Комодульно-контрамодульное соответствие
Nov. 25th, 2006 02:43 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПродолжение этого -- http://posic.livejournal.com/193713.html
V. Komodul'no-kontramodul'noe sootvetstvie dlya koalgebroida nad
kol'com konechnoj gomologicheskoj razmernosti.
Pust' C -- proizvol'nyj koalgebroid nad proizvol'nym kol'com A.
C-komodul' M nazyvaetsya vpolne injektivnym otnositel'no A (vpolne
C/A-injektivnym), esli funktor Hom nad C v M perevodit A-rasschepimye
tochnye troiki C-komodulej v tochnye trojki abelevyh grupp. Legko
videt', chto C-komodul' vpolne C/A-injectiven togda i tol'ko togda,
kogda on yavlyaetsya pryamym slagaemym koinducirovannogo C-komodulya.
Analogichno, C-kontramodul' P nazyvaetsya vpolne proektivnym
otnositel'no A (vpolne C/A-proektivnym), esli funktor Hom nad C iz P
perevodit A-rasschepimye tochnye trojki C-kontramodulej v tochnye trojki
abelevyh grupp. Legko videt', chto C-kontramodul' vpolne C/A-proektiven
togda i tol'ko togda, kogda on yavlyaetsya pryamym slagaemym
inducirovannogo C-kontramodulya.
C-komodul' M nazyvaetsya injektivnym otnositel'no A (C/A-injektivnym),
esli funktor Hom nad C v M perevodit tochnye trojki A-proektivnyh
levyh C-komodulej v tochnye trojki. C-kontramodul' P nazyvaetsya
proektivnym otnositel'no A (C/A-proektivnym), esli funktor Hom nad C
iz P perevodit tochnye trojki A-injektivnyh C-kontramodulej v tochnye
trojki. (Ne vsyakij C/A-injektivnyj C-komodul' vpolne C/A-injektiven,
i ne vsyakij C/A-proektivnyj C-kontramodul' vpolne C/A-proektiven --
sm. Zamechanie VII.2.)
Kontratenzornoe proizvedenie pravogo C-komodulya N i levogo
C-kontramodulya P -- eto abeleva gruppa N\ocn_C P, opredelyaemaya kak
koyadro pary otobrazhenij iz N\ot_A Hom_A(C,P) v N\ot_A P, odno iz
kotoryh proishodit iz kontradejstviya C na P, a drugoe -- iz kodejstviya
C na N i otobrazheniya podstanovki C\ot_A Hom_A(C,P) \to P. Zametim,
chto funktor kontratenzornogo proizvedeniya tochen sprava po oboim svoim
argumentam (esli koalgebroid C yavlyaetsya proektivnym levym A-modulem).
Kontratenzornoe proizvedenie dvojstvenno k funktory Hom na kategorii
C-kontramodulej: esli N -- pravyj C-komodul', na kotorom sleva dejstuvet
komodul'nymi endomorfizmami kol'co B, P -- levyj C-kontramodul' i J --
levyj B-modul', to imeetsya estestvennyj izomorfizm Hom_B(N\ocn_C P, J)
= Hom_C(P, Hom_B(N,J)). Podstaviv B=\Z, otsyuda mozhno zaklyuchit',
chto dlya lyubogo pravogo C-komodulya N i levogo A-modulya V imeetsya
estestvennyj izomorfizm N\ocn_C Hom_A(C,V) = N\ot_A V.
Pust' C -- koalgebroid nad kol'com A i D -- koalgebroid nad kol'com B.
Esli E -- C-D-bikomodul' i M -- levyj C-komodul', to Hom_C(E,M)
yavlyaetsya podkontramodulem levogo D-kontramodulya Hom_A(E,M).
Analogichno, esli E -- D-C-bikomodul' i P -- levyj C-kontramodul',
to E\ocn_C P yavlyaetsya faktorkomodulem levogo D-komodulya E\ot_A P.
Dlya lyubogo D-C-bikomodulya E, levogo C-kontramodulya P i levogo
D-komodulya M imeetsya estestvennyj izomorfizm Hom_D(E\ocn_C P, M) =
Hom_C(P, Hom_D(E,M)).
V chastnosti, otsyuda sleduet, chto mezhdu kategoriyami levyh
C-komodulej i levyh C-kontramodulej imeetsya para sopryazhennyh
funktorov \Psi_C: M\mapsto Hom_C(C,M) i \Phi_C: P\mapsto C\ocn_C P.
Netrudno proverit', chto ogranicheniya funktorov \Psi_C i \Phi_C
na podkategorii vpolne C/A-injektivnyh C-komodulej i vpolne
C/A-proektivnyh C-kontramodulej yavlyayutsya vzaimno-obratnymi
ekvivalentnostyami mezhdu etimi podkategoriyami.
Nachinaya s etogo momenta my budem predpolagat', chto koalgebroid C
yavlyaetsya proektivnym levym i ploskim pravym A-modulem.
Netrudno videt', chto C-komodul' injektiven (kak ob''ekt abelevoj
kategorii C-komodulej) togda i tol'ko togda, kogda on yavlyaetsya
pryamym slagaemym C-komodulya, koinducirovannogo s injektivnogo
A-modulya. Vsyakij C-komodul' yavlyaetsya podkomodulem injektivnogo
C-komodulya. Analogichno, C-kontramodul' proektiven togda i tol'ko
togda, kogda on yavlyaetsya pryamym slagaemym C-kontramodulya,
inducirovannogo s proektivnogo A-modulya. Vsyakij C-kontramodul'
yavlyaetsya surjektivnym obrazom proektivnogo C-kontramodulya.
Levyj C-kontramodul' P nazyvaetsya kontraploskim, esli funktor
kontratenzornogo proizvedeniya s P tochen na kategorii pravyh
C-komodulej. Legko videt', chto vsyakij C-kontramodul', inducirovannyj
s ploskogo A-modulya, yavlyaetsya kontraploskim. Vsyakij proektivnyj
C-kontramodul' yavlyaetsya kontraploskim. Levyj C-kontramodul' P
nazyvaetsya vpolne kontraploskim otnositel'no A, esli funktor
kontratenzornogo proizvedeniya s P perevodit tochnye trojki pravyh
C-komodulej, kotorye kak tochnye trojki pravyh A-modulej sohranyayut
tochnost' pri tenzornom umnozhenii na lyuboj levyj A-modul',
v tochnye trojki. Legko videt', chto vsyakij vpolne C/A-proektivnyj
C-kontramodul' yavlyaetsya vpolne kontraploskim otnositel'no A. Levyj
C-kontramodul' P nazyvaetsya kontraploskim otnositel'no A, esli funktor
kontratenzornogo proizvedeniya s P perevodit tochnye trojki A-ploskih
pravyh C-komodulej v tochnye trojki. Netrudno videt', chto vsyakij
C/A-proektivnyj C-kontramodul' yavlyaetsya kontraploskim otnositel'no A.
Budem nazyvat' levyj C-komodul' M kvazikoploskim, esli funktor
kotenzornogo proizvedeniya s nim tochen sprava na kategorii pravyh
C-komodulej, i kvazikoproektivnym, esli funktor Cohom iz M tochen sleva
na kategorii levyh C-kontramodulej. Budem nazyvat' levyj C-kontramodul'
P kvazikoinjektivnym, esli funktor Cohom v P tochen sleva na kategorii
levyh C-komodulej. Netrudno videt', chto vsyakij vpolne C/A-injektivnyj
C-komodul' yavlyaetsya kvazikoproektivnym, vsyakij kvazikoproektivnyj
C-komodul' yavlyaetsya kvazikoploskim, i vsyakij vpolne C/A-proektivnyj
C-kontramodul' yavlyaetsya kvazikoinjektivnym.
Pust' D -- koalgebroid nad kol'com B, yavlyayuschijsya proektivnym
levym B-modulem i ploskim pravym B-modulem.
Predlozhenie 1. Dlya lyubogo pravogo D-komodulya N, D-C-bikomodulya E
i levogo C-kontramodulya P imeetsya estestvennoe otobrazhenie
(N\oc_D E)\ocn_C P \to N\oc_D (E\ocn_C P), kotoroe yavlyaetsya
izomorfizmom, po krajnej mere, v sleduyuschih sluchayah:
(a) levyj C-kontramodul' P kontraploskij;
(b) levyj C-kontramodul' P vpolne kontraploskij otnositel'no A i
E kak levyj D-komodul' so strukturoj pravogo A-modulya koinducirovan
s nekotorogo B-A-bimodulya;
(c) levyj C-kontramodul' P kontraploskij otnositel'no A, pravyj
B-modul' N ploskij i E kak levyj D-komodul' so strukturoj pravogo
A-modulya koinducirovan s A-ploskogo B-A-bimodulya;
(d) levyj C-kontramodul' P kontraploskij otnositel'no A, pravyj
B-modul' N ploskij, pravyj A-modul' E ploskij, levyj D-komodul' E
koploskij otnositel'no B i kol'co A imeet konechnuyu gomologicheskuyu
razmernost';
(e) pravyj D-komodul' N kvazikoploskij.
Predlozhenie 2. Dlya lyubogo levogo D-komodulya L, C-D-bikomodulya E
i levogo C-komodulya M imeetsya estestvennoe otobrazhenie
Cohom_D(L,Hom_C(E,M)) \to Hom_C(E\oc_D L, M), kotoroe yavlyaetsya
izomorfizmom, po krajnej mere, v sleduyuschih sluchayah:
(a) levyj C-komodul' M injektiven;
(b) levyj C-komodul' M vpolne injektiven otnositel'no A i E kak pravyj
D-komodul' so strukturoj levogo A-modulya koinducirovan s nekotorogo
A-B-bimodulya;
(c) levyj C-komodul' M injektiven otnositel'no A, levyj B-modul' L
proektiven i E kak pravyj D-komodul' so strukturoj levogo A-modulya
koinducirovan s A-proektivnogo A-B-bimodulya;
(d) levyj C-komodul' M injektiven otnositel'no A, levyj B-modul' L
proektiven, levyj A-modul' E proektiven, pravyj D-komodul' E koploskij
otnositel'no B, i kol'co A imeet konechnuyu gomologicheskuyu
razmernost';
(e) levyj D-komodul' L kvazikoproektiven.
Predlozhenie 3. Dlya lyubogo levogo C-kontramodulya P, D-C-bikomodulya
E i levogo D-kontramodulya Q imeetsya estestvennoe otobrazhenie
Cohom_D(E\ocn_C P, Q) \to Hom_C(P,Cohom_D(E,Q)) kotoroe yavlyaetsya
izomorfizmom, po krajnej mere, v sleduyuschih sluchayah:
(a) levyj C-kontramodul' P proektiven;
(b) levyj C-kontramodul' P vpolne proektiven otnositel'no A i E kak
levyj D-komodul' so strukturoj pravogo A-modulya koinducirovan
s nekotorogo A-B-bimodulya;
(c) levyj C-kontramodul' P proektiven otnositel'no A, levyj B-modul' Q
injektiven i i E kak levyj D-komodul' so strukturoj pravogo
A-modulya koinducirovan s A-ploskogo B-A-bimodulya;
(d) levyj C-kontramodul' P proektiven otnositel'no A, levyj B-modul' Q
injektiven, pravyj A-modul' E ploskij, levyj D-komodul' E koproektiven
otnositel'no B, i kol'co A imeet konechnuyu gomologicheskuyu
razmernost';
(e) levyj D-kontramodul' Q kvazikoinjektiven.
Dokazatel'stvo Predlozhenij 1-3 ne predstavlyaet trudnosti i ispol'zuet
idei, razvitye pri dokazatel'stve Predlozhenij I.1 i III.1.
Lemma 1. (a) C-komodul' kvazikoproektiven togda i tol'ko togda, kogda
on vpolne C/A-injektiven. Dalee, C-komodul' koproektiven togda
i tol'ko togda, kogda on yavlyaetsya pryamym slagaemym C-komodulya,
koinducirovannogo s proektivnogo A-modulya.
(b) C-kontramodul' kvazikoinjektiven togda i tol'ko togda, kogda on
vpolne C/A-proektiven. Dalee, C-kontramodul' koinjektiven togda
i tol'ko togda, kogda on yavlyaetsya pryamym slagaemym C-kontramodulya,
inducirovannogo s injektivnogo A-modulya.
Dokazatel'stvo (a): pust' M -- kvazikoproektivnyj C-komodul'.
Oboznachim cherez l otobrazhenie kodejstviya M \to C\ot_A M; eto
A-rasschepimyj injektivnyj morfizm kvazikoproektivnyh C-komodulej.
Soglasno Predlozheniyu 2(e), imeem izomorfizm morfizmov Hom_C(l,M) =
Cohom_C(l,Hom_C(C,M)). No otobrazhenie Cohom_C(l,P) surjektivno
dlya lyubogo C-kontramodulya P. Poetomu i otobrazhenie Hom_C(l,M)
surjektivno, tak chto morfizm l rasscheplyaetsya i komodul' M
vpolne injektiven otnositel'no A. Teper' esli M koproektiven, to iz
Predlozheniya 3(b) vidno, chto C-kontramodul' P=\Psi_C(M) proektiven.
Sledovatel'no, on yavlyaetsya pryamym slagaemym kontramodulya,
inducirovannogo s proektivnogo A-modulya, a znachit M yavlyaetsya
pryamym slagaemym komodulya, koinducirovannogo s proektivnogo A-modulya.
Dokazatel'stvo punkta (b): pust' P -- kvazikoinjektivnyj C-kontramodul'.
Oboznachim cherez q otobrazhenie kontradejstviya Hom_A(C,P) \to P; eto
A-rasschepimyj surjektivnyj morfizm kvazikoinjektivnyh C-kontramodulej.
Soglasno Predlozheniyu 3(e), imeem izomorfizm morfizmov Hom_C(P,q) =
Cohom_C(C\ocn_C P, q). No otobrazhenie Cohom_C(M,q) surjektivno dlya
lyubogo C-komodulya M. Poetomu i otobrazhenie Hom_C(P,q) surjektivno,
tak chto morfizm q rasscheplyaetsya i kontramodul' P vpolne proektiven
otnositel'no A. Teper' esli P koinjektiven, to iz Predlozheniya 2(b)
vidno, chto C-komodul' M = \Phi(P) injektiven. Sledovatel'no,
on yavlyaetsya pryamym slagaemym komodulya, koinducirovannogo s
injektivnogo A-modulya, a znachit P yavlyaetsya pryamym slagaemym
kontramodulya, inducirovannogo s injektivnogo A-modulya.
Dlya lyubogo pravogo C-komodulya N i levogo C-kontramodulya P
oboznachim cherez Ctrtor^C_i(N,P) posledovatel'nost' levyh proizvodnyh
funktorov po vtoromu argumentu ot tochnogo sprava funktora N\ocn_C P.
Po opredeleniyu, gruppy Ctrtor^C_i(N,P) vychislyayutsya s pomosch'yu
levoj proektivnoj rezol'venty C-kontramodulya P. Netrudno videt',
chto funktor Ctrtor^C_*(N,P) sopostavlyaet tochnym trojkam po oboim
svoim argumentam dlinnye tochnye posledovatel'nosti gomologij.
Vopros. Mozhno li vychislyat' proizvodnyj funktor CtrTor s pomosch'yu
kontraploskih (a ne tol'ko proektivnyh) rezol'vent vtorogo argumenta?
Drugimi slovami, verno li, chto Ctrtor^C_i(N,P) = 0 dlya lyubogo
pravogo C-komodulya N, kontraploskogo levogo C-komodulya P, i vseh i>0?
Otmetim, chto v sluchae, kogda A yavlyaetsya polem, prichem levaya
i pravaya struktury A-modulya na C sovpadayut, vsyakij kontraploskij
C-kontramodul' proektiven. Drugoj svyazannyj vopros: yavlyayutsya li
Ctrtor^C_i(N,P) stirayuschimi funktorami svoego pervogo argumenta?
Nachinaya s etogo momenta my budem predpolagat', chto kol'co A imeet
konechnuyu gomologicheskuyu razmernost'.
Lemma 2. (a) C-komodul' M C/A-injektiven togda i tol'ko togda,
kogda dlya lyubogo A-proektivnogo C-komodulya L gruppy Ext_C^i(L,M),
poschitannye v abelevoj kategorii C-komodulej, ravny nulyu dlya
vseh i>0. V chastnosti, funktor Hom nad C iz A-proektivnogo
C-komodulya L perevodit tochnye trojki C/A-injektivnyh C-komodulej
v tochnye trojki. Krome togo, faktorkomodul' C/A-injektivnogo
C-komodulya po ego C/A-injektivnomu podkomodulyu yavlyaetsya
C/A-injektivnym C-komodulem.
(b) C-kontramodul' P C/A-proektiven togda i tol'ko togda, kogda
dlya lyubogo A-injektivnogo C-kontramodulya Q gruppy Ext_C^i(P,Q),
poschitannye v abelevoj kategorii C-kontramodulej, ravny nulyu dlya
vseh i>0. V chastnosti, funktor Hom nad C v A-injektivnyj
C-kontramodul' Q perevodit tochnye trojki C/A-proektivnyh
C-kontramodulej v tochnye trojki. Yadro syurjektivnogo otobrazheniya
C/A-proektivnogo C-kontramodulya v C/A-proektivnyj C-kontramodul'
yavlyaetsya C/A-proektivnym C-kontramodulem.
(с) Dlya lyubogo C/A-proektivnogo C-kontramodulya P i lyubogo
A-ploskogo pravogo C-komodulya N gruppy Ctrtor^C_i(N,P) ravny nulyu
dlya vseh i>0. V chastnosti, funktor kontratenzornogo proizvedeniya
s A-ploskim C-komodulem N perevodit tochnye trojki C/A-proektivnyh
C-kontramodulej v tochnye trojki.
Dokazatel'stvo (a): chast' "togda" pervogo utverzhdeniya ochevidna;
dokazhem "tol'ko togda". Proizvol'nyj element Ext_C^i(L,M) mozhet byt'
predstavlen otobrazheniem stepeni n iz tochnogo kompleksa C-komodulej
... \to L_i \to L_{i-1} \to ... \to L_0 \to L \to 0 v C-komodul' M.
Soglasno Lemme III.1(a), vsyakij C-komodul' yavlyaetsya surjektivnym
obrazom A-proektivnogo C-komodulya. Poetomu mozhno schitat', chto
C-komoduli L_j proektivny nad A. Teper' esli C-komodul' L takzhe
A-proektiven, to nash tochnyj kompleks C-komodulej sostavlen iz
tochnyh troek A-proektivnyh C-komodulej, tak chto esli C-komodul' M
C/A-injektiven, to kompleks gomomorfizmov v nego iz etogo kompleksa
C-komodulej aciklichen. Chtoby dokazat' poslednee utverzhdenie,
dostatochno zametit', chto esli M' soderzhitsya v M i Ext_C^i(L,M') =
Ext_C^i(L,M) = 0 dlya vseh i>0, to Ext_C^i(L,M/M') = 0 dlya vseh i>0.
Punkt (a) dokazan; dokazatel'stvo punkta (b) sovershenno analogichno.
Chtoby dokazat' (c), zametim, chto esli na pravom C-komodule N
dejstvuet sleva komodul'nymi endomorizmami kol'co B, to dlya lyubogo
levogo C-kontramodulya P i lyubogo injektivnogo levogo B-modulya J
imeetsya estestvennyj izomorfizm Hom_B(Ctrtor^C_i(N,P),J) =
Ext_C^i(P,Hom_B(N,J). Poetomu pervoe utverzhdenie punkta (c) sleduet
iz pervogo utverzhdeniya punkta (b).
Teorema 1. Dlya lyubogo C/A-injektivnogo levogo C-komodulya M
C-kontramodul' \Psi_C(M) C/A-proektiven i dlya lyubogo C/A-proektivnogo
levogo C-kontramodulya P C-komodul' \Phi_C(P) C/A-proektiven.
Ogranicheniya funktorov \Psi_C i \Phi_C na podkategorii C/A-injektivnyh
C-komodulej i C/A-proektivnyh C-kontramodulej yavlyayutsya
vzaimno-obratnymi ekvivalentnostyami mezhdu etimi podkategoriyami.
Dokazatel'stvo. Pokazhem snachala, chto injektivnaya razmernost'
lyubogo C/A-injektivnogo C-komodulya M v abelevoj kategorii C-komodulej
ne prevoshodit gomologicheskuyu razmernost' d kol'ca A. V samom dele,
iz Lemmy III.1(a) sleduet, chto lyuboj levyj C-komodul' N imeet
konechnuyu rezol'ventu 0\to L_d\to L_{d-1}\to ... \to L_0\to N\to 0
iz A-proektivnyh C-komodulej L_j, a poskol'ku Ext^i(L_j,M) = 0 dlya
vseh j i vseh i>0, kompleks Hom_C(L_*,M) vychislyaet Ext_C^*(N,M).
Poetomu C-komodul' M imeet konechnuyu injektivnuyu rezol'ventu, i tem
bolee suschestvuet konechnaya rezol'venta 0\to M\to E^0\to E^1\to ...
\to E^d\to 0, sostoyaschaya iz vpolne C/A-injektivnyh C-komodulej E^j.
Soglasno Lemme 2(a), eta tochnaya posledovatel'nost' sostavlena iz
tochnyh troek C/A-injektivnyh C-komodulej, kotorye funktor \Psi_C
perevodit v tochnye trojki; tak chto posledovatel'nost' 0 \to \Psi_C(M)
\to \Psi_C(E^0) \to ... \to \Psi_C(E_d) \to 0 tozhe tochna. Poskol'ku
C-kontramoduli \Psi_C(E^j) vpolne C/A-proektivny, iz Lemmy 2(b)
vytekaet, chto C-kontramodul' \Psi_C(M) C/A-proektiven i poslednyaya
tochnaya posledovatel'nost' sostavlena iz tochnyh troek C/A-proektivnyh
C-kontramodulej. Poetomu iz Lemmy 2(c) sleduet, chto posledovatel'nost'
0 \to \Phi_C\Psi_C(M) \to \Phi_C\Psi_C(E^0) \to ... \to
\Phi_C\Psi_C(E_d) \to 0 tozhe tochna. Teper' poskol'ku estestvennye
otobrazheniya \Phi_C\Psi_C(E_j) \to E_j yavlyayutsya izomorfizmami,
otobrazhenie \Phi_C\Psi_C(M) \to M -- tozhe izomorfizm. Ostavshiesya
utverzhdeniya dokazyvayutsya sovershenno analogichnym obrazom.
Lemma 3. (a) Vsyakij C/A-injektivnyj C-komodul' C/A-koproektiven.
(b) Vsyakij C/A-proektivnyj C-kontramodul' C/A-koinjektiven.
Dokazatel'stvo (a): iz Predlozheniya 3(c) sleduet, chto dlya lyubogo
C/A-proektivnogo C-kontramodulya P C-komodul' \Phi_C(P) koproektiven
otnositel'no A. Teper' esli C-komodul' M C/A-injektiven, to
C-kontramodul' \Psi_C(M) C/A-proektiven i M = \Phi_C(P) soglasno
Teoreme 1. Dokazatel'stvo (b): iz Predlozheniya 2(c) sleduet, chto
dlya lyubogo C/A-injektivnogo C-komodulya M C-kontramodul' \Psi_C(M)
koinjektiven otnositel'no A. Ostaetsya primenit' Teoremu 1.
Teorema 2. (a) Funktor, otobrazhayuschij faktorkategoriyu
gomotopicheskoj kategorii kompleksov C/A-injektivnyh C-komodulej
po ee minimal'noj triangulirovannoj podkategorii, soderzhaschej
vse total'nye kompleksy tochnyh troek kompleksov C/A-injektivnyh
C-komodulej, v koproizvodnuyu kategoriyu C-komodulej yavlyaetsya
ekvivalentnost'yu triangulirovannyh kategorij.
(b) Funktor, otobrazhayuschij faktorkategoriyu gomotopicheskoj
kategorii kompleksov C/A-proektivnyh C-kontramodulej po ee minimal'noj
triangulirovannoj podkategorii, soderzhaschej vse total'nye kompleksy
tochnyh troek kompleksov C/A-proektivnyh C-kontramodulej,
v kontraproizvodnuyu kategoriyu C-kontramodulej yavlyaetsya
ekvivalentnost'yu triangulirovannyh kategorij.
Dokazatel'stvo (a): dlya lyubogo kompleksa C-komodulej M total'nyj
kompleks bikompleksa C\ot_A M \to C\ot_A C\ot_A M \to ... yavlyaetsya
kompleksom C/A-injektivnyh C-komodulej, v kotoryj kompleks M
otobrazhaetsya, prichem konus etogo otobrazheniya koaciklichen.
Poetomu iz Lemmy iz razdela II sleduet, chto koproizvodnya kategoriya
C-komodulej ekvivalentna faktorkategorii gomotopicheskoj kategorii
kompleksov C/A-injektivnyh C-komodulej po tolstoj podkategorii
koaciklichnyh kompleksov C/A-injektivnyh C-komodulej. Ostaetsya
pokazat', chto eta tolstaya podkategoriya sovpadaet s minimal'noj
triangulirovannoj podkategoriej, soderzhaschej total'nye kompleksy
tochnyh troek kompleksov C/A-injektivnyh C-komodulej. Dlya etogo
my postroim poluortogonal'noe razlozhenie gomotopicheskoj kategorii
kompleksov C/A-injektivnyh C-komodulej, pravoj chast'yu kotorogo budet
minimal'naya triangulirovannaya podkategoriya, soderzhaschaya total'nye
kompleksy tochnyh troek kompleksov C/A-injektivnyh C-komodulej,
a levoj chast'yu -- gomotopicheskaya kategoriya kompleksov injektivnyh
C-komodulej. Poskol'ku koaciklichnye kompleksy C-komodulej ortogonal'ny
sleva k kompleksam injektivnyh C-komodulej, otsyuda budet sledovat',
chto vsyakij koaciklichnyj kompleks C/A-injektivnyh C-komodulej lezhit
v minimal'noj triangulirovannoj podkategorii, soderzhaschej total'nye
kompleksy tochnyh troek kompleksov C/A-injektivnyh C-komodulej.
V samom dele, pust' M -- kompleks C/A-injektivnyh C-komodulej. Vyberem
dlya kazhdogo n vlozhenie C-komodulya M^n v injektivnyj C-komodul' J^n.
Rassmotrim kompleks K=K(M), chleny kotorogo sut' K^n = J^n\op J^{n+1},
a differencial d_K^n: K^n\to K^{n+1} otobrazhaet tozhdestvenno J^{n+1}
v sebya i zanulyaetsya v ogranichenii na J^n i v proekcii na J^{n+2}.
Imeetsya estestvennoe injektivnoe otobrazhenie kompleksov M\to K,
sostavlennoe iz otobrazhenij C-komodulej M^n\to J^n \op J^{n+1},
komponenty kotoryh sut' j^n i j^{n+1}d_M^n. Primenim k kompleksu K(M)/M
tu zhe samuyu konstrukciyu. Pust' K_0 = K(M), K_1 = K(K_0/M), i tak
dalee. Kak bylo pokazano pri dokazatel'stve Teoremy 1, injektivnaya
razmernost' lyubogo C/A-injektivnogo C-komodulya ne prevoshodit
gomologicheskoj razmernosti d kol'ca A. Poetomu kompleks L_d =
coker(K_{d-2}\to K_{d-1}) budet kompleksom injektivnyh C-komodulej.
Teper' yasno, chto total'nyj kompleks bikompleksa K_0\to K_1\to ...
\to K_{d-1}\to L_d yavlyaetsya kompleksom injektivnyh C-komodulej,
a iz Lemmy 2(a) sleduet, chto total'nyj kompleks bikompleksa M\to K_0
\to ... \to K_{d-1} \to L_d lezhit v triangulirovannoj podkategorii,
porozhdennoj total'nymi kompleksami tochnyh troek kompleksov
C/A-injektivnyh C-komodulej. Punkt (a) dokazan; dokazatel'stvo
punkta (b) sovershenno analogichno.
Zamechanie 1. Spravedliv analog Teoremy 1 dlya kompleksov vpolne
C/A-injektivnyh C-komodulej i kompleksov vpolne C/A-proektivnyh
C-kontramodulej. Bolee togo, eti utverzhdeniya mozhno usilit'
sleduyuschim obrazom. Koproizvodnaya kategoriya C-komodulej
ekvivalentna faktorkategorii gomotopicheskoj kategorii kompleksov
vpolne C/A-injektivnyh C-komodulej po ee minimal'noj triangulirovannoj
podkategorii, soderzhaschej total'nye kompleksy takih tochnyh troek
kompleksov koinducirovannyh C-komodulej, kotorye v kazhdom chlene
kompleksov yavlyayutsya tochnymi trojkami C-komodulej, koinducirovannymi
s tochnyh troek A-modulej. Analogichno, kontraproizvodnaya kategoriya
C-kontramodulej ekvivalentna faktorkategorii gomotopicheskoj kategorii
kompleksov vpolne C/A-proektivnyh C-kontramodulej po ee minimal'noj
triangulirovannoj podkategorii, soderzhaschej total'nye kompleksy takih
tochnyh troek inducirovannyh C-kontramodulej, kotorye v kazhdom chlene
kompleksov yavlyayutsya tochnymi trojkami C-kontramodulej,
inducirovannymi s tochnyh troek A-modulej.
Sledstvie 1. Ogranichenie funktorov \Psi_C i \Phi_C (primenyaemyh
k kompleksam poobjektno) na gomotopicheskuyu kategoriyu kompleksov
C/A-injektivnyh C-komodulej i gomotopicheskuyu kategoriyu kompleksov
C/A-proektivnyh C-kontramodulej opredelyaet proizvodnye funktory
R\Psi_C i L\Phi_C mezhdu koproizvodnoj kategoriej levyh C-komodulej
i kontraproizvodnoj kategoriej levyh C-kontramodulej, yavlyayuschiesya
vzaimno-obratnymi ekvivalentnostyami mezhdu etimi triangulirovannymi
kategoriyami.
Dokazatel'stvo: ispol'zovat' Teoremu 1, Teoremu 2 i Lemmu 2.
Kontratenzornym proizvedeniem kompleksa N pravyh C-komodulej i kompleksa
P levyh C-kontramodulej nazyvaetsya total'nyj kompleks bikompleksa
N^i\ocn_C P^j, obrazovannyj s pomosch'yu vzyatiya beskonechnyh pryamyh
summ vdol' diagonalej. Iz dokazatel'stva Teoremy 2 vidno, chto
koproizvodnaya kategoriya C-komodulej ekvivalentna gomotopicheskoj
kategorii kompleksov injektivnyh C-komodulej. Analogichno,
kontraproizvodnaya kategoriya C-kontramodulej ekvivalentna
gomotopicheskoj kategorii kompleksov proektivnyh C-kontramodulej.
Proizvodnyj funktor kontratenzornogo proizvedeniya CtrTor^C(N,P)
na proizvedenii koproizvodnoj kategorii pravyh C-komodulej i
kontraproizvodnoj kategorii levyh C-kontramodulej opredelyaetsya
s pomosch'yu ogranicheniya funktora kontratenzornogo proizvedeniya
na proizvedenie gomotopicheskoj kategorii kompleksov pravyh C-komodulej
na gomotopicheskuyu kategoriyu kompleksov proektivnyh levyh
C-kontramodulej. Poskol'ku vsyakij proektivnyj C-kontramodul'
yavlyaetsya kontraploskim, eto ogranichenie faktorizuetsya cherez
koproizvodnuyu kategoriyu pravyh C-komodulej po pervomu argumentu.
Zamechanie 2. Otmetim, chto dlya lyubogo pravogo C-komodulya N i levogo
C-kontramodulya P gruppy CtrTor_i^C(N,P) sovpadayut s gruppami gomologij
kompleksa CtrTor^C(N,P). Analogichnym obrazom, netrudno videt', chto
dlya lyubyh levyh C-komodulej L i M gruppy Ext^n_C(L,M), poschitannye
v abelevoj kategorii C-komodulej, sovpadayut s gruppami gomomorfizmov
Hom_{D'(C-comod)}(L,M[n]) v koproizvodnoj kategorii D'(C-comod), a dlya
lyubyh levyh C-kontramodulej P i Q gruppy Ext^n_C(P,Q), poschitannye v
abelevoj kategorii C-kontramodulej, sovpadayut s gruppami gomomorfizmov
Hom_{D''(C-contra)}(P,Q[n]) v kontraproizvodnoj kategorii D''(C-contra).
Bolee togo, analogichnye utverzhdeniya spravedlivy dlya funktorov Hom
v poluproizvodnyh kategoriyah S-modulej i S-kontramodulej.
Zamechanie 3. Proizvodnyj funktor CtrTor mozhno ekvivalentnym obrazom
opredelit', ogranichiv funktor kontratenzornogo proizvedeniya na
proizvedenie gomotopicheskoj kategorii kompleksov A-ploskih pravyh
C-komodulej na gomotopicheskuyu kategoriyu kompleksov C/A-proektivnyh
levyh C-kontramodulej. V samom dele, esli N -- kompleks A-ploskih
pravyh C-komodulej i P -- kontraaciklichnyj kompleks C/A-proektivnyh
levyh C-kontramodulej, to kompleks P s tochnost'yu do gomotopicheskoj
ekvivalentnosti mozhet byt' poluchen iz tochnyh troek kompleksov
C/A-proektivnyh C-kontramodulej s pomosch'yu operacij konusa i sdviga,
tak chto kompleks N\ocn_C P aciklichen soglasno Lemme 2(c). Teper'
esli N -- kompleks A-ploskih C-komodulej, a P -- kompleks
C/A-proektivnyh C-kontramodulej, i esli P'\to P -- kakoj-nibud' morfizm
iz kompleksa proektivnyh C-komodulej P' v P s kontraaciklichnym konusom,
to otobrazhenie N\ocn_C P' \to N\ocn_C P yavlyaetsya kvaziizomorfizmom.
V chastnosti, esli N koaciklichen, to kompleks N\ocn_C P' aciklichen,
tak chto i N\ocn_C P aciklichen. Analogichno, funktor Hom
v koproizvodnoj kategorii C-komodulej mozhno vychislit', ogranichiv
funktor Hom v gomotopicheskoj kategorii C-komodulej na proizvedenie
gomotopicheskoj kategorii A-proektivnyh C-komodulej na gomotopicheskuyu
kategoriyu kompleksov C/A-injektivnyh C-komodulej. Nakonec, funktor
Hom v kontraproizvodnoj kategorii C-kontramodulej mozhno vychislit',
ogranichiv funktor Hom v gomotopicheskoj kategorii C-kontramodulej na
proizvedenie gomotopicheskoj kategorii C/A-proektivnyh C-kontramodulej
na gomotopicheskuyu kategoriyu A-injektivnyh C-kontramodulej.
Opredelim funktor Cotor na proizvedenii koproizvodnyh kategorij pravyh
i levyh C-komodulej, primeniv konstrukciyu funktora SemiTor iz
razdela II k sluchayu, kogda algebra S nad koalgebroidom C sovpadaet
s C. Analogichno, opredelim funktor Coext na proizvedenii koproizvodnoj
kategorii levyh C-komodulej i kontraproizvodnoj kategorii levyh
C-kontramodulej, primeniv konstrukciyu funktora SemiExt iz razdela IV
k sluchayu, kogda algebra S nad koalgebroidom C sovpadaet s C.
Sledstvie 2. Imeet mesto kanonicheskij izomorfizm funktorov
na proizvedenii koproizvodnoj kategorii levyh C-komodulej
i kontraproizvodnoj kategorii levyh C-kontramodulej: Coext_C(M,P) =
Ext_C(M, L\Phi_C(P)) = Ext_C(R\Psi_C(M), P). Analogichnym obrazom,
imeetsya kanonicheskij izomorfizm funktorov na proizvedenii
koproizvodnoj kategorii pravyh C-komodulej i koproizvodnoj kategorii
levyh C-komodulej: Cotor^C(N,M) = Ctrtor^C(N, R\Psi_C(M)).
Dokazatel'stvo: ochevidno, chto dostatochno postroit' izomorfizmy
Coext_C(L, R\Psi_C(M)) = Ext_C(L,M), Coext_C(L\Phi_C(P), Q) =
Ext_C(P,Q) i Cotor^C(N, L\Phi_C(P)) = Ctrtor^C(N,P). V pervom sluchae
predstavim ob''ekt M kompleksom injektivnyh C-komodulej, i primenim
Predlozhenie 2(a); ili predstavim ob''ekt L kompleksom koproektivnyh
C-komodulej, a objekt M kompleksom C/A-injektivnyh C-komodulej (imeya
v vidu Zamechanie 3) i primenim Predlozhenie 2(c) ili (e). Vo vtorom
sluchae predstavim ob''ekt P kompleksom proektivnyh C-kontramodulej,
i primenim Predlozhenie 3(a); ili predstavim P kompleksom
C/A-proektivnyh C-kontramodulej, a Q kompleksom koinjektivnyh
C-kontramodulej, i primenim Predlozhenie 3(c) ili (e). V poslednem
sluchae predstavim ob''ekt P kompleksom proektivnyh C-kontramodulej
i primenim Predlozhenie 1(a); ili predstavim ob''ekt N kompleksom
koploskih C-komodulej (ili dazhe tol'ko kompleksom A-ploskih
C-komodulej, imeya v vidu Zamechanie iz razdela II), a ob''ekt P
kompleksom C/A-proektivnyh kontramodulej, i primenim Predlozhenie 1(c)
ili (e). Nakonec, chtoby pokazat', chto tri poparnyh izomorfizma mezhdu
funktorami Coext_C(M,P), Ext_C(M, L\Phi_C(P)) i Ext_C(R\Psi_C(M), P)
obrazuyut kommutativnuyu diagrammu, mozhno predstavit' ob''ekt M
kompleksom koproektivnyh C-komodulej, a ob''ekt P kompleksom
koinjektivnyh C-kontramodulej (imeya v vidu Lemmu 1).
VI. Komodul'no-kontramodul'noe sootvetstvie dlya algebry nad
koalgebroidom nad kol'com.
Pust' C -- koalgebroid nad kol'com A, proektivnyj nad A sleva i ploskij
nad A sprava, i pust' S -- algebra nad C, koproektivnaya nad C sleva.
Kontratenzornym proizvedeniem N\ocn_S P pravogo S-modulya N i levogo
S-kontramodulya P nazyvaetsya koyadro sleduyuschej pary otobrazhenij
iz (N\oc_C S)\ocn_S P v N\ocn_C P. Pervoe otobrazhenie inducirovano
kodejstviem N\oc_C S \to N. Vtoroe yavlyaetsya kompoziciej
otobrazheniya (N\oc_C S)\ocn_C P \to (N\oc_C S)\ocn_C Cohom_C(S,P),
inducirovannogo kontradejstviem P\to Cohom_C(S,P), i otobrazheniya
\phi: (N\oc_C S)\ocn_C Cohom_C(S,P) \to N\ocn_C P, kotoroe zavisit
tol'ko ot struktur C-komodulya i C-kontramodulya na N, S i P.
Stroitsya eto otobrazhenie tak. Rassmotrim kompoziciyu otobrazhenij
\psi: (N\oc_C S)\ot_A Hom_A(S,P) \to N\ot_A S\ot_A Hom_A(S,P) \to
N\ot_A P \to N\ocn_C P; utverzhdaetsya, chto ona faktorizuetsya cherez
surjekciyu (N\oc_C S)\ot_A Hom_A(S,P) \to (N\oc_C S)\ocn_C Cohom_C(S,P),
chto dostavlyaet iskomoe otobrazhenie \phi. V samom dele, yadrom etoj
surjekcii yavlyaetsya summa obrazov raznosti dvuh otobrazhenij iz
(N\oc_C S)\ot_A Hom_A(S\ot_A C, P) v (N\oc_C S)\ot_A Hom_A(S,P)
i raznosti dvuh otobrazhenij iz (N\oc_C S)\ot_A Hom_A(C\ot_A S, P)
v (N\oc_C S)\ot_A Hom_A(S,P); nam nuzhno pokazat', chto obe eti raznosti
annuliruyutsya kompoziciej s \psi. Mozhno proverit', chto raznost'
pervoj pary otobrazhenij obraschaschaetsya v nul' uzhe pri kompozicii
s otobrazheniem (N\oc_C S)\ot_A Hom_A(S,P) \to N\ot_A S\ot_A Hom_A(S,P)
\to N\ot_A P, a vtoraya para otobrazhenij razlagaetsya v kompoziciyu
otobrazheniya (N\oc_C S)\ot_A Hom_A(C\ot_A S, P) =
(N\oc_C S)\ot_A Hom_A(S,Hom_A(C,P)) \to N\ot_A S\ot_A Hom_A(S,Hom_A(C,P))
\to N\ot_A Hom_A(C,P) i pary otobrazhenij iz N\ot_A Hom_A(C,P)
v N\ot_A P, koyadrom kotoroj po opredeleniyu yavlyaetsya N\ocn_C P.
Kak i funktor kontratenzornogo proizvedeniya nad C, funktor
kontratenzornogo proizvedeniya nad S tochen sprava po oboim svoim
argumentam. Kontratenzornoe proizvedenie nad S dvojstvenno k funktoru
Hom na kategorii S-kontramodulej: esli N -- pravyj S-modul', na kotorom
sleva dejstvuet S-modul'nymi endomorfizmami kol'co B, P -- levyj
S-kontramodul', i J -- levyj B-modul', to imeetsya estestvennyj
izomorfizm Hom_B(N\ocn_S P, J) = Hom_S(P, Hom_B(N,J)). Podstaviv B=\Z,
otsyuda mozhno zaklyuchit', chto dlya lyubogo pravogo C-komodulya V
i levogo S-kontramodulya P imeetsya estestvennyj izomorfizm
(V\oc_C S)\ocn_S P = V\ocn_C P.
Pust' D -- koalgebroid nad kol'com B, ploskij nad B sleva i sprava,
i pust' T -- algebra nad D, koploskaya nad D sprava. Pust' E --
T-S-bimodul', P -- levyj S-kontramodul' i M -- levyj T-modul'.
Togda Hom_T(E,M) yavlyaetsya podkontramodulem levogo S-kontramodulya
Hom_B(E,M) i E\ocn_S P yavlyaetsya faktormodulem levogo T-modulya
E\ot_A P. Dalee, imeetsya estestvennyj izomorfizm
Hom_T(E\ocn_S P, M) = Hom_S(P, Hom_T(E,M)).
Pust teper' algebra S nad C koproektivna nad C sleva i koploska nad C
spava. Togda iz skazannogo sleduet, chto mezhdu kategoriyami levyh
S-modulej i levyh S-kontramodulej imeetsya para sopryazhennyh funktorov
\Psi_S: M\mapsto Hom_S(S,M) i \Phi_S: P\mapsto S\ocn_S P. Pri etom
S-kontramodul' \Psi_S(M) kak C-kontramodul' estestvenno izomorfen
C-kontramodulyu \Psi_C(M) i S-modul' \Phi_S(P) kak C-komodul'
estestvenno izomorfen C-komodulyu \Phi_C(P).
Nachinaya s etogo momenta my budem predpolagat', chto kol'co A imeet
konechnuyu gomologicheskuyu razmernost'.
Teorema 1. (a) Funktor, otobrazhayuschij faktorkategoriyu
gomotopicheskoj kategorii kompleksov C/A-injektivnyh S-modulej
po tolstoj podkategorii C-koaciklichnyh kompleksov C/A-injektivnyh
S-modulej v poluproizvodnuyu kategoriyu S-modulej yavlyaetsya
ekvivalentnost'yu triangulirovannyh kategorij.
(b) Funktor, otobrazhayuschij faktorkategoriyu gomotopicheskoj
kategorii kompleksov C/A-proektivnyh S-kontramodulej po tolstoj
podkategorii C-kontraaciklichnyh kompleksov C/A-proektivnyh
S-kontramodulej v poluproizvodnuyu kategoriyu S-kontramodulej
yavlyaetsya ekvivalentnost'yu triangulirovannyh kategorij.
Dokazatel'stvo (b): Pust' P -- proizvol'nyj kompleks S-kontramodulej.
My vospol'zuemsya konstrukciej morfizma kompleksov S-kontramodulej
L_2(P)\to P, kotoraya ispol'zovalas' v dokazatel'stve Teoremy IV(b)
i opiralas' na Lemmu III.3(b), no tol'ko primenim etu konstrukciyu
k sluchayu, kogda chleny kompleksa P ne obyazatel'no yavlyayutsya
injektivnymi A-modulyami. Legko videt', chto konus morfizma
L_2(P)\to P prinadlezhit podkategorii C-kontraaciklichnyh kompleksov
S-kontramodulej. Pokazhem, chto L_2(P) yavlyaetsya kompleksom
C/A-proektivnyh S-kontramodulej. Pust' 0\to P\to I_0(P)\to I_1(P)
\to ... \to I_{d-1}(P) \to Z(P)\to 0 -- tochnaya posledovatel'nost'
kompleksov S-kontramodulej, kotoraya byla postroena v hode konstrukcii
kompleksa R_1(P) pri dokazatel'stve Teoremy IV(b). Primeniv
funktor L_2 k etoj tochnoj posledovatel'nosti, my poluchim tochnuyu
posledovatel'nost' kompleksov S-kontramodulej 0 \to L_2(P) \to L_2I_0(P)
\to L_2I_1(P) \to ... \to L_2I_{d-1}(P) \to L_2Z(P) \to 0, poskol'ku
netrudno proverit', chto funktor L_2 perevodit tochnye trojki kompleksov
v tochnye trojki. Soglasno Lemme III.3(b), vse kompleksy L_2I_j(P)
i L_2Z(P) yavlyayutsya kompeksami koinjektivnyh C-kontramodulej.
Soglasno Lemme V.1(b), oni yavlyayutsya kompleksami vpolne
C/A-proektivnyh C-kontramodulej, i tem bolee kompleksami C/A-proektivnyh
C-kontramodulej. Poetomu iz Lemmy V.2(b) sleduet, chto L_2(P)
yavlyaetsya kompleksom C/A-proektivnyh S-kontramodulej. Chtoby dokazat'
punkt (b), teper' ostaetsya tol'ko primenit' Lemmu iz razdela II.
Dokazatel'stvo punkta (a) sovershenno analogichno.
Zamechanie 1. Spravedliv analog Teoremy 1 dlya kompleksov vpolne
C/A-injektivnyh S-modulej i kompleksov vpolne C/A-proektivnyh
S-kontramodulej. Bolee togo, dlya lyubogo kompleksa S-modulej M
suschestvuet otobrazhenie kompleksov S-modulej iz M v kompleks
C-injektivnyh S-modulej J s C-koaciklichnym konusom i dlya lyubogo
kompleksa S-kontramodulej P suschestuvet otobrazhenie kompleksov
S-kontramodulej v P iz kompleksa C-proektivnyh S-kontramodulej F
s C-kontraaciklichnym konusom. V samom dele, pust' P -- kompleks
C/A-proektivnyh C-kontramodulej; postroim v nego otobrazhenie iz
kompleksa C-proektivnyh S-kontramodulej s C-kontraaciklichnym konusom.
Rassmotrim kompleks C/A-injektivnyh S-modulej \Phi_S(P). Primenim
k nemu konstrukciyu morfizma kompleksov S-modulej L_1(K)\to K iz
dokazatel'stva Teoremy iz razdela II i Teoremy IV(a). Esli K --
kompleks C/A-injektivnyh S-modulej, to L_1(K) -- kompleks
C-koproektivnyh S-modulej, poskol'ku esli M -- C/A-injektivnyj
S-modul', to A-proektivnyj S-modul' P(M), postroennyj v Lemme I.2
i Lemme III.2(a), C-koproektiven, chto sleduet iz togo, chto
A-proektivnyj C-komodul' T(M), postroennyj v Lemme I.1 i
Lemme III.1(a), koproektiven. Chtoby proverit' poslednee utverzhdenie,
nado zametit', chto rasshirenie dvuh C/A-injektivnyh C-komodulej
yavlyaetsya C/A-injektivnym C-komodulem i vsyakij A-proektivnyj
C/A-injektivnyj C-komodul' L C-koproektiven (poskol'ku tochnaya
trojka A-proektivnyh C-komodulej L \to C\ot_A L \to (C\ot_A L)/L
rasscheplyaetsya). Poetomu L_1 \Phi_S(P) -- kompleks C-koproektivnyh
S-modulej, otobrazhayuschijsya v kompleks C/A-injektivnyh S-modulej
\Phi_S(P) s C-koaciklichnym konusom, a znachit, \Psi_S L_1 \Phi_S(P)
-- kompleks C-proektivnyh S-kontramodulej, otobrazhayuschijsya
v kompleks P s C-kontraaciklichnym konusom.
Zamechanie 1bis. Analogichno tomu, kak v poslednem Zamechanii, mozhno
pokazat', chto konstrukciya iz Lemmy I.1 i Lemmy III.1(a) sopostavlyaet
C/A-koploskomu C-komodulyu surjektivnoe otobrazhenie v nego iz
koploskogo C-komodulya i C/A-koproektivnomu C-komodulyu surjektivnoe
otobrazhenie v nego iz koproektivnogo C-komodulya, a konstrukciya
iz Lemmy III.1(b) sopostavlyaet C/A-koinjektivnomu C-komodulyu
ego vlozhenie v koinjektivnyj C-komodul'. V samom dele, pokazhem, chto
rasshirenie dvuh C/A-koploskih C-komodulej yavlyaetsya C/A-koploskim
C-komodulem i vsyakij A-ploskij C/A-koploskij C-komodul' yavlyaetsya
C-koploskim. Netrudno videt', chto dlya lyuboj tochnoj trojki pravyh
C-komodulej i lyubogo levogo C-komodulya imeetsya dlinnaya tochnaya
posledovatel'nost' grupp Cotor. Krome togo, esli pravyj C-komodul' N
ili levyj C-komodul' M yavlyaetsya A-ploskim, to Cotor_i^C(N,M) = 0
dlya vseh i>0 i Cotor_0^C(N,M) = N\oc_C M. Otsyuda sleduet, chto levyj
C-komodul' M yavlyaetsya C/A-koploskim togda i tol'ko togda, kogda
Cotor_i^C(N,M) = 0 dlya lyubogo A-ploskogo pravogo C-komodulya N i
vseh i<0. Poetomu rasshirenie C/A-koploskih C-komodulej C/A-koplosko.
Dalee, A-ploskij C-komodul' M yavlyaetsya koploskim togda i tol'ko
togda, kogda Cotor_i^C(N,M) = 0 dlya lyubogo pravogo C-komodulya N i
vseh i<0. No Cotor_i^C(N,M) = 0 dlya lyubogo pravogo C-komodulya N,
lyubogo C/A-ploskogo levogo C-komodulya M i vseh i<0, poskol'ku gruppy
Cotor_*^C(N,M) mozhno vychislyat' s pomosch'yu levoj rezol'venty
pravogo C-komodulya N, sostoyaschej iz A-ploskih C-komodulej (kotoraya
suschestvuet soglasno Lemme I.1). Poetomu vsyakij A-ploskij
C/A-koploskij C-komodul' yavlyaetsya koploskim.
Sledstvie 1. Ogranichenie funktorov \Psi_S i \Phi_S na
gomotopicheskuyu kategoriyu kompleksov C/A-injektivnyh S-modulej
i gomotopicheskuyu kategoriyu kompleksov C/A-proektivnyh
S-kontramodulej opredelyaet proizvodnye funktory R\Psi_S i L\Phi_S
mezhdu poluproizvodnoj kategoriej levyh S-modulej i poluproizvodnoj
kategoriej levyh S-kontramodulej, yavlyayuschiesya vzaimno-obratnymi
ekvivalentnostyami mezhdu etimi triangulirovannymi kategoriyami.
Dokazatel'stvo: ispol'zovat' Teoremu 1 i Sledstvie V.1.
Kompleks levyh S-modulej M nazyvaetsya proektivnym otnositel'no C
otnositel'no A (S/C/A-proektivnym), esli kompleks Hom nad S iz M
v lyuboj C-koaciklichnyj kompleks C/A-injektivnyh levyh S-modulej
aciklichen. Analogichno, kompleks levyh S-kontramodulej P nazyvaetsya
injektivnym otnositel'no C otnositel'no A (S/C/A-injektivnym), esli
kompleks Hom nad S v P iz lyubogo C-kontraaciklichnogo kompleksa
C/A-proektivnyh levyh S-kontramodulej aciklichen. Dalee,
kontratenzornym proizvedeniem kompleksa N pravyh S-modulej i kompleksa
P levyh S-kontramodulej nazyvaetsya total'nyj kompleks bikompleksa
N^i\ocn_S P^j, obrazovannyj s pomosch'yu vzyatiya beskonechnyh pryamyh
summ vdol' diagonalej. Budem nazyvat' kompleks pravyh S-modulej
kontraploskim otnositel'no C otnositel'no A (S/C/A-kontraploskim), esli
ego kontratenzornoe proizvedenie nad S s lyubym C-kontraaciklichnym
kompleksom C/A-proektivnyh levyh C-kontramodulej aciklichno.
Teorema 2. (a) Funktor, otobrazhayuschij faktorkategoriyu
gomotopicheskoj kategorii S/C/A-kontraploskih kompleksov pravyh
S-modulej po tolstoj podkategorii C-koaciklichnyh S/C/A-kontraploskih
kompleksov pravyh S-modulej yavlyaetsya ekvivalentnost'yu
triangulirovannyh kategorij.
(b) Funktor, otobrazhayuschij faktorkategoriyu gomotopicheskoj
kategorii S/C/A-proektivnyh kompleksov levyh S-modulej po tolstoj
podkategorii C-koaciklichnyh S/C/A-proektivnyh kompleksov levyh
S-modulej yavlyaetsya ekvivalentnost'yu triangulirovannyh kategorij.
(c) Funktor, otobrazhayuschij faktorkategoriyu gomotopicheskoj
kategorii S/C/A-injektivnyh kompleksov levyh S-kontramodulej
po tolstoj podkategorii C-kontraaciklichnyh S/C/A-injektivnyh
kompleksov levyh S-kontramodulej yavlyaetsya ekvivalentnost'yu
triangulirovannyh kategorij.
Dokazatel'stvo (a): Pri dokazatel'stve Teoremy iz razdela II bylo
pokazano, chto dlya lyubogo kompleksa pravyh S-modulej K imeetsya
kompleks A-ploskih pravyh S-modulej L_1(K), snabzhennyj otobrazheniem
kompleksov S-modulej L_1(K)\to K, konus kotorogo C-koaciklichen.
Sleduya oboznacheniyam iz dokazatel'stva Teoremy iz razdela II, dlya
lyubogo kompleksa A-ploskih pravyh S-modulej N oboznachim cherez L_3(N)
total'nyj kompleks bikompleksa ... \to N\oc_C S\oc_C S \to N\oc_C S,
obrazovannyj s pomosch'yu vzyatiya beskonechnyh pryamyh summ vdol'
diagonalej. Iz Teoremy V.2(b) i Lemmy V.2(c) sleduet, chto vsyakij
kompleks pravyh S-modulej, inducirovannyj s kompleksa A-ploskih pravyh
C-komodulej, yavlyaetsya S/C/A-kontraploskim. Legko videt' takzhe,
chto klass S/C/A-kontraploskih kompleksov pravyh S-modulej zamknut
otnositel'no konusov, sdvigov i beskonechnyh pryamyh summ. Poetomu
dlya lyubogo kompleksa A-ploskih pravyh S-modulej N kompleks L_3(N)
yavlyaetsya S/C/A-kontraploskim. V to zhe vremya, konus morfizma
L_3(N)\to N yavlyaetsya C-koaciklichnym (i dazhe styagivaemym nad C)
kompleksom pravyh S-modulej. Poetomu konus kompozicii otobrazhenij
L_3L_1(K) \to L_1(K) \to K tozhe C-koaciklichen, i ostaetsya
vospol'zovat'sya Lemmoj iz razdela II. Punkt (a) dokazan;
dokazatel'stvo punktov (b) i (c) sovershenno analogichno.
Lemma 1. Pust' H -- kategoriya i T -- lokalizuyuschij klass morfizmov
v H. Pust' P i I -- polnye podkategorii H, takie chto otobrazhenie
Hom_H(q,J) yavlyaetsya biekciej dlya lyubogo q iz P\cap H, J iz I
i dlya lyubogo ob''ekta X iz H najdetsya ob''ekt Q iz P vmeste
s morfizmom Q\to X, prinadlezhaschim T (ili otobrazhenie Hom_H(Q,j)
yavlyaetsya biekciej dlya lyubogo Q iz P, j iz I\cap H i dlya lyubogo
ob''ekta Y iz H najdetsya ob''ekt J iz I vmeste s otobrazheniem Y\to J,
prinadlezhaschim T). Togda dlya lyubyh ob''ektov Q iz P i J iz I
estestvennoe otobrazhenie Hom_H(Q,J) \to Hom_{H[T^{-1}]}(Q,J)
yavlyaetsya biekciej.
Dokazatel'stvo: proizvol'nyj element Hom_{H[T^{-1}]}(Q,J) mozhet byt'
predstavlen drob'yu iz morfizmov Q\from Y\to J, gde morfizm Y\to Q
prinadlezhit T. Vyberem element Q' iz P vmeste s morfizmom Q'\to Y,
prinadlezhaschim T. Togda kompoziciya Q'\to Y\to Q prinadlezhit
P\cap T, tak chto otobrazhenie Hom(Q,J) \to Hom(Q',J) biektivno,
i sledovatel'no, najdetsya morfizm Q\to J, obrazuyuschij kommutativnyj
treugol'nik vmeste s morfizmami Q'\to Y\to Q i Q'\to Y\to J.
Ochevidno, postroennyj morfizm Q\to J predstavlyaet tot zhe morfizm
v H[T^{-1}], chto i drob' Q\from Q'\to J, a poslednij predstavlyaet
tot zhe morfizm v H[T^{-1}], chto i drob' P\from Y\to J. Pust' teper'
f', f'': P\to J -- dva morfizma v H, kompozicii kotoryh s nekotorym
morfizmom Y\to P, prinadlezhaschim T, sovpadayut. Snova vyberem
element Q' iz P vmeste s morfizmom Q'\to Y, prinadlezhaschim T. Togda
kompozicii f' i f'' s otobrazheniem Q'\to Y\to Q sovpadayut; a poskol'ku
otobrazhenie Hom(Q,J) \to Hom(Q',J) biektivno, morfizmy f' i f'' ravny.
Lemma 2. Pust' H_1 i H_2 -- kategorii, F_1 i F_2 -- polnye podkategorii
v H_1 i H_2, T_1 i T_2 -- klassy morfizmov v H_1 i H_2. Predpolozhim,
chto funktory F_i[(F_i\cap T_i)^{-1}] \to H_i[T_i^{-1}] yavlyayutsya
ekvivalentnostyami kategorij. Bolee togo, predpolozhim, chto dlya
lyubogo ob''ekta X iz H_i najdetsya ob''ekt U iz F_i vmeste s morfizmom
U\to X, prinadlezhaschim T_i, i dlya lyubogo morfizma X\to Y iz H_i
najdetsya morfizm morfizmov (U\to V)\to (X\to Y), gde ob''ekty U, V
prinadlezhat F_i, i morfizmy U\to X, V\to Y prinadlezhat T_i. Nakonec,
pust' K -- kategoriya i \Pi: H_1 \times H_2 \to K -- funktor, takoj chto
morfizm \Pi(t,V) yavlyaetsya izomorfizmom dlya lyubogo t iz F_1\cap T_1
i V iz F_2 i morfizm \Pi(V,t) yavlyaetsya izomorfizmom dlya lyubogo V
iz F_1 i t iz F_2\cap T_2. Togda "levyj proizvodnyj funktor"
L\Pi: H_1[T_1^{-1}] \times H_2[T_2^{-1}] \to K, poluchennyj s pomosch'yu
ogranicheniya \Pi na F_1\times F_2, yavlyaetsya universal'nym konechnym
ob''ektom v kategorii vseh funktorov \Sigma: H_1[T_1^{-1}] \times
H_2[T_2^{-1}] \to K, snabzhennyh morfizmom funktorov \Sigma \to \Pi,
gde \Sigma rassmatrivaetsya kak funktor H_1 \times H_2 \to K.
Dokazatel'stvo: netrudno videt', chto imeetsya funktorial'nyj morfizm
L\Pi(X_1,X_2) \to \Pi(X_1,X_2) dlya X_1 iz H_1 i X_2 iz H_2,
yavlyayuschijsya izomorfizmom dlya X_1 iz F_1 i X_2 iz F_2. Esli teper'
funktor \Sigma: H_1[T_1^{-1}] \times H_2[T_2^{-1}] \to K snabzhen
morfizmom \Sigma \to \Pi funktorov na H_1 \times H_2, to ogranichiv
etot morfizm funktorov na F_1 \times F_2, poluchim iskomyj morfizm
funktorov \Sigma \to L\Pi.
Funktor Hom v proizvodnoj kategorii levyh S-modulej mozhno vychislit',
ogranichiv funktor Hom v gomotopicheskoj kategorii kompleksov S-modulej
na proizvedenie gomotopicheskoj kategorii S/C/A-proektivnyh kompleksov
S-modulej na gomotopicheskuyu kategoriyu kompleksov C/A-injektivnyh
S-modulej. Analogichno, funktor Hom v proizvodnoj kategorii
S-kontramodulej mozhno vychislit', ogranichiv funktor Hom
v gomotopicheskoj kategorii kompleksov S-kontramodulej na proizvedenie
gomotopicheskoj kategorii kompleksov C/A-proektivnyh S-kontramodulej
na gomotopicheskuyu kategoriyu S/C/A-injektivnyh kompleksov
S-kontramodulej. Oba utverzhdeniya sleduyut iz Lemmy 1.
Proizvodnyj funktor kontratenzornogo proizvedeniya CtrTor^S(N,P)
na proizvedenii poluproizvodnyh kategorij pravyh S-modulej i levyh
S-kontramodulej opredelyaetsya s pomosch'yu ogranicheniya funktora
kontratenzornogo proizvedeniya na proizvedenie gomotopicheskoj kategorii
S/C/A-kontraploskih kompleksov pravyh S-modulej na gomotopicheskuyu
kategoriyu kompleksov C/A-proektivnyh S-kontramodulej. Po opredeleniyu,
eto ogranichenie faktorizuetsya cherez poluproizvodnuyu kategoriyu
S-kontramodulej po vtoromu argumentu; pokazhem, chto ono takzhe
faktorizuetsya cherez poluproizvodnuyu kategoriyu pravyh S-modulej
po pervomu argumentu. Pust' na komplekse pravyh S-modulej N dejstvuet
sleva endomorfizmami kompleksa S-modulej kol'co B, i pust' J --
injektivnyj levyj B-modul'. Togda esli kompleks N S/C/A-kontraploskij,
to kompleks levyh S-kontramodulej Hom_B(N,J) S/C/A-injektiven.
Pust' teper' B=\Z i J=\Q/\Z; togda esli kompleks N C-koaciklichen,
to kompleks Hom_{\Z}(N,J) C-kontraaciklichen. Takim obrazom, esli
N -- S/C/A-kontraploskij C-koaciklichnyj kompleks pravyh S-modulej,
a P -- C/A-proektivnyj kompleks levyh S-kontramodulej, to kompleks
Hom_S(P,Hom_{\Z}(N,J)) aciklichen po dokazannomu vyshe. Poetomu
kompleks N\ocn_S P tozhe aciklichen. Korrektnost' opredeleniya
proizvodnogo funktora kontratenzornogo proizvedeniya nad S dokazana.
Soglasno Lemme 2, takoe opredelenie levogo proizvodnogo funktora na
samom dele ne zavisit ot vybora podkategorij prisposoblennyh kompleksov.
Pust' kol'co B imeet konechnuyu gomologicheskuyu razmernost',
koalgebroid D nad B yavlyaetsya proektivnym levym i ploskim pravym
B-modulem, a algebra T nad D yavlyaetsya koproektivnym levym i
koploskim pravym D-komodulem.
Predlozhenie 1. Dlya lyubogo B-ploskogo pravogo T-modulya N,
T-S-bimodulya E i levogo S-kontramodulya P imeetsya estestvennoe
otobrazhenie (N\os_T E)\ocn_S P \to N\os_T (E\ocn_S P), kotoroe
yavlyaetsya izomorfizmom, po krajnej mere, kogda N -- koploskij
D-komodul'.
Predlozhenie 2. Dlya lyubogo B-proektivnogo levogo T-modulya L,
S-T-bimodulya E i levogo S-modulya M imeetsya estestvennoe otobrazhenie
SemiHom_T(L, Hom_S(E,M)) \to Hom_S(E\os_T L, M), kotoroe yavlyaetsya
izomorfizmom, po krajnej mere, kogda L -- koproektivnyj D-komodul'.
Predlozhenie 3. Dlya lyubogo levogo S-kontramodulya P, T-S-bimodulya
E i B-injektivnogo levogo T-kontramodulya Q imeetsya estestvennoe
otobrazhenie SemiHom_T(E\ocn_S P, Q) \to Hom_S(P, SemiHom_T(E,Q)),
kotoroe yavlyaetsya izomorfizmom, po krajnej mere, kogda Q --
koinjektivnyj D-kontramodul'.
Dokazatel'stvo Predlozhenij 1-3 ne predstavlyaet trudnosti.
Lemma 3. (a) Vsyakij poluploskij kompleks C-koploskih pravyh S-modulej
yavlyaetsya S/C/A-kontraploskim.
(b) Vsyakij poluproektivnyj kompleks C-koproektivnyh levyh S-modulej
yavlyaetsya S/C/A-proektivnym.
(c) Vsyakij poluinjektivnyj kompleks C-koinjektivnyh S-kontramodulej
yavlyaetsya S/C/A-injektivnym.
Dokazatel'stvo: punkt (a) sleduet iz Predlozheniya 1, punkt (b) iz
Predlozheniya 2, i punkt (c) iz Predlozheniya 3.
Zamechanie 2. Iz rezul'tatov razdela V (Lemmy V.1, dokazatel'stva
Teoremy V.2 i Sledstviya V.1) v chastnosti vytekaet, chto funktory,
otobrazhayuschie gomotopicheskuyu kategoriyu kompleksov koproektivnyh
C-komodulej v koproizvodnuyu kategoriyu C-komodulej i gomotopicheskuyu
kategoriyu kompleksov koinjektivnyh C-kontramodulej v kontraproizvodnuyu
kategoriyu C-kontramodulej yavlyayutsya ekvivalentnostyami kategorij.
Drugimi slovami, vsyakij koaciklichnyj kompleks koproektivnyh
C-komodulej ili kontraaciklichnyj kompleks koinjektivnyh C-kontramodulej
styagivaem. Bolee togo, iz Lemmy 3 i Lemmy V.1 sleduet, chto vsyakij
C-koaciklichnyj poluproektivnyj kompleks C-koproektivnyh S-modulej
styagivaem i vsyakij C-kontraaciklichnyj poluinjektivnyj kompleks
C-koinjektivnyh S-kontramodulej styagivaem. Poetomu gomotopicheskaya
kategoriya poluproektivnyh kompleksov C-koproektivnyh S-modulej
ekvivalentna poluproizvodnoj kategorii S-modulej i gomotopicheskaya
kategoriya poluinjektivnyh kompleksov C-koinjektivnyh S-kontramodulej
ekvivalentna poluproizvodnoj kategorii S-kontramodulej. V chastnosti,
podkategoriya poluproektivnyh kompleksov C-koproektivnyh S-modulej
sovpadaet s minimal'noj triangulirovannoj podkategoriej gomotopicheskoj
kategorii kompleksov S-modulej, soderzhaschej kompleksy, inducirovannye
s kompleksov C-koproektivnyh C-komodulej i zamknutoj otnositel'no
beskonechnyh pryamyh summ, a podkategoriya poluinjektivnyh kompleksov
C-koinjektivnyh S-kontramodulej sovpadaet s minimal'noj
triangulirovannoj podkategoriej gomotopicheskoj kategorii kompleksov
S-kontramodulej, soderzhaschej kompleksy, koinducirovannye s kompleksov
C-koinjektivnyh C-kontramodulej i zamknutoj otnositel'no beskonechnyh
proizvedenij. (Sm. Teoremu iz razdela IV i ee dokazatel'stvo.)
Sledstvie 2. Imeet mesto kanonicheskij izomorfizm funktorov
na proizvedenii poluproizvodnoj kategorii levyh S-modulej
i poluproizvodnoj kategorii levyh S-kontramodulej: SemiExt_S(M,P) =
Ext_S(M, L\Phi_S(P)) = Ext_S(R\Psi_S(M), P). Analogichnym obrazom,
imeetsya kanonicheskij izomorfizm funktorov na proizvedenii
poluproizvodnoj kategorii pravyh S-komodulej i poluproizvodnoj
kategorii levyh S-modulej: SemiTor^S(N,M) = CtrTor^S(N, R\Psi_S(M)).
Dokazatel'stvo: ochevidno, chto dostatochno postroit' izomorfizmy
SemiExt_C(L, R\Psi_S(M)) = Ext_S(L,M), SemiExt_S(L\Phi_S(P), Q) =
Ext_S(P,Q) i SemiTor^S(N, L\Phi(P)) = CtrTor^C(N,P). V pervom sluchae
predstavim ob''ekt L poluproektivnym kompleksom C-koproektivnyh
S-modulej, a ob''ekt M kompleksom C/A-injektivnyh S-modulej, i primenim
Lemmu 3(b) i Predlozhenie 2. Vo vtorom sluchae predstavim ob''ekt P
kompleksom C/A-proektivnyh S-kontramodulej, a ob''ekt Q poluinjektivnym
kompleksom C-koinjektivnyh S-kontramodulej, i primenim Lemmu 3(c) i
Predlozhenie 3. V poslednem sluchae predstavim ob''ekt N poluploskim
kompleksom C-koploskih pravyh S-modulej, a ob''ekt P kompleksom
C/A-proektivnyh S-kontramodulej, i primenim Lemmu 3(a) i Predlozhenie 1.
Nakonec, chtoby pokazat', chto tri poparnyh izomorfizma mezhdu
funktorami SemiExt_S(M,P), Ext_S(M, L\Phi_S(P)) i Ext_S(R\Psi_S(M), P)
obrazuyut kommutativnuyu diagrammu, mozhno predstavit' ob''ekt M
poluproektivnym kompleksom C-koproektivnyh S-modulej, a ob''ekt P
poluinjektivnym kompleksom C-koinjektivnyh S-kontramodulej
(imeya v vidu Lemmu V.1 i Lemmu 3).
V. Komodul'no-kontramodul'noe sootvetstvie dlya koalgebroida nad
kol'com konechnoj gomologicheskoj razmernosti.
Pust' C -- proizvol'nyj koalgebroid nad proizvol'nym kol'com A.
C-komodul' M nazyvaetsya vpolne injektivnym otnositel'no A (vpolne
C/A-injektivnym), esli funktor Hom nad C v M perevodit A-rasschepimye
tochnye troiki C-komodulej v tochnye trojki abelevyh grupp. Legko
videt', chto C-komodul' vpolne C/A-injectiven togda i tol'ko togda,
kogda on yavlyaetsya pryamym slagaemym koinducirovannogo C-komodulya.
Analogichno, C-kontramodul' P nazyvaetsya vpolne proektivnym
otnositel'no A (vpolne C/A-proektivnym), esli funktor Hom nad C iz P
perevodit A-rasschepimye tochnye trojki C-kontramodulej v tochnye trojki
abelevyh grupp. Legko videt', chto C-kontramodul' vpolne C/A-proektiven
togda i tol'ko togda, kogda on yavlyaetsya pryamym slagaemym
inducirovannogo C-kontramodulya.
C-komodul' M nazyvaetsya injektivnym otnositel'no A (C/A-injektivnym),
esli funktor Hom nad C v M perevodit tochnye trojki A-proektivnyh
levyh C-komodulej v tochnye trojki. C-kontramodul' P nazyvaetsya
proektivnym otnositel'no A (C/A-proektivnym), esli funktor Hom nad C
iz P perevodit tochnye trojki A-injektivnyh C-kontramodulej v tochnye
trojki. (Ne vsyakij C/A-injektivnyj C-komodul' vpolne C/A-injektiven,
i ne vsyakij C/A-proektivnyj C-kontramodul' vpolne C/A-proektiven --
sm. Zamechanie VII.2.)
Kontratenzornoe proizvedenie pravogo C-komodulya N i levogo
C-kontramodulya P -- eto abeleva gruppa N\ocn_C P, opredelyaemaya kak
koyadro pary otobrazhenij iz N\ot_A Hom_A(C,P) v N\ot_A P, odno iz
kotoryh proishodit iz kontradejstviya C na P, a drugoe -- iz kodejstviya
C na N i otobrazheniya podstanovki C\ot_A Hom_A(C,P) \to P. Zametim,
chto funktor kontratenzornogo proizvedeniya tochen sprava po oboim svoim
argumentam (esli koalgebroid C yavlyaetsya proektivnym levym A-modulem).
Kontratenzornoe proizvedenie dvojstvenno k funktory Hom na kategorii
C-kontramodulej: esli N -- pravyj C-komodul', na kotorom sleva dejstuvet
komodul'nymi endomorfizmami kol'co B, P -- levyj C-kontramodul' i J --
levyj B-modul', to imeetsya estestvennyj izomorfizm Hom_B(N\ocn_C P, J)
= Hom_C(P, Hom_B(N,J)). Podstaviv B=\Z, otsyuda mozhno zaklyuchit',
chto dlya lyubogo pravogo C-komodulya N i levogo A-modulya V imeetsya
estestvennyj izomorfizm N\ocn_C Hom_A(C,V) = N\ot_A V.
Pust' C -- koalgebroid nad kol'com A i D -- koalgebroid nad kol'com B.
Esli E -- C-D-bikomodul' i M -- levyj C-komodul', to Hom_C(E,M)
yavlyaetsya podkontramodulem levogo D-kontramodulya Hom_A(E,M).
Analogichno, esli E -- D-C-bikomodul' i P -- levyj C-kontramodul',
to E\ocn_C P yavlyaetsya faktorkomodulem levogo D-komodulya E\ot_A P.
Dlya lyubogo D-C-bikomodulya E, levogo C-kontramodulya P i levogo
D-komodulya M imeetsya estestvennyj izomorfizm Hom_D(E\ocn_C P, M) =
Hom_C(P, Hom_D(E,M)).
V chastnosti, otsyuda sleduet, chto mezhdu kategoriyami levyh
C-komodulej i levyh C-kontramodulej imeetsya para sopryazhennyh
funktorov \Psi_C: M\mapsto Hom_C(C,M) i \Phi_C: P\mapsto C\ocn_C P.
Netrudno proverit', chto ogranicheniya funktorov \Psi_C i \Phi_C
na podkategorii vpolne C/A-injektivnyh C-komodulej i vpolne
C/A-proektivnyh C-kontramodulej yavlyayutsya vzaimno-obratnymi
ekvivalentnostyami mezhdu etimi podkategoriyami.
Nachinaya s etogo momenta my budem predpolagat', chto koalgebroid C
yavlyaetsya proektivnym levym i ploskim pravym A-modulem.
Netrudno videt', chto C-komodul' injektiven (kak ob''ekt abelevoj
kategorii C-komodulej) togda i tol'ko togda, kogda on yavlyaetsya
pryamym slagaemym C-komodulya, koinducirovannogo s injektivnogo
A-modulya. Vsyakij C-komodul' yavlyaetsya podkomodulem injektivnogo
C-komodulya. Analogichno, C-kontramodul' proektiven togda i tol'ko
togda, kogda on yavlyaetsya pryamym slagaemym C-kontramodulya,
inducirovannogo s proektivnogo A-modulya. Vsyakij C-kontramodul'
yavlyaetsya surjektivnym obrazom proektivnogo C-kontramodulya.
Levyj C-kontramodul' P nazyvaetsya kontraploskim, esli funktor
kontratenzornogo proizvedeniya s P tochen na kategorii pravyh
C-komodulej. Legko videt', chto vsyakij C-kontramodul', inducirovannyj
s ploskogo A-modulya, yavlyaetsya kontraploskim. Vsyakij proektivnyj
C-kontramodul' yavlyaetsya kontraploskim. Levyj C-kontramodul' P
nazyvaetsya vpolne kontraploskim otnositel'no A, esli funktor
kontratenzornogo proizvedeniya s P perevodit tochnye trojki pravyh
C-komodulej, kotorye kak tochnye trojki pravyh A-modulej sohranyayut
tochnost' pri tenzornom umnozhenii na lyuboj levyj A-modul',
v tochnye trojki. Legko videt', chto vsyakij vpolne C/A-proektivnyj
C-kontramodul' yavlyaetsya vpolne kontraploskim otnositel'no A. Levyj
C-kontramodul' P nazyvaetsya kontraploskim otnositel'no A, esli funktor
kontratenzornogo proizvedeniya s P perevodit tochnye trojki A-ploskih
pravyh C-komodulej v tochnye trojki. Netrudno videt', chto vsyakij
C/A-proektivnyj C-kontramodul' yavlyaetsya kontraploskim otnositel'no A.
Budem nazyvat' levyj C-komodul' M kvazikoploskim, esli funktor
kotenzornogo proizvedeniya s nim tochen sprava na kategorii pravyh
C-komodulej, i kvazikoproektivnym, esli funktor Cohom iz M tochen sleva
na kategorii levyh C-kontramodulej. Budem nazyvat' levyj C-kontramodul'
P kvazikoinjektivnym, esli funktor Cohom v P tochen sleva na kategorii
levyh C-komodulej. Netrudno videt', chto vsyakij vpolne C/A-injektivnyj
C-komodul' yavlyaetsya kvazikoproektivnym, vsyakij kvazikoproektivnyj
C-komodul' yavlyaetsya kvazikoploskim, i vsyakij vpolne C/A-proektivnyj
C-kontramodul' yavlyaetsya kvazikoinjektivnym.
Pust' D -- koalgebroid nad kol'com B, yavlyayuschijsya proektivnym
levym B-modulem i ploskim pravym B-modulem.
Predlozhenie 1. Dlya lyubogo pravogo D-komodulya N, D-C-bikomodulya E
i levogo C-kontramodulya P imeetsya estestvennoe otobrazhenie
(N\oc_D E)\ocn_C P \to N\oc_D (E\ocn_C P), kotoroe yavlyaetsya
izomorfizmom, po krajnej mere, v sleduyuschih sluchayah:
(a) levyj C-kontramodul' P kontraploskij;
(b) levyj C-kontramodul' P vpolne kontraploskij otnositel'no A i
E kak levyj D-komodul' so strukturoj pravogo A-modulya koinducirovan
s nekotorogo B-A-bimodulya;
(c) levyj C-kontramodul' P kontraploskij otnositel'no A, pravyj
B-modul' N ploskij i E kak levyj D-komodul' so strukturoj pravogo
A-modulya koinducirovan s A-ploskogo B-A-bimodulya;
(d) levyj C-kontramodul' P kontraploskij otnositel'no A, pravyj
B-modul' N ploskij, pravyj A-modul' E ploskij, levyj D-komodul' E
koploskij otnositel'no B i kol'co A imeet konechnuyu gomologicheskuyu
razmernost';
(e) pravyj D-komodul' N kvazikoploskij.
Predlozhenie 2. Dlya lyubogo levogo D-komodulya L, C-D-bikomodulya E
i levogo C-komodulya M imeetsya estestvennoe otobrazhenie
Cohom_D(L,Hom_C(E,M)) \to Hom_C(E\oc_D L, M), kotoroe yavlyaetsya
izomorfizmom, po krajnej mere, v sleduyuschih sluchayah:
(a) levyj C-komodul' M injektiven;
(b) levyj C-komodul' M vpolne injektiven otnositel'no A i E kak pravyj
D-komodul' so strukturoj levogo A-modulya koinducirovan s nekotorogo
A-B-bimodulya;
(c) levyj C-komodul' M injektiven otnositel'no A, levyj B-modul' L
proektiven i E kak pravyj D-komodul' so strukturoj levogo A-modulya
koinducirovan s A-proektivnogo A-B-bimodulya;
(d) levyj C-komodul' M injektiven otnositel'no A, levyj B-modul' L
proektiven, levyj A-modul' E proektiven, pravyj D-komodul' E koploskij
otnositel'no B, i kol'co A imeet konechnuyu gomologicheskuyu
razmernost';
(e) levyj D-komodul' L kvazikoproektiven.
Predlozhenie 3. Dlya lyubogo levogo C-kontramodulya P, D-C-bikomodulya
E i levogo D-kontramodulya Q imeetsya estestvennoe otobrazhenie
Cohom_D(E\ocn_C P, Q) \to Hom_C(P,Cohom_D(E,Q)) kotoroe yavlyaetsya
izomorfizmom, po krajnej mere, v sleduyuschih sluchayah:
(a) levyj C-kontramodul' P proektiven;
(b) levyj C-kontramodul' P vpolne proektiven otnositel'no A i E kak
levyj D-komodul' so strukturoj pravogo A-modulya koinducirovan
s nekotorogo A-B-bimodulya;
(c) levyj C-kontramodul' P proektiven otnositel'no A, levyj B-modul' Q
injektiven i i E kak levyj D-komodul' so strukturoj pravogo
A-modulya koinducirovan s A-ploskogo B-A-bimodulya;
(d) levyj C-kontramodul' P proektiven otnositel'no A, levyj B-modul' Q
injektiven, pravyj A-modul' E ploskij, levyj D-komodul' E koproektiven
otnositel'no B, i kol'co A imeet konechnuyu gomologicheskuyu
razmernost';
(e) levyj D-kontramodul' Q kvazikoinjektiven.
Dokazatel'stvo Predlozhenij 1-3 ne predstavlyaet trudnosti i ispol'zuet
idei, razvitye pri dokazatel'stve Predlozhenij I.1 i III.1.
Lemma 1. (a) C-komodul' kvazikoproektiven togda i tol'ko togda, kogda
on vpolne C/A-injektiven. Dalee, C-komodul' koproektiven togda
i tol'ko togda, kogda on yavlyaetsya pryamym slagaemym C-komodulya,
koinducirovannogo s proektivnogo A-modulya.
(b) C-kontramodul' kvazikoinjektiven togda i tol'ko togda, kogda on
vpolne C/A-proektiven. Dalee, C-kontramodul' koinjektiven togda
i tol'ko togda, kogda on yavlyaetsya pryamym slagaemym C-kontramodulya,
inducirovannogo s injektivnogo A-modulya.
Dokazatel'stvo (a): pust' M -- kvazikoproektivnyj C-komodul'.
Oboznachim cherez l otobrazhenie kodejstviya M \to C\ot_A M; eto
A-rasschepimyj injektivnyj morfizm kvazikoproektivnyh C-komodulej.
Soglasno Predlozheniyu 2(e), imeem izomorfizm morfizmov Hom_C(l,M) =
Cohom_C(l,Hom_C(C,M)). No otobrazhenie Cohom_C(l,P) surjektivno
dlya lyubogo C-kontramodulya P. Poetomu i otobrazhenie Hom_C(l,M)
surjektivno, tak chto morfizm l rasscheplyaetsya i komodul' M
vpolne injektiven otnositel'no A. Teper' esli M koproektiven, to iz
Predlozheniya 3(b) vidno, chto C-kontramodul' P=\Psi_C(M) proektiven.
Sledovatel'no, on yavlyaetsya pryamym slagaemym kontramodulya,
inducirovannogo s proektivnogo A-modulya, a znachit M yavlyaetsya
pryamym slagaemym komodulya, koinducirovannogo s proektivnogo A-modulya.
Dokazatel'stvo punkta (b): pust' P -- kvazikoinjektivnyj C-kontramodul'.
Oboznachim cherez q otobrazhenie kontradejstviya Hom_A(C,P) \to P; eto
A-rasschepimyj surjektivnyj morfizm kvazikoinjektivnyh C-kontramodulej.
Soglasno Predlozheniyu 3(e), imeem izomorfizm morfizmov Hom_C(P,q) =
Cohom_C(C\ocn_C P, q). No otobrazhenie Cohom_C(M,q) surjektivno dlya
lyubogo C-komodulya M. Poetomu i otobrazhenie Hom_C(P,q) surjektivno,
tak chto morfizm q rasscheplyaetsya i kontramodul' P vpolne proektiven
otnositel'no A. Teper' esli P koinjektiven, to iz Predlozheniya 2(b)
vidno, chto C-komodul' M = \Phi(P) injektiven. Sledovatel'no,
on yavlyaetsya pryamym slagaemym komodulya, koinducirovannogo s
injektivnogo A-modulya, a znachit P yavlyaetsya pryamym slagaemym
kontramodulya, inducirovannogo s injektivnogo A-modulya.
Dlya lyubogo pravogo C-komodulya N i levogo C-kontramodulya P
oboznachim cherez Ctrtor^C_i(N,P) posledovatel'nost' levyh proizvodnyh
funktorov po vtoromu argumentu ot tochnogo sprava funktora N\ocn_C P.
Po opredeleniyu, gruppy Ctrtor^C_i(N,P) vychislyayutsya s pomosch'yu
levoj proektivnoj rezol'venty C-kontramodulya P. Netrudno videt',
chto funktor Ctrtor^C_*(N,P) sopostavlyaet tochnym trojkam po oboim
svoim argumentam dlinnye tochnye posledovatel'nosti gomologij.
Vopros. Mozhno li vychislyat' proizvodnyj funktor CtrTor s pomosch'yu
kontraploskih (a ne tol'ko proektivnyh) rezol'vent vtorogo argumenta?
Drugimi slovami, verno li, chto Ctrtor^C_i(N,P) = 0 dlya lyubogo
pravogo C-komodulya N, kontraploskogo levogo C-komodulya P, i vseh i>0?
Otmetim, chto v sluchae, kogda A yavlyaetsya polem, prichem levaya
i pravaya struktury A-modulya na C sovpadayut, vsyakij kontraploskij
C-kontramodul' proektiven. Drugoj svyazannyj vopros: yavlyayutsya li
Ctrtor^C_i(N,P) stirayuschimi funktorami svoego pervogo argumenta?
Nachinaya s etogo momenta my budem predpolagat', chto kol'co A imeet
konechnuyu gomologicheskuyu razmernost'.
Lemma 2. (a) C-komodul' M C/A-injektiven togda i tol'ko togda,
kogda dlya lyubogo A-proektivnogo C-komodulya L gruppy Ext_C^i(L,M),
poschitannye v abelevoj kategorii C-komodulej, ravny nulyu dlya
vseh i>0. V chastnosti, funktor Hom nad C iz A-proektivnogo
C-komodulya L perevodit tochnye trojki C/A-injektivnyh C-komodulej
v tochnye trojki. Krome togo, faktorkomodul' C/A-injektivnogo
C-komodulya po ego C/A-injektivnomu podkomodulyu yavlyaetsya
C/A-injektivnym C-komodulem.
(b) C-kontramodul' P C/A-proektiven togda i tol'ko togda, kogda
dlya lyubogo A-injektivnogo C-kontramodulya Q gruppy Ext_C^i(P,Q),
poschitannye v abelevoj kategorii C-kontramodulej, ravny nulyu dlya
vseh i>0. V chastnosti, funktor Hom nad C v A-injektivnyj
C-kontramodul' Q perevodit tochnye trojki C/A-proektivnyh
C-kontramodulej v tochnye trojki. Yadro syurjektivnogo otobrazheniya
C/A-proektivnogo C-kontramodulya v C/A-proektivnyj C-kontramodul'
yavlyaetsya C/A-proektivnym C-kontramodulem.
(с) Dlya lyubogo C/A-proektivnogo C-kontramodulya P i lyubogo
A-ploskogo pravogo C-komodulya N gruppy Ctrtor^C_i(N,P) ravny nulyu
dlya vseh i>0. V chastnosti, funktor kontratenzornogo proizvedeniya
s A-ploskim C-komodulem N perevodit tochnye trojki C/A-proektivnyh
C-kontramodulej v tochnye trojki.
Dokazatel'stvo (a): chast' "togda" pervogo utverzhdeniya ochevidna;
dokazhem "tol'ko togda". Proizvol'nyj element Ext_C^i(L,M) mozhet byt'
predstavlen otobrazheniem stepeni n iz tochnogo kompleksa C-komodulej
... \to L_i \to L_{i-1} \to ... \to L_0 \to L \to 0 v C-komodul' M.
Soglasno Lemme III.1(a), vsyakij C-komodul' yavlyaetsya surjektivnym
obrazom A-proektivnogo C-komodulya. Poetomu mozhno schitat', chto
C-komoduli L_j proektivny nad A. Teper' esli C-komodul' L takzhe
A-proektiven, to nash tochnyj kompleks C-komodulej sostavlen iz
tochnyh troek A-proektivnyh C-komodulej, tak chto esli C-komodul' M
C/A-injektiven, to kompleks gomomorfizmov v nego iz etogo kompleksa
C-komodulej aciklichen. Chtoby dokazat' poslednee utverzhdenie,
dostatochno zametit', chto esli M' soderzhitsya v M i Ext_C^i(L,M') =
Ext_C^i(L,M) = 0 dlya vseh i>0, to Ext_C^i(L,M/M') = 0 dlya vseh i>0.
Punkt (a) dokazan; dokazatel'stvo punkta (b) sovershenno analogichno.
Chtoby dokazat' (c), zametim, chto esli na pravom C-komodule N
dejstvuet sleva komodul'nymi endomorizmami kol'co B, to dlya lyubogo
levogo C-kontramodulya P i lyubogo injektivnogo levogo B-modulya J
imeetsya estestvennyj izomorfizm Hom_B(Ctrtor^C_i(N,P),J) =
Ext_C^i(P,Hom_B(N,J). Poetomu pervoe utverzhdenie punkta (c) sleduet
iz pervogo utverzhdeniya punkta (b).
Teorema 1. Dlya lyubogo C/A-injektivnogo levogo C-komodulya M
C-kontramodul' \Psi_C(M) C/A-proektiven i dlya lyubogo C/A-proektivnogo
levogo C-kontramodulya P C-komodul' \Phi_C(P) C/A-proektiven.
Ogranicheniya funktorov \Psi_C i \Phi_C na podkategorii C/A-injektivnyh
C-komodulej i C/A-proektivnyh C-kontramodulej yavlyayutsya
vzaimno-obratnymi ekvivalentnostyami mezhdu etimi podkategoriyami.
Dokazatel'stvo. Pokazhem snachala, chto injektivnaya razmernost'
lyubogo C/A-injektivnogo C-komodulya M v abelevoj kategorii C-komodulej
ne prevoshodit gomologicheskuyu razmernost' d kol'ca A. V samom dele,
iz Lemmy III.1(a) sleduet, chto lyuboj levyj C-komodul' N imeet
konechnuyu rezol'ventu 0\to L_d\to L_{d-1}\to ... \to L_0\to N\to 0
iz A-proektivnyh C-komodulej L_j, a poskol'ku Ext^i(L_j,M) = 0 dlya
vseh j i vseh i>0, kompleks Hom_C(L_*,M) vychislyaet Ext_C^*(N,M).
Poetomu C-komodul' M imeet konechnuyu injektivnuyu rezol'ventu, i tem
bolee suschestvuet konechnaya rezol'venta 0\to M\to E^0\to E^1\to ...
\to E^d\to 0, sostoyaschaya iz vpolne C/A-injektivnyh C-komodulej E^j.
Soglasno Lemme 2(a), eta tochnaya posledovatel'nost' sostavlena iz
tochnyh troek C/A-injektivnyh C-komodulej, kotorye funktor \Psi_C
perevodit v tochnye trojki; tak chto posledovatel'nost' 0 \to \Psi_C(M)
\to \Psi_C(E^0) \to ... \to \Psi_C(E_d) \to 0 tozhe tochna. Poskol'ku
C-kontramoduli \Psi_C(E^j) vpolne C/A-proektivny, iz Lemmy 2(b)
vytekaet, chto C-kontramodul' \Psi_C(M) C/A-proektiven i poslednyaya
tochnaya posledovatel'nost' sostavlena iz tochnyh troek C/A-proektivnyh
C-kontramodulej. Poetomu iz Lemmy 2(c) sleduet, chto posledovatel'nost'
0 \to \Phi_C\Psi_C(M) \to \Phi_C\Psi_C(E^0) \to ... \to
\Phi_C\Psi_C(E_d) \to 0 tozhe tochna. Teper' poskol'ku estestvennye
otobrazheniya \Phi_C\Psi_C(E_j) \to E_j yavlyayutsya izomorfizmami,
otobrazhenie \Phi_C\Psi_C(M) \to M -- tozhe izomorfizm. Ostavshiesya
utverzhdeniya dokazyvayutsya sovershenno analogichnym obrazom.
Lemma 3. (a) Vsyakij C/A-injektivnyj C-komodul' C/A-koproektiven.
(b) Vsyakij C/A-proektivnyj C-kontramodul' C/A-koinjektiven.
Dokazatel'stvo (a): iz Predlozheniya 3(c) sleduet, chto dlya lyubogo
C/A-proektivnogo C-kontramodulya P C-komodul' \Phi_C(P) koproektiven
otnositel'no A. Teper' esli C-komodul' M C/A-injektiven, to
C-kontramodul' \Psi_C(M) C/A-proektiven i M = \Phi_C(P) soglasno
Teoreme 1. Dokazatel'stvo (b): iz Predlozheniya 2(c) sleduet, chto
dlya lyubogo C/A-injektivnogo C-komodulya M C-kontramodul' \Psi_C(M)
koinjektiven otnositel'no A. Ostaetsya primenit' Teoremu 1.
Teorema 2. (a) Funktor, otobrazhayuschij faktorkategoriyu
gomotopicheskoj kategorii kompleksov C/A-injektivnyh C-komodulej
po ee minimal'noj triangulirovannoj podkategorii, soderzhaschej
vse total'nye kompleksy tochnyh troek kompleksov C/A-injektivnyh
C-komodulej, v koproizvodnuyu kategoriyu C-komodulej yavlyaetsya
ekvivalentnost'yu triangulirovannyh kategorij.
(b) Funktor, otobrazhayuschij faktorkategoriyu gomotopicheskoj
kategorii kompleksov C/A-proektivnyh C-kontramodulej po ee minimal'noj
triangulirovannoj podkategorii, soderzhaschej vse total'nye kompleksy
tochnyh troek kompleksov C/A-proektivnyh C-kontramodulej,
v kontraproizvodnuyu kategoriyu C-kontramodulej yavlyaetsya
ekvivalentnost'yu triangulirovannyh kategorij.
Dokazatel'stvo (a): dlya lyubogo kompleksa C-komodulej M total'nyj
kompleks bikompleksa C\ot_A M \to C\ot_A C\ot_A M \to ... yavlyaetsya
kompleksom C/A-injektivnyh C-komodulej, v kotoryj kompleks M
otobrazhaetsya, prichem konus etogo otobrazheniya koaciklichen.
Poetomu iz Lemmy iz razdela II sleduet, chto koproizvodnya kategoriya
C-komodulej ekvivalentna faktorkategorii gomotopicheskoj kategorii
kompleksov C/A-injektivnyh C-komodulej po tolstoj podkategorii
koaciklichnyh kompleksov C/A-injektivnyh C-komodulej. Ostaetsya
pokazat', chto eta tolstaya podkategoriya sovpadaet s minimal'noj
triangulirovannoj podkategoriej, soderzhaschej total'nye kompleksy
tochnyh troek kompleksov C/A-injektivnyh C-komodulej. Dlya etogo
my postroim poluortogonal'noe razlozhenie gomotopicheskoj kategorii
kompleksov C/A-injektivnyh C-komodulej, pravoj chast'yu kotorogo budet
minimal'naya triangulirovannaya podkategoriya, soderzhaschaya total'nye
kompleksy tochnyh troek kompleksov C/A-injektivnyh C-komodulej,
a levoj chast'yu -- gomotopicheskaya kategoriya kompleksov injektivnyh
C-komodulej. Poskol'ku koaciklichnye kompleksy C-komodulej ortogonal'ny
sleva k kompleksam injektivnyh C-komodulej, otsyuda budet sledovat',
chto vsyakij koaciklichnyj kompleks C/A-injektivnyh C-komodulej lezhit
v minimal'noj triangulirovannoj podkategorii, soderzhaschej total'nye
kompleksy tochnyh troek kompleksov C/A-injektivnyh C-komodulej.
V samom dele, pust' M -- kompleks C/A-injektivnyh C-komodulej. Vyberem
dlya kazhdogo n vlozhenie C-komodulya M^n v injektivnyj C-komodul' J^n.
Rassmotrim kompleks K=K(M), chleny kotorogo sut' K^n = J^n\op J^{n+1},
a differencial d_K^n: K^n\to K^{n+1} otobrazhaet tozhdestvenno J^{n+1}
v sebya i zanulyaetsya v ogranichenii na J^n i v proekcii na J^{n+2}.
Imeetsya estestvennoe injektivnoe otobrazhenie kompleksov M\to K,
sostavlennoe iz otobrazhenij C-komodulej M^n\to J^n \op J^{n+1},
komponenty kotoryh sut' j^n i j^{n+1}d_M^n. Primenim k kompleksu K(M)/M
tu zhe samuyu konstrukciyu. Pust' K_0 = K(M), K_1 = K(K_0/M), i tak
dalee. Kak bylo pokazano pri dokazatel'stve Teoremy 1, injektivnaya
razmernost' lyubogo C/A-injektivnogo C-komodulya ne prevoshodit
gomologicheskoj razmernosti d kol'ca A. Poetomu kompleks L_d =
coker(K_{d-2}\to K_{d-1}) budet kompleksom injektivnyh C-komodulej.
Teper' yasno, chto total'nyj kompleks bikompleksa K_0\to K_1\to ...
\to K_{d-1}\to L_d yavlyaetsya kompleksom injektivnyh C-komodulej,
a iz Lemmy 2(a) sleduet, chto total'nyj kompleks bikompleksa M\to K_0
\to ... \to K_{d-1} \to L_d lezhit v triangulirovannoj podkategorii,
porozhdennoj total'nymi kompleksami tochnyh troek kompleksov
C/A-injektivnyh C-komodulej. Punkt (a) dokazan; dokazatel'stvo
punkta (b) sovershenno analogichno.
Zamechanie 1. Spravedliv analog Teoremy 1 dlya kompleksov vpolne
C/A-injektivnyh C-komodulej i kompleksov vpolne C/A-proektivnyh
C-kontramodulej. Bolee togo, eti utverzhdeniya mozhno usilit'
sleduyuschim obrazom. Koproizvodnaya kategoriya C-komodulej
ekvivalentna faktorkategorii gomotopicheskoj kategorii kompleksov
vpolne C/A-injektivnyh C-komodulej po ee minimal'noj triangulirovannoj
podkategorii, soderzhaschej total'nye kompleksy takih tochnyh troek
kompleksov koinducirovannyh C-komodulej, kotorye v kazhdom chlene
kompleksov yavlyayutsya tochnymi trojkami C-komodulej, koinducirovannymi
s tochnyh troek A-modulej. Analogichno, kontraproizvodnaya kategoriya
C-kontramodulej ekvivalentna faktorkategorii gomotopicheskoj kategorii
kompleksov vpolne C/A-proektivnyh C-kontramodulej po ee minimal'noj
triangulirovannoj podkategorii, soderzhaschej total'nye kompleksy takih
tochnyh troek inducirovannyh C-kontramodulej, kotorye v kazhdom chlene
kompleksov yavlyayutsya tochnymi trojkami C-kontramodulej,
inducirovannymi s tochnyh troek A-modulej.
Sledstvie 1. Ogranichenie funktorov \Psi_C i \Phi_C (primenyaemyh
k kompleksam poobjektno) na gomotopicheskuyu kategoriyu kompleksov
C/A-injektivnyh C-komodulej i gomotopicheskuyu kategoriyu kompleksov
C/A-proektivnyh C-kontramodulej opredelyaet proizvodnye funktory
R\Psi_C i L\Phi_C mezhdu koproizvodnoj kategoriej levyh C-komodulej
i kontraproizvodnoj kategoriej levyh C-kontramodulej, yavlyayuschiesya
vzaimno-obratnymi ekvivalentnostyami mezhdu etimi triangulirovannymi
kategoriyami.
Dokazatel'stvo: ispol'zovat' Teoremu 1, Teoremu 2 i Lemmu 2.
Kontratenzornym proizvedeniem kompleksa N pravyh C-komodulej i kompleksa
P levyh C-kontramodulej nazyvaetsya total'nyj kompleks bikompleksa
N^i\ocn_C P^j, obrazovannyj s pomosch'yu vzyatiya beskonechnyh pryamyh
summ vdol' diagonalej. Iz dokazatel'stva Teoremy 2 vidno, chto
koproizvodnaya kategoriya C-komodulej ekvivalentna gomotopicheskoj
kategorii kompleksov injektivnyh C-komodulej. Analogichno,
kontraproizvodnaya kategoriya C-kontramodulej ekvivalentna
gomotopicheskoj kategorii kompleksov proektivnyh C-kontramodulej.
Proizvodnyj funktor kontratenzornogo proizvedeniya CtrTor^C(N,P)
na proizvedenii koproizvodnoj kategorii pravyh C-komodulej i
kontraproizvodnoj kategorii levyh C-kontramodulej opredelyaetsya
s pomosch'yu ogranicheniya funktora kontratenzornogo proizvedeniya
na proizvedenie gomotopicheskoj kategorii kompleksov pravyh C-komodulej
na gomotopicheskuyu kategoriyu kompleksov proektivnyh levyh
C-kontramodulej. Poskol'ku vsyakij proektivnyj C-kontramodul'
yavlyaetsya kontraploskim, eto ogranichenie faktorizuetsya cherez
koproizvodnuyu kategoriyu pravyh C-komodulej po pervomu argumentu.
Zamechanie 2. Otmetim, chto dlya lyubogo pravogo C-komodulya N i levogo
C-kontramodulya P gruppy CtrTor_i^C(N,P) sovpadayut s gruppami gomologij
kompleksa CtrTor^C(N,P). Analogichnym obrazom, netrudno videt', chto
dlya lyubyh levyh C-komodulej L i M gruppy Ext^n_C(L,M), poschitannye
v abelevoj kategorii C-komodulej, sovpadayut s gruppami gomomorfizmov
Hom_{D'(C-comod)}(L,M[n]) v koproizvodnoj kategorii D'(C-comod), a dlya
lyubyh levyh C-kontramodulej P i Q gruppy Ext^n_C(P,Q), poschitannye v
abelevoj kategorii C-kontramodulej, sovpadayut s gruppami gomomorfizmov
Hom_{D''(C-contra)}(P,Q[n]) v kontraproizvodnoj kategorii D''(C-contra).
Bolee togo, analogichnye utverzhdeniya spravedlivy dlya funktorov Hom
v poluproizvodnyh kategoriyah S-modulej i S-kontramodulej.
Zamechanie 3. Proizvodnyj funktor CtrTor mozhno ekvivalentnym obrazom
opredelit', ogranichiv funktor kontratenzornogo proizvedeniya na
proizvedenie gomotopicheskoj kategorii kompleksov A-ploskih pravyh
C-komodulej na gomotopicheskuyu kategoriyu kompleksov C/A-proektivnyh
levyh C-kontramodulej. V samom dele, esli N -- kompleks A-ploskih
pravyh C-komodulej i P -- kontraaciklichnyj kompleks C/A-proektivnyh
levyh C-kontramodulej, to kompleks P s tochnost'yu do gomotopicheskoj
ekvivalentnosti mozhet byt' poluchen iz tochnyh troek kompleksov
C/A-proektivnyh C-kontramodulej s pomosch'yu operacij konusa i sdviga,
tak chto kompleks N\ocn_C P aciklichen soglasno Lemme 2(c). Teper'
esli N -- kompleks A-ploskih C-komodulej, a P -- kompleks
C/A-proektivnyh C-kontramodulej, i esli P'\to P -- kakoj-nibud' morfizm
iz kompleksa proektivnyh C-komodulej P' v P s kontraaciklichnym konusom,
to otobrazhenie N\ocn_C P' \to N\ocn_C P yavlyaetsya kvaziizomorfizmom.
V chastnosti, esli N koaciklichen, to kompleks N\ocn_C P' aciklichen,
tak chto i N\ocn_C P aciklichen. Analogichno, funktor Hom
v koproizvodnoj kategorii C-komodulej mozhno vychislit', ogranichiv
funktor Hom v gomotopicheskoj kategorii C-komodulej na proizvedenie
gomotopicheskoj kategorii A-proektivnyh C-komodulej na gomotopicheskuyu
kategoriyu kompleksov C/A-injektivnyh C-komodulej. Nakonec, funktor
Hom v kontraproizvodnoj kategorii C-kontramodulej mozhno vychislit',
ogranichiv funktor Hom v gomotopicheskoj kategorii C-kontramodulej na
proizvedenie gomotopicheskoj kategorii C/A-proektivnyh C-kontramodulej
na gomotopicheskuyu kategoriyu A-injektivnyh C-kontramodulej.
Opredelim funktor Cotor na proizvedenii koproizvodnyh kategorij pravyh
i levyh C-komodulej, primeniv konstrukciyu funktora SemiTor iz
razdela II k sluchayu, kogda algebra S nad koalgebroidom C sovpadaet
s C. Analogichno, opredelim funktor Coext na proizvedenii koproizvodnoj
kategorii levyh C-komodulej i kontraproizvodnoj kategorii levyh
C-kontramodulej, primeniv konstrukciyu funktora SemiExt iz razdela IV
k sluchayu, kogda algebra S nad koalgebroidom C sovpadaet s C.
Sledstvie 2. Imeet mesto kanonicheskij izomorfizm funktorov
na proizvedenii koproizvodnoj kategorii levyh C-komodulej
i kontraproizvodnoj kategorii levyh C-kontramodulej: Coext_C(M,P) =
Ext_C(M, L\Phi_C(P)) = Ext_C(R\Psi_C(M), P). Analogichnym obrazom,
imeetsya kanonicheskij izomorfizm funktorov na proizvedenii
koproizvodnoj kategorii pravyh C-komodulej i koproizvodnoj kategorii
levyh C-komodulej: Cotor^C(N,M) = Ctrtor^C(N, R\Psi_C(M)).
Dokazatel'stvo: ochevidno, chto dostatochno postroit' izomorfizmy
Coext_C(L, R\Psi_C(M)) = Ext_C(L,M), Coext_C(L\Phi_C(P), Q) =
Ext_C(P,Q) i Cotor^C(N, L\Phi_C(P)) = Ctrtor^C(N,P). V pervom sluchae
predstavim ob''ekt M kompleksom injektivnyh C-komodulej, i primenim
Predlozhenie 2(a); ili predstavim ob''ekt L kompleksom koproektivnyh
C-komodulej, a objekt M kompleksom C/A-injektivnyh C-komodulej (imeya
v vidu Zamechanie 3) i primenim Predlozhenie 2(c) ili (e). Vo vtorom
sluchae predstavim ob''ekt P kompleksom proektivnyh C-kontramodulej,
i primenim Predlozhenie 3(a); ili predstavim P kompleksom
C/A-proektivnyh C-kontramodulej, a Q kompleksom koinjektivnyh
C-kontramodulej, i primenim Predlozhenie 3(c) ili (e). V poslednem
sluchae predstavim ob''ekt P kompleksom proektivnyh C-kontramodulej
i primenim Predlozhenie 1(a); ili predstavim ob''ekt N kompleksom
koploskih C-komodulej (ili dazhe tol'ko kompleksom A-ploskih
C-komodulej, imeya v vidu Zamechanie iz razdela II), a ob''ekt P
kompleksom C/A-proektivnyh kontramodulej, i primenim Predlozhenie 1(c)
ili (e). Nakonec, chtoby pokazat', chto tri poparnyh izomorfizma mezhdu
funktorami Coext_C(M,P), Ext_C(M, L\Phi_C(P)) i Ext_C(R\Psi_C(M), P)
obrazuyut kommutativnuyu diagrammu, mozhno predstavit' ob''ekt M
kompleksom koproektivnyh C-komodulej, a ob''ekt P kompleksom
koinjektivnyh C-kontramodulej (imeya v vidu Lemmu 1).
VI. Komodul'no-kontramodul'noe sootvetstvie dlya algebry nad
koalgebroidom nad kol'com.
Pust' C -- koalgebroid nad kol'com A, proektivnyj nad A sleva i ploskij
nad A sprava, i pust' S -- algebra nad C, koproektivnaya nad C sleva.
Kontratenzornym proizvedeniem N\ocn_S P pravogo S-modulya N i levogo
S-kontramodulya P nazyvaetsya koyadro sleduyuschej pary otobrazhenij
iz (N\oc_C S)\ocn_S P v N\ocn_C P. Pervoe otobrazhenie inducirovano
kodejstviem N\oc_C S \to N. Vtoroe yavlyaetsya kompoziciej
otobrazheniya (N\oc_C S)\ocn_C P \to (N\oc_C S)\ocn_C Cohom_C(S,P),
inducirovannogo kontradejstviem P\to Cohom_C(S,P), i otobrazheniya
\phi: (N\oc_C S)\ocn_C Cohom_C(S,P) \to N\ocn_C P, kotoroe zavisit
tol'ko ot struktur C-komodulya i C-kontramodulya na N, S i P.
Stroitsya eto otobrazhenie tak. Rassmotrim kompoziciyu otobrazhenij
\psi: (N\oc_C S)\ot_A Hom_A(S,P) \to N\ot_A S\ot_A Hom_A(S,P) \to
N\ot_A P \to N\ocn_C P; utverzhdaetsya, chto ona faktorizuetsya cherez
surjekciyu (N\oc_C S)\ot_A Hom_A(S,P) \to (N\oc_C S)\ocn_C Cohom_C(S,P),
chto dostavlyaet iskomoe otobrazhenie \phi. V samom dele, yadrom etoj
surjekcii yavlyaetsya summa obrazov raznosti dvuh otobrazhenij iz
(N\oc_C S)\ot_A Hom_A(S\ot_A C, P) v (N\oc_C S)\ot_A Hom_A(S,P)
i raznosti dvuh otobrazhenij iz (N\oc_C S)\ot_A Hom_A(C\ot_A S, P)
v (N\oc_C S)\ot_A Hom_A(S,P); nam nuzhno pokazat', chto obe eti raznosti
annuliruyutsya kompoziciej s \psi. Mozhno proverit', chto raznost'
pervoj pary otobrazhenij obraschaschaetsya v nul' uzhe pri kompozicii
s otobrazheniem (N\oc_C S)\ot_A Hom_A(S,P) \to N\ot_A S\ot_A Hom_A(S,P)
\to N\ot_A P, a vtoraya para otobrazhenij razlagaetsya v kompoziciyu
otobrazheniya (N\oc_C S)\ot_A Hom_A(C\ot_A S, P) =
(N\oc_C S)\ot_A Hom_A(S,Hom_A(C,P)) \to N\ot_A S\ot_A Hom_A(S,Hom_A(C,P))
\to N\ot_A Hom_A(C,P) i pary otobrazhenij iz N\ot_A Hom_A(C,P)
v N\ot_A P, koyadrom kotoroj po opredeleniyu yavlyaetsya N\ocn_C P.
Kak i funktor kontratenzornogo proizvedeniya nad C, funktor
kontratenzornogo proizvedeniya nad S tochen sprava po oboim svoim
argumentam. Kontratenzornoe proizvedenie nad S dvojstvenno k funktoru
Hom na kategorii S-kontramodulej: esli N -- pravyj S-modul', na kotorom
sleva dejstvuet S-modul'nymi endomorfizmami kol'co B, P -- levyj
S-kontramodul', i J -- levyj B-modul', to imeetsya estestvennyj
izomorfizm Hom_B(N\ocn_S P, J) = Hom_S(P, Hom_B(N,J)). Podstaviv B=\Z,
otsyuda mozhno zaklyuchit', chto dlya lyubogo pravogo C-komodulya V
i levogo S-kontramodulya P imeetsya estestvennyj izomorfizm
(V\oc_C S)\ocn_S P = V\ocn_C P.
Pust' D -- koalgebroid nad kol'com B, ploskij nad B sleva i sprava,
i pust' T -- algebra nad D, koploskaya nad D sprava. Pust' E --
T-S-bimodul', P -- levyj S-kontramodul' i M -- levyj T-modul'.
Togda Hom_T(E,M) yavlyaetsya podkontramodulem levogo S-kontramodulya
Hom_B(E,M) i E\ocn_S P yavlyaetsya faktormodulem levogo T-modulya
E\ot_A P. Dalee, imeetsya estestvennyj izomorfizm
Hom_T(E\ocn_S P, M) = Hom_S(P, Hom_T(E,M)).
Pust teper' algebra S nad C koproektivna nad C sleva i koploska nad C
spava. Togda iz skazannogo sleduet, chto mezhdu kategoriyami levyh
S-modulej i levyh S-kontramodulej imeetsya para sopryazhennyh funktorov
\Psi_S: M\mapsto Hom_S(S,M) i \Phi_S: P\mapsto S\ocn_S P. Pri etom
S-kontramodul' \Psi_S(M) kak C-kontramodul' estestvenno izomorfen
C-kontramodulyu \Psi_C(M) i S-modul' \Phi_S(P) kak C-komodul'
estestvenno izomorfen C-komodulyu \Phi_C(P).
Nachinaya s etogo momenta my budem predpolagat', chto kol'co A imeet
konechnuyu gomologicheskuyu razmernost'.
Teorema 1. (a) Funktor, otobrazhayuschij faktorkategoriyu
gomotopicheskoj kategorii kompleksov C/A-injektivnyh S-modulej
po tolstoj podkategorii C-koaciklichnyh kompleksov C/A-injektivnyh
S-modulej v poluproizvodnuyu kategoriyu S-modulej yavlyaetsya
ekvivalentnost'yu triangulirovannyh kategorij.
(b) Funktor, otobrazhayuschij faktorkategoriyu gomotopicheskoj
kategorii kompleksov C/A-proektivnyh S-kontramodulej po tolstoj
podkategorii C-kontraaciklichnyh kompleksov C/A-proektivnyh
S-kontramodulej v poluproizvodnuyu kategoriyu S-kontramodulej
yavlyaetsya ekvivalentnost'yu triangulirovannyh kategorij.
Dokazatel'stvo (b): Pust' P -- proizvol'nyj kompleks S-kontramodulej.
My vospol'zuemsya konstrukciej morfizma kompleksov S-kontramodulej
L_2(P)\to P, kotoraya ispol'zovalas' v dokazatel'stve Teoremy IV(b)
i opiralas' na Lemmu III.3(b), no tol'ko primenim etu konstrukciyu
k sluchayu, kogda chleny kompleksa P ne obyazatel'no yavlyayutsya
injektivnymi A-modulyami. Legko videt', chto konus morfizma
L_2(P)\to P prinadlezhit podkategorii C-kontraaciklichnyh kompleksov
S-kontramodulej. Pokazhem, chto L_2(P) yavlyaetsya kompleksom
C/A-proektivnyh S-kontramodulej. Pust' 0\to P\to I_0(P)\to I_1(P)
\to ... \to I_{d-1}(P) \to Z(P)\to 0 -- tochnaya posledovatel'nost'
kompleksov S-kontramodulej, kotoraya byla postroena v hode konstrukcii
kompleksa R_1(P) pri dokazatel'stve Teoremy IV(b). Primeniv
funktor L_2 k etoj tochnoj posledovatel'nosti, my poluchim tochnuyu
posledovatel'nost' kompleksov S-kontramodulej 0 \to L_2(P) \to L_2I_0(P)
\to L_2I_1(P) \to ... \to L_2I_{d-1}(P) \to L_2Z(P) \to 0, poskol'ku
netrudno proverit', chto funktor L_2 perevodit tochnye trojki kompleksov
v tochnye trojki. Soglasno Lemme III.3(b), vse kompleksy L_2I_j(P)
i L_2Z(P) yavlyayutsya kompeksami koinjektivnyh C-kontramodulej.
Soglasno Lemme V.1(b), oni yavlyayutsya kompleksami vpolne
C/A-proektivnyh C-kontramodulej, i tem bolee kompleksami C/A-proektivnyh
C-kontramodulej. Poetomu iz Lemmy V.2(b) sleduet, chto L_2(P)
yavlyaetsya kompleksom C/A-proektivnyh S-kontramodulej. Chtoby dokazat'
punkt (b), teper' ostaetsya tol'ko primenit' Lemmu iz razdela II.
Dokazatel'stvo punkta (a) sovershenno analogichno.
Zamechanie 1. Spravedliv analog Teoremy 1 dlya kompleksov vpolne
C/A-injektivnyh S-modulej i kompleksov vpolne C/A-proektivnyh
S-kontramodulej. Bolee togo, dlya lyubogo kompleksa S-modulej M
suschestvuet otobrazhenie kompleksov S-modulej iz M v kompleks
C-injektivnyh S-modulej J s C-koaciklichnym konusom i dlya lyubogo
kompleksa S-kontramodulej P suschestuvet otobrazhenie kompleksov
S-kontramodulej v P iz kompleksa C-proektivnyh S-kontramodulej F
s C-kontraaciklichnym konusom. V samom dele, pust' P -- kompleks
C/A-proektivnyh C-kontramodulej; postroim v nego otobrazhenie iz
kompleksa C-proektivnyh S-kontramodulej s C-kontraaciklichnym konusom.
Rassmotrim kompleks C/A-injektivnyh S-modulej \Phi_S(P). Primenim
k nemu konstrukciyu morfizma kompleksov S-modulej L_1(K)\to K iz
dokazatel'stva Teoremy iz razdela II i Teoremy IV(a). Esli K --
kompleks C/A-injektivnyh S-modulej, to L_1(K) -- kompleks
C-koproektivnyh S-modulej, poskol'ku esli M -- C/A-injektivnyj
S-modul', to A-proektivnyj S-modul' P(M), postroennyj v Lemme I.2
i Lemme III.2(a), C-koproektiven, chto sleduet iz togo, chto
A-proektivnyj C-komodul' T(M), postroennyj v Lemme I.1 i
Lemme III.1(a), koproektiven. Chtoby proverit' poslednee utverzhdenie,
nado zametit', chto rasshirenie dvuh C/A-injektivnyh C-komodulej
yavlyaetsya C/A-injektivnym C-komodulem i vsyakij A-proektivnyj
C/A-injektivnyj C-komodul' L C-koproektiven (poskol'ku tochnaya
trojka A-proektivnyh C-komodulej L \to C\ot_A L \to (C\ot_A L)/L
rasscheplyaetsya). Poetomu L_1 \Phi_S(P) -- kompleks C-koproektivnyh
S-modulej, otobrazhayuschijsya v kompleks C/A-injektivnyh S-modulej
\Phi_S(P) s C-koaciklichnym konusom, a znachit, \Psi_S L_1 \Phi_S(P)
-- kompleks C-proektivnyh S-kontramodulej, otobrazhayuschijsya
v kompleks P s C-kontraaciklichnym konusom.
Zamechanie 1bis. Analogichno tomu, kak v poslednem Zamechanii, mozhno
pokazat', chto konstrukciya iz Lemmy I.1 i Lemmy III.1(a) sopostavlyaet
C/A-koploskomu C-komodulyu surjektivnoe otobrazhenie v nego iz
koploskogo C-komodulya i C/A-koproektivnomu C-komodulyu surjektivnoe
otobrazhenie v nego iz koproektivnogo C-komodulya, a konstrukciya
iz Lemmy III.1(b) sopostavlyaet C/A-koinjektivnomu C-komodulyu
ego vlozhenie v koinjektivnyj C-komodul'. V samom dele, pokazhem, chto
rasshirenie dvuh C/A-koploskih C-komodulej yavlyaetsya C/A-koploskim
C-komodulem i vsyakij A-ploskij C/A-koploskij C-komodul' yavlyaetsya
C-koploskim. Netrudno videt', chto dlya lyuboj tochnoj trojki pravyh
C-komodulej i lyubogo levogo C-komodulya imeetsya dlinnaya tochnaya
posledovatel'nost' grupp Cotor. Krome togo, esli pravyj C-komodul' N
ili levyj C-komodul' M yavlyaetsya A-ploskim, to Cotor_i^C(N,M) = 0
dlya vseh i>0 i Cotor_0^C(N,M) = N\oc_C M. Otsyuda sleduet, chto levyj
C-komodul' M yavlyaetsya C/A-koploskim togda i tol'ko togda, kogda
Cotor_i^C(N,M) = 0 dlya lyubogo A-ploskogo pravogo C-komodulya N i
vseh i<0. Poetomu rasshirenie C/A-koploskih C-komodulej C/A-koplosko.
Dalee, A-ploskij C-komodul' M yavlyaetsya koploskim togda i tol'ko
togda, kogda Cotor_i^C(N,M) = 0 dlya lyubogo pravogo C-komodulya N i
vseh i<0. No Cotor_i^C(N,M) = 0 dlya lyubogo pravogo C-komodulya N,
lyubogo C/A-ploskogo levogo C-komodulya M i vseh i<0, poskol'ku gruppy
Cotor_*^C(N,M) mozhno vychislyat' s pomosch'yu levoj rezol'venty
pravogo C-komodulya N, sostoyaschej iz A-ploskih C-komodulej (kotoraya
suschestvuet soglasno Lemme I.1). Poetomu vsyakij A-ploskij
C/A-koploskij C-komodul' yavlyaetsya koploskim.
Sledstvie 1. Ogranichenie funktorov \Psi_S i \Phi_S na
gomotopicheskuyu kategoriyu kompleksov C/A-injektivnyh S-modulej
i gomotopicheskuyu kategoriyu kompleksov C/A-proektivnyh
S-kontramodulej opredelyaet proizvodnye funktory R\Psi_S i L\Phi_S
mezhdu poluproizvodnoj kategoriej levyh S-modulej i poluproizvodnoj
kategoriej levyh S-kontramodulej, yavlyayuschiesya vzaimno-obratnymi
ekvivalentnostyami mezhdu etimi triangulirovannymi kategoriyami.
Dokazatel'stvo: ispol'zovat' Teoremu 1 i Sledstvie V.1.
Kompleks levyh S-modulej M nazyvaetsya proektivnym otnositel'no C
otnositel'no A (S/C/A-proektivnym), esli kompleks Hom nad S iz M
v lyuboj C-koaciklichnyj kompleks C/A-injektivnyh levyh S-modulej
aciklichen. Analogichno, kompleks levyh S-kontramodulej P nazyvaetsya
injektivnym otnositel'no C otnositel'no A (S/C/A-injektivnym), esli
kompleks Hom nad S v P iz lyubogo C-kontraaciklichnogo kompleksa
C/A-proektivnyh levyh S-kontramodulej aciklichen. Dalee,
kontratenzornym proizvedeniem kompleksa N pravyh S-modulej i kompleksa
P levyh S-kontramodulej nazyvaetsya total'nyj kompleks bikompleksa
N^i\ocn_S P^j, obrazovannyj s pomosch'yu vzyatiya beskonechnyh pryamyh
summ vdol' diagonalej. Budem nazyvat' kompleks pravyh S-modulej
kontraploskim otnositel'no C otnositel'no A (S/C/A-kontraploskim), esli
ego kontratenzornoe proizvedenie nad S s lyubym C-kontraaciklichnym
kompleksom C/A-proektivnyh levyh C-kontramodulej aciklichno.
Teorema 2. (a) Funktor, otobrazhayuschij faktorkategoriyu
gomotopicheskoj kategorii S/C/A-kontraploskih kompleksov pravyh
S-modulej po tolstoj podkategorii C-koaciklichnyh S/C/A-kontraploskih
kompleksov pravyh S-modulej yavlyaetsya ekvivalentnost'yu
triangulirovannyh kategorij.
(b) Funktor, otobrazhayuschij faktorkategoriyu gomotopicheskoj
kategorii S/C/A-proektivnyh kompleksov levyh S-modulej po tolstoj
podkategorii C-koaciklichnyh S/C/A-proektivnyh kompleksov levyh
S-modulej yavlyaetsya ekvivalentnost'yu triangulirovannyh kategorij.
(c) Funktor, otobrazhayuschij faktorkategoriyu gomotopicheskoj
kategorii S/C/A-injektivnyh kompleksov levyh S-kontramodulej
po tolstoj podkategorii C-kontraaciklichnyh S/C/A-injektivnyh
kompleksov levyh S-kontramodulej yavlyaetsya ekvivalentnost'yu
triangulirovannyh kategorij.
Dokazatel'stvo (a): Pri dokazatel'stve Teoremy iz razdela II bylo
pokazano, chto dlya lyubogo kompleksa pravyh S-modulej K imeetsya
kompleks A-ploskih pravyh S-modulej L_1(K), snabzhennyj otobrazheniem
kompleksov S-modulej L_1(K)\to K, konus kotorogo C-koaciklichen.
Sleduya oboznacheniyam iz dokazatel'stva Teoremy iz razdela II, dlya
lyubogo kompleksa A-ploskih pravyh S-modulej N oboznachim cherez L_3(N)
total'nyj kompleks bikompleksa ... \to N\oc_C S\oc_C S \to N\oc_C S,
obrazovannyj s pomosch'yu vzyatiya beskonechnyh pryamyh summ vdol'
diagonalej. Iz Teoremy V.2(b) i Lemmy V.2(c) sleduet, chto vsyakij
kompleks pravyh S-modulej, inducirovannyj s kompleksa A-ploskih pravyh
C-komodulej, yavlyaetsya S/C/A-kontraploskim. Legko videt' takzhe,
chto klass S/C/A-kontraploskih kompleksov pravyh S-modulej zamknut
otnositel'no konusov, sdvigov i beskonechnyh pryamyh summ. Poetomu
dlya lyubogo kompleksa A-ploskih pravyh S-modulej N kompleks L_3(N)
yavlyaetsya S/C/A-kontraploskim. V to zhe vremya, konus morfizma
L_3(N)\to N yavlyaetsya C-koaciklichnym (i dazhe styagivaemym nad C)
kompleksom pravyh S-modulej. Poetomu konus kompozicii otobrazhenij
L_3L_1(K) \to L_1(K) \to K tozhe C-koaciklichen, i ostaetsya
vospol'zovat'sya Lemmoj iz razdela II. Punkt (a) dokazan;
dokazatel'stvo punktov (b) i (c) sovershenno analogichno.
Lemma 1. Pust' H -- kategoriya i T -- lokalizuyuschij klass morfizmov
v H. Pust' P i I -- polnye podkategorii H, takie chto otobrazhenie
Hom_H(q,J) yavlyaetsya biekciej dlya lyubogo q iz P\cap H, J iz I
i dlya lyubogo ob''ekta X iz H najdetsya ob''ekt Q iz P vmeste
s morfizmom Q\to X, prinadlezhaschim T (ili otobrazhenie Hom_H(Q,j)
yavlyaetsya biekciej dlya lyubogo Q iz P, j iz I\cap H i dlya lyubogo
ob''ekta Y iz H najdetsya ob''ekt J iz I vmeste s otobrazheniem Y\to J,
prinadlezhaschim T). Togda dlya lyubyh ob''ektov Q iz P i J iz I
estestvennoe otobrazhenie Hom_H(Q,J) \to Hom_{H[T^{-1}]}(Q,J)
yavlyaetsya biekciej.
Dokazatel'stvo: proizvol'nyj element Hom_{H[T^{-1}]}(Q,J) mozhet byt'
predstavlen drob'yu iz morfizmov Q\from Y\to J, gde morfizm Y\to Q
prinadlezhit T. Vyberem element Q' iz P vmeste s morfizmom Q'\to Y,
prinadlezhaschim T. Togda kompoziciya Q'\to Y\to Q prinadlezhit
P\cap T, tak chto otobrazhenie Hom(Q,J) \to Hom(Q',J) biektivno,
i sledovatel'no, najdetsya morfizm Q\to J, obrazuyuschij kommutativnyj
treugol'nik vmeste s morfizmami Q'\to Y\to Q i Q'\to Y\to J.
Ochevidno, postroennyj morfizm Q\to J predstavlyaet tot zhe morfizm
v H[T^{-1}], chto i drob' Q\from Q'\to J, a poslednij predstavlyaet
tot zhe morfizm v H[T^{-1}], chto i drob' P\from Y\to J. Pust' teper'
f', f'': P\to J -- dva morfizma v H, kompozicii kotoryh s nekotorym
morfizmom Y\to P, prinadlezhaschim T, sovpadayut. Snova vyberem
element Q' iz P vmeste s morfizmom Q'\to Y, prinadlezhaschim T. Togda
kompozicii f' i f'' s otobrazheniem Q'\to Y\to Q sovpadayut; a poskol'ku
otobrazhenie Hom(Q,J) \to Hom(Q',J) biektivno, morfizmy f' i f'' ravny.
Lemma 2. Pust' H_1 i H_2 -- kategorii, F_1 i F_2 -- polnye podkategorii
v H_1 i H_2, T_1 i T_2 -- klassy morfizmov v H_1 i H_2. Predpolozhim,
chto funktory F_i[(F_i\cap T_i)^{-1}] \to H_i[T_i^{-1}] yavlyayutsya
ekvivalentnostyami kategorij. Bolee togo, predpolozhim, chto dlya
lyubogo ob''ekta X iz H_i najdetsya ob''ekt U iz F_i vmeste s morfizmom
U\to X, prinadlezhaschim T_i, i dlya lyubogo morfizma X\to Y iz H_i
najdetsya morfizm morfizmov (U\to V)\to (X\to Y), gde ob''ekty U, V
prinadlezhat F_i, i morfizmy U\to X, V\to Y prinadlezhat T_i. Nakonec,
pust' K -- kategoriya i \Pi: H_1 \times H_2 \to K -- funktor, takoj chto
morfizm \Pi(t,V) yavlyaetsya izomorfizmom dlya lyubogo t iz F_1\cap T_1
i V iz F_2 i morfizm \Pi(V,t) yavlyaetsya izomorfizmom dlya lyubogo V
iz F_1 i t iz F_2\cap T_2. Togda "levyj proizvodnyj funktor"
L\Pi: H_1[T_1^{-1}] \times H_2[T_2^{-1}] \to K, poluchennyj s pomosch'yu
ogranicheniya \Pi na F_1\times F_2, yavlyaetsya universal'nym konechnym
ob''ektom v kategorii vseh funktorov \Sigma: H_1[T_1^{-1}] \times
H_2[T_2^{-1}] \to K, snabzhennyh morfizmom funktorov \Sigma \to \Pi,
gde \Sigma rassmatrivaetsya kak funktor H_1 \times H_2 \to K.
Dokazatel'stvo: netrudno videt', chto imeetsya funktorial'nyj morfizm
L\Pi(X_1,X_2) \to \Pi(X_1,X_2) dlya X_1 iz H_1 i X_2 iz H_2,
yavlyayuschijsya izomorfizmom dlya X_1 iz F_1 i X_2 iz F_2. Esli teper'
funktor \Sigma: H_1[T_1^{-1}] \times H_2[T_2^{-1}] \to K snabzhen
morfizmom \Sigma \to \Pi funktorov na H_1 \times H_2, to ogranichiv
etot morfizm funktorov na F_1 \times F_2, poluchim iskomyj morfizm
funktorov \Sigma \to L\Pi.
Funktor Hom v proizvodnoj kategorii levyh S-modulej mozhno vychislit',
ogranichiv funktor Hom v gomotopicheskoj kategorii kompleksov S-modulej
na proizvedenie gomotopicheskoj kategorii S/C/A-proektivnyh kompleksov
S-modulej na gomotopicheskuyu kategoriyu kompleksov C/A-injektivnyh
S-modulej. Analogichno, funktor Hom v proizvodnoj kategorii
S-kontramodulej mozhno vychislit', ogranichiv funktor Hom
v gomotopicheskoj kategorii kompleksov S-kontramodulej na proizvedenie
gomotopicheskoj kategorii kompleksov C/A-proektivnyh S-kontramodulej
na gomotopicheskuyu kategoriyu S/C/A-injektivnyh kompleksov
S-kontramodulej. Oba utverzhdeniya sleduyut iz Lemmy 1.
Proizvodnyj funktor kontratenzornogo proizvedeniya CtrTor^S(N,P)
na proizvedenii poluproizvodnyh kategorij pravyh S-modulej i levyh
S-kontramodulej opredelyaetsya s pomosch'yu ogranicheniya funktora
kontratenzornogo proizvedeniya na proizvedenie gomotopicheskoj kategorii
S/C/A-kontraploskih kompleksov pravyh S-modulej na gomotopicheskuyu
kategoriyu kompleksov C/A-proektivnyh S-kontramodulej. Po opredeleniyu,
eto ogranichenie faktorizuetsya cherez poluproizvodnuyu kategoriyu
S-kontramodulej po vtoromu argumentu; pokazhem, chto ono takzhe
faktorizuetsya cherez poluproizvodnuyu kategoriyu pravyh S-modulej
po pervomu argumentu. Pust' na komplekse pravyh S-modulej N dejstvuet
sleva endomorfizmami kompleksa S-modulej kol'co B, i pust' J --
injektivnyj levyj B-modul'. Togda esli kompleks N S/C/A-kontraploskij,
to kompleks levyh S-kontramodulej Hom_B(N,J) S/C/A-injektiven.
Pust' teper' B=\Z i J=\Q/\Z; togda esli kompleks N C-koaciklichen,
to kompleks Hom_{\Z}(N,J) C-kontraaciklichen. Takim obrazom, esli
N -- S/C/A-kontraploskij C-koaciklichnyj kompleks pravyh S-modulej,
a P -- C/A-proektivnyj kompleks levyh S-kontramodulej, to kompleks
Hom_S(P,Hom_{\Z}(N,J)) aciklichen po dokazannomu vyshe. Poetomu
kompleks N\ocn_S P tozhe aciklichen. Korrektnost' opredeleniya
proizvodnogo funktora kontratenzornogo proizvedeniya nad S dokazana.
Soglasno Lemme 2, takoe opredelenie levogo proizvodnogo funktora na
samom dele ne zavisit ot vybora podkategorij prisposoblennyh kompleksov.
Pust' kol'co B imeet konechnuyu gomologicheskuyu razmernost',
koalgebroid D nad B yavlyaetsya proektivnym levym i ploskim pravym
B-modulem, a algebra T nad D yavlyaetsya koproektivnym levym i
koploskim pravym D-komodulem.
Predlozhenie 1. Dlya lyubogo B-ploskogo pravogo T-modulya N,
T-S-bimodulya E i levogo S-kontramodulya P imeetsya estestvennoe
otobrazhenie (N\os_T E)\ocn_S P \to N\os_T (E\ocn_S P), kotoroe
yavlyaetsya izomorfizmom, po krajnej mere, kogda N -- koploskij
D-komodul'.
Predlozhenie 2. Dlya lyubogo B-proektivnogo levogo T-modulya L,
S-T-bimodulya E i levogo S-modulya M imeetsya estestvennoe otobrazhenie
SemiHom_T(L, Hom_S(E,M)) \to Hom_S(E\os_T L, M), kotoroe yavlyaetsya
izomorfizmom, po krajnej mere, kogda L -- koproektivnyj D-komodul'.
Predlozhenie 3. Dlya lyubogo levogo S-kontramodulya P, T-S-bimodulya
E i B-injektivnogo levogo T-kontramodulya Q imeetsya estestvennoe
otobrazhenie SemiHom_T(E\ocn_S P, Q) \to Hom_S(P, SemiHom_T(E,Q)),
kotoroe yavlyaetsya izomorfizmom, po krajnej mere, kogda Q --
koinjektivnyj D-kontramodul'.
Dokazatel'stvo Predlozhenij 1-3 ne predstavlyaet trudnosti.
Lemma 3. (a) Vsyakij poluploskij kompleks C-koploskih pravyh S-modulej
yavlyaetsya S/C/A-kontraploskim.
(b) Vsyakij poluproektivnyj kompleks C-koproektivnyh levyh S-modulej
yavlyaetsya S/C/A-proektivnym.
(c) Vsyakij poluinjektivnyj kompleks C-koinjektivnyh S-kontramodulej
yavlyaetsya S/C/A-injektivnym.
Dokazatel'stvo: punkt (a) sleduet iz Predlozheniya 1, punkt (b) iz
Predlozheniya 2, i punkt (c) iz Predlozheniya 3.
Zamechanie 2. Iz rezul'tatov razdela V (Lemmy V.1, dokazatel'stva
Teoremy V.2 i Sledstviya V.1) v chastnosti vytekaet, chto funktory,
otobrazhayuschie gomotopicheskuyu kategoriyu kompleksov koproektivnyh
C-komodulej v koproizvodnuyu kategoriyu C-komodulej i gomotopicheskuyu
kategoriyu kompleksov koinjektivnyh C-kontramodulej v kontraproizvodnuyu
kategoriyu C-kontramodulej yavlyayutsya ekvivalentnostyami kategorij.
Drugimi slovami, vsyakij koaciklichnyj kompleks koproektivnyh
C-komodulej ili kontraaciklichnyj kompleks koinjektivnyh C-kontramodulej
styagivaem. Bolee togo, iz Lemmy 3 i Lemmy V.1 sleduet, chto vsyakij
C-koaciklichnyj poluproektivnyj kompleks C-koproektivnyh S-modulej
styagivaem i vsyakij C-kontraaciklichnyj poluinjektivnyj kompleks
C-koinjektivnyh S-kontramodulej styagivaem. Poetomu gomotopicheskaya
kategoriya poluproektivnyh kompleksov C-koproektivnyh S-modulej
ekvivalentna poluproizvodnoj kategorii S-modulej i gomotopicheskaya
kategoriya poluinjektivnyh kompleksov C-koinjektivnyh S-kontramodulej
ekvivalentna poluproizvodnoj kategorii S-kontramodulej. V chastnosti,
podkategoriya poluproektivnyh kompleksov C-koproektivnyh S-modulej
sovpadaet s minimal'noj triangulirovannoj podkategoriej gomotopicheskoj
kategorii kompleksov S-modulej, soderzhaschej kompleksy, inducirovannye
s kompleksov C-koproektivnyh C-komodulej i zamknutoj otnositel'no
beskonechnyh pryamyh summ, a podkategoriya poluinjektivnyh kompleksov
C-koinjektivnyh S-kontramodulej sovpadaet s minimal'noj
triangulirovannoj podkategoriej gomotopicheskoj kategorii kompleksov
S-kontramodulej, soderzhaschej kompleksy, koinducirovannye s kompleksov
C-koinjektivnyh C-kontramodulej i zamknutoj otnositel'no beskonechnyh
proizvedenij. (Sm. Teoremu iz razdela IV i ee dokazatel'stvo.)
Sledstvie 2. Imeet mesto kanonicheskij izomorfizm funktorov
na proizvedenii poluproizvodnoj kategorii levyh S-modulej
i poluproizvodnoj kategorii levyh S-kontramodulej: SemiExt_S(M,P) =
Ext_S(M, L\Phi_S(P)) = Ext_S(R\Psi_S(M), P). Analogichnym obrazom,
imeetsya kanonicheskij izomorfizm funktorov na proizvedenii
poluproizvodnoj kategorii pravyh S-komodulej i poluproizvodnoj
kategorii levyh S-modulej: SemiTor^S(N,M) = CtrTor^S(N, R\Psi_S(M)).
Dokazatel'stvo: ochevidno, chto dostatochno postroit' izomorfizmy
SemiExt_C(L, R\Psi_S(M)) = Ext_S(L,M), SemiExt_S(L\Phi_S(P), Q) =
Ext_S(P,Q) i SemiTor^S(N, L\Phi(P)) = CtrTor^C(N,P). V pervom sluchae
predstavim ob''ekt L poluproektivnym kompleksom C-koproektivnyh
S-modulej, a ob''ekt M kompleksom C/A-injektivnyh S-modulej, i primenim
Lemmu 3(b) i Predlozhenie 2. Vo vtorom sluchae predstavim ob''ekt P
kompleksom C/A-proektivnyh S-kontramodulej, a ob''ekt Q poluinjektivnym
kompleksom C-koinjektivnyh S-kontramodulej, i primenim Lemmu 3(c) i
Predlozhenie 3. V poslednem sluchae predstavim ob''ekt N poluploskim
kompleksom C-koploskih pravyh S-modulej, a ob''ekt P kompleksom
C/A-proektivnyh S-kontramodulej, i primenim Lemmu 3(a) i Predlozhenie 1.
Nakonec, chtoby pokazat', chto tri poparnyh izomorfizma mezhdu
funktorami SemiExt_S(M,P), Ext_S(M, L\Phi_S(P)) i Ext_S(R\Psi_S(M), P)
obrazuyut kommutativnuyu diagrammu, mozhno predstavit' ob''ekt M
poluproektivnym kompleksom C-koproektivnyh S-modulej, a ob''ekt P
poluinjektivnym kompleksom C-koinjektivnyh S-kontramodulej
(imeya v vidu Lemmu V.1 i Lemmu 3).
