![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicВажная теорема про p-копроизводные категории состоит в том, что если есть точная категория A с точными функторам бесконечных прямых сумм и в ней корезольвентная полная подкатегория E, замкнутая относительно бесконечных прямых сумм, то p-копроизводные категории точных категорий A и E эквивалентны, Dpco(E) = Dpco(A).
Для b-копроизводных категорий соответствующее утверждение выполнено по определению. Если в точной категории A достаточно много инъективных объектов (без чего не определена b-копроизводная категория), то они совпадают с инъективными объектами любой ее корезольвентной подкатегории E, в которой их тогда тоже достаточно много, и Dbco(E) = Hot(Einj) = Hot(Ainj) = Dbco(A).
С другой стороны, точность прямых сумм в (идемпотентно полной) точной категории E достаточно очевидным образом гарантирует, что все p-коацикличные комплексы в E ацикличны как комплексы в E (т.е., составлены из точных троек в точной категории E). Как обстоит дело с аналогичным утверждением в b-копроизводной категории?
Допустим, точная категория E достаточно хороша (для применения теоретико-множественных методов, типа рассуждения о малом объекте и основанных на нем результатов современной теории модельных категорий, и т.д. -- скажем, E является корезольвентным деконструируемым классом в категории модулей над кольцом, замкнутым относительно прямых слагаемых, прямых сумм, прямых пределов и прямых произведений, и т.д.) Можно ли как-нибудь доказать, что все b-коацикличные комплексы в E (т.е., комплексы, перпендикулярные слева ко всем комплексам инъективных объектов/модулей) ацикличны в E (т.е., ацикличны как комплексы модулей, с модулями коциклов, принадлежащими E)?
Для b-копроизводных категорий соответствующее утверждение выполнено по определению. Если в точной категории A достаточно много инъективных объектов (без чего не определена b-копроизводная категория), то они совпадают с инъективными объектами любой ее корезольвентной подкатегории E, в которой их тогда тоже достаточно много, и Dbco(E) = Hot(Einj) = Hot(Ainj) = Dbco(A).
С другой стороны, точность прямых сумм в (идемпотентно полной) точной категории E достаточно очевидным образом гарантирует, что все p-коацикличные комплексы в E ацикличны как комплексы в E (т.е., составлены из точных троек в точной категории E). Как обстоит дело с аналогичным утверждением в b-копроизводной категории?
Допустим, точная категория E достаточно хороша (для применения теоретико-множественных методов, типа рассуждения о малом объекте и основанных на нем результатов современной теории модельных категорий, и т.д. -- скажем, E является корезольвентным деконструируемым классом в категории модулей над кольцом, замкнутым относительно прямых слагаемых, прямых сумм, прямых пределов и прямых произведений, и т.д.) Можно ли как-нибудь доказать, что все b-коацикличные комплексы в E (т.е., комплексы, перпендикулярные слева ко всем комплексам инъективных объектов/модулей) ацикличны в E (т.е., ацикличны как комплексы модулей, с модулями коциклов, принадлежащими E)?
