S-kontramodulej yavlyaetsya S/C/A-injektivnym.
Teorema 4. (a) Funktor, otobrazhayuschij faktorkategoriyu
gomotopicheskoj kategorii vpolne S/C/A-poluploskih (vpolne
S/C/A-poluproektivnyh) kompleksov S-modulej po ee minimal'noj
triangulirovannoj podkategorii, soderzhaschej kompleksy,
inducirovannye s koaciklichnyh kompleksov A-ploskih (A-proektivnyh)
C-komodulej, i zamknutoj otnositel'no beskonechnyh pryamyh summ,
v poluproizvodnuyu kategoriyu S-modulej yavlyaetsya
ekvivalentnost'yu triangulirovannyh kategorij.
(b) Funktor, otobrazhayuschij faktorkategoriyu gomotopicheskoj
kategorii vpolne S/C/A-injektivnyh kompleksov S-kontramodulej po ee
minimal'noj triangulirovannoj podkategorii, soderzhaschej kompleksy,
koinducirovannye s kontraaciklichnyh kompleksov A-injektivnyh
C-kontramodulej, i zamknutoj otnositel'no beskonechnyh proizvedenij,
v poluproizvodnuyu kategoriyu S-kontramodulej yavlyaetsya
ekvivalentnost'yu triangulirovannyh kategorij.
Dokazatel'stvo (a): pri dokazatel'stve Teoremy VI.2(a) bylo postroeno
otobrazhenie v proizvol'nyj kompleks S-modulej K iz vpolne
S/C/A-poluploskogo kompleksa S-modulej L_3L_1(K) s C-koaciklichnym
konusom. Poetomu iz Lemmy iz razdela II sleduet, chto poluproizvodnaya
kategoriya S-modulej ekvivalentna faktorkategorii gomotopicheskoj
kategorii vpolne S/C/A-poluploskih kompleksov S-modulej po tolstoj
podkategorii C-koaciklichnyh vpolne S/C/A-poluploskih kompleksov
S-modulej. Ostaetsya pokazat', chto vsyakij C-koaciklichnyj vpolne
S/C/A-poluploskij kompleks S-modulej prinadlezhit minimal'noj
triangulirovannoj podkategorii, soderzhaschej kompleksy, inducirovannye
s koaciklichnyh kompleksov A-ploskih pravyh C-komodulej, i zamknutoj
otnositel'no beskonechnyh pryamyh summ. V samom dele, esli kompleks
A-ploskih S-modulej M C-koaciklichen, to total'nyj kompleks L_3(M)
bikompleksa ... \to S\oc_C S\oc_C M \to S\oc_C M s tochnost'yu
do gomotopicheskoj ekvivalentnosti mozhet byt' poluchen iz kompleksov
S-modulej, inducirovannyh s koaciklichnyh kompleksov A-ploskih
C-komodulej, s pomosch'yu konusov, sdvigov i beskonechnyh pryamyh summ.
Esli zhe kompleks S-modulej M inducirovan s kompleksa C-komodulej, to
konus morfizma kompleksov S-modulej L_3(M) \to M styagivaem, poskol'ku
on yavlyaetsya kotenzornym proizvedeniem nad C bar-kompleksa ... \to
S\oc_C S\oc_C S \to S\oc_C S \to S, styagivaemogo kak kompleks levyh
S-modulej so strukturoj pravyh C-komodulej, na nekotoryj kompleks
levyh C-komodulej. Otsyuda sleduet, chto konus morfizma L_3(M) \to M
styagivaem takzhe i dlya lyubogo kompleksa S-modulej M, kotoryj
s tochnost'yu do gomotopicheskoj ekvivalentnosti mozhet byt' poluchen
iz kompleksov S-modulej, inducirovannyh s kompleksov C-komodulej,
s pomosch'yu konusov, sdvigov i beskonechnyh pryamyh summ. Punkt (a)
dlya vpolne S/C/A-poluploskih kompleksov dokazan; dokazatel'stvo
punkta (a) dlya vpolne S/C/A-poluproektivnyh kompleksov i punkta (b)
sovershenno analogichno.
Teorema 5. (a) Funktor M\mapsto M_T perevodit vpolne S/C/A-poluploskie
(vpolne S/C/A-poluproektivnye) kompleksy S-modulej vo vpolne
T/D/B-poluploskie (vpolne T/D/B-poluproektivnye) kompleksy T-modulej
i C-koaciklichnye vpolne S/C/A-poluploskie kompleksy S-modulej
v D-koaciklichnye kompleksy T-modulej.
(b) Funktor P\mapsto P^T perevodit vpolne S/C/A-poluinjektivnye
kompleksy S-kontramodulej vo vpolne T/D/B-poluinjektivnye kompleksy
T-kontramodulej i C-kontraaciklichnye vpolne S/C/A-poluinjektivnye
kompleksy S-kontramodulej v D-kontraaciklichnye kompleksy
T-kontramodulej.
Dokazatel'stvo (a): netrudno videt', chto funktor M\mapsto M_T
perevodit S-modul', inducirovannyj s C-komodulya L, v T-modul',
inducirovannyj s D-komodulya L_B. Otsyuda srazu sleduet pervoe
utverzhdenie; dlya dokazatel'stva vtorogo nuzhno ispol'zovat'
Teoremu 4(a) i Teoremu 2(a). Punkt (a) dokazan; dokazatel'stvo
punkta (b) sovershenno analogichno.
Pravyj proizvodnyj funktor N\mapsto N_C^R: D^s(T-mod) \to D^s(S-mod)
opredelyaetsya s pomosch'yu ogranicheniya funktora N\mapsto N_C
na polnuyu podkategoriyu kompleksov D/B-koploskih T-modulej
v gomotopicheskoj kategorii kompleksov T-modulej. Iz Teoremy 3(a) i
Teoremy 1(a) (vtoroe utverzhdenie) sleduet, chto takoj funktor korrektno
opredelen. Levyj proizvodnyj funktor M\mapsto M_T^L: D^s(S-mod)
\to D^s(T-mod) opredelyaetsya s pomosch'yu ogranicheniya funktora
M\mapsto M_T na polnuyu podkategoriyu vpolne S/C/A-poluploskih
kompleksov S-modulej v gomotopicheskoj kategorii kompleksov S-modulej.
Iz Teoremy 4(a) i Teoremy 5(a) (vtoroe utverzhdenie) sleduet, chto
takoj funktor korrektno opredelen. Analogichno, levyj proizvodnyj
funktor Q\mapsto Q^C_L: D^s(T-contra) \to D^s(S-contra) opredelyaetsya
s pomosch'yu ogranicheniya funktora Q\mapsto Q^C na polnuyu
podkategoriyu kompleksov D/B-koinjektivnyh T-kontramodulej
v gomotopicheskoj kategorii kompleksov T-kontramodulej. Pravyj
proizvodnyj funktor P\mapsto P^T_R: D^s(S-contra) \to D^s(T-contra)
opredelyaetsya s pomosch'yu ogranicheniya funktora P\mapsto P^T
na polnuyu podkategoriyu vpolne S/C/A-poluinjektivnyh kompleksov
S-kontramodulej v gomotopicheskoj kategorii kompleksov S-kontramodulej.
Sledstvie 1. (a) Proizvodnyj funktor M\mapsto M_T^L sopryazhen
sleva k proizvodnomu proizvodnomu funktoru N\mapsto N_C^R.
(b) Proizvodnyj funktor P\mapsto P^T_R sopryazhen sprava
k proizvodnomu funktoru Q\mapsto Q^C_L.
(с) Dlya lyubyh ob''ektov M iz D^s(mod-S) i Q iz D^s(T-contra) imeet
mesto estestvennyj izomorfizm CtrTor^T(M_T^L,Q) = CtrTor^S(M,Q^C_L).
Dokazatel'stvo: chtoby proverit' utverzhdenie (a), dostatochno
predstavit' ob''ekt M vpolne S/C/A-poluproektivnym kompleksom S-modulej,
a ob''ekt N kompleksom D/B-injektivnyh T-modulej. Chtoby proverit'
(b), dostatochno predstavit' ob''ekt P vpolne S/C/A-poluinjektivnym
kompleksom S-kontramodulej, a ob''ekt Q kompleksom D/B-proektivnyh
T-kontramodulej. Chtoby proverit' (c), dostatochno predstavit' ob''ekt
M vpolne S/C/A-poluploskim kompleksom pravyh S-modulej, a ob''ekt Q
kompleksom D/B-proektivnyh T-kontramodulej. V to zhe vremya, variant
utverzhdeniya (a) dlya pravyh S-modulej i pravyh T-modulej, po-vidimomu,
ne mozhet byt' dokazan takim sposobom (poskol'ku my ne predpolagaem
proektivnosti pravogo A-modulya C i koproektivnosti pravogo C-komodulya
S, a tol'ko ih ploskost' i koploskost'). Poetomu nam potrebuetsya
sleduyuschij obschij rezul'tat.
Lemma 2. Pust' H_1 i H_2 -- kategorii, F_1 i F_2 -- polnye podkategorii
v H_1 i H_2, T_1 i T_2 -- lokalizuyuschie klassy morfizmov v H_1 i H_2.
Predpolozhim, chto funktory F_i[(F_i\cap T_i)^{-1}] \to H_i[T_i^{-1}]
yavlyayutsya ekvivalentnostyami kategorij. Bolee togo, predpolozhim,
chto dlya lyubogo ob''ekta X iz H_1 najdetsya ob''ekt U iz F_1 vmeste
s morfizmom U\to X, prinadlezhaschim T_1, i dlya lyubogo ob''ekta Y
iz H_2 najdetsya ob''ekt V iz F_2 vmeste s morfizmom Y\to V,
prinadlezhaschim T_2. Nakonec, pust' \Sigma: H_1 \to H_2 -- funktor
i \Pi: H_2 \to H_1 -- funktor, sopryazhennyj sprava k \Sigma, prichem
morfizm \Sigma(t) prinadlezhit T_2 dlya lyubogo t iz F_1\cap T_1,
a morfizm \Pi(s) prinadlezhit T_1 dlya lyubogo s iz F_2\cap T_2. Togda
"pravyj proizvodnyj funktor" R\Pi: H_2[T_2^{-1}] \to H_1[T_1^{-1}],
poluchennyj s pomosch'yu ogranicheniya \Pi na F_2, sopryazhen sprava k
"levomu proizvodnomu funktoru" L\Sigma: H_1[T_1^{-1}] \to H_2[T_2^{-1}],
poluchennomu s pomosch'yu ogranicheniya \Sigma na F_1.
Dokazatel'stvo. Nam nuzhno dlya lyubyh ob''ektov U iz F_1 i V iz F_2
postroit' biekciyu mezhdu mnozhestvami Hom_{H_1[T_1^{-1}]}(U, \Pi V)
i Hom_{H_2[T_2^{-1}]}(\Sigma U, V), funktorial'nuyu po U i V.
Proizvol'nyj element pervogo mnozhestva mozhno predstavit' drob'yu
U\from U'\to \Pi V, gde morfizm U'\to U prinadlezhit T_1. Po usloviyam
Lemmy, mozhno schitat', chto U' prinadlezhit F_1. Sopostavim etomu
elementu pervogo mnozhestva element vtorogo mnozhestva, predstavlennyj
drob'yu \Sigma U \from \Sigma U' \to V. Po usloviyam Lemmy, morfizm
\Sigma U' \to Sigma U prinadlezhit T_2. Analogichno, proizvol'nyj
element vtorogo mnozhestva mozhno predstavit' drob'yu \Sigma U \to V'
\from V, gde morfizm V\to V' prinadlezhit T_2 i mozhno schitat', chto
ob''ekt V' prinadlezhit F_2. Sopostavim etomu elementu vtorogo
mnozhestva element pervogo mnozhestva, predstavlennyj drob'yu U \to
Pi V' \from Pi V. Kompozicii dvuh postroennyh otobrazhenij mezhdu
mnozhestvami morfizmov yavlyayutsya tozhdestvennymi otobrazheniyami,
poskol'ku kvadrat, obrazovannyj morfizmami U'\to U, U\to \Pi V',
U'\to \Pi V, i \Pi V \to \Pi V' i kvadrat, obrazovannyj morfizmami
\Sigma U' \to \Sigma U, \Sigma U \to V', \Sigma U' \to V, i V\to V',
kommutativny odnovremenno.
Budem nazyvat' kompleks C-koploskih S-modulej vpolne poluploskim,
esli on prinadlezhit k minimal'noj triangulirovannoj podkategorii
gomotopicheskoj kategorii kompleksov S-modulej, soderzhaschej
kompleksy, inducirovannye s kompleksov koploskih C-komodulej
i zamknutoj otnositel'no beskonechnyh pryamyh summ.
Sledstvie 2. (a) Dlya lyubyh ob''ektov M iz D^s(S-mod) i N iz
D^(mod-T) imeetsya estestvennyj izomorfizm SemiTor^S(N_C^R, M)
\to SemiTor^T(N, M_T^L).
(b) Dlya lyubyh ob''ektov M iz D^s(mod-S) i N iz D^s(T-mod) imeetsya
estestvennyj izomorfizm SemiTor^S(M, N_C^R) \to SemiTor^T(M_T^L, N).
(c) Dlya lyubyh ob''ektov N iz D^s(T-mod) i P iz D^s(S-contra) imeetsya
estestvennyj izomorfizm SemiExt_T(N, P^T_R) \to SemiExt_S(N_C^R, P).
(d) Dlya lyubyh ob''ektov M iz D^s(S-mod) i Q iz D^s(T-contra) imeetsya
estestvennyj izomorfizm SemiExt_T(M_T^L, Q) \to SemiExt_S(M, Q^C_L).
Dokazatel'stvo (a): predstavit' ob''ekt M vpolne poluploskim kompleksom
S-modulej, a ob''ekt N poluploskim kompleksom D-koploskih T-modulej,
ili dazhe predstavit' ob''ekt M vpolne S/C/A-poluploskim kompleksom
A-ploskih S-modulej, a ob''ekt N kompleksom D-koploskih T-komodulej
(imeya v vidu Zamechanie iz razdela II), ili predstavit' ob''ekt M
vpolne poluploskim kompleksom poluploskih S-modulej, a ob''ekt N
kompleksom D/B-koploskih T-modulej. (c): Predstavit' ob''ekt P
poluinjektivnym kompleksom C-koinjektivnyh S-kontramodulej (imeya v vidu
Zamechanie VI.2), a ob''ekt N poluproektivnym kompleksom D-koproektivnyh
T-modulej, ili dazhe predstavit' ob''ekt P vpolne S/C/A-poluinjektivnym
kompleksom A-injektivnyh S-kontramodulej, a ob''ekt N kompleksom
D-koproektivnyh T-modulej, ili predstavit' ob''ekt P poluinjektivnym
kompleksom poluinjektivnyh S-kontramodulej, a ob''ekt N kompleksom
D/B-koproektivnyh T-modulej. (d): Predstavit' ob''ekt M poluproektivnym
kompleksom C-koproektivnyh S-modulej, a ob''ekt Q poluinjektivnym
kompleksom D-koinjektivnyh T-kontramodulej, ili dazhe predstavit'
ob''ekt M vpolne S/C/A-poluproektivnym kompleksom A-proektivnyh
S-modulej, a ob''ekt Q kompleksom D-koinjektivnyh T-kontramodulej,
ili predstavit' ob''ekt M poluproektivnym kompleksom poluproektivnyh
S-modulej, a ob''ekt Q kompleksom D/B-koinjektivnyh T-kontramodulej.
Sledstvie 3. (a) Dlya lyubyh ob''ektov M' iz D^s(mod-S) i M'' iz
D^s(S-mod) otobrazheniya SemiTor^S(M',M'') \to
SemiTor^T(M'_T^L,M''_T^L), dostavlyaemye kompoziciyami SemiTor^S(M',M'')
\to SemiTor^S(M'_T^L_C^R,M'') = SemiTor^T(M'_T^L,M''_T^L) i
SemiTor^S(M',M'') \to SemiTor^S(M',M''_T^L_C^R) =
SemiTor^T(M'_T^L,M''_T^L), sovpadayut. Dlya lyubyh ob''ektov N' iz
D^s(mod-T) i N'' iz D^s(T-mod) otobrazheniya SemiTor^S(N'_C^R,N''_C^R)
\to SemiTor^T(N',N''), dostavlyaemye kompoziciyami
SemiTor^S(N'_C^R,N''_C^R) = SemiTor^T(N'_C^R_T^L,N'') \to
SemiTor_T(N',N'') i SemiTor^S(N'_C^R,N''_C^R) =
SemiTor^T(N',N''_C^R_T^L) \to SemiTor_T(N',N''), sovpadayut.
(b) Dlya lyubyh ob''ektov M iz D^s(S-mod) i P iz D^S(S-contra)
otobrazheniya SemiExt_T(M_T^L,P^T_R) \to SemiExt_S(M,P), dostavlyaemye
kompoziciyami SemiExt_T(M_T^L,P^T_R) = SemiExt_S(M_T^L_C^R,P) \to
SemiExt_S(M,P) i SemiExt_T(M_T^L,P^T_R) = SemiExt_S(M,P^T_R^C_L) \to
SemiExt_S(M,P), sovpadayut. Dlya lyubyh ob''ektov N iz D^s(T-mod) i
Q iz D^s(T-contra) otobrazheniya SemiExt_T(N,Q) \to
SemiExt_S(N_C^R,Q^C_L), dostavlyaemye kompoziciyami SemiExt_T(N,Q) \to
SemiExt_T(N_C^R_T^L,Q) = SemiExt_S(N_C^R,Q^C_L) i SemiExt_T(N,Q) \to
SemiExt_T(N,Q^C_L^T_R) = SemiExt_S(N_C^R,Q^C_L), sovpadayut.
Dokazatel'stvo (a): pokazhem, chto dlya lyubyh ob''ektov M' iz
D^s(mod-S) i N' iz D^s(mod-T), snabzhennyh otobrazheniem M'_T^L \to N'
(ili, chto to zhe samoe, otobrazheniem M'\to N'_C^R) i lyubyh ob''ektov
M'' iz D^s(S-mod) i N'' iz D^s(T-mod), snabzhennyh otobrazheniem
M''_T^L \to N'', otobrazheniya SemiTor^s(M',M'') \to SemiTor^T(N',N''),
dostavlyaemye kompoziciyami SemiTor^s(M',M'') \to SemiTor^s(N'_C^R,M'')
= SemiTor^T(N',M''_T^L) \to SemiTor^T(N',N'') i SemiTor^s(M',M'') \to
SemiTor^s(M',N''_C^R) = SemiTor^T(M'_T^L,N'') \to SemiTor^T(N',N''),
sovpadayut. Predstavim ob''ekty M' i N' kompleksami pravyh S-modulej
i pravyh T-modulej takim obrazom, chtoby morfizm M'_T^L\to N' mozhno
bylo predstavit' otobrazheniem kompleksa S-modulej M' v kompleks
T-modulej N', sovmestimym s otobrazheniyami A\to B, C\to D i S\to T.
Primeniv k kompleksam M' i N' konstrukcii iz dokazatel'stva Teoremy
iz razdela II, mozhno postroit' otobrazhenie iz vpolne poluploskogo
kompleksa pravyh S-modulej L_3R_2L_1(M') vo vpolne poluploskij kompleks
pravyh T-modulej L_3R_2L_1(N'), sovmestimoe s otobrazheniyami A\to B,
C\to D i S\to T i predstavlyayuschee tot zhe samyj morfizm M'_T^L\to N'
v kategorii D^s(mod-T). Poetomu mozhno schitat' M' i N' vpolne
poluploskimi kompleksami. Analogichnym obrazom, predstavim morfizm
M''\to N''_T^L v kategorii D^s(T-mod) otobrazheniem iz vpolne
poluploskogo kompleksa levyh S-modulej M'' vo vpolne poluploskij
kompleks levyh T-modulej N'', sovmestimym s otobrazheniyami A\to B,
C\to D i S\to T. Togda legko videt', chto obe rassmatrivaemye
kompozicii otobrazhenij ob''ektov SemiTor v proizvodnoj kategorii
abelevyh grupp predstavlyayutsya morfizmom kompleksov M'\os_S M''
\to N'\os_T N''. Punkt (a) dokazan; dokazatel'stvo punkta (b)
sovershenno analogichno.
Sledstvie 4. Para vzaimno-obratnyh ekvivalentnostej kategorij
R\Psi_S: D^s(S-mod) \to D^s(S-contra) i L\Phi_S: D^s(S-contra) \to
D^s(S-mod) i para vzaimno-obratnyh ekvivalentnostej kategorij
R\Psi_T: D^s(T-mod) \to D^s(T-contra) i L\Phi_T: D^s(T-contra) \to
D^s(T-mod) perevodyat funktor N\mapsto N_C^R: D^s(T-mod) \to D^s(S-mod)
v funktor Q\mapsto Q^C_L: D^s(T-contra) \to D^s(S-contra).
Dokazatel'stvo: chtoby postroit' izomorfizm (R\Psi_T N)^C_L \to
R\Psi_S(N_C^R), dostatochno predstavit' ob''ekt N kompleksom
D/B-injektivnyh T-modulej. Dalee nuzhno ispol'zovat' Lemmu V.3
i Lemmu 1(a). Chtoby postroit' izomorfizm L\Phi_S(Q^C_L) \to
(L\Phi_T Q)_C^R, dostatochno predstavit' ob''ekt Q kompleksom
D/B-proektivnyh T-kontramodulej. Chtoby pokazat', chto eti dva
izomorfizma soglasovany, dostatochno proverit', chto dlya lyubogo
morfizma Q \to R\Psi_T N i sootvetstvuyuschego emu morfizma L\Phi_T Q
\to N dva skvoznyh morfizma Q^C_L \to (R\Psi_T N)^C_L \to R\Psi_S N^C_L
i L\Phi_S Q^C_L \to (L\Phi_T Q)_C^R \to N_C nahodyatsya v sootvetstvii
mezhdu soboj, dlya chego mozhno predstavit' ob''ekty Q i N kompleksami
s vysheukazannymi svojstvami.
Takim obrazom, my postroili tri funktora mezhdu kategoriyami
D^s(S-mod) = D^s(S-contra) i D^s(T-mod) = D^s(T-contra): odin
opisannyj v Sledstvii 4, i dva sopryazhennyh k nemu sleva i sprava,
opisannye v Sledstvii 1.
Sledstvie 5. Izomorfizmy proizvodnyh funktorov iz Sledstviya VI.2
soglasovany s izomorfizmami zameny bazy, dostavlyaemymi
Sledstviyami 1, 2 i 4.
Dokazatel'stvo: chtoby pokazat', chto kompozicii izomorfizmov
SemiExt_T(M_T^L, R\Psi_T(N)) \to Ext_T(M_T^L,N) \to Ext_T(M,N_C^R)
i SemiExt_T(M_T^L, R\Psi_T(N)) \to SemiExt_S(M, R\Psi_T(N)^C_L)
\to SemiExt_S(M, R\Psi_S(N_C^R)) \to Ext_S(M, N_C^R) sovpadayut,
dostatochno predstavit' ob''ekt M poluproektivnym kompleksom
poluproektivnyh S-modulej (imeya v vidu Zamechanie VI.2), a ob''ekt N
kompleksom D/B-injektivnyh T-modulej, i ispol'zovat' Zamechanie iz
razdela II. Pri etom to obstoyatel'stvo, chto otobrazhenie
SemiHom_T(M_T, \Psi_T(N)) \to Hom_T(M_T,N) yavlyaetsya izomorfizmom,
budet vytekat' iz togo, chto ostal'nye chetyre otobrazheniya
yavlyayutsya izomorfizmami i iz kommutativnosti diagrammy. Chtoby
pokazat', chto kompozicii izomorfizmov CtrTor^S(M,Q^C_L) \to
CtrTor^T(M_T^L,Q) \to SemiTor^T(M_T^L,L\Phi_T(Q)) i CtrTor^S(M,Q^C_L)
\to SemiTor^S(M,L\Phi_S(Q^C_L)) \to SemiTor^S(M,L\Phi_T(Q)_C^R) \to
SemiTor^T(M_T^L,L\Phi_T(Q)) sovpadayut, dostatochno predstavit'
ob''ekt M vpolne poluploskim kompleksom poluploskih pravyh S-modulej,
a ob''ekt Q kompleksom D/B-proektivnyh T-kontramodulej, i ispol'zovat'
Zamechanie iz razdela II. Pri etom to obstoyatel'stvo, chto
otobrazhenie CtrTor^T(M_T^L,Q) \to SemiTor^T(M_T^L,L\Phi_T(Q))
yavlyaetsya izomorfizmom, budet vytekat' iz togo, chto ostal'nye chetyre
otobrazheniya yavlyayutsya izomorfizmami i iz kommutativnosti diagrammy.
VII. Funktorial'nost' po neabelevym argumentam.
Pust' C -- koalgebroid nad kol'com A i D -- koalgebroid nad kol'com B.
Budem nazyvat' otobrazhenie C\to D sovmestimym s gomomorfizmom kolec
A\to B, esli otobrazheniya dejstviya A\times C\times A \to C i
B\times D\times B \to D obrazuyut kommutativnuyu diagrammu
s otobrazheniyami C\to D i A\times C\times A \to B\times D\times B
(to est' otobrazhenie C\to D yavlyaetsya gomomorfizmom A-bimodulej),
a otobrazheniya koedinicy C\to A i D\to B i otobrazheniya
koumnozheniya C\to C\ot_A C i D\to D\ot_B D obrazuyut kommutativnye
diagrammy s otobrazheniyami A\to B, C\to D, i C\ot_A C \to D\ot_B D.
Pust' C\to D -- otobrazhenie koalgebroidov, sovmestimoe s otobrazheniem
kolec A\to B. Pust' M -- komodul' nad C i N -- komodul' nad D. Budem
nazyvat' otobrazhenie M\to N sovmestimym s otobrazheniyami A\to B i
C\to D, esli otobrazheniya dejstviya A\times M \to M i B\times N \to N
obrazuyut kommutativnuyu diagrammu s otobrazheniyami M\to N i A\times M
\to B\times N, a otobrazheniya kodejstviya M\to C\ot_A M i N\to D\ot_B N
obrazuyut kommutativnuyu diagrammu s otobrazheniyami M\to N i C\ot_A M
\to B\ot_D N. Analogichnym obrazom, pust' P -- kontramodul' nad C i
Q -- kontramodul' nad D. Budem nazyvat' otobrazhenie Q\to P
sovmestimym s otobrazheniyami A\to B i C\to D, esli otobrazheniya
dejstviya P\to Maps(A,P) i Q\to Maps(B,Q) obrazuyut kommutativnuyu
diagrammu s otobrazheniyami Q\to P i Maps(B,Q) \to Maps(A,P),
a otobrazheniya kontradejstviya Hom_A(C,P)\to P i Hom_B(D,Q)\to Q
obrazuyut kommutativnuyu diagrammu s otobrazheniyami Q\to P i
Hom_B(D,Q) \to Hom_A(C,P).
Pust' M'\to N' -- otobrazhenie iz pravogo C-komodulya M' v pravyj
D-komodul' N', sovmestimoe s otobrazheniyami A\to B i C\to D, i pust'
M''\to N'' -- otobrazhenie iz levogo C-komodulya M'' v levyj D-komodul'
N'', sovmestimoe s otobrazheniyami A\to B i C\to D. Togda imeetsya
estestvennoe otobrazhenie M'\oc_C M'' \to N'\oc_D N''. Analogichnym
obrazom, pust' M\to N -- otobrazhenie iz levogo C-komodulya M v
levyj C-komodul' N, sovmestimoe s otobrazheniyami A\to B i C\to D,
i pust' Q\to P -- otobrazhenie iz levogo D-kontramodulya Q v levyj
D-kontramodul' P, sovmestimoe s otobrazheniyami A\to B i C\to D.
Togda imeetsya estestvennoe otobrazhenie Cohom_D(N,Q) \to Cohom_C(M,P).
Pust' C\to D -- otobrazhenie koalgebroidov, sovmestimoe s otobrazheniem
kolec A\to B. Togda imeetsya funktor iz kategorii levyh C-komodulej
v kategoriyu levyh D-komodulej, perevodyaschij C-komodul' M v D-komodul'
M_B = B\ot_A N s otobrazheniem kodejstviya, zadavaemym kompoziciej
B\ot_A M \to B\ot_A C\ot_A M \to D\ot_A M = D\ot_B (B\ot_B M),
gde pervoe komponuemoe otobrazhenie inducirovano kodejstviem C na M,
a vtoroe -- levym dejstviem kol'ca B na D i otobrazheniem C\to D.
Analogichnym obrazom, imeetsya funktor iz kategorii levyh
C-kontramodulej v kategoriyu levyh D-kontramodulej, perevodyaschij
C-kontramodul' P v D-kontramodul' P^B = Hom_A(B,P) s otobrazheniem
kontradejstviya, zadavaemym kompoziciej Hom_B(D, Hom_A(B,P)) =
Hom_A(D,P) \to Hom_A(C\ot_A B, P) = Hom_A(B,Hom_A(C,P)) \to Hom_A(B,P),
gde pervoe otobrazhenie inducirovano pravym dejstviem kol'ca B na D
i otobrazheniem C\to D, a vtoroe -- kontradejstivem C na P.
Esli C yavlyaetsya ploskim pravym A-modulem, to funktor M\mapsto M_B
imeet pravyj sopryazhennyj funktor, perevodyaschij D-komodul' N
v C-komodul' N_C = (C\ot_A B)\oc_D M, gde C\ot_A B yavlyaetsya
C-D-bikomodulem, struktura pravogo D-komodulya na kotorom
dostavlyaetsya vysheopisannoj konstrukciej. Eti funktory sopryazheny,
poskol'ku obe gruppy Hom_D(M_B,N) i Hom_C(M,N_C) izomorfny gruppe vseh
otobrazhenij M\to N, sovmestimyh s otobrazheniyami A\to B i C\to D.
Analogichnym obrazom, esli C yavlyaetsya proektivnym levym A-modulem,
to funktor P\mapsto P^B imeet levyj sopryazhennyj funktor, perevodyaschij
D-kontramodul' Q v C-kontramodul' Q^C = Cohom_D(B\ot_A C, Q). Obe gruppy
Hom_D(Q,P^B) i Hom_C(Q^C,P) izomorfny gruppe vseh otobrazhenij Q\to P,
sovmestimyh s otobrazheniyami A\to B i C\to D. Krome togo, esli C
yavlyaetsya proektivnym levym A-modulem, to dlya lyubogo pravogo
C-komodulya M i lyubogo levogo D-kontramodulya Q imeetsya estestvennyj
izomorfizm M_B\ocn_D Q = M\ocn_C Q^C, poskol'ku obe gruppy izomorfny
koyadru pary otobrazhenij iz M\ot_A Hom_B(D,Q) v M\ot_A Q.
Nachinaya s etogo momenta my budem predpolagat', chto koalgebroid C
nad kol'com A yavlyaetsya proektivnym levym i ploskim pravym A-modulem,
koalgebroid D nad kol'com B yavlyaetsya proektivnym levym i ploskim
pravym B-modulem, i chto fiksirovano otobrazhenie kolec A\to B i
sovmestimoe s nim otobrazhenie koalgebroidov C\to D.
Predlozhenie 1. (a) Dlya lyubogo levogo C-komodulya M i pravogo
D-komodulya N imeetsya estestvennoe otobrazhenie N_C\oc_C M \to
N\oc_D M_B, kotoroe yavlyaetsya izomorfizmom, po krajnej mere, kogda
M ploskij A-modul' ili N koploskij D-komodul'.
(b) Dlya lyubogo pravogo C-komodulya M i levogo D-komodulya N imeetsya
estestvennoe otobrazhenie M\oc_C N_C \to M_B\oc_D N, kotoroe
yavlyaetsya izomorfizmom, po krajnej mere, kogda M ploskij A-modul'
ili N koploskij D-komodul'.
(c) Dlya lyubogo levogo C-kontramodulya P i levogo D-komodulya N
imeetsya estestvennoe otobrazhenie Cohom_D(N,P^B) \to Cohom_C(N_C,P),
kotoroe yavlyaetsya izomorfizmom, po krajnej mere, kogda P injektivnyj
A-modul' ili N koproektivnyj D-komodul'.
(d) Dlya lyubogo levogo C-komodulya M i levogo D-kontramodulya Q
imeetsya estestvennoe otobrazhenie Cohom_D(M_B,Q) \to Cohom_C(M,Q^C),
kotoroe yavlyaetsya izomorfizmom, po krajnej mere, kogda M proektivnyj
A-modul' ili Q koinjektivnyj D-komodul'.
Dokazatel'stvo (a): Dlya lyubogo levogo C-komodulya M i pravogo
D-komodulya N imeyutsya otobrazheniya komodulej N_C\to N i M\to M_B,
sovmestimye s otobrazheniyami A\to B i C\to D. Otsyuda proishodit
inducirovannoe otobrazhenie N_C\oc_C M \to N\oc_D M_B. S drugoj
storony, dlya lyubogo levogo C-komodulya M imeetsya estestvennyj
izomorfizm levyh D-komodulej M_B = (B\ot_A C)\oc_C M, tak chto
N_C\oc_C M = (N\oc_D (B\ot_A C))\oc_C M i N\oc_D M_B =
N\oc_D ((B\ot_A C)\oc_C M). Mozhno proverit', chto otobrazheniya
N_C\oc_C M \to N\oc_D M_B, N\oc_C M \to N\ot_B (B\ot_A C)\ot_A M
i N\oc_C M \to N\ot_B (B\ot_A C)\ot_A M obrazuyut kommutativnuyu
diagrammu. Poetomu utverzhdenie (a) sleduet iz Predlozheniya I.1(e,b).
Dokazatel'stvo punktov (b), (c) i (d) sovershenno analogichno.
Dlya lyubogo D-komodulya N imeetsya estestvennoe otobrazhenie
C-kontramodulej (\Psi_D N)^C \to \Psi_C(N_C), kotoroe yavlyaetsya
izomorfizmom, kogda komodul' N D/B-injektiven. V samom dele,
\Psi_C(N_C) = Hom_C(C,N_C) = Hom_D(B\ot_A C, N) i (\Psi_D N)^C =
Cohom_D(B\ot_A C, Hom_D(D,N)), tak chto ostaetsya primenit'
Predlozhenie V.2(c). Analogichno, dlya lyubogo D-kontramodulya Q
imeetsya estestvennoe otobrazhenie C-komodulej \Phi_C(Q^C) \to
(\Phi_D Q)_C, kotoroe yavlayetsya izomorfizmom, kogda kontramodul' Q
D/B-kontraploskij. V samom dele, \Phi_C(Q^C) = C\ocn_C Q^C =
(C\ot_A B)\ocn_D Q i (\Phi_D Q)_C = (C\ot_A B)\oc_D (D\ocn_D Q),
tak chto ostaetsya primenit' Predlozhenie V.1(c).
Teorema 1. (a) Funktor N\mapsto N_C perevodit D-komoduli,
koploskie (koproektivnye) otnositel'no B, v C-komoduli, koploskie
(koproektivnye) otnositel'no A. Tot zhe samyj funktor, primenennyj
k kompleksam, perevodit koaciklichnye kompleksy D/B-koploskih
D-komodulej v koaciklichnye kompleksy C-komodulej.
(b) Funktor Q\mapsto Q^C perevodit D-kontramoduli, koinjektivnye
otnositel'no B, v C-kontramoduli, koinjektivnye otnositel'no A.
Tot zhe samyj funktor, primenennyj k kompleksam, perevodit
kontraaciklichnye kompleksy D/B-koinjektivnyh D-kontramodulej
v kontraaciklichnye kompleksy C-kontramodulej.
Dokazatel'stvo (a): pervoe utverzhdenie sleduet iz formul,
svyazyvayuschih funktory N\mapsto N_C, M\mapsto M_B i P\mapsto P^B
s kotenzornym proizvedeniem i kogomomorfizmami. Chtoby dokazat' vtoroe
utverzhdenie, oboznachim cherez E kobar-rezol'ventu (C\ot_A B)\ot_B D
\to (C\ot_A B)\ot_B D\ot_B D \to ... pravogo D-komodulya C\ot_A B.
Togda E yavlyaetsya kompleksom D-koploskih C-D-bikomodulej, a kompleks
(C\ot_A B) \to (C\ot_A B)\ot_B D \to (C\ot_A B)\ot_B D\ot_B D \to ...
s tochnost'yu do gomotopicheskoj ekvivalentnosti mozhet byt'
poluchen iz total'nyh kompleksov tochnyh troek kompleksov B-ploskih
C-D-bikomodulej s pomosch'yu konusov, sdvigov i beskonechnyh pryamyh
summ. Poetomu esli M -- koaciklichnyj kompleks levyh D-komodulej,
to kompleks C-komodulej E\oc_D M koaciklichen; a esli M -- kompleks
D/B-koploskih levyh D-komodulej, to konus morfizma kompleksov
C-komodulej (C\ot_B A)\oc_D M \to E\oc_D M koaciklichen. Punkt (a)
dokazan; dokazatel'stvo punkta (b) sovershenno analogichno.
Lemma 1. (a) Funktor N\mapsto N_C perevodit vpolne D/B-injektivnye
D-komoduli vo vpolne C/A-injektivnye C-komoduli i D/B-injektivnye
D-komoduli v C/A-injektivnye C-komoduli.
(b) Funktor Q\mapsto Q^C perevodit vpolne D/B-proektivnye
D-kontramoduli vo vpolne C/A-proektivnye C-kontramoduli i
D/B-proektivnye D-kontramoduli v C/A-proektivnye C-kontramoduli.
Dokazatel'stvo (a): ispol'zovat' sopryazhennost' funktorov
N\mapsto N_C i M\mapsto M_B. Dokazatel'stvo punkta (b): ispol'zovat'
sopryazhennost' funktorov Q\mapsto Q^C i P\mapsto P^B.
Nachinaya s etogo momenta my budem predpolagat', chto kol'ca A i B
imeyut konechnuyu gomologicheskuyu razmernost'.
Ochevidno, chto funktor M\mapsto M_B, perevodit kompleksy A-ploskih
C-komodulej v kompleksy B-ploskih D-komodulej. Iz sleduyuschej
Teoremy vytekaet, chto on perevodit koaciklichnye kompleksy A-ploskih
C-komodulej v koaciklichnye kompleksy D-komodulej.
Teorema 2. (a) Gomotopicheskaya kategoriya koaciklichnyh kompleksov
A-ploskih (A-proektivnyh) C-komodulej sovpadaet s minimal'noj
triangulirovannoj podkategoriej gomotopicheskoj kategorii kompleksov
C-komodulej, soderzhaschej total'nye kompleksy tochnyh troek
kompleksov A-ploskih (A-proektivnyh) C-komodulej i zamknutoj
otnositel'no beskonechnyh pryamyh summ.
(b) Gomotopicheskaya kategoriya kontraaciklichnyh kompleksov
A-injektivnyh C-kontramodulej sovpadaet s minimal'noj triangulirovannoj
podkategoriej gomotopicheskoj kategorii kompleksov C-kontramodulej,
soderzhaschej total'nye kompleksy tochnyh troek kompleksov A-injektivnyh
C-kontramodulej i zamknutoj otnositel'no beskonechnyh proizvedenij.
Dokazatel'stvo neslozhno v sluchae, kogda kol'co A soderzhit pole, tak
kak v etom sluchae funktory iz Lemmy I.1 i Lemmy III.1 mozhno sdelat'
additivnymi i tochnymi (a dal'she rassuzhdat', kak v dokazatel'stve
Teoremy 4 nizhe). Krome togo, punkt (a) dlya A-proektivnyh C-komodulej
i punkt (b) mozhno vyvesti iz rezul'tatov Zamechaniya VI.2, ispol'zuya
kobar- i bar-konstrukcii dlya C-komodulej i C-kontramodulej (a mozhno
i dokazat' sovershenno analogichno rassuzhdeniyu nizhe). Bolee togo,
utverzhdenie Teoremy dlya A-ploskih levyh C-komodulej mozhno vyvesti
iz utverzhdeniya dlya A-proektivnyh levyh C-komodulej, ispol'zuya
Lemmu III.1(a). Odnako, utverzhdenie Teoremy dlya A-ploskih pravyh
C-komodulej, po-vidimomu, ne mozhet byt' dokazano takim sposobom,
poskol'ku Lemma III.1 zavisit ot predpolozheniya proektivnosti levogo
A-modulya C, a proektivnosti pravogo A-modulya C my ne predpolagaem.
Vot pryamoe dokazatel'stvo punkta (a) dlya A-ploskih C-komodulej.
Nazovem kompleks C-komodulej m-ploskim, esli ego chleny, kak A-moduli,
imeyut ploskuyu razmernost', ne prevoshodyaschuyu m, i m-koaciklichnym,
esli on prinadlezhit minimal'noj triangulirovannoj podkategorii
gomotopicheskoj kategorii kompleksov C-komodulej, soderzhaschej
total'nye kompleksy tochnyh troek m-ploskih kompleksov C-komodulej
i zamknutoj otnositel'no beskonechnyh pryamyh summ. Podcherknem,
chto m-koaciklichnyj kompleks ne obyazan byt' m-ploskim, poskol'ku
m-koaciklichnost' yavlyaetsya svojstvom klassa gomotopicheskoj
ekvivalentnosti kompleksa, a m-ploskost' pri gomotopicheskoj
ekvivalentnosti ne sohranyaetsya. My pokazhem, chto dlya lyubogo
m-ploskogo m-koaciklichnogo kompleksa C-komodulej M najdetsya
(m-1)-ploskij (m-1)-koaciklichnyj kompleks C-komodulej L vmeste
s surjektivnym morfizmom kompleksov C-komodulej L\to M, yadro K
kotorogo takzhe (m-1)-plosko i (m-1)-koaciklichno. Iz etogo budet
sledovat', chto vsyakij (m-1)-ploskij m-koaciklichnyj kompleks
C-komodulej M (m-1)-koaciklichen, poskol'ku total'nyj kompleks tochnoj
trojki K\to L\to M (m-1)-koaciklichen, tak zhe kak i konus morfizma
K\to L. Otsyuda uzhe po indukcii vytekaet, chto vsyakij 0-ploskij
d-koaciklichnyj (gde d -- gomologicheskaya razmernost' kol'ca A)
kompleks C-komodulej 0-koaciklichen, chto nam i trebuetsya.
Pust' M -- total'nyj kompleks tochnoj trojki m-ploskih kompleksov
C-komodulej M'\to M''\to M'''. Dlya kazhdogo n vyberem proektivnye
A-moduli F'^n i F'''^n, snabzhennye surjektivnymi otobrazheniyami
A-modulej F'^n\to M'^n i F'''^n\to M'''^n. Poslednee otobrazhenie
mozhno podnyat' do otobrazheniya A-modulej F'''^n\to M''^n, poluchiv
surjektivnoe otobrazhenie iz tochnoj trojki A-modulej F'^n \to
F'^n\op F'''^n \to F'''^n v tochnuyu trojku M'^n\to M''^n\to M'''^n.
Primeniv konstrukciyu iz dokazatel'stva Lemmy I.1, mozhno poluchit'
otsyuda surjektivnoe otobrazhenie iz tochnoj trojki A-ploskih
C-komodulej P'^n\to P''^n\to P'''^n v tochnuyu trojku C-komodulej
M'^n\to M''^n\to M'''^n. Rassmotrim teper' tri kompleksa C-komodulej
L', L'' i L''', chleny kotoryh sut' L^{(s)n} = P^{(s)n-1} \op P^{(s)n},
a differencial d_{L^{(s)}}^n: L^{(s)n} \to L^{(s)n+1} otobrazhaet
tozhdestvenno P^{(s)n} v sebya i zanulyaetsya v ogranichenii na
P^{(s)n-1} i v proekcii na P^{(s)n+1}. Imeyutsya estestvennye
surjektivnye otobrazheniya kompleksov L^{(s)}\to M^{(s)}, sostavlennye
iz otobrazhenij C-komodulej P^{(s)n-1} \op P^{(s)n} \to M^{(s)n},
komponenty kotoryh sut' d_{M^{(s)}}^{n-1}p^{(s)n-1} i p^{(s)n}, gde
p^{(s)n} oboznachaet surjekciyu P^{(s)n} \to M^{(s)n}. Vzyatye vmeste,
eti otobrazheniya obrazuyut surjektivnoe otobrazhenie iz tochnoj trojki
kompleksov L'\to L''\to L''' v tochnuyu trojku kompleksov M'\to M''
\to M'''. Pust' K'\to K''\to K''' -- yadro etogo otobrazheniya tochnyh
troek kompleksov; togda kompleksy L^{(s)} 0-ploski, v to vremya kak
kompleksy K^{(s)} (m-1)-ploski. Poetomu total'nyj kompleks tochnoj
trojki kompleksov L'\to L''\to L''' 0-koaciklichnyj i 0-ploskij,
v to vremya kak total'nyj kompleks tochnoj trojki K'\to K''\to K''' --
(m-1)-koaciklichnyj i (m-1)-ploskij, i imeetsya surjektivnoe
otobrazhenie kompleksov L\to M s yadrom K.
Pust' teper' K'\to L'\to M' i K''\to L''\to M'' -- tochnye trojki
kompleksov C-komodulej, v kotoryh kompleksy K', K'', L' i L''
(m-1)-ploski i (m-1)-koaciklichny, i pust' imeetsya morfizm kompleksov
C-komodulej M'\to M''. Postroim dlya kompleksa M = cone(M'\to M'')
tochnuyu trojku kompleksov C-komodulej K\to L\to M s (m-1)-ploskimi
i (m-1)-koaciklichnymi kompleksami K i L. Oboznachim cherez L'''
kompleks L'\op L''; imeetsya vlozhenie pryamogo slagaemogo L'\to L'''
i surjektivnoe otobrazhenie kompleksov L'''\to M'', komponentami
kotorogo yavlyayutsya kompoziciya L'\to M' \to M'' i otobrazhenie
L''\to M''; prichem eti otobrazheniya L'\to L''' i L'''\to M''
obrazuyut kommutativnyj kvadrat s otobrazheniyami L'\to M' i M'\to M''.
Yadro K''' otobrazheniya kompleksov L'''\to M'' vklyuchaetsya
v tochnuyu trojku kompleksov K''\to K'''\to L'. Poskol'ku kompleksy
K'' i L' (m-1)-ploski, kompleks K''' tozhe (m-1)-ploskij, i poskol'ku
kompleksy K'', L' i total'nyj kompleks tochnoj trojki K''\to K'''\to L'
(m-1)-koaciklichny, kompleks K''' tozhe (m-1)-koaciklichen. Teper'
polozhim L = cone (L'\to L''') i K = cone(K'\to K'''); togda imeetsya
tochnaya trojka kompleksov K\to L\to M s trebuemymi svojstvami.
Nakonec, pust' M\to M' -- gomotopicheskaya ekvivalentnost' m-ploskih
kompleksov C-komodulej, i pust' imeetsya tochnyaya trojka C-komodulej
K'\to L'\to M', v kotoroj kompleksy K' i L' (m-1)-ploski i
(m-1)-koaciklichny; postroim tochnuyu trojku kompleksov K\to L\to M
s analogichnymi svojstvami. Rassmotrim konus otobrazheniya M\to M';
on styagivaem, i sledovatel'no, izomorfen pryamoj summe kompleksov
vida 0 \to N^n \to N^n \to 0 s tozhdestvennym otobrazheniem v kachestve
differenciala; drugimi slovami, on izomorfen konusu tozhdestvennogo
endomorfizma nekotorogo kompleksa N (s nulevym differencialom).
Kompleks N yavlyaetsya m-ploskim, tak chto on izomorfen faktorkompleksu
nekotorogo (m-1)-ploskogo kompleksa L_N po (m-1)-ploskomu podkompleksu
K_N, a kompleks cone(M\to M') izomorfen faktorkompleksu (m-1)-ploskogo
styagivaemogo kompleksa cone(id_{L_N}) po (m-1)-ploskomu styagivaemomu
podkompleksu cone(id_{K_N}). Soglasno dokazannomu vyshe, konus M''
morfizma M'[-1]\to cone(M\to M')[-1] vklyuchaetsya v tochnuyu trojku
K\to L''\to M'' s (m-1)-ploskimi i (m-1)-koaciklichnymi kompleksami
K i L''. Kompleks M'' izomorfen pryamoj summe kompleksa M i konusa
tozhdestvennogo endomorfizma kompleksa M'[-1]. Etot konus yavlyaetsya
m-ploskim styagivaemym kompleksom; predstavim ego v vide faktorkompleksa
(m-1)-ploskogo styagivaemogo kompleksa P po (m-1)-ploskomu styagivaemomu
podkompleksu Q. Polozhim M''' = M \op P; togda imeetsya surjektivnoe
otobrazhenie kompleksov M'''\to M'' s yadrom Q. Pust' L''' --
rassloennoe proizvedenie kompleksov M''' i L'' nad M''; togda imeyutsya
tochnye trojki kompleksov K\to L'''\to M''' i Q \to L'''\to L''.
Iz vtoroj tochnoj trojki yasno, chto kompleks L''' (m-1)-ploskij,
a poskol'ku total'nyj kompleks etoj tochnoj trojki, kak i kompleksy
L'' i Q, (m-1)-koaciklichen, kompleks L''' tozhe (m-1)-koaciklichen.
Dalee, imeetsya vlozhenie kompleksov M\to M''' s koyadrom P. Pust'
L -- rassloennoe proizvedenie kompleksov M i L''' nad M'''; togda
imeyutsya tochnye trojki kompleksov K\to L\to M i L\to L'''\to P.
Iz vtoroj tochnoj trojki vidno, chto kompleks L (m-1)-ploskij i
(m-1)-koaciklichnyj. Teorema dokazana.
Pust' S -- algebra nad koalgebroidom C i T -- algebra nad koalgebroidom
D. Budem nazyvat' otobrazhenie S\to T nazyvaetsya sovmestimym
s otobrazheniyami A\to B i C\to D, esli otobrazheniya dejstviya
A\times S\times A \to S i B\times T\times B \to T obrazuyut
kommutativnuyu diagrammu s otobrazheniyami S\to T i A\times S\times A
\to B\times T\times B, otobrazheniya kodejstviya S\to C\ot_A S\ot_A C
i T\to D\ot_B T\ot_B D obrazuyut kommutativnuyu diagrammu
s otobrazheniyami S\to T i C\ot_A S\ot_A S \to D\ot_B T\ot_B D
(drugimi slovami, inducirovannoe otobrazhenie B-bimodulej
B\ot_A S\ot_A B \to T yavlyaetsya morfizmom D-bikomodulej) i dalee,
otobrazheniya edinicy C\to S i D\to T i otobrazheniya umnozheniya
S\ot_C S\to S i T\ot_D T\to T obrazuyut kommutativnye diagrammy
s otobrazheniyami C\to D, S\to T i S\oc_C S \to T\oc_D T.
Pust' S\to T -- otobrazhenie algebr nad koalgebroidami, sovmestimoe
s otobrazheniyami A\to B i C\to D. Pust' M -- modul' nad algebroj S
i N -- modul' nad algebroj T. Budem nazyvat' otobrazhenie M\to N
sovmestimym s otobrazheniyami A\to B, C\to D i S\to T, esli ono kak
otobrazhenie iz C-komodulya v D-komodul' sovmestimo s otobrazheniyami
A\to B i C\to D, i dalee, otobrazheniya dejstviya S\oc_C M\to M i
T\oc_D N\to N obrazuyut kommutativnuyu diagrammu s otobrazheniyami
M\to N i S\oc_C M \to T\oc_D N. Analogichnym obrazom, pust' P --
kontramodul' nad S i Q -- kontramodul' nad T. Budem nazyvat'
otobrazhenie Q\to P sovmestimym s otobrazheniyami A\to B, C\to D
i S\to T, esli ono kak otobrazhenie iz D-kontramodulya
v C-kontramodul' sovmestimo s otobrazheniyami A\to B i C\to D, i dalee,
otobrazheniya kontradejstviya P\to Cohom_C(S,P) i Q\to Cohom_D(T,Q)
obrazuyut kommutativnuyu diagrammu s otobrazheniyami Q\to P i
Cohom_D(T,Q)\to Cohom_C(S,P).
Pust' M'\to N' -- otobrazhenie iz pravogo S-modulya M' v pravyj T-modul'
N', sovmestimoe s otobrazheniyami A\to B, C\to D, i S\to T, i pust'
M''\to N'' -- otobrazhenie iz levogo S-modulya M'' v levyj T-modul' N'',
sovmestimoe s otobrazheniyami A\to B, C\to D i S\to T. Predpolozhim,
chto odin iz A-modulej M' i M'' ploskij i odin iz B-modulej N' i N''
ploskij. Togda imeetsya estestvennoe otobrazhenie M'\os_S M'' \to
N'\os_T N''. Analogichnym obrazom, pust' M\to N -- otobrazhenie iz
levogo S-modulya M v levyj T-modul' N, sovmestimoe s otobrazheniyami
A\to B, C\to D i S\to T, i pust' Q\to P -- otobrazhenie iz levogo
D-kontramodulya Q v levyj D-kontramodul' P, sovmestimoe
s otobrazheniyami A\to B, C\to D i S\to T. Predpolozhim, vo-pervyh,
chto A-modul' M proektiven ili A-modul' P injektiven, i vo-vtoryh,
chto B-modul' N proektiven ili B-modul' Q injektiven. Togda imeetsya
estestvennoe otobrazhenie SemiHom_T(N,Q) \to SemiHom_S(M,P).
Pust' S\to T -- otobrazhenie, sovmestimoe s otobrazheniyami A\to B i
C\to D. Togda dlya lyubogo T-modulya N na C-komodule N_C imeetsya
estestvennaya struktura S-modulya, kotoraya stroitsya tak. Komposiciya
otobrazhenij S\oc_C N_C \to T\oc_D N \to N yavlyaetsya otobrazheniem iz
C-komodulya v D-komodul', sovmestimym s otobrazheniyami A\to B i C\to D;
poetomu imeetsya inducirovannoe otobrazhenie C-komodulej S\oc_C N_C \to
N_C. Analogichno, dlya lyubogo T-kontramodulya Q na C-kontramodule Q^C
imeetsya estestvennaya struktura S-kontramodulya, kotoraya stroitsya
tak. Kompoziciya Q \to Cohom_D(T,Q) \to Cohom_C(S, Q^C) yavlyaetsya
otobrazheniem iz D-kontramodulya v C-kontramodul', sovmestimym
s otobrazheniyami A\to B i C\to D; poetomu imeetsya inducirovannoe
otobrazhenie C-kontramodulej Q^C \to Cohom_C(S,Q^C).
Nachinaya s etogo momenta my budem predpolagat', chto S yavlyaetsya
koproektivnym levym i koploskim pravym C-komodulem, T yavlyaetsya
koproektivnym levym i koploskim pravym D-komodulem, i chto fiksirovano
otobrazhenie algebr nad koalgebroidami S\to T, sovmestimoe
s otobrazheniem kolec A\to B i otobrazheniem koalgebroidov C\to D.
Funktor, perevodyaschij T-modul' N v S-modul' N_C, imeet levyj
sopryazhennyj funktor M\mapsto M_T, prichem v sluchae, kogda pravyj
A-modul' B ploskij ili levyj A-modul' M ploskij, spravedliva formula
M_T = (T\oc_D (B\ot_A C))\os_S N (gde T\oc_D (B\ot_A C) -- eto
T-S-bimodul', struktura pravogo S-modulya na kotorom dostavlyaetsya
vysheopisannoj konstrukciej). Obe gruppy Hom_S(M,N_C) i Hom_T(M_T,N)
izomorfny gruppe vseh otobrazhenij M\to N, sovmestimyh s otobrazheniyami
A\to B, C\to D i S\to D. Analogichnym obrazom, funktor, perevodyaschij
T-kontramodul' Q v S-kontramodul' Q^C, imeet pravyj sopryazhennyj
funktor P\mapsto P^T, prichem v sluchae, kogda levyj A-modul' B
proektiven ili levyj A-modul' P injektiven, spravedliva formula
P^T = SemiHom_S((C\ot_A B)\oc_D T, P). Obe gruppy Hom_S(Q^C,P) i
Hom_T(Q,P^T) izomorfny gruppe vseh otobrazhenij Q\to P, sovmestimyh
s otobrazheniyami A\to B, C\to D i S\to T. Krome togo, dlya lyubogo
pravogo S-modulya M i lyubogo levogo T-kontramodulya Q imeetsya
estestvennyj izomorfizm M_T\ocn_T Q = M\ocn_S Q^C, poskol'ku obe gruppy
izomorfny koyadru pary otobrazhenij iz ((M\oc_C S)\ot_A B)\ocn_D Q
v (M\ot_A B)\ocn_D Q.
Predlozhenie 2. (a) Dlya lyubyh levogo S-modulya M i pravogo T-modulya
N, dlya kotoryh opredeleny polutenzornye proizvedeniya N_C\os_S M
i N\os_T M_T, imeetsya estestvennoe otobrazhenie N_C\os_S M \to
N\os_T M_T. Eto otobrazhenie yavlyaetsya izomorfizmom, po krajnej mere,
esli D-komodul' N koploskij i ili levyj A-modul' M ploskij, ili pravyj
A-modul' B ploskij, a takzhe esli S-modul' M poluploskij.
(b) Dlya lyubyh pravogo S-modulya M i levogo T-modulya N, dlya kotoryh
opredeleny polutenzornye proizvedeniya M\os_S N_C i M_T\os_T N,
imeetsya estestvennoe otobrazhenie M\os_S N_C \to M_T\os_T N.
Eto otobrazhenie yavlyaetsya izomorfizmom, po krajnej mere, esli
D-komodul' N koploskij i ili pravyj A-modul' M ploskij, ili levyj
A-modul' B ploskij, a takzhe esli S-modul' M poluploskij.
(c) Dlya lyubyh levygo S-kontramodulya P i levogo T-modulya N, dlya
kotoryh opredeleny gruppy polugomomorfizmov SemiHom_T(N,P^T) i
SemiHom_S(N_C,P), imeetsya estestvennoe otobrazhenie SemiHom_T(N,P^T)
\to SemiHom_S(N_C,P). Eto otobrazhenie yavlyaetsya izomorfizmom, po
krajnej mere, esli D-komodul' N koproektiven i ili levyj A-modul' P
injektiven, ili levyj A-modul' B proektiven, a takzhe esli
S-kontramodul' P poluinjektiven.
(d) Dlya lyubyh levogo S-modulya M i levogo T-kontramodulya Q, dlya
kotoryh opredeleny gruppy polugomomorfizmov SemiHom_T(M_T,Q) i
SemiHom_S(M,Q^C), imeetsya estestvennoe otobrazhenie SemiHom_T(M_T,Q)
\to SemiHom_S(M,Q^C). Eto otobrazhenie yavlyaetsya izomorfizmom, po
krajnej mere, esli D-kontramodul' Q koinjektiven i ili levyj A-modul' M
proektiven, ili pravyj A-modul' B ploskij, a takzhe esli S-modul' M
poluproektiven.
Dokazatel'stvo (a): Dlya lyubogo levogo S-modulya M i pravogo
T-modulya N imeyutsya otobrazheniya N_C\to N i M\to M_T, sovmestimye
s otobrazheniyami A\to B, C\to D i S\to T. Poetomu imeetsya
inducirovannoe otobrazhenie N_C\os_S M \to N\os_T M_T. S drugoj
storony, dlya lyubogo pravogo T-modulya N imeetsya estestvennyj
izomorfizm pravyh S-modulej N_C = N\os_T (T\oc_D (B\ot_A C)), tak chto
N_C\os_S M = (N\os_T (T\oc_D (B\ot_A C)))\os_S M. Dalee, esli levyj
S-modul' M yavlyaetsya ploskim levym A-modulem ili B -- ploskij pravyj
A-modul', to N\os_T M_T = N\os_T ((T\oc_D (B\ot_A C))\os_S M). Mozhno
proverit', chto dlya lyubyh levogo S-modulya M i pravogo T-modulya N,
dlya kotoryh iterirovannye polutenzornye proizvedeniya
(N\os_T (T\oc_D (B\ot_A C)))\os_S M i N\os_T ((T\oc_D (B\ot_A C))\os_S M)
opredeleny, a iterirovannoe kotenzornoe proizvedenie
N\oc_D (T\oc_D (B\ot_A C))\oc_C M associativno (t.e., dlya nego
vypolneno zaklyuchenie Predlozheniya I.1), otobrazheniya
(N\os_T (T\oc_D (B\ot_A C)))\os_S M \to N\os_T ((T\oc_D (B\ot_A C))\os_S M)
(inducirovannoe otobrazheniyami N\os_T (T\oc_D (B\ot_A C)) \to N i
M \to (T\oc_D (B\ot_A C))\os_S M),
(N\os_T (T\oc_D (B\ot_A C)))\os_S M \to N\oc_D (T\oc_D (B\ot_A C))\oc_C M
i N\os_T ((T\oc_D (B\ot_A C))\os_S M) \to N\oc_D (T\oc_D (B\ot_A C))\oc_C M
obrazuyut kommutativnuyu diagrammu. Poetomu utverzhdenie (a) sleduet iz
Predlozheniya I.1(c,b) i Predlozheniya I.2(e,b). Dokazatel'stvo punktov
(b), (c) i (d) sovershenno analogichno.
Dlya lyubogo T-komodulya N estestvennoe otobrazhenie C-kontramodulej
(\Psi_D N)^C \to \Psi_C(N_C) yavlyaetsya morfizmom S-kontramodulej
(\Psi_T N)^C \to \Psi_S(N_C). V samom dele, \Psi_S(N_C) =
Hom_S(S,N_C) = Hom_T(T\oc_D (B\ot_A C), N) i (\Psi_T N)^C =
Cohom_D(B\ot_A C, Hom_T(T,N)) = SemiHom_T(T\oc_D (B\ot_A C), Hom_T(T,N)).
Analogichno, dlya lyubogo T-kontramodulya Q estestvennoe otobrazhenie
C-komodulej \Phi_C(Q^C) \to (\Phi_D Q)_C yavlayetsya morfizmom S-modulej
\Phi_S(Q^C) \to (\Phi_T Q)_C. V samom dele, \Phi_S(Q^C) = S\ocn_S Q^C =
((C\ot_A B)\oc_D T)\ocn_T Q i (\Phi_T Q)_C = (C\ot_A B)\oc_D (T\ocn_T Q)
= ((C\ot_A B)\oc_D T)\os_T (T\ocn_T Q).
Teorema 3. (a) Funktor, otobrazhayuschij faktorkategoriyu
gomotopicheskoj kategorii kompleksov D/B-koploskih
(D/B-koproektivnyh) T-modulej po tolstoj podkategorii
D-koaciklichnyh kompleksov D/B-koploskih (D/B-koproektivnyh)
T-modulej v poluproizvodnuyu kategoriyu T-modulej yavlyaetsya
ekvivalentnost'yu triangulirovannyh kategorij.
(b) Funktor, otobrazhayuschij faktorkategoriyu gomotopicheskoj
kategorii kompleksov D/B-koinjektivnyh T-kontramodulej po tolstoj
podkategorii D-kontraaciklichnyh kompleksov D/B-koinjektivnyh
S-kontramodulej v poluproizvodnuyu kategoriyu T-kontramodulej
yavlyaetsya ekvivalentnost'yu triangulirovannyh kategorij.
Dokazatel'stvo: ispol'zovat' rezul'taty Zamechaniya iz razdela I,
konstrukcii morfizmov kompleksov M\to R_2(M) i L_2(P)\to P iz
dokazatel'stva Teorem iz razdelov II i IV, i Lemmu iz razdela II.
Punkt (a) dlya kompleksov D/B-proektivnyh T-modulej i punkt (b)
mozhno takzhe vyvesti iz Lemmy V.3 i (dokazatel'stva) Teoremy VI.1
(no chtoby dokazat' punkt (a) dlya kompleksov D/B-koploskih pravyh
T-modulej, nuzhno vse-taki ispol'zovat' Zamechanie iz razdela I).
Budem nazyvat' kompleks S-modulej vpolne S/C/A-poluploskim
(vpolne S/C/A-poluproektivnym), esli on prinadlezhit minimal'noj
triangulirovannoj podkategorii gomotopicheskoj kategorii kompleksov
S-modulej, soderzhaschej kompleksy, inducirovannye s kompleksov
A-ploskih (A-proektivnyh) C-komodulej i zamknutoj otnositel'no
beskonechnyh pryamyh summ. Analogichno, budem nazyvat' kompleks
S-kontramodulej vpolne S/C/A-poluinjektivnym, esli on prinadlezhit
minimal'noj triangulirovannoj podkategorii gomotopicheskoj kategorii
komleksov S-kontramodulej, soderzhaschej kompleksy, koinducirovannye
s kompleksov A-injektivnyh C-kontramodulej, i zamknutoj otnositel'no
beskonechnyh proizvedenij. Vsyakij vpolne S/C/A-poluploskij
kompleks A-ploskih S-modulej yavlyaetsya S/C/A-poluploskim v smysle
Zamechaniya iz razdela II. Vsyakij vpolne S/C/A-poluploskij
kompleks pravyh S-modulej yavlyaetsya S/C/A-kontraploskim, vsyakij
vpolne S/C/A-poluproektivnyj kompleks levyh S-modulej yavlyaetsya
S/C/A-proektivnym i vsyakij vpolne S/C/A-poluinjektivnyj kompleks
S-kontramodulej yavlyaetsya S/C/A-injektivnym.
Teorema 4. (a) Funktor, otobrazhayuschij faktorkategoriyu
gomotopicheskoj kategorii vpolne S/C/A-poluploskih (vpolne
S/C/A-poluproektivnyh) kompleksov S-modulej po ee minimal'noj
triangulirovannoj podkategorii, soderzhaschej kompleksy,
inducirovannye s koaciklichnyh kompleksov A-ploskih (A-proektivnyh)
C-komodulej, i zamknutoj otnositel'no beskonechnyh pryamyh summ,
v poluproizvodnuyu kategoriyu S-modulej yavlyaetsya
ekvivalentnost'yu triangulirovannyh kategorij.
(b) Funktor, otobrazhayuschij faktorkategoriyu gomotopicheskoj
kategorii vpolne S/C/A-injektivnyh kompleksov S-kontramodulej po ee
minimal'noj triangulirovannoj podkategorii, soderzhaschej kompleksy,
koinducirovannye s kontraaciklichnyh kompleksov A-injektivnyh
C-kontramodulej, i zamknutoj otnositel'no beskonechnyh proizvedenij,
v poluproizvodnuyu kategoriyu S-kontramodulej yavlyaetsya
ekvivalentnost'yu triangulirovannyh kategorij.
Dokazatel'stvo (a): pri dokazatel'stve Teoremy VI.2(a) bylo postroeno
otobrazhenie v proizvol'nyj kompleks S-modulej K iz vpolne
S/C/A-poluploskogo kompleksa S-modulej L_3L_1(K) s C-koaciklichnym
konusom. Poetomu iz Lemmy iz razdela II sleduet, chto poluproizvodnaya
kategoriya S-modulej ekvivalentna faktorkategorii gomotopicheskoj
kategorii vpolne S/C/A-poluploskih kompleksov S-modulej po tolstoj
podkategorii C-koaciklichnyh vpolne S/C/A-poluploskih kompleksov
S-modulej. Ostaetsya pokazat', chto vsyakij C-koaciklichnyj vpolne
S/C/A-poluploskij kompleks S-modulej prinadlezhit minimal'noj
triangulirovannoj podkategorii, soderzhaschej kompleksy, inducirovannye
s koaciklichnyh kompleksov A-ploskih pravyh C-komodulej, i zamknutoj
otnositel'no beskonechnyh pryamyh summ. V samom dele, esli kompleks
A-ploskih S-modulej M C-koaciklichen, to total'nyj kompleks L_3(M)
bikompleksa ... \to S\oc_C S\oc_C M \to S\oc_C M s tochnost'yu
do gomotopicheskoj ekvivalentnosti mozhet byt' poluchen iz kompleksov
S-modulej, inducirovannyh s koaciklichnyh kompleksov A-ploskih
C-komodulej, s pomosch'yu konusov, sdvigov i beskonechnyh pryamyh summ.
Esli zhe kompleks S-modulej M inducirovan s kompleksa C-komodulej, to
konus morfizma kompleksov S-modulej L_3(M) \to M styagivaem, poskol'ku
on yavlyaetsya kotenzornym proizvedeniem nad C bar-kompleksa ... \to
S\oc_C S\oc_C S \to S\oc_C S \to S, styagivaemogo kak kompleks levyh
S-modulej so strukturoj pravyh C-komodulej, na nekotoryj kompleks
levyh C-komodulej. Otsyuda sleduet, chto konus morfizma L_3(M) \to M
styagivaem takzhe i dlya lyubogo kompleksa S-modulej M, kotoryj
s tochnost'yu do gomotopicheskoj ekvivalentnosti mozhet byt' poluchen
iz kompleksov S-modulej, inducirovannyh s kompleksov C-komodulej,
s pomosch'yu konusov, sdvigov i beskonechnyh pryamyh summ. Punkt (a)
dlya vpolne S/C/A-poluploskih kompleksov dokazan; dokazatel'stvo
punkta (a) dlya vpolne S/C/A-poluproektivnyh kompleksov i punkta (b)
sovershenno analogichno.
Teorema 5. (a) Funktor M\mapsto M_T perevodit vpolne S/C/A-poluploskie
(vpolne S/C/A-poluproektivnye) kompleksy S-modulej vo vpolne
T/D/B-poluploskie (vpolne T/D/B-poluproektivnye) kompleksy T-modulej
i C-koaciklichnye vpolne S/C/A-poluploskie kompleksy S-modulej
v D-koaciklichnye kompleksy T-modulej.
(b) Funktor P\mapsto P^T perevodit vpolne S/C/A-poluinjektivnye
kompleksy S-kontramodulej vo vpolne T/D/B-poluinjektivnye kompleksy
T-kontramodulej i C-kontraaciklichnye vpolne S/C/A-poluinjektivnye
kompleksy S-kontramodulej v D-kontraaciklichnye kompleksy
T-kontramodulej.
Dokazatel'stvo (a): netrudno videt', chto funktor M\mapsto M_T
perevodit S-modul', inducirovannyj s C-komodulya L, v T-modul',
inducirovannyj s D-komodulya L_B. Otsyuda srazu sleduet pervoe
utverzhdenie; dlya dokazatel'stva vtorogo nuzhno ispol'zovat'
Teoremu 4(a) i Teoremu 2(a). Punkt (a) dokazan; dokazatel'stvo
punkta (b) sovershenno analogichno.
Pravyj proizvodnyj funktor N\mapsto N_C^R: D^s(T-mod) \to D^s(S-mod)
opredelyaetsya s pomosch'yu ogranicheniya funktora N\mapsto N_C
na polnuyu podkategoriyu kompleksov D/B-koploskih T-modulej
v gomotopicheskoj kategorii kompleksov T-modulej. Iz Teoremy 3(a) i
Teoremy 1(a) (vtoroe utverzhdenie) sleduet, chto takoj funktor korrektno
opredelen. Levyj proizvodnyj funktor M\mapsto M_T^L: D^s(S-mod)
\to D^s(T-mod) opredelyaetsya s pomosch'yu ogranicheniya funktora
M\mapsto M_T na polnuyu podkategoriyu vpolne S/C/A-poluploskih
kompleksov S-modulej v gomotopicheskoj kategorii kompleksov S-modulej.
Iz Teoremy 4(a) i Teoremy 5(a) (vtoroe utverzhdenie) sleduet, chto
takoj funktor korrektno opredelen. Analogichno, levyj proizvodnyj
funktor Q\mapsto Q^C_L: D^s(T-contra) \to D^s(S-contra) opredelyaetsya
s pomosch'yu ogranicheniya funktora Q\mapsto Q^C na polnuyu
podkategoriyu kompleksov D/B-koinjektivnyh T-kontramodulej
v gomotopicheskoj kategorii kompleksov T-kontramodulej. Pravyj
proizvodnyj funktor P\mapsto P^T_R: D^s(S-contra) \to D^s(T-contra)
opredelyaetsya s pomosch'yu ogranicheniya funktora P\mapsto P^T
na polnuyu podkategoriyu vpolne S/C/A-poluinjektivnyh kompleksov
S-kontramodulej v gomotopicheskoj kategorii kompleksov S-kontramodulej.
Sledstvie 1. (a) Proizvodnyj funktor M\mapsto M_T^L sopryazhen
sleva k proizvodnomu proizvodnomu funktoru N\mapsto N_C^R.
(b) Proizvodnyj funktor P\mapsto P^T_R sopryazhen sprava
k proizvodnomu funktoru Q\mapsto Q^C_L.
(с) Dlya lyubyh ob''ektov M iz D^s(mod-S) i Q iz D^s(T-contra) imeet
mesto estestvennyj izomorfizm CtrTor^T(M_T^L,Q) = CtrTor^S(M,Q^C_L).
Dokazatel'stvo: chtoby proverit' utverzhdenie (a), dostatochno
predstavit' ob''ekt M vpolne S/C/A-poluproektivnym kompleksom S-modulej,
a ob''ekt N kompleksom D/B-injektivnyh T-modulej. Chtoby proverit'
(b), dostatochno predstavit' ob''ekt P vpolne S/C/A-poluinjektivnym
kompleksom S-kontramodulej, a ob''ekt Q kompleksom D/B-proektivnyh
T-kontramodulej. Chtoby proverit' (c), dostatochno predstavit' ob''ekt
M vpolne S/C/A-poluploskim kompleksom pravyh S-modulej, a ob''ekt Q
kompleksom D/B-proektivnyh T-kontramodulej. V to zhe vremya, variant
utverzhdeniya (a) dlya pravyh S-modulej i pravyh T-modulej, po-vidimomu,
ne mozhet byt' dokazan takim sposobom (poskol'ku my ne predpolagaem
proektivnosti pravogo A-modulya C i koproektivnosti pravogo C-komodulya
S, a tol'ko ih ploskost' i koploskost'). Poetomu nam potrebuetsya
sleduyuschij obschij rezul'tat.
Lemma 2. Pust' H_1 i H_2 -- kategorii, F_1 i F_2 -- polnye podkategorii
v H_1 i H_2, T_1 i T_2 -- lokalizuyuschie klassy morfizmov v H_1 i H_2.
Predpolozhim, chto funktory F_i[(F_i\cap T_i)^{-1}] \to H_i[T_i^{-1}]
yavlyayutsya ekvivalentnostyami kategorij. Bolee togo, predpolozhim,
chto dlya lyubogo ob''ekta X iz H_1 najdetsya ob''ekt U iz F_1 vmeste
s morfizmom U\to X, prinadlezhaschim T_1, i dlya lyubogo ob''ekta Y
iz H_2 najdetsya ob''ekt V iz F_2 vmeste s morfizmom Y\to V,
prinadlezhaschim T_2. Nakonec, pust' \Sigma: H_1 \to H_2 -- funktor
i \Pi: H_2 \to H_1 -- funktor, sopryazhennyj sprava k \Sigma, prichem
morfizm \Sigma(t) prinadlezhit T_2 dlya lyubogo t iz F_1\cap T_1,
a morfizm \Pi(s) prinadlezhit T_1 dlya lyubogo s iz F_2\cap T_2. Togda
"pravyj proizvodnyj funktor" R\Pi: H_2[T_2^{-1}] \to H_1[T_1^{-1}],
poluchennyj s pomosch'yu ogranicheniya \Pi na F_2, sopryazhen sprava k
"levomu proizvodnomu funktoru" L\Sigma: H_1[T_1^{-1}] \to H_2[T_2^{-1}],
poluchennomu s pomosch'yu ogranicheniya \Sigma na F_1.
Dokazatel'stvo. Nam nuzhno dlya lyubyh ob''ektov U iz F_1 i V iz F_2
postroit' biekciyu mezhdu mnozhestvami Hom_{H_1[T_1^{-1}]}(U, \Pi V)
i Hom_{H_2[T_2^{-1}]}(\Sigma U, V), funktorial'nuyu po U i V.
Proizvol'nyj element pervogo mnozhestva mozhno predstavit' drob'yu
U\from U'\to \Pi V, gde morfizm U'\to U prinadlezhit T_1. Po usloviyam
Lemmy, mozhno schitat', chto U' prinadlezhit F_1. Sopostavim etomu
elementu pervogo mnozhestva element vtorogo mnozhestva, predstavlennyj
drob'yu \Sigma U \from \Sigma U' \to V. Po usloviyam Lemmy, morfizm
\Sigma U' \to Sigma U prinadlezhit T_2. Analogichno, proizvol'nyj
element vtorogo mnozhestva mozhno predstavit' drob'yu \Sigma U \to V'
\from V, gde morfizm V\to V' prinadlezhit T_2 i mozhno schitat', chto
ob''ekt V' prinadlezhit F_2. Sopostavim etomu elementu vtorogo
mnozhestva element pervogo mnozhestva, predstavlennyj drob'yu U \to
Pi V' \from Pi V. Kompozicii dvuh postroennyh otobrazhenij mezhdu
mnozhestvami morfizmov yavlyayutsya tozhdestvennymi otobrazheniyami,
poskol'ku kvadrat, obrazovannyj morfizmami U'\to U, U\to \Pi V',
U'\to \Pi V, i \Pi V \to \Pi V' i kvadrat, obrazovannyj morfizmami
\Sigma U' \to \Sigma U, \Sigma U \to V', \Sigma U' \to V, i V\to V',
kommutativny odnovremenno.
Budem nazyvat' kompleks C-koploskih S-modulej vpolne poluploskim,
esli on prinadlezhit k minimal'noj triangulirovannoj podkategorii
gomotopicheskoj kategorii kompleksov S-modulej, soderzhaschej
kompleksy, inducirovannye s kompleksov koploskih C-komodulej
i zamknutoj otnositel'no beskonechnyh pryamyh summ.
Sledstvie 2. (a) Dlya lyubyh ob''ektov M iz D^s(S-mod) i N iz
D^(mod-T) imeetsya estestvennyj izomorfizm SemiTor^S(N_C^R, M)
\to SemiTor^T(N, M_T^L).
(b) Dlya lyubyh ob''ektov M iz D^s(mod-S) i N iz D^s(T-mod) imeetsya
estestvennyj izomorfizm SemiTor^S(M, N_C^R) \to SemiTor^T(M_T^L, N).
(c) Dlya lyubyh ob''ektov N iz D^s(T-mod) i P iz D^s(S-contra) imeetsya
estestvennyj izomorfizm SemiExt_T(N, P^T_R) \to SemiExt_S(N_C^R, P).
(d) Dlya lyubyh ob''ektov M iz D^s(S-mod) i Q iz D^s(T-contra) imeetsya
estestvennyj izomorfizm SemiExt_T(M_T^L, Q) \to SemiExt_S(M, Q^C_L).
Dokazatel'stvo (a): predstavit' ob''ekt M vpolne poluploskim kompleksom
S-modulej, a ob''ekt N poluploskim kompleksom D-koploskih T-modulej,
ili dazhe predstavit' ob''ekt M vpolne S/C/A-poluploskim kompleksom
A-ploskih S-modulej, a ob''ekt N kompleksom D-koploskih T-komodulej
(imeya v vidu Zamechanie iz razdela II), ili predstavit' ob''ekt M
vpolne poluploskim kompleksom poluploskih S-modulej, a ob''ekt N
kompleksom D/B-koploskih T-modulej. (c): Predstavit' ob''ekt P
poluinjektivnym kompleksom C-koinjektivnyh S-kontramodulej (imeya v vidu
Zamechanie VI.2), a ob''ekt N poluproektivnym kompleksom D-koproektivnyh
T-modulej, ili dazhe predstavit' ob''ekt P vpolne S/C/A-poluinjektivnym
kompleksom A-injektivnyh S-kontramodulej, a ob''ekt N kompleksom
D-koproektivnyh T-modulej, ili predstavit' ob''ekt P poluinjektivnym
kompleksom poluinjektivnyh S-kontramodulej, a ob''ekt N kompleksom
D/B-koproektivnyh T-modulej. (d): Predstavit' ob''ekt M poluproektivnym
kompleksom C-koproektivnyh S-modulej, a ob''ekt Q poluinjektivnym
kompleksom D-koinjektivnyh T-kontramodulej, ili dazhe predstavit'
ob''ekt M vpolne S/C/A-poluproektivnym kompleksom A-proektivnyh
S-modulej, a ob''ekt Q kompleksom D-koinjektivnyh T-kontramodulej,
ili predstavit' ob''ekt M poluproektivnym kompleksom poluproektivnyh
S-modulej, a ob''ekt Q kompleksom D/B-koinjektivnyh T-kontramodulej.
Sledstvie 3. (a) Dlya lyubyh ob''ektov M' iz D^s(mod-S) i M'' iz
D^s(S-mod) otobrazheniya SemiTor^S(M',M'') \to
SemiTor^T(M'_T^L,M''_T^L), dostavlyaemye kompoziciyami SemiTor^S(M',M'')
\to SemiTor^S(M'_T^L_C^R,M'') = SemiTor^T(M'_T^L,M''_T^L) i
SemiTor^S(M',M'') \to SemiTor^S(M',M''_T^L_C^R) =
SemiTor^T(M'_T^L,M''_T^L), sovpadayut. Dlya lyubyh ob''ektov N' iz
D^s(mod-T) i N'' iz D^s(T-mod) otobrazheniya SemiTor^S(N'_C^R,N''_C^R)
\to SemiTor^T(N',N''), dostavlyaemye kompoziciyami
SemiTor^S(N'_C^R,N''_C^R) = SemiTor^T(N'_C^R_T^L,N'') \to
SemiTor_T(N',N'') i SemiTor^S(N'_C^R,N''_C^R) =
SemiTor^T(N',N''_C^R_T^L) \to SemiTor_T(N',N''), sovpadayut.
(b) Dlya lyubyh ob''ektov M iz D^s(S-mod) i P iz D^S(S-contra)
otobrazheniya SemiExt_T(M_T^L,P^T_R) \to SemiExt_S(M,P), dostavlyaemye
kompoziciyami SemiExt_T(M_T^L,P^T_R) = SemiExt_S(M_T^L_C^R,P) \to
SemiExt_S(M,P) i SemiExt_T(M_T^L,P^T_R) = SemiExt_S(M,P^T_R^C_L) \to
SemiExt_S(M,P), sovpadayut. Dlya lyubyh ob''ektov N iz D^s(T-mod) i
Q iz D^s(T-contra) otobrazheniya SemiExt_T(N,Q) \to
SemiExt_S(N_C^R,Q^C_L), dostavlyaemye kompoziciyami SemiExt_T(N,Q) \to
SemiExt_T(N_C^R_T^L,Q) = SemiExt_S(N_C^R,Q^C_L) i SemiExt_T(N,Q) \to
SemiExt_T(N,Q^C_L^T_R) = SemiExt_S(N_C^R,Q^C_L), sovpadayut.
Dokazatel'stvo (a): pokazhem, chto dlya lyubyh ob''ektov M' iz
D^s(mod-S) i N' iz D^s(mod-T), snabzhennyh otobrazheniem M'_T^L \to N'
(ili, chto to zhe samoe, otobrazheniem M'\to N'_C^R) i lyubyh ob''ektov
M'' iz D^s(S-mod) i N'' iz D^s(T-mod), snabzhennyh otobrazheniem
M''_T^L \to N'', otobrazheniya SemiTor^s(M',M'') \to SemiTor^T(N',N''),
dostavlyaemye kompoziciyami SemiTor^s(M',M'') \to SemiTor^s(N'_C^R,M'')
= SemiTor^T(N',M''_T^L) \to SemiTor^T(N',N'') i SemiTor^s(M',M'') \to
SemiTor^s(M',N''_C^R) = SemiTor^T(M'_T^L,N'') \to SemiTor^T(N',N''),
sovpadayut. Predstavim ob''ekty M' i N' kompleksami pravyh S-modulej
i pravyh T-modulej takim obrazom, chtoby morfizm M'_T^L\to N' mozhno
bylo predstavit' otobrazheniem kompleksa S-modulej M' v kompleks
T-modulej N', sovmestimym s otobrazheniyami A\to B, C\to D i S\to T.
Primeniv k kompleksam M' i N' konstrukcii iz dokazatel'stva Teoremy
iz razdela II, mozhno postroit' otobrazhenie iz vpolne poluploskogo
kompleksa pravyh S-modulej L_3R_2L_1(M') vo vpolne poluploskij kompleks
pravyh T-modulej L_3R_2L_1(N'), sovmestimoe s otobrazheniyami A\to B,
C\to D i S\to T i predstavlyayuschee tot zhe samyj morfizm M'_T^L\to N'
v kategorii D^s(mod-T). Poetomu mozhno schitat' M' i N' vpolne
poluploskimi kompleksami. Analogichnym obrazom, predstavim morfizm
M''\to N''_T^L v kategorii D^s(T-mod) otobrazheniem iz vpolne
poluploskogo kompleksa levyh S-modulej M'' vo vpolne poluploskij
kompleks levyh T-modulej N'', sovmestimym s otobrazheniyami A\to B,
C\to D i S\to T. Togda legko videt', chto obe rassmatrivaemye
kompozicii otobrazhenij ob''ektov SemiTor v proizvodnoj kategorii
abelevyh grupp predstavlyayutsya morfizmom kompleksov M'\os_S M''
\to N'\os_T N''. Punkt (a) dokazan; dokazatel'stvo punkta (b)
sovershenno analogichno.
Sledstvie 4. Para vzaimno-obratnyh ekvivalentnostej kategorij
R\Psi_S: D^s(S-mod) \to D^s(S-contra) i L\Phi_S: D^s(S-contra) \to
D^s(S-mod) i para vzaimno-obratnyh ekvivalentnostej kategorij
R\Psi_T: D^s(T-mod) \to D^s(T-contra) i L\Phi_T: D^s(T-contra) \to
D^s(T-mod) perevodyat funktor N\mapsto N_C^R: D^s(T-mod) \to D^s(S-mod)
v funktor Q\mapsto Q^C_L: D^s(T-contra) \to D^s(S-contra).
Dokazatel'stvo: chtoby postroit' izomorfizm (R\Psi_T N)^C_L \to
R\Psi_S(N_C^R), dostatochno predstavit' ob''ekt N kompleksom
D/B-injektivnyh T-modulej. Dalee nuzhno ispol'zovat' Lemmu V.3
i Lemmu 1(a). Chtoby postroit' izomorfizm L\Phi_S(Q^C_L) \to
(L\Phi_T Q)_C^R, dostatochno predstavit' ob''ekt Q kompleksom
D/B-proektivnyh T-kontramodulej. Chtoby pokazat', chto eti dva
izomorfizma soglasovany, dostatochno proverit', chto dlya lyubogo
morfizma Q \to R\Psi_T N i sootvetstvuyuschego emu morfizma L\Phi_T Q
\to N dva skvoznyh morfizma Q^C_L \to (R\Psi_T N)^C_L \to R\Psi_S N^C_L
i L\Phi_S Q^C_L \to (L\Phi_T Q)_C^R \to N_C nahodyatsya v sootvetstvii
mezhdu soboj, dlya chego mozhno predstavit' ob''ekty Q i N kompleksami
s vysheukazannymi svojstvami.
Takim obrazom, my postroili tri funktora mezhdu kategoriyami
D^s(S-mod) = D^s(S-contra) i D^s(T-mod) = D^s(T-contra): odin
opisannyj v Sledstvii 4, i dva sopryazhennyh k nemu sleva i sprava,
opisannye v Sledstvii 1.
Sledstvie 5. Izomorfizmy proizvodnyh funktorov iz Sledstviya VI.2
soglasovany s izomorfizmami zameny bazy, dostavlyaemymi
Sledstviyami 1, 2 i 4.
Dokazatel'stvo: chtoby pokazat', chto kompozicii izomorfizmov
SemiExt_T(M_T^L, R\Psi_T(N)) \to Ext_T(M_T^L,N) \to Ext_T(M,N_C^R)
i SemiExt_T(M_T^L, R\Psi_T(N)) \to SemiExt_S(M, R\Psi_T(N)^C_L)
\to SemiExt_S(M, R\Psi_S(N_C^R)) \to Ext_S(M, N_C^R) sovpadayut,
dostatochno predstavit' ob''ekt M poluproektivnym kompleksom
poluproektivnyh S-modulej (imeya v vidu Zamechanie VI.2), a ob''ekt N
kompleksom D/B-injektivnyh T-modulej, i ispol'zovat' Zamechanie iz
razdela II. Pri etom to obstoyatel'stvo, chto otobrazhenie
SemiHom_T(M_T, \Psi_T(N)) \to Hom_T(M_T,N) yavlyaetsya izomorfizmom,
budet vytekat' iz togo, chto ostal'nye chetyre otobrazheniya
yavlyayutsya izomorfizmami i iz kommutativnosti diagrammy. Chtoby
pokazat', chto kompozicii izomorfizmov CtrTor^S(M,Q^C_L) \to
CtrTor^T(M_T^L,Q) \to SemiTor^T(M_T^L,L\Phi_T(Q)) i CtrTor^S(M,Q^C_L)
\to SemiTor^S(M,L\Phi_S(Q^C_L)) \to SemiTor^S(M,L\Phi_T(Q)_C^R) \to
SemiTor^T(M_T^L,L\Phi_T(Q)) sovpadayut, dostatochno predstavit'
ob''ekt M vpolne poluploskim kompleksom poluploskih pravyh S-modulej,
a ob''ekt Q kompleksom D/B-proektivnyh T-kontramodulej, i ispol'zovat'
Zamechanie iz razdela II. Pri etom to obstoyatel'stvo, chto
otobrazhenie CtrTor^T(M_T^L,Q) \to SemiTor^T(M_T^L,L\Phi_T(Q))
yavlyaetsya izomorfizmom, budet vytekat' iz togo, chto ostal'nye chetyre
otobrazheniya yavlyayutsya izomorfizmami i iz kommutativnosti diagrammy.
