Ассоциативные полубесконечные (ко)гомологии над (некоммутативным) базовым кольцом

[posic]

Продолжение этого -- http://posic.livejournal.com/190336.html


Polubeskonechnye (ko)gomologii associativnyh algebraicheskih struktur.
Sluchaj algebry nad koalgebroidom nad (nekommutativnym) basovym kol'com.

I. Funktor polutenzornogo proizvedeniya.

Pust' A -- nekommutativnoe kol'co. Nam pridetsya predpolagat', chto
A imeet konechnuyu (levuyu) gomologicheskuyu razmernost'.

Koalgebroid C nad A -- eto ob''ekt-koalgebra v tenzornoj kategorii
bimodulej nad A, t.e. eto A-bimodul' C, snabzhennyj otobrazheniem
koumnozheniya C \to C\ot_A C i otobrazheniem koedinicy C \to A,
kotorye dolzhny byt' morfizmami A-bimodulej i udovletvoryat'
obychnym aksiomam koassociativnosti i koedinicy.

Levyj komodul' M nad koalgebroidom C -- eto ob''ekt-komodul' nad
ob''ektom-koalgebroj C v levoj modul'noj kategorii levyh A-modulej
nad tenzornoj kategoriej A-bimodulej; drugimi slovami, eto levyj
A-modul', snabzhennyj otobrazheniem kodejstviya M \to C\ot_A M,
udovletvoryayuschim obychnym aksiomam koassociativnosti i koedinicy.
Analogichno, pravyj komodul' N nad C -- eto pravyj A-modul' N vmeste
s otobrazheniem N \to N\ot_A C, udovletvoyayuschim obychnym aksiomam.

Esli V -- levyj A-modul', to levyj C-komodul' C\ot_A V nazyvaetsya
koinducirovannym s A-modulya V. Dlya lyubogo levogo C-komodulya M
imeetsya estestvennyj izomorfizm Hom_C(M, C\ot_A V) = Hom_A(M,V).
Eto chastnyj sluchaj obschego fakta, imeyuschego mesto dlya lyuboj,
ne obyazatel'no additivnoj, tenzornoj kategorii, modul'noj kategorii
nad nej, i ob''ekta-associativnoj algebry s edinicej ili
koassociativnoj koalgebry s koedinicej v etoj tenzornoj kategorii.

Kategoriya levyh C-komodulej yavlyaetsya abelevoj, esli pravyj A-modul'
C ploskij, i analogichno dlya pravyh C-komodulej. Bolee togo,
pravyj A-modul' C ploskij togda i tol'ko togda, kogda kategoriya levyh
C-komodulej abeleva i zabyvayuschij funktor iz nee v kategoriyu
levyh A-modulej tochen. V to zhe vremya, dlya lyubogo koalgebroida C
imeyutsya chetyre estestvennye tochnye kategorii: tochnaya kategoriya
A-ploskih C-komodulej, tochnaya kategoriya A-proektivnyh C-komodulej,
tochnaya kategoriya proizvol'nyh C-komodulej s A-rasschepimymi tochnymi
trojkami, i tochnaya kategoriya proizvol'nyh levyh C-komodulej
s tochnymi trojkami, kotorye kak trojki A-modulej sohranyayut tochnost'
pri tenzornom umnozhenii nad A na lyuboj pravyj A-modul'. Krome togo,
lyuboj morfizm C-komodulej imeet koyadro i zabyvayuschij funktor
v kategoriyu A-modulej sohranyaet koyadra.

V dal'nejshem my budem predpolagat', chto C yavlyaetsya ploskim levym
A-modulem i ploskim pravym A-modulem.

Lemma 1. Suschestvuet (ne obyazatel'no additivnyj) funktor,
sopostavlyayuschij vsyakomu C-komodulyu surjektivnoe otobrazhenie
v nego iz A-ploskogo C-komodulya.

Dokazatel'stvo ispol'zuet predpolozhenie o konechnosti gomologicheskoj
razmernosti kol'ca A. Pust' F(M) \to M -- kakoe-nibud' funktorial'no
zavisyaschee ot A-modulya M surjektivnoe otobrazhenie v M iz ploskogo
A-modulya F(M). Naprimer, mozhno vzyat' za F(M) pryamuyu summu kopij
A-modulya A, zanumerovannyh vsemi elementami modulya M. Rassmotrim
otobrazhenie kodejstviya M \to C\ot_A M; legko videt', chto ono
yavlyaetsya vlozheniem C-komodulej; oboznachim cherez K(M) ego koyadro.
Pust' Q(M) -- yadro kompozicii C\ot_A F(M) \to C\ot_A M \to K(M). Togda
kompoziciya otobrazhenij Q(M)\to C\ot_A F(M) \to C\ot_A M faktorizuetsya
cherez vlozhenie M \to C\ot_A M, tak chto imeetsya estestvennoe
surjektivnoe otobrazhenie C-komodulej Q(M)\to M. Pokazhem, chto
ploskaya razmernost' fd_A Q(M) po krajnej mere na edinicu men'she
ploskoj razmernosti M. V samom dele, A-modul' C\ot_A F(M) ploskij,
tak chto fd_A Q(M) = fd_A K(M) - 1 \leq fd_A (C\ot_A M) - 1 \leq
fd_A(M) - 1, poskol'ku A-modul' K(M) yavlyaetsya pryamym slagaemym
modulya C\ot_A M, a ploskuyu rezol'ventu A-modulya C\ot_A M mozhno
postroit', pomnozhiv tenzorno ploskuyu rezul'ventu M na C nad A.
Ostaetsya proiterirovat' funktor M \mapsto Q(M) dostatochno mnogo raz.

Kotenzornoe proizvedenie pravogo C-komodulya N i levogo C-komodulya M --
eto abeleva gruppa N\oc_C M, opredelyaemaya kak yadro pary otobrazhenij
iz N\ot_A M v N\ot_A C\ot_A M, odno iz kotoryh proiskhodit iz
kodejstviya C na N, a vtoroe -- iz kodejstviya C na M. Netrudno videt',
chto dlya lyubogo pravogo A-modulya V i levogo C-comodulya M kotenzornoe
proizvedenie (V\ot_A C)\ot_C M izomorfno V\ot_A M, i analogichno dlya
lybogo pravogo C-komodulya i levogo A-modulya. Eto chastnyj sluchaj
obschego fakta, imeyuschego mesto dlya lyuboj tenzornoj kategorii,
levoj i pravoj modul'nyh kategorij nad nej, sparivaniya mezhdu etimi
modul'nymi kategoriyami so znacheniyami v additivnoj kategorii, i
ob''ekta-associativnoj algebry s edinicej ili koassociativnoj koalgebry
s koedinicej v etoj tenzornoj kategorii.

Levyj komodul' M nad C nazyvaetsya koploskim, esli funktor kotenzornogo
proizvedeniya na M na kategorii pravyh C-komodulej tochen. Legko
videt', chto vsyakij koploskij C-komodul' yavlyaetsya ploskim A-modulem.
Levyj komodul' M nad C nazyvaetsya koploskim otnositel'no A
(C/A-koploskim), esli ego kotenzornoe proizvedenie s lyuboj tochnoj
trojkoj A-ploskih pravyh C-komodulej yavlyaetsya tochnoj trojkoj.

Zamechanie 1. Mozhno pokazat', chto rasshirenie dvuh koploskih
C-komodulej yavlyaetsya koploskim C-komodulem, A-ploskij faktorkomodul'
koploskogo C-komodulya po koploskomu podkomodulyu yavlyaetsya koploskim
C-komodulem, rasshirenie dvuh C/A-koploskih C-komodulej yavlyaetsya
C/A-koploskim C-komodulem, i faktorkomodul' C/A-koploskogo C-komodulya
po C/A-koploskomu podkomodulyu yavlyaetsya C/A-koploskim C-komodulem.
Krome togo, kotenzornoe umnozhenie na proizvol'nyj C-komodul' perevodit
tochnye trojki koploskih C-komodulej v tochnye trojki i kotenzornoe
umnozhenie na A-ploskij C-komodul' perevodit tochnye trojki
C/A-koploskih C-komodulej v tochnye trojki. Vse eti rezul'taty mozhno
vyvesti iz standartnyh svojstv proizvodnogo funktora kotenzornogo
proizvedeniya A-ploskogo C-komodulya na proizvol'nyj C-komodul',
kotoryj mozhno opredelit' kak proizvodnyj funktor tochnogo sleva
funktora kotenzornogo proizvedeniya nad C na proizvedenii abelevoj
kategorii pravyh C-komodulej i tochnoj kategorii A-ploskih levyh
C-komodulej. Takoj proizvodnyj funktor Cotor_i^C(N,M), i = 0, -1, ...,
mozhno postroit' s pomosch'yu injektivnyh (sm. razdel V) rezol'vent
pervogo argumenta, i posle etogo pokazat', chto C-komodul' M yavlyaetsya
koploskim togda i tol'ko togda, kogda Cotor_i^C(N,M) = 0 dlya lyubogo
C-komodulya N i vseh i<0, a C-komodul' N yavlyaetsya C/A-koploskim
togda i tol'ko togda, kogda Cotor_i^C(N,M) = 0 dlya lyubogo A-ploskogo
C-komodulya M i vseh i<0. Bolee obschaya konstrukciya dvustoronnego
proizvodnogo funktora Cotor_*^C(N,M), opredelennogo dlya proizvol'nyh
C-komodulej M i N, budet dana (v predpolozhenii konechnosti
gomologicheskoj razmernosti kol'ca A) v razdele II. Ispol'zuya etu
konstrukciyu, mozhno dokazat' neskol'ko bolee sil'nye rezul'taty.
V chastnosti, Cotor_i^C(N,M) = 0 dlya lyubogo C/A-ploskogo pravogo
C-komodulya N, lyubogo levogo C-komodulya M i vseh i<0, poskol'ku
(soglasno Zamechaniyu II.2) gruppy Cotor_*^C(N,M) mozhno vychislyat'
s pomosch'yu levoj rezol'venty levogo C-komodulya M, sostoyaschej
iz A-ploskih C-komodulej (kotoraya suschestvuet soglasno Lemme I.1).
Poetomu vsyakij A-ploskij C/A-koploskij C-komodul' yavlyaetsya
koploskim. Otsyuda vytekaet, chto konstrukciya Lemmy I.1
sopostavlyaet C/A-koploskomu C-komodulyu surjektivnoe otobrazhenie
v nego iz koploskogo C-komodulya. Krome togo, dlya lyubogo
C-komodulya yadro surjektivnogo otobrazheniya v nego iz A-ploskogo
C-komodulya, postroennogo v Lemme I.1, yavlyaetsya C/A-koploskim
C-komodulem. Analogichnye rezul'taty imeyut mesto dlya koproektivnyh
C-komodulej i koinjektivnyh C-kontramodulej (sm. razdel III).
V chastnosti, konstrukciya Lemmy I.1 i Lemmy III.1(a) sopostavlyaet
C/A-koproektivnomu C-komodulyu surjektivnoe otobrazhenie v nego
iz koproektivnogo C-komodulya, a konstrukciya Lemmy III.1(b)
sopostavlyaet C/A-koinjektivnomu C-kontramodulyu ego vlozhenie
v koinjektivnyj C-kontramodul'.

Pust' D -- koalgebroid nad kol'com B konechnoj gomologicheskoj
razmernosti, yavlyayuschijsya ploskim levym i pravym B-modulem.
C-D-bikomodulem nazyvaetsya A-B-bimodul', snabzhennyj strukturami levogo
C-komodulya i pravogo D-komodulya, kommutiruyuschimi mezhdu soboj;
drugimi slovami, struktura C-D-bikomodulya na A-B-bimodule E zadaetsya
otobrazheniem A-B-bimodulej E \to C\ot_A E\ot_B D, udovletvoryayuschim
akciomam koassociativnosti i koedinicy. Pust' G -- proizvol'nyj
koalgebroid nad kol'com F. Netrudno videt', chto esli N --
C-G-bikomodul' i M -- G-D-bikomodul', to N\oc_G M yavlyaetsya
podbikomodulem C-D-bikomodulya N\ot_F M.

Predlozhenie 1. Esli N -- pravyj C-komodul', E -- C-D-bikomodul',
a M -- levyj D-komodul', to iterirovannye kotenzornye proizvedeniya
N\oc_C (E\oc_D M) i (N\oc_C E)\oc_D M estestvennym obrazom izomorfny,
po krajnej mere, v sleduyuschih sluchayah:
(a) pravyj A-modul' N ploskij i levyj B-modul' M ploskij;
(b) pravyj C-komodul' N koploskij ili levyj D-komodul' M koploskij;
(c) levyj B-modul' M ploskij, levyj A-modul' E ploskij i pravyj
D-komodul' E koploskij otnositel'no B;
(d) pravyj A-modul' N ploskij, pravyj B-modul' E ploskij i levyj
i C-komodul' E koploskij otnositel'no A;
(e) levyj B-modul' M ploskij i E kak pravyj D-komodul' so strukturoj
levogo A-modulya koinducirovan s nekotorogo A-B-bimodulya;
(f) pravyj A-modul' N ploskij i E kak levyj C-komodul' so strukturoj
pravogo B-modulya koinducirovan s nekotorogo A-B-bimodulya.
Tochnee govorya, vo vseh perechislennyh sluchayah estestvennye
otobrazheniya iz oboih iterirovannyh kotenzornyh proizvedenij v gruppu
N\ot_A E\ot_B M injektivny, a ih obrazy sovpadayut i ravny peresecheniyu
dvuh podgrupp N\oc_C (E\ot_B M) i (N\ot_A E)\oc_D M v etoj gruppe.
Krome togo, v usloviyah punkta (c) levyj A-modul' E\oc_D M ploskij,
a v usloviyah punkta (d) pravyj B-modul' N\oc_C E ploskij.

Dokazatel'stvo punkta (c) ispol'zuet konechnost' gomologicheskoj
razmernosti kol'ca A (a punkta (d) -- kol'ca B). Klyuchevoj shag --
pokazat', chto estestvennoe otobrazhenie iz N\ot_A (E\oc_D M)
v (N\ot_A E)\oc_D M -- izomorfizm. Esli N -- ploskij pravyj A-modul',
to eto ochevidno. Esli M -- koploskij levyj D-komodul', to dostatochno
predstavit' N v vide koyadra otobrazheniya ploskih pravyh A-modulej.
Esli zhe E -- ploskij levyj A-modul' i M -- ploskij levyj B-modul',
to sleduet rassmotret' kobar-kompleks E\oc_D M \to E\ot_B M \to
E\ot_B D\ot_B M \to E\ot_B D\ot_B D\ot_B M \to ... Esli E --
D/B-koploskij pravyj D-komodul', to etot kompleks tochen, poskol'ku
on yavlyaetsya kotenzornym proizvedeniem D/B-koploskogo D-komodulya
s B-rasschepimym tochnym kompleksom B-ploskih D-komodulej. Poskol'ku
gomologicheskaya razmernost' kol'ca A konechna i vse chleny etogo
bar-kompleksa, krome, mozhet byt', samogo levogo, yavlyayutsya ploskimi
A-modulyami, to i samyj levyj chlen yavlyaetsya ploskim A-modulem i
tenzornoe proizvedenie etogo tochnogo kompleksa ploskih levyh A-modulej
s pravym A-modulem N -- tochnyj kompleks. Nakonec, esli E kak pravyj
D-komodul' so strukturoj pravogo B-modulya koinducirovan s nekotorogo
A-B-bimodulya, to kobar-kompleks E\oc_D M \to E\ot_B M \to
E\ot_B D\ot_B M \to ... tochen i rasschepim kak kompleks levyh A-modulej.

Takim obrazom, bikomoduli nad C, yavlyayuschiesya koploskimi pravymi
C-komodulyami, obrazuyut tenzornuyu kategoriyu s edinichnym ob''ektom C,
a proizvol'nye levye C-komoduli -- levuyu modul'nuyu kategoriyu nad etoj
tenzornoj kategoriej. Dalee, bikomoduli nad C, ploskie nad A sprava
i koploskie nad C otnositel'no A sleva, takzhe obrazuyut tenzornuyu
kategoriyu, proizvol'nye levye C-komoduli -- levuyu modul'nuyu
kategoriyu nad etoj tenzornoj kategoriej, a A-ploskie pravye C-komoduli
-- pravuyu modul'nuyu kategoriyu nad nej, prichem funktor kotenzornogo
proizvedeniya opredelyaet takzhe sparivanie mezhdu etimi pravoj i levoj
modul'nymi kategoriyami so znacheniyami v kategorii abelevyh grupp.

Algebroj nad koalgebroidom C nazyvaetsya ob''ekt-algebra v odnoj iz
etih tenzornyh kategorij, t.e., algebra S nad C -- eto C-bikomodul',
udovletvoryayuschij podhodyaschim usloviyam (ko)ploskosti i
snabzhennyj C-bikomodul'nymi otobrazheniyami S\oc_C S\to S i C\to S,
udovletvoryayuschimi obychnym aksiomam associativnosti i edinicy.
Levyj modul' M nad algebroj S nad C -- eto modul'nyj ob''ekt v odnoj
iz opisannyh levyh modul'nyh kategorij nad ob''ektom-algebroj S v
sootvetstvuyuschej tenzornoj kategorii; drugimi slovami, levyj S-modul'
-- eto levyj C-komodul', snabzhennyj C-komodul'nym otobrazheniem
S\oc_C M \to M, udovletvoryayuschim obychnym aksiomam associativnosti
i edinicy; analogichno opredelyayutsya pravye S-moduli. Levye moduli
nad algebroj S nad C obrazuyut abelevu kategoriyu, esli S -- koploskij
pravyj C-komodul'. V dal'nejshem my budem predpolagat', chto S
yavlyaetsya koploskim levym C-komodulem i koploskim pravym C-komodulem.

Esli V -- levyj C-komodul', to levyj S-modul' S\oc_C V nazyvaetsya
inducirovannym s C-komodulya V. Dlya lyubogo levogo S-modulya M
imeetsya estestvennyj izomorfizm Hom_C(S\oc_C V, M) = Hom_C(V,M).

Lemma 2. Suschestvuet funktor, sopostavlyayuschij vsyakomu S-modulyu
surjektivnoe otobrazhenie v nego iz A-ploskogo S-modulya.

Dokazatel'stvo: pust' T(M)\to M -- funktorial'nyj surjektivnyj morfizm
iz A-ploskogo C-komodulya T(M) v C-komodul' M, postroennyj v Lemme 1.
Togda kompoziciya S\oc_C T(M) \to S\oc_C M \to M dostavlyaet iskomyj
surjektivnyj morfizm S-modulej. Soglasno poslednemu utverzhdeniyu
Predlozheniya 1, A-modul' S\oc_C T(M) ploskij.

Lemma 3. Suschestvuet additivnyj funktor, sopostavlyayuschij vsyakomu
A-ploskomu S-modulyu ego injektivnoe otobrazhenie v C-koploskij
S-modul', koyadro kotorogo yavlyaetsya A-ploskim S-modulem.

Dokazatel'stvo: pust' M -- A-ploskij S-modul'; polozhim F(M) = C\ot_A M.
Togda otobrazhenie kodejstivya M\to F(M) yavlyaetsya vlozheniem
C-komodulya M v koploskij C-komodul' F(M) s A-ploskim koyadrom F(M)/M.
Rassmotrim otobrazhenie dejstviya S\oc_C M \to M; legko videt',
chto eto surjektivnyj morfizm S-modulej; oboznachim cherez K(M) ego
yadro. Pust' Q(M) -- koyadro kompozicii K\to S\oc_C M \to S\oc_C F(M).
Togda kompoziciya otobrazhenij S\oc_C M \to S\oc_C F(M)\to Q(M)
faktorizuetsya cherez surjekciyu S\oc_C M \to M, tak chto imeetsya
estestvennoe injektivnoe otobrazhenie S-modulej M\to Q(M). Pokazhem,
chto Q(M)/M i Q(M) -- ploskie A-moduli. Faktormodul' Q(M) po M
izomorfen faktormodulyu S\oc_C F(M) po S\oc_C M, a poslednij izomorfen
S\oc_C (F(M)/M), tak chto A-modul' Q(M)/M ploskij i A-modul' Q(M)
yavlyaetsya rasshireniem ploskih A-modulej. Teper' zametim, chto
otobrazhenie M\to Q(M) mozhno podnyat' do morfizma C-komodulej M \to
S\oc_C F(M). V samom dele, otobrazhenie M\to Q(M) raskladyvaetsya
v kompoziciyu M\to S\oc_C M \to S\oc_C F(M) \to Q(M), gde otobrazhenie
M\to S\oc_C M inducirovano otobrazheniem edinicy C\to S algebry S nad C.
Iteriruya etu konstrukciyu, poluchaem cepochku otobrazhenij C-komodulej
M\to S\oc_C F(M)\to Q(M) \to S\oc_C F(Q(M)) \to Q(Q(M)) \to ..., gde
otobrazheniya M \to Q(M) \to Q(Q(M)) \to ... yavlyayutsya vlozheniyami
S-modulej s A-ploskimi faktormodulyami, a C-komoduli S\oc_C F(M),
S\oc_C F(Q(M)), ... koploski. Oboznachim cherez J(M) pryamoj predel
etoj cepochki; togda M\to J(M) -- vlozhenie S-modulej s A-ploskim
koyadrom i C-komodul' J(M) koploskij (poskol'ku funktor kotenzornogo
proizvedeniya kommutiruet s pryamym predelom).

Zamechanie 2. Konstrukciyu, ispol'zovannuyu v dokazatel'stve Lemmy 3,
mozhno primenyat' ne tol'ko k A-ploskim C-komodulyam. Netrudno videt',
chto ta zhe samaya konstrukciya, primenennaya k proizvol'nomu
C-komodulyu M, dostavlyaet ego vlozhenie v C/A-koploskij S-modul' J(M).
Analogichnym obrazom, v usloviyah razdela III (kogda C yavlyaetsya
proektivnym levym i ploskim pravym A-modulem, a S -- koproektivnym
levym i koploskim pravym C-komodulem) vse ta zhe konstrukciya Lemmy 3
i Lemmy III.3(a) dostavlyaet vlozhenie proizvol'nogo S-modulya M
v C/A-koproektivnyj S-modul' J(M), a konstrukciya Lemmy III.3(b)
dostavlyaet surjektivnoe otobrazhenie v proizvol'nyj S-kontramodul' P
iz C/A-koinjektivnogo C-kontramodulya E(P). Verny i bolee sil'nye
utverzhdeniya (sm. Lemmu V.3 i dokazatel'stvo Teoremy VI.2).

Polutenzornoe proizvedenie levogo S-modulya N i A-ploskogo pravogo
S-modulya M -- eto abeleva gruppa N\os_S M, opredelyaemaya kak koyadro
pary otobrazhenij iz N\oc_C S\oc_C M v N\oc_C M, odno iz kotoryh
proiskhodit iz dejstviya S na N, a drugoe iz dejstivya s na M.
Analogicho opredelyaetsya polutenzornoe proizvedenie A-ploskogo levogo
S-modulya N i pravogo S-modulya M. Uslovie ploskosti neobhodimo
dlya togo, chtoby trojnoe kotenzornoe proizvedenie ne zaviselo ot
rasstanovki skobok. Netrudno videt', chto polutenzornoe proizvedenie
(V\oc_C S)\os_S M estestvenno izomorfno V\oc_C M, esli pravyj
C-komodul' V ili levyj S-modul' M yavlyaetsya ploskim A-modulem, i
analogichnym obrazom N\os_S (S\oc_C U) izomorfno N\oc_C U, esli pravyj
S-modul' N ili levyj C-komodul' U yavlyaetsya ploskim nad A.

Pust' T -- algebra nad koalgebroidom D, koploskaya nad D sleva i sprava.
S-T-bimodulem nazyvaetsya C-D-bikomodul', snabzhennyj strukturami
levogo S-modulya i pravogo T-modulya, kommutiruyuschimi mezhdu soboj;
drugimi slovami, struktura S-T-bimodulya na C-D-bikomodule E zadaetsya
otobrazheniem C-D-bikomodulej S\oc_C E\oc_D T \to E, udovletvoryayuschim
aksiomam associativnosti i edinicy. Pust' G -- koalgebroid nad kol'com
F, ploskij nad F sleva i sprava, i R -- algebra nad koalgebroidom G,
ploskaya nad F sprava i koploskaya nad G otnositel'no F sleva. Togda
esli N -- C-G-bikomodul' so strukturoj levogo S-modulya, takoj chto
otobrazhenie S-dejstviya S\oc_C N \to N yavlyaetsya morfizmom pravyh
G-komodulej, a M -- G-D-bikomodul' so strukturoj pravogo T-modulya,
takoj chto otobrazhenie T-dejstviya M\oc_D T \to M yavylayetsya
morfizmom levyh G-komodulej, to na C-D-bikomodule N\oc_G M imeetsya
estestvennaya struktura S-T-bimodulya. Dalee, esli N -- F-ploskij
S-R-bimodul' i M -- R-T-bimodul', to polutenzornoe proizvedenie N\os_R M
yavlyaetsya faktorbimodulem S-T-bimodulya N\oc_G M.

A-ploskij levyj S-modul' M nazyvaetsya poluploskim, esli funktor
polutenzornogo proizvedeniya s M tochen na kategorii pravyh S-modulej.
Netrudno videt', chto vsyakij poluploskij S-modul' yavlyaetsya
koploskim C-komodulem.

Predlozhenie 2. Esli N -- pravyj S-modul', E -- S-T-bimodul' i M --
levyj T-modul', to iterirovannye polutenzornye proizvedeniya
N\os_S (E\os_T M) i (N\os_S) E\os_T M opredeleny i estestvennym
obrazom izomorfny, po krajnej mere, v sleduyuschih sluchayah:
(a) pravyj C-komodul' N koploskij i levyj D-komodul' M koploskij;
(b) levyj S-modul' M poluploskij i odin iz A-modulej E i N ploskij;
(c) pravyj S-modul' N poluploskij i odin iz B-modulej E i M ploskij;
(d) levyj D-komodul' M koploskij, E kak pravyj T-modul' so
strukturoj levogo C-komodulya inducirovan s C-D-bikomodulya V,
i odin iz A-modulej V i N ploskij;
(e) pravyj C-komodul' N koploskij, E kak levyj S-modul' so
strukturoj pravogo D-komodulya inducirovan s C-D-bikomodulya V,
i odin iz B-modulej V i M ploskij.
Tochnee govorya, vo vseh perechislennyh sluchayah estestvennye
otobrazheniya iz gruppy N\oc_C (E\oc_D M) = (N\oc_C) E\oc_D M
v oba iterirovannyh polutenzornyh proizvedeniya surjektivny, a ih
yadra sovpadayut i ravny summe yader otobrazhenij iz etoj gruppy
v ee faktorgruppy N\os_S (E\oc_D M) i (N\oc_C E)\os_T M.


II. Proizvodnyj funktor SemiTor.

Kotenzornoe proizvedenie N\oc_C M kompleksa pravyh C-komodulej N i
kompleksa levyh C-komodulej M -- eto total'nyj kompleks bikompleksa
N^i\oc_C M^j, obrazovannyj s pomosch'yu vzyatiya beskonechnyh pryamyh
summ vdol' diagonalej. Analogichno, polutenzornoe proizvedenie
N\os_S M kompleksa pravyh S-modulej N i kompleksa levyh S-modulej M
-- eto total'nyj kompleks bikompleksa N^i\os_S M^j, obrazovannyj
s pomosch'yu vzyatiya beskonechnyh pryamyh summ vdol' diagonalej.

Kompleks (levyh) C-komodulej nazyvaetsya koaciklichnym, esli on lezhit
v minimal'noj triangulirovannoj podkategorii gomotopicheskoj kategorii
kompleksov C-komodulej, soderzhaschej total'nye kompleksy tochnyh troek
kompleksov C-komodulej i zamknutoj otnositel'no beskonechnyh pryamyh
summ. Koproizvodnoj kategoriej C-komodulej D'(C-comod) nazyvaetsya
faktorkategoriya gomotopicheskoj kategorii kompleksov C-komodulej po
tolstoj podkategorii koaciklichnyh kompleksov.

Poluproizvodnoj kategoriej (levyh) S-modulej D^s(S-mod) nazyvaetsya
faktorkategoriya gomotopicheskoj kategorii kompleksov S-komodulej
po tolstoj podkategorii kompleksov S-modulej, yavlyayuschihsya
koaciklichnymi kompleksami C-komodulej. Analogichno opredelyaetsya
poluproizvodnaya kategoriya pravyh S-modulej.

Kompleks ploskih nad A levyh S-modulej F nazyvaetsya poluploskim, esli
dlya lyubogo koaciklichnogo nad C kompleksa pravyh S-modulej X kompleks
abelevyh grupp X\os_S F aciklichen. Analogichno opredelyayutsya
poluploskie kompleksy pravyh S-modulej. Kompleks levyh C-komodulej F
nazyvaetsya koploskim, esli dlya lyubogo koaciklichnogo kompleksa
pravyh C-komodulej X kompleks abelevyh grupp X\oc_C F aciklichen.
Legko videt', chto vsyakij poluploskij kompleks S-modulej yavlyaetsya
koploskim kompleksom C-komodulej. Krome togo, vsyakij kompleks
koploskih C-komodulej yavlyaetsya koploskim kompleksom C-komodulej.
V to zhe vremya, ne vsyakij kompleks poluploskih S-modulej yavlyaetsya
poluploskim kompleksom S-modulej.

Teorema. Funktor, otobrazhayuschij faktorkategoriyu gomotopicheskoj
kategorii poluploskih kompleksov S-modulej po tolstoj podkategorii
C-koaciklichnyh poluploskih kompleksov S-modulej v poluproizvodnuyu
kategoriyu S-modulej yavlyaetsya ekvivalentnost'yu triangulirovannyh
kategorij.

Dokazatel'stvo. My pokazhem, chto v cepochke funktorov,
otobrazhayuschih faktorkategoriyu poluploskih kompleksov S-modulej po
C-koaciklichnym poluploskim kompleksam S-modulej v faktorkategoriyu
kompleksov C-koploskih S-modulej po C-koaciklichnym kompleksam
C-koploskih S-modulej v faktorkategoriyu kompleksov A-ploskih S-modulej
po C-koaciklichnym kompleksam A-ploskih S-modulej v poluproizvodnuyu
kategoriyu S-modulej vse tri funktora yavlyayutsya ekvivalentnostyami
kategorij. Dlya etogo my postroim dlya vsyakogo kompleksa S-modulej K
morfizm v K iz kompleksa A-ploskih S-modulej R_1(K), dlya vsyakogo
kompleksa A-ploskih S-modulej L morfizm iz L v kompleks C-koploskih
S-modulej R_2(L), i dlya vsyakogo C-koploskogo kompleksa A-ploskih
S-modulej M morfizm v M iz poluploskogo kompleksa S-modulej R_3(M),
prichem v kazhdom sluchae konusa postroennyh morfizmov budut
C-koaciklichnymi kompleksami S-modulej. Posle etogo v kazhdom iz
treh sluchaev my primenim sleduyuschuyu Lemmu.

Lemma. Pust' H -- kategoriya i F -- ee polnaya podkategoriya.
Pust' T -- lokalizuyuschij (t.e. udovletvoryayuschij usloviyam Ore)
klass morfizmov v H. Predpolozhim, chto dlya lyubogo ob''ekta
X iz H suschestvuet ob''ekt U iz F vmeste s morfizmom U\to X,
prinadlezhaschim T (ili dlya lyubogo ob''ekta X iz H suschestvuet
ob''ekt U iz F vmeste s morfizmom X\to U, prinadlezhaschim F).
Togda funktor F[(F\cap T)^{-1}] \to H[T^{-1}], inducirovannyj
vlozheniem F v H, yavlyaetsya ekvivalentnost'yu kategorij.

Dokazatel'stvo. Ochevidno, chto funktor mezhdu lokalizovannymi
kategoriyami surjektiven na klassah izomorfizma ob''ektov; pokazhem,
chto on biektiven na morfizmah. Pust' imeetsya morfizm v kategorii
H[T^{-1}] mezhdu dvumya ob''ektami U i V iz F, predstavlennyj drob'yu
U\from X\to V, gde X prinadlezhit H; togda najdetsya ob''ekt W iz F
vmeste s morfizmom W\to X, prinadlezhaschim T; tak chto drob'
U\from X\to V predstavlyaet tot zhe samyj morfizm v H[T^{-1}], chto
i drob' U\from W\to V, predstavlyayuschaya takzhe nekotoryj morfizm
v F[(F\cap T)^{-1}]. Pust' teper' imeyutsya dva morfizma iz U v V
v kategorii F[(F\cap T)^{-1}]; togda ih mozhno predstavit' drobyami
vida U\from U'\to V s odnim i tem zhe morfizmom U'\to U i dvumya
raznymi morfizmami U'\to V. Esli obrazy etih morfizmov v kategorii
H[T^{-1}] ravny, to najdetsya morfizm X\to U' iz T s ob''ektom X iz H,
takoj chto dve kompozicii X\to U'\to V sovpadayut v H. No v etom
sluchae najdetsya ob''ekt W iz F vmeste s morfizmom W\to X,
prinadlezhaschim T, i poskol'ku dve kompozicii W\to U'\to V
sovpadayut v F, dva morfizma v kategorii F[(F\cap T)^{-1}],
predstavlennye drobyami U\from U'\to V, ravny. Lemma dokazana.

Pust' K -- proizvol'nyj kompleks levyh S-modulej. Pust' P(M)\to M --
funktorial'nyj surjektivnyj morfizm v proizvol'nyj S-modul' M iz
A-ploskogo S-modulya P(M), postroennyj v Lemme I.2. Funktor P
ne obyazan byt' additivnym, no Kak lyuboj funktor iz additivnoj
kategorii v abelevu, funktor P yavlyaetsya pryamoj summoj postoyannogo
funktora M\mapsto P(0) i dopolnitel'nogo k nemu funktora P^+(M) =
ker(P(M)\to P(0)) = coker(P(0)\to P(M)), perevodyaschego nulevye
ob''ekty v nulevye ob''ekty i nulevye morfizmy v nulevye morfizmy.
Dlya lyubogo S-modulya M S-modul' P^+(M) yavlyaetsya A-ploskim i
morfizm P^+(M)\to M surjektiven. Primenim funktor P^+ k kompleksu K
poob''ektno; poluchitsya kompleks A-ploskih S-modulej P_0(K)=P^+(K)
vmeste s surjektivnym otobrazheniem P_0(K)\to K. Primeniv funktor P^+
k yadru etogo morfizma kompleksov, poluchim kompleks P_1(K), i tak
dalee. Poskol'ku gomologicheskaya razmernost' kol'ca A konechna, dlya
dostatochno bol'shogo d yadro Z(K) morfizma kompleksov P_{d-1}(K) \to
P_{d-2}(K) budet kompleksom A-ploskih S-modulej. Pust' L_1(K) --
total'nyj kompleks bikompleksa Z(K) \to P_{d-1}(K) \to P_{d-2}(K) \to
... \to P_0(K). Togda L_1(K) -- kompleks A-ploskih S-modulej i konus
morfizma L_1(K)\to K yavlyaetsya total'nym kompleksom konechnoj
tochnoj posledovatel'nosti kompleksov S-modulej, i sledovatel'no,
C-koaciklichnym kompleksom C-komodulej.

Pust' teper' L -- kompleks A-ploskih levyh S-modulej. Pust' M\to J(M)
-- funktorial'nyj injektivnyj morfizm iz proizvol'nogo A-ploskogo
S-modulya M v C-koploskij S-modul' J(M) s A-ploskim koyadrom J(M)/M,
postroennyj v Lemme I.3. Polozhim J^0(L) = J(L), J^1(L) =
J(coker(L\to J_0(L)), i tak dalee. Pust' R_2(L) -- total'nyj kompleks
bikompleksa J^0(L) \to J^1(L) \to J^2(L) \to ..., obrazovannyj
s pomosch'yu vzyatiya beskonechnyh pryamyh summ vdol' diagonalej.
Togda R_2(L) -- kompleks C-koploskih S-modulej i konus morfizma
L\to R_2(L) yavlyaetsya total'nym kompleksom, obrazovannym
s pomosch'yu beskonechnyh pryamyh summ, ot ogranichennoj sleva
tochnoj posledovatel'nosti kompleksov S-modulej, i sledovatel'no,
pryamym predelom posledovatel'nosti total'nyh kompleksov konechnyh
tochnyh posledovatel'nostej kompleksov S-modulej. Standartnyj
argument s konstrukciej gomotopicheskogo pryamogo predela pokazyvaet,
chto takoj kompleks koaciklichen.

Nakonec, pust' M -- C-koploskij kompleks A-ploskih levyh S-modulej.
Netrudno videt', chto kompleks S\oc_C M yavlyaetsya poluploskim
kompleksom S-modulej. Rassmotrim bar-konstrukciyu
... \to S\oc_C S\oc_C S\oc_C M \to S\oc_C S\oc_C M \to S\oc_C M.
Pust' L_3(M) -- total'nyj kompleks etogo bikompleksa, obrazovannyj
s pomosch'yu vzyatiya beskonechnyh pryamyh summ vdol' diagonalej.
Togda L_3(M) yavlyaetsya pryamym predelom posledovatel'nosti kompleksov,
kazhdyj iz kotoryh poluchaetsya iz poluploskih kompleksov s pomosch'yu
iterirovaniya operacij konusa i sdviga, prichem morfizmy v etoj
posledovatel'nosti yavlyayutsya rasschepimymi, esli ne uchityvat'
differencialov, vlozheniyami. Poskol'ku klass poluploskih kompleksov
zamknut otnositel'no konusov, sdvigov i beskonechnyh pryamyh summ,
kompleks L_3(M) poluploskij. Pri etom konus morfizma L_3(M) \to M
ne tol'ko C-koaciklichen, no dazhe styagivaem nad C. Teorema dokazana.

Zamechanie 1. Ochevidno, chto konstrukciya morfizma kompleksov L_3(M)
\to M mozhet primenyat'sya ne tol'ko k C-koploskim, no i k proizvol'nym
kompleksam S-modulej. Konstrukciya morfizma kompleksov L \to R_2(L)
takzhe mozhet primenyat'sya k proizvol'nym kompleksam S-modulej,
poskol'ku konstrukciya Lemmy I.3 mozhet primenyat'sya ne tol'ko
k A-ploskim, no i k proizvol'nym S-modulyam. Naprimer, al'ternativnyj
sposob dokazatel'stva Teoremy sostoit v tom, chtoby pokazat', chto
faktorkategoriya gomotopicheskoj kategorii poluploskih kompleksov
S-modulej po C-koaciklichnym poluploskim kompleksam ekvivalentna
faktorkategorii gomotopicheskoj kategorii kompleksov C/A-koploskih
S-modulej po C-koaciklichnym C/A-koploskim kompleksam, a poslednyaya
ekvivalentna poluproizvodnoj kategorii S-modulej. V samom dele, dlya
lyubogo kompleksa S-modulej K kompleks R_2(L) yavlyaetsya kompleksom
C/A-koploskih S-modulej soglasno rezul'tatam Zamechaniya I.2, i pri
etom konus morfizma L\to R_2(L) yavlyaetsya C-koaciklichnym, a dlya
lyubogo kompleksa C/A-koploskih S-modulej M kompleks L_1(M) yavlyaetsya
kompleksom poluploskih S-modulej, kak sleduet iz Zamechaniya I.1 i
dokazatel'stva Lemmy I.2. Esche odin sposob dokazatel'stva Teoremy
sostoit v tom, chtoby zametit', chto vsyakij kompleks S-modulej K mozhno
funktorial'nym obrazom svyazat' s poluploskim kompleksom S-modulej
cepochkoj morfizmov K \from L_3(K) \to L_3R_2(K) \from L_3R_2L_1(K)
s C-koaciklichnymi konusami, prichem esli kompleks K poluploskij,
to vse ob''ekty v etoj cepochke yavlyayutsya poluploskimi kompleksami.

Teper' funktor SemiTor^S(N,M) na proizvedenii poluproizvodnyh kategorij
pravyh S-modulej i levyh S-modulej opredelyaetsya sleduyuschim obrazom.
Pust' N -- kompleks pravyh S-modulej i M -- poluploskij kompleks levyh
S-modulej. Togda, po opredeleniyu, polutenzornoe proizvedenie N\os_S M
aciklichno, esli kompleks N koaciklichen nad C. Pokazhem, chto N\os_S M
aciklichen takzhe i v tom sluchae, kogda kompleks M koaciklichen nad C.
V samom dele, pust' R -- poluploskij kompleks pravyh S-modulej,
svyazannyj s N cepochkoj morfizmov s C-koaciklichnymi konusami.
Togda kompleksy abelevyh grupp N\os_S M i R\os_S M svyazany cepochkoj
kvaziizomorfizmov, a kompleks R\os_S M aciklichen, tak chto i kompleks
N\os_S M aciklichen. Teper' rassmotrim ogranichenie funktora
polutenzornogo proizvedeniya kompleksov S-modulej na proizvedenie
gomotopicheskoj kategorii vseh kompleksov pravyh S-modulej na
gomotopicheskuyu kategoriyu poluploskih kompleksov levyh S-modulej.
Kak my pokazali, etot funktor faktorizuetsya cherez faktorkategorii
rassmatrivaemyh gomotopicheskih kategorij po tolstym podkategoriyam
C-koaciklichnyh kompleksov. Poskol'ku faktorkategoriya gomotopicheskoj
kategorii poluploskih kompleksov po tolstoj podkategorii C-koaciklichnyh
poluploskih kompleksov ekvivalentna poluproizvodnoj kategorii, my
poluchaem funktor na proizvedenii poluproizvdonyh kategorij pravyh
S-modulej i levyh S-modulej. Netrudno videt', chto tot zhe samyj
proizvodnyj funktor mozhno poluchit', ogranichiv funktor polutenzornogo
proizvedeniya na proizvedenie gomotopicheskoj kategorii poluploskih
kompleksov pravyh S-modulej na gomotopicheskuyu kategoriyu vseh
kompleksov levyh S-modulej. Takim obrazom, funktor SemiTor postroen.

Zamechanie 2. Suschestvuyut sposoby postroit' funktor SemiTor
s pomosch'yu rezol'vent drugogo roda. Naprimer, nazovem kompleks
levyh S-modulej poluploskim otnositel'no A, esli ego polutenzornoe
proizvedenie s lyubym kompleksom A-ploskih pravyh S-modulej,
kotoryj kak kompleks C-komodulej s tochnost'yu do gomotopicheskoj
ekvivalentnosti mozhet byt' poluchen iz total'nyh kompleksov tochnyh
troek kompleksov A-ploskih C-komodulej s pomosch'yu operecij konusa,
sdviga i beskonechnoj pryamoj summy, aciklichno (sr. s Teoremoj VII.2).
Togda polutenzornoe proizvedenie A-ploskogo kompleksa pravyh S-modulej
na poluploskij otnositel'no A kompleks levyh S-modulej vychislyaet
funktor SemiTor dlya etih kompleksov. Dalee, nazovem kompleks
levyh S-modulej poluploskim otnositel'no C, esli ego polutenzornoe
proizvedenie s lyubym styagivaemym nad C kompleksom C-koploskih pravyh
S-modulej aciklichno. Togda polutenzornoe proizvedenie kompleksa
C-koploskih pravyh S-modulej na poluploskij otnositel'no C kompleks
levyh S-modulej vychislyaet funktor SemiTor dlya etih kompleksov.
Nakonec, nazovem kompleks A-ploskih levyh S-modulej poluploskim
otnositel'no C otnositel'no A (S/C/A-poluploskim), esli ego
polutenzornoe proizvedenie s lyubym styagivaemym nad C kompleksom
C/A-koploskih pravyh S-modulej aciklichno. Togda polutenzornoe
proizvedenie kompleksa C/A-koploskih pravyh S-modulej na
S/C/A-poluploskij kompleks levyh S-modulej vychislyaet funktor
SemiTor dlya etih kompleksov. Analogichnye utverzhdeniya spravedlivy
i dlya funktora SemiExt (sm. razdel IV).


III. Kontramoduli i funktor SemiHom.

Tozhdestvo Hom_A(N\ot_A M, P) = Hom_A(M, Hom_A(N,P)) dlya levyh
A-modulej M, P i A-bimodulya N oznachaet, chto kategoriya,
protivopolozhnaya k kategorii levyh A-modulej yavlyaetsya pravoj
modul'noj kategoriej nad tenzornoj kategoriej A-A-bimodulej, gde
struktura modul'noj kategorii opredelyaetsya funktorom (N, P^op)
\mapsto Hom_A(N,P)^op. Poetomu mozhno rassmatrivat' v etoj modul'noj
kategorii ob''ekty-moduli nad ob''ektami-algebrami v A-mod-A i
ob''ekty-komoduli nad ob''ektami-koalgebrami v A-mod-A. Na samom
dele ob''ekt-algebra v A-mod-A -- eto to zhe samoe, chto kol'co B
vmeste s otobrazheniem kolec A\to B, a ob''ekty-moduli v A-mod^op
nad ob''ektom-algebroj B v A-mod-A sut' prosto B-moduli.

Levyj kontramodul' nad koalgebroidom C nad A -- eto ob''ekt-komodul'
v pravoj modul'noj kategorii A-mod^op nad ob''ektom-koalgebroj C
v tenzornoj kategorii A-mod-A. Drugimi slovami, levyj kontramodul' P
nad C -- eto levyj A-modul', snabzhennyj otobrazheniem kontradejstviya
Hom_A(C,P) \to P, kotoroe dolzhno byt' gomomorfizmom levyh A-modulej
i udovletvoryat' sleduyuschim dvum aksiomam. Vo-pervyh
(kontraassociativnost'), dva otobrazheniya iz Hom_A(C\ot_A C, P) =
Hom_A(C, Hom_A(C,P)) v Hom_A(C,P) -- odno proiskhodyaschee iz
koumnozheniya na C, drugoe iz kontradejstviya C na P -- dolzhny imet'
odinakovuyu kompoziciyu s otobrazheniem kontradejstviya Hom_A(C,P)\to P.
Vo-vtoryh (koedinica), skvoznoe otobrazhenie P=Hom_A(A,P) \to Hom_A(C,P)
\to P, gde pervoe komponuemoe otobrazhenie proiskhodit iz koedinicy C,
a vtoroe iz kontradejstviya C na P, dolzhno byt' tozhdestvennym.

Standartnyj primer: dlya lyubogo pravogo C-komodulya N, na kotorom
sleva dejstvuet komodul'nymi endomorfizmami kol'co B, i lyubogo levogo
B-modulya V levyj A-modul' Hom_B(N,V) imeet estestvennuyu strukturu
levogo kontramodulya nad C. Esli V -- levyj A-modul', to levyj
C-kontramodul' Hom_A(C,V) nazyvaetsya inducirovannym s A-modulya V.
Dlya lyubogo levogo C-kontramodulya P imeetsya estestvennyj izomorfizm
Hom_C(Hom_A(C,V), P) = Hom_A(V,P).

Kategoriya levyh C-kontramodulej yavlyaetsya abelevoj, esli levyj
A-modul' C proektiven. Bolee togo, levyj A-modul' C proektiven togda
i tol'ko togda, kogda kategoriya levyh C-kontramodulej abeleva i
zabyvayuschij funktor iz nee v kategoriyu A-modulej tochen. V to zhe
vremya, dlya proizvol'nogo koalgebroida C imeyutsya dve tochnye
kategorii: tochnaya kategoriya A-injektivnyh C-kontramodulej i tochnaya
kategoriya proizvol'nyh C-kontramodulej s A-rasschepimymi tochnymi
trojkami. Krome togo, lyuboj morfizm C-kontramodulej imeet yadro
i zabyvayuschij funktor v kategoriyu A-modulej sohranyaet yadra.

V dal'nejshem my budem predpolagat', chto koalgebroid C yavlyaetsya
proektivnym levym A-modulem i ploskim pravym A-modulem.

Lemma 1. (a) Suschestvuet (ne obyazatel'no additivnyj) funktor,
sopostavlyayuschij vsyakomu levomu C-komodulyu surjektivnoe otobrazhenie
v nego iz A-proekivnogo levogo C-komodulya.
(b) Suschestvuet funktor, sopostavlyayuschij vsyakomu C-kontramodulyu
ego injektivnoe otobrazhenie v A-injektivnyj C-kontramodul'.

Dokazatel'stvo punkta (a) polnost'yu analogichno dokazatel'stvu Lemmy
I.1, a punkt (b) dokazyvaetsya sleduyuschim obrazom. Pust' P\to J(P)
-- kakoe-nibud' funktorial'no zavisyaschee ot A-modulya P injektivnoe
otobrazhenie P v injektivnyj A-modul' J(P). Naprimer, mozhno vzyat'
za J(P) pryamoe proizvedenie kopij A-modulya Hom_Z(A,Q/Z),
zanumerovannyh vsemi gomomorfizmami abelevyh grupp P\to Q/Z. Rassmotrim
otobrazhenie kontradejstviya Hom_A(C,P)\to P; legko videt', chto ono
yavlyaetsya surjektivnym gomomorfizmom C-komodulej; oboznachim cherez
K(P) ego yadro. Pust' Q(P) -- koyadro kompozicii K(P) \to Hom_A(C,P)
\to Hom_A(C,J(P)). Togda kompoziciya otobrazhenij Hom_A(C,P) \to
Hom_A(C,J(P)) \to Q(P) faktorizuetsya cherez surjekciyu Hom_A(C,P)\to P,
tak chto imeetsya estestvennoe injektivnoe otobrazhenie C-kontramodulej
P\to Q(P). Pokazhem, chto injektivnaya razmernost' id_A Q(P) po krajnej
mere na edinicu men'she injektivnoj razmernosti P. V samom dele,
A-modul' Hom_A(C,J(P)) injektiven, tak chto id_A Q(P) = id_A K(P) - 1
\leq id_A Hom_A(C,P) - 1 \leq id_A(P) - 1, poskol'ku A-modul' K(P)
yavlyaetsya pryamym slagaemym A-modulya Hom_A(C,P), a injektivnuyu
rezol'ventu A-modulya Hom_A(C,P) mozhno postroit', primeniv funktor
Hom nad A iz C k injektivnoj rezol'vente A-modulya P. Ostaetsya
proiterirovat' funktor P\mapsto Q(P) dostatochno mnogo raz.

Pust' M -- levyj C-komodul' i P -- levyj C-kontramodul'. Abeleva
gruppa kogomomorfizmov Cohom_C(M,P) opredelyaetsya kak koyadro pary
otobrazhenij iz Hom_A(C\ot_A M, P) = Hom_A(M, Hom_A(C,P)) v Hom_A(M,P),
odno iz kotoryh proiskhodit iz kodejstviya C na M, a drugoe -- iz
kontradejstviya C na P. Dlya levogo A-modulya U i levogo
C-kontramodulya P imeetsya estestvennyj izomorfizm abelevyh grupp
Cohom_C(C\ot_A U, P) \to Hom_A(U,P), a dlya levogo C-komodulya M i
levogo A-modulya V -- estestvennyj izomorfizm Cohom_C(M, Hom_A(C,V))
\to Hom_A(M,V). Pervyj izomorfizm mozhno poluchit', primeniv funktor
Hom nad A iz U k rasschepimoj tochnoj posledovatel'nosti A-modulej
Hom_A(C\ot_A C, P) \to Hom_A(C,P) \to P, a vtoroj -- primeniv funktor
Hom nad A v V k rasschepimoj tochnoj posledovatel'nosti A-modulej
M \to C\ot_A M \to C\ot_A C\ot_A M.

Levyj C-komodul' M nazyvaetsya koproektivnym, esli funktor Cohom iz M
na kategorii levyh C-kontramodulej tochen. Levyj C-kontramodul' P
nazyvaetsya koinjektivnym, esli funktor Cohom v P na kategorii levyh
C-komodulej tochen. Legko videt', chto vsyakij koproektivnyj C-komodul'
yavlyaetsya proektivnym A-modulem i vsyakij koinjektivnyj C-kontramodul'
yavlyaetsya injektivnym A-modulem. Levyj C-komodul' M nazyvaetsya
koproektivnym otnositel'no A (C/A-koproektivnym), esli Cohom iz M
v lyubuyu tochnuyu trojku A-injektivnyh C-kontramodulej yavlyaetsya
tochnoj trojkoj. Levyj C-kontramodul' P nazyvaetsya koinjektivnym
otnositel'no A (C/A-koinjektivnym), esli Cohom v P iz lyuboj tochnoj
trojki A-proektivnyh C-komodulej yavlyaetsya tochnoj trojkoj.

Esli N -- pravyj C-komodul', na kotorom sleva dejstvuet komodul'nymi
endomorfizmami kol'co B, M -- levyj C-komodul' i J -- injektivnyj levyj
B-modul', to imeetsya estestvennyj izomorfizm Hom_B(N\oc_C M, J) =
Cohom_C(M, Hom_B(N,J)). Otsyuda sleduet, chto vsyakij koproektivnyj
levyj C-komodul' M yavlyaetsya koploskim i vsyakij C/A-koproektivnyj
levyj C-komodul' yavlyaetsya C/A-koploskim (vzyat' B=\Z). Krome togo,
esli pravyj C-komodul' N koploskij, to levyj C-kontramodul' Hom_B(N,J)
koinjektiven (a esli J yavlyaetsya koobrazuyuschim ob''ektom kategorii
levyh B-modulej, to verno i obratnoe), i esli pravyj C-komodul' N
C/A-koploskij, to levyj C-kontramodul' Hom_B(N,J) C/A-koinjektiven.

Pust' D -- koalgebroid nad kol'com B konechnoj gomologicheskoj
razmernosti, yavlyayuschijsya proektivnym levym i ploskim pravym
B-modulem. Netrudno videt', chto esli E -- D-C-bikomodul' i P --
levyj D-kontramodul', to Cohom_D(E,P) yavlyaetsya faktorkontramodulem
levogo C-kontramodulya Hom_B(E,P).

Predlozhenie 1. Esli M -- levyj C-komodul', E -- D-C-bikomodul' i P
-- levyj D-kontramodul', to abelevy gruppy Cohom_D(E\oc_C M, P) i
Cohom_C(M, Cohom_D(E,P)) estestvennym obrazom izomorfny, po krajnej
mere, v sleduyuschih sluchayah:
(a) levyj A-modul' M proektiven i levyj B-modul' P injektiven;
(b) levyj C-komodul' M koproektiven ili levyj D-kontramodul' P
koinjektiven;
(c) levyj A-modul' M proektiven, levyj B-modul' E proektiven
i pravyj C-komodul' E koploskij otnositel'no A;
(d) levyj B-modul' P injektiven, pravyj A-modul' E ploskij
i levyj D-komodul' E koproektiven otnositel'no B;
(e) levyj A-modul' M proektiven i E kak pravyj C-komodul' so
strukturoj levogo B-modulya koinducirovan s nekotorogo B-A-bimodulya;
(f) levyj B-modul' P injektiven i E kak levyj D-komodul' so
strukturoj pravogo A-modulya koinducirovan s nekotogoro B-A-bimodulya.
Tochnee govorya, vo vseh perechislennyh sluchayah estestvennye
otobrazheniya iz gruppy Hom_B(E\ot_A M, P) = Hom_A(M, Hom_B(E,P))
v obe rassmativaemye gruppy kogomomorfizmov surjektivny, a ih yadra
sovpadayut i ravny summe yader otobrazhenij iz etoj gruppy
v ee faktorgruppy Cohom_D(E\ot_A M, P) i Cohom_C(M, Hom_B(E,P)).
Krome togo, v usloviyah punkta (c) levyj B-modul' E\oc_C M proektiven,
a v usloviyah punkta (d) levyj A-modul' Cohom_D(E,P) injektiven.

Dokazatel'stvo sovershenno analogichno dokazatel'stvu Predlozheniya I.1.

Takim obrazom, kategoriya, protivopolozhnaya k kategorii levyh
C-kontramodulej, yavlyaetsya pravoj modul'noj kategoriej po otnosheniyu
k funktoru Cohom_C nad tenzornoj kategoriej C-bikomodulej,
yavlyayuschihsya koproektivnymi levymi C-komodulyami. Dalee,
kategoriya, protivopolozhnaya k kategorii levyh C-kontramodulej,
yavlyaetsya takzhe pravoj modul'noj kategoriej nad tenzornoj kategoriej
C-bikomodulej, proektivnyh nad A sleva i koploskih nad C otnositel'no A
sprava, a kategoriya levyh C-komodulej, proektivnyh nad A, yavlyaetsya
levoj modul'noj kategoriej nad toj zhe tenzornoj kategoriej, prichem
funktor Cohom_C opredelyaet takzhe sparivanie mezhdu etimi dvumya
modul'nymi kategoriyami so znacheniyami v kategorii, protivopolozhnoj
k kategorii abelevyh grupp. Analogichno, kategoriya, protivopolozhnaya
k kategorii levyh C-kontramodulej, injektivnyh nad A, yavlyaetsya
pravoj modul'noj kategoriej nad tenzornoj kategoriej C-bikomodulej,
koproektivnyh nad C otnositel'no A sleva i ploskih nad A sprava,
a kategoriya levyh C-komodulej yavlyaetsya levoj modul'noj kategoriej
nad toj zhe tenzornoj kategoriej, prichem funktor Cohom_C opredelyaet
analogichnoe sparivanie mezhdu etimi dvumya modul'nymi kategoriyami.

Levyj kontramodul' nad algebroj S nad koalgebroidom C -- eto modul'nyj
ob''ekt v odnoj iz etih pravyh modul'nyh kategorij nad
ob''ektom-algebroj S v odnoj iz etih tenzornyh kategorij; drugimi
slovami, levyj S-kontramodul' P -- eto levyj C-kontramodul', snabzhennyj
otobrazheniem S-kontradejstviya P \to Cohom_C(S,P), udovletvoyayuschim
sleduyuschim aksiomam kontraassociativnosti i edinicy: vo-pervyh,
dva skvoznyh otobrazheniya P \to Cohom_C(S,P) \to Cohom_C(S\oc_C S, P)
dolzhny sovpadat'; vo-vtoryh, skvoznoe otobrazhenie P \to Cohom_C(S,P)
\to Cohom_C(C,P) = P dolzhno byt' tozhdestvennym. Levye kontramoduli
nad S obrazuyut abelevu kategoriyu, esli algebra S koproektivna
nad C sleva. V dal'nejshem my budem predpolagat', chto algebra S
nad C koproektivna nad C sleva i koploska nad C sprava.

Primer: pust' nad D-C-bikomodule N imeetsya struktura pravogo S-modulya,
takaya chto otobrazhenie S-dejstviya N\oc_C S \to N yavlyaetsya
morfizmom levyh D-komodulej, i pust' V -- levyj D-kontramodul'. Togda
levyj C-kontramodul' Cohom_D(N,V) imeet strukturu S-kontramodulya.
Esli V -- levyj C-kontramodul', to levyj S-kontramodul' Cohom_C(S,V)
nazyvaetsya koinducirovannym s C-kontramodulya V. Dlya lyubogo
levogo S-kontramodulya P imeetsya estestvennyj izomorfizm
Hom_S(P, Cohom_C(S,V)) = Hom_C(P,V).

Lemma 2. (a) Suschestvuet funktor, sopostavlyayuschij vsyakomu levomu
S-modulyu surjektivnoe otobrazhenie v nego iz A-proektivnogo levogo
S-modulya.
(b) Suschestvuet funktor, sopostavlyayuschij vsyakomu S-kontramodulyu
ego injektivnoe otobrazhenie v A-injektivnyj S-kontramodul'.

Dokazatel'stvo punkta (a) polnost'yu analogichno dokazatel'stvu
Lemmy I.2, a punkt (b) dokazyvaetsya sleduyuschim obrazom. Pust'
P \to T(P) -- funktorial'nyj injektivnyj morfizm iz C-kontramodulya P
v A-injektivnyj C-kontramodul' T(P), postroennyj v Lemme 1(b). Togda
kompoziciya P \to Cohom_C(S,P) \to Cohom_C(S, T(P)) dostavlyaet iskomyj
injektivnyj morfizm S-kontramodulej. Soglasno poslednemu utverzhdeniyu
Predlozheniya 1, A-modul' Cohom_C(S, T(P)) injektiven.

Lemma 3. (a) Suschestvuet additivnyj funktor, sopostavlyayuschij
vsyakomu A-proektivnomu levomu S-modulyu ego A-rasschepimoe injektivnoe
otobrazhenie v C-koproektivnyj levyj S-modul'.
(b) Suschestvuet additivnyj funktor, sopostavlyayuschij vsyakomu
A-injektivnomu S-kontramodulyu A-rasschepimoe surjektivnoe otobrazhenie
iz nego v C-koinjektivnyj S-kontramodul'.

Dokazatel'stvo punkta (a) osnovano na konstrukcii, sovershenno
analogichnoj konstrukcii iz dokazatel'stva Lemmy I.3 (s zamenoj ploskih
A-modulej na proektivnye). Edinstvennoe razlichie sostoit v tom, chto
pryamoj predel posledovatel'nosti koproektivnyh komodulej ne obyazan
byt' koproektivnym, poskol'ku dazhe pryamoj predel posledovatel'nosti
proektivnyh A-modulej ne obyazan byt' proektivnym. Eto prepyatstvie
preodolevaetsya sleduyuschim obrazom.

Podlemma A. Pust' E_1 \to E_2 \to E_3 \to E_4 \to ... -- injektivnaya
sistema C-komodulej, prichem komoduli E_{2i} koproektivny, a morfizmy
komodulej E_{2i-1} \to E_{2i+1} injektivny i rasschepimy nad A.
Togda pryamoj predel liminj E_j yavlyaetsya koproektivnym C-komodulem.

Dokazatel'stvo: pokazhem snachala, chto dlya lyubogo C-kontramodulya P
my imeem Cohom_C(liminj E_j, P) = limproj Cohom_C(E_j,P). Oboznachim
cherez G_j bar-kompleks ... \to Hom_A(E_j, Hom_A(C, Hom_A(C,P))) \to
Hom_A(E_j, Hom_A(C,P)) \to Hom_A(E_j,P); budem obozhachat' chleny etogo
kompleksa verhnimi indeksami, tak chto G_j^s=0 dlya s>0 i H^0(G_j) =
Cohom_C(E_j,P). Dalee, H^0(limproj G_j) = Cohom_C(liminj E_j, P).
Iz uslovij podlemmy sleduet, chto H^s(G_{2i}=0) dlya s\ne0, a morfizmy
kompleksov G_{2i+1}\to G_{2i-1} surjektivny. Iz poslednego svojstva
sleduet, chto imeetsya korotkaya tochnaya posledovatel'nost'
kogomologij 0 \to limproj^1_j H^{s-1}(G_j) \to H^s(limproj_j G_j) \to
limproj_j H^s(G_j) \to 0, otkuda pri s=0 poluchaem H^0(limproj G_j) =
limproj H^0(G_j), chto i trebovalos'. Teper' dlya lyuboj tochnoj
trojki C-kontramodulej P'\to P\to P'' my imeem tochnuyu trojku
proektivnyh sistem Cohom_C(E_{2i}, P') \to Cohom_C(E_{2i}, P) \to
Cohom_C(E_{2i}, P''), prichem limproj^1 Cohom_C(E_{2i}, P') =
limproj^1 Cohom_C(E_{2i-1}, P') = 0.

Dokazatel'stvo punkta (b): pust' P -- A-injektivnyj S-kontramodul';
polozhim F(P) = Hom_A(C,P). Togda otobrazhenie kontradejstviya
F(P)\to P -- eto surjektivnyj morfizm C-kontramodulej iz koinjektivnogo
C-kontramodulya F(P) v P s A-injektivnym yadrom ker(F(P)\to P).
Rassmotrim otobrazhenie S-kontradejstviya P \to Cohom_C(S,P); legko
videt', chto eto injektivnyj morfizm S-kontramodulej; oboznachim cherez
K(P) ego koyadro. Pust' Q(P) -- yadro kompozicii Cohom_C(S,F(P))
\to Cohom_C(S,P)\to K(P). Togda kompoziciya otobrazhenij Q(P) \to
Cohom_C(S,F(P)) \to Cohom_C(S,P) faktorizuetsya cherez vlozhenie
P\to Cohom_C(S,P), tak chto imeetsya estestvennoe surjektivnoe
otobrazhenie S-kontramodulej Q(P)\to P. Pokazhem, chto ker(Q(P)\to P)
i Q(P) -- injektivnye A-moduli. Yadro otobrazheniya iz Q(P) v P
izomorfno yadru otobrazheniya iz Cohom_C(S,F(P)) v Cohom_C(S,P), a
poslednee izomorfno Cohom_C(S, ker(F(P)\to P), tak chto ker(Q(P)\to P)
-- injektivnyj A-modul' i Q(P) yavlyaetsya rasshireniem injektivnyh
A-modulej. Teper' zametim, chto otobrazhenie Q(P)\to P mozhno
prodolzhit' do morfizma C-kontramodulej Cohom_C(S,F(P))\to P.
v samom dele, otobrazhenie Q(P)\to P raskladyvaetsya v kompoziciyu
Q(P) \to Cohom_C(S,F(P)) \to Cohom_C(S,P) \to P, gde otobrazhenie
Cohom_C(S,P) \to P inducirovano otobrazheniem edinicy C\to S algebry
S nad C. Iteriruya etu konstrukciyu, poluchaem cepochku otobrazhenij
C-kontramodulej P\from Cohom_C(S,F(P)) \from Q(P) \from
Cohom_C(S,F(Q(P))) \from Q(Q(P)) \from ..., gde otobrazheniya
M \from Q(M) \from Q(Q(M)) \to ... yavlyayutsya A-rasschepimymi
surjektivnymi morfizmami S-kontramodulej, a C-kontramoduli
Cohom_C(S,F(P)), Cohom_C(S,F(Q(P))), ... koinjektivny. Oboznachim
cherez E(P) proektivnyj predel etoj cepochki; togda E(P) \to P --
A-rasschepimyj surjektivnyj morfizm S-kontramodulej, a koinjektivnost'
C-kontramodulya E(P) vytekaet iz sleduyuschej Podlemmy.

Podlemma B. Pust' T_1\from T_2\from T_3\from T_4\from ... --
proektivnaya sistema C-kontramodulej, prichem kontramoduli T_{2i}
koinjektivny, a morfizmy kontramodulej T_{2i+1}\to T_{2-1} surjektivny
i rasschepimy nad A. Togda proektivnyj predel limproj T_j yavlyaetsya
koinjektivnym C-kontramodulem.

Dokazatel'stvo sovershenno analogichno dokazatel'stvu Podlemmy A.
Nuzhno rassmotret' proektivnuyu sistemu bar-kompleksov ... \to
Hom_A(C\ot_A C\ot_A M, T_j))) \to Hom_A(C\ot_A M, T_j) \to Hom_A(M,T_j)
i tak dalee. Lemma 3 dokazana.

Abeleva gruppa polugomomorfizmov SemiHom_S(M,P) iz levogo S-modulya M
v levyj S-kontramodul' P opredelyaetsya kak yadro pary otobrazhenij iz
Cohom_C(M,P) v Cohom_C(S\oc_C M, P) = Cohom_C(S, Cohom_C(M,P)), odno
iz kotoryh proiskhodit iz dejstviya S na M, a drugoe iz kontradejstviya
S na P. Eto opredelenie imeet smysl v dvuh sluchayah: kogda S-modul' M
proektiven nad A i kogda S-kontramodul' P injektiven nad A. Esli ni
odno iz etih uslovij ne vypolneno, gruppa SemiHom_S(M,P) ne opredelena.

Netrudno videt', chto gruppa SemiHom_S(S\oc_C U, P) izomorfna
Cohom_C(U,P) dlya levogo C-komodulya U i levogo S-kontramodulya P, esli
A-modul' U proektiven ili A-modul' P injektiven. Analogichnym obrazom,
gruppa SemiHom_S(M, Cohom_C(S,V)) izomorfna Cohom_C(M,V) dlya levogo
S-modulya M i levogo C-kontramodulya V, esli A-modul' M proektiven ili
A-modul' V injektiven.

Pust' pravom S-module N dejstvuet sleva S-modul'mi endomorfizmami
kol'co B, pust' M -- levyj S-modul' i pust' J -- injektivnyj levyj
B-modul'. Togda esli M -- proektivnyj levyj A-modul' ili N --
ploskij pravyj A-modul', to imeetsya estestvennyj izomorfizm
Hom_D(N\os_S M, J) = SemiHom_S(M, Hom_B(N,J)).

Pust' T -- algebra nad koalgebroidom D, koproektivnaya nad D sleva i
koploskaya nad D sprava. Esli E -- B-proektivnyj T-S-bimodul' i M --
T-kontramodul' ili E -- T-S-bimodul' i M -- B-injektivnyj
T-kontramodul', to gruppa SemiHom_T(E,M) yavlyaetsya podkontramodulem
S-kontramodulya Cohom_D(E,M).

A-proektivnyj levyj S-modul' M nazyvaetsya poluproektivnym, esli funktor
polugomomorfizmov nad S iz M tochen na kategorii levyh S-kontramodulej.
A-injektivnyj levyj S-kontramodul' P nazyvaetsya poluinjektivnym, esli
funktor polugomomorfizmov nad S v P tochen na kategorii levyh S-modulej.
Netrudno videt', chto vsyakij poluproektivnyj S-modul' C-koproektiven,
vsyakij poluinjektivnyj S-kontramodul' C-koinjektiven, i vsyakij
poluploskij S-modul' poluproektiven.

Predlozhenie 2. Esli M -- levyj S-modul', E -- T-S-bimodul' i P --
T-kontramodul', to gruppy polugomomorfizmov SemiHom_T(E\os_S M, P)
i SemiHom_S(M, SemiHom_T(E,P)) opredeleny i estestvennym obrazom
izomorfny, po krajnej mere, v sleduyuschih sluchayah:
(a) levyj C-komodul' M koproektiven i levyj D-kontramodul' P
koinjektiven;
(b) levyj S-modul' M poluproektiven i ili levyj B-modul' E proektiven,
ili levyj B-modul' P injektiven;
(c) levyj S-kontramodul' P poluinjektiven i ili levyj A-modul' M
proektiven, ili pravyj A-modul' E ploskij;
(d) levyj C-komodul' M koproektiven, E kak pravyj S-modul' so
strukturoj levogo D-komodulya inducirovan s D-C-bikomodulya V, i
ili levyj B-modul' V proektiven, ili levyj B-modul' P injektiven;
(e) levyj D-kontramodul' P koinjektiven, E kak levyj T-modul' so
strukturoj pravogo C-komodulya inducirovan s D-C-bikomodulya V, i
ili levyj A-modul' M proektiven, ili pravyj A-modul' V ploskij.
Tochnee govorya, vo vseh perechislennyh sluchayah estestvennye
otobrazheniya iz obeih rassmatrivaemyh grupp polugomomorfizmov
v gruppu Cohom_D(E\oc_C M, P) = Cohom_C(M, Cohom_D(E,P)) injektivny,
a ih obrazy sovpadayut i ravny peresecheniyu dvuh podgrupp
SemiHom_T(E\oc_C M, P) i SemiHom_S(M, Cohom_D(E,P)) v etoj gruppe.


IV. Proizvodnyj funktor SemiExt.

Kompleks kogomomorfizmov Cohom_C(M,P) iz kompleksa levyh C-komodulej M
v kompleks levyh C-kontramodulej P -- eto total'nyj kompleks bikompleksa
Cohom_C(M^i,P^j), obrazovannyj s pomosch'yu vzyatiya beskonechnyh
pryamyh proivedenij vdol' diagonalej. Analogichno, kompleks
polugomomorfizmov SemiHom_S(M,P) iz kompleksa levyh S-modulej M
v kompleks levyh S-kontramodulej P -- eto total'nyj kompleks bikompleksa
SemiHom_S(M^i,P^j), obrazovannyj s pomosch'yu vzyatiya beskonechnyh
pryamyh proizvedenij vdol' diagonalej.

Kompleks C-kontramodulej nazyvaetsya kontraaciklichnym, esli on lezhit
v minimal'noj triangulirovannoj podkategorii gomotopicheskoj kategorii
kompleksov C-kontramodulej, soderzhaschej total'nye kompleksy tochnyh
troek kompleksov C-kontramodulej i zamknutoj otnositel'no beskonechnyh
pryamyh proizvedenij. Kontraproizvodnoj kategoriej C-kontramodulej
D''(C-contra) nazyvaetsya faktorkategoriya gomotopicheskoj kategorii
kompleksov C-kontramodulej po tolstoj podkategorii kontraaciklichnyh
kompleksov.

Poluproizvodnoj kategoriej S-kontramodulej D^s(S-contra) nazyvaetsya
faktorkategoriya gomotopicheskoj kategorii kompleksov S-kontramodulej
po tolstoj podkategoriii kompleksov S-kontramodulej, yavlyayuschihsya
kontraaciklichnymi kompleksami C-kontramodulej.

Kompleks proektivnyh nad A levyh S-modulej F nazyvaetsya
poluproektivnym, esli dlya lyubogo kontraaciklichnogo nad C kompleksa
levyh S-kontramodulej X kompleks abelevyh grupp SemiHom_S(F,X)
aciklichen. Krome togo, kompleks levyh C-komodulej F nazyvaetsya
koproektivnym, esli dlya lyubogo kontraaciklichnogo kompleksa levyh
S-kontramodulej X kompleks abelevyh grupp Cohom_C(F,X) aciklichen.
Legko videt', chto vsyakij poluproektivnyj kompleks S-modulej
yavlyaetsya koproektivnym kompleksom C-komodulej. Vsyakij kompleks
koproektivnyh C-komodulej yavlyaetsya koproektivnym kompleksom
C-komodulej. V to zhe vremya, ne vsyakij kompleks poluproektivnyh
S-modulej yavlyaetsya poluproektivnym kompleksom S-modulej. Nakonec,
vsyakij poluproektivnyj kompleks S-modulej yavlyaetsya poluploskim
kompleksom S-modulej, i vsyakij koproektivnyj kompleks C-komodulej
yavlyaetsya koploskim kompleksom C-komodulej.

Kompleks injektivnyh nad A levyh S-kontramodulej J nazyvaetsya
poluinjektivnym, esli dlya lyubogo koaciklichnogo nad C kompleksa
levyh S-modulej X kompleks abelevyh grupp SemiHom_S(X,J) aciklichen.
Krome togo, kompleks levyh C-kontramodulej J nazyavaetsya koinjektivnym,
esli dlya lyubogo koaciklichnogo kompleksa levyh C-kontramodulej X
kompleks abelevyh grupp Cohom_C(X,J) aciklichen. Legko videt', chto
vsyakij poluinjektivnyj kompleks S-modulej yavlyaetsya koinjektivnym
kompleksom C-komodulej. Vsyakij kompleks koinjektivnyh C-komodulej
yavlyaetsya koinjektivnym kompleksom C-komodulej. V to zhe vremya,
ne vsyakij kompleks poluinjektivnyh S-modulej yavlyaetsya
poluinjektivnym kompleksom S-modulej.

Teorema. (a) Funktor, otobrazhayuschij faktorkategoriyu gomotopicheskoj
kategorii poluproektivnyh kompleksov S-modulej po tolstoj podkategorii
C-koaciklichnyh poluproektivnyh kompleksov S-modulej v poluproizvodnuyu
kategoriyu S-modulej yavlyaetsya ekvivalentnost'yu triangulirovannyh
kategorij.
(b) Funktor, otobrazhayuschij faktorkategoriyu gomotopicheskoj kategorii
poluinjektivnyh kompleksov S-kontramodulej po tolstoj podkategorii
C-kontraaciklichnyh poluinjektivnyh kompleksov S-kontramodulej
v poluproizvodnuyu kategoriyu S-kontramodulej yavlyaetsya
ekvivalentnost'yu triangulirovannyh kategorij.

Dokazatel'stvo punkta (a) sovershenno analogichno dokazatel'stvu
Teoremy iz razdela II (s ispol'zovaniem rezul'tatov Lemmy III.2(a)
i Lemmy III.3(a) vmesto Lemmy I.2 i Lemmy I.3).

Dokazatel'stvo (b): my pokazhem, chto v cepochke funktorov,
otobrazhayuschih faktorkategoriyu poluinjektivnyh kompleksov
S-kontramodulej po C-kontraaciklichnym poluinjektivnym kompleksam
S-kontramodulej v faktorkategoriyu kompleksov C-koinjektivnyh
S-kontramodulej po C-kontraaciklichnym kompleksam C-koinjektivnyh
S-kontramodulej v faktorkategoriyu kompleksov A-injektivnyh
S-kontramodulej po C-kontraaciklichnym kompleksam A-injektivnyh
S-kontramodulej v poluproizvodnuyu kategoriyu S-kontramodulej vse
tri funktora yavlyayutsya ekvivalentnostyami kategorij. Dlya etogo
my postroim dlya vsyakogo kompleksa S-kontramodulej K morfizm iz K
v kompleks A-injektivnyh S-kontramodulej R_1(K), dlya vsyakogo kompleksa
A-injektivnyh S-kontramodulej L morfizm v L iz kompleksa C-koinjektivnyh
S-kontramodulej R_2(L) i dlya vsyakogo C-koinjektivnogo kompleksa
A-injektivnyh S-kontramodulej P morfizm iz P v poluinjektivnyj kompleks
S-kontramodulej R_3(P), prichem v kazhdom sluchae konusa postroennyh
morfizmov budut C-kontraaciklichnymi kompleksami S-kontramodulej.
Posle etogo my primenim Lemmu iz razdela II.

Pust' K -- proizvol'nyj kompleks levyh S-kontramodulej. Pust' P\to I(P)
-- funktorial'nyj injektivnyj morfizm iz proizvol'nogo S-kontramodulya P
v A-injektivnyj S-kontramodul' I(P), postroennyj v lemme III.2(b).
Kak vsyakij funktor iz additivnoj kategorii v abelevu, I yavlyaetsya
pryamoj summoj postoyannogo funktora P\mapsto I(0) i dopolnitel'nogo
k nemu funktora I^+(P), perevodyaschego nulevye ob''ekty v nulevye
ob''ekty i nulevye morfizmy v nulevye morfizmy. Primenim funktor I^+
k kompleksu K poob''ektno; poluchitsya kompleks A-injektivnyh
S-kontramodulej I^0(K) = I^+(K) vmeste s injektivnym otobrazheniem
K\to I_0(K). Primeniv funktor I^+ k koyadru etogo morfizma kompleksov,
poluchim kompleks I_1(K), i tak dalee. Poskol'ku gomologicheskaya
razmernost' A konechna, dlya dostatochno bol'shogo d koyadro Z(K)
morfizma kompleksov I_{d-2}(K) \to I_{d-1}(K) budet kompleksom
A-injektivnyh S-kontramodulej. Pust' R_1(K) -- total'nyj kompleks
bikompleksa I^0(K) \to I^1(K) \to ... \to I^{d-1}(K) \to Z(K). Togda
R_1(K) -- kompleks A-injektivnyh S-kontramodulej i konus morfizma
K\to R_1(K) yavlyaetsya total'nym kompleksom konechnoj tochnoj
posledovatel'nosti kompleksov S-kontramodulej, i sledovatel'no,
C-kontraaciklichnym kompleksom C-kontramodulej.

Pust' teper' R -- kompleks A-injektivnyh levyh S-kontramodulej. Pust'
E(P)\to P -- funktorial'nyj surjektivnyj morfizm v proizvol'nyj
A-injektivnyj S-kontramodul' P iz C-koinjektivnogo S-kontramodulya E(P)
s A-injektivnym yadrom ker(E(P)\to P), postroennyj v Lemme III.3(b).
Polozhim E_0(R) = E(R), E_1(R) = E(ker(E_0(R)\to R), i tak dalee.
Pust' R_2(R) -- total'nyj kompleks bikompleksa ... \to E_2(R) \to
E_1(R) \to E_0(R), obrazovannyj s pomosch'yu vzyatiya beskonechnyh
pryamyh proizvedenij vdol' diagonalej. Togda L_2(R) -- kompleks
C-koinjektivnyh S-kontramodulej i konus morfizma L_2(R)\to R
yavlyaetsya total'nym kompleksom, obrazovannym s pomosch'yu vzyatiya
beskonechnyh pryamyh proizvedenij vdol' diagonalej, ot ogranichennoj
sprava tochnoj posledovatel'nosti kompleksov S-kontramodulej,
i sledovatel'no, proektivnym predelom posledovatel'nosti total'nyh
kompleksov konechnyh tochnyh posledovatel'nostej kompleksov
S-kontramodulej, prichem morfizmy v etoj posledovatel'nosti
surjektivny. Standartnyj argument s konstrukciej gomotopicheskogo
proektivnogo predela pokazyvaet, chto takoj kompleks kontraaciklichen.

Nakonec, pust' P -- C-koinjektivnyj kompleks A-injektivnyh levyh
S-kontramodulej. Netrudno videt', chto kompleks Cohom_C(S,P)
yavlyaetsya poluinjektivnym kompleksom levyh S-kontramodulej.
Rassmotrim kobar-konstrukciyu Cohom_C(S,P) \to Cohom_C(S,Cohom_C(S,P))
\to Cohom_C(S,Cohom_C(S,Cohom_C(S,P))) \to ... Pust' R_3(P) --
total'nyj kompleks etogo bikompleksa, obrazovannyj s pomosch'yu vzyatiya
beskonechnyh pryamyh proizvedenij vdol' diagonalej. Togda R_3(P)
yavlyaetsya proektivnym predelom posledovatel'nosti kompleksov, kazhdyj
iz kotoryh poluchaetsya iz poluinjektivnyh kompleksov s pomosch'yu
iterirovaniya operacij konusa i sdviga, prichem morfizmy v etoj
posledovatel'nosti yavlyayutsya rasschepimymi, esli ne uchityvat'
differencialov, surjekciyami. Poskol'ku klass poluinjektivnyh
kompleksov zamknut otnositel'no konusov, sdvigov i beskonechnyh pryamyh
proizvedenij, kompleks R_3(P) poluinjektiven. Pri etom konus morfizma
P\to R_3(P) ne tol'ko C-kontraaciklichen, no dazhe styagivaem nad C.
Teorema dokazana.

Teper' funktor SemiExt na proizvedenii poluproizvodnyh kategorij
levyh S-modulej i levyh S-kontramodulej stroitsya putem ogranicheniya
funktora SemiHom na proizvedenii gomotopicheskih kategorij kompleksov
S-modulej i S-kontramodulej na proizvedenie gomotopicheskoj kategorii
poluproektivnyh kompleksov S-modulej na gomotopicheskuyu kategoriyu
kompleksov S-kontramodulej ili na proizvedenie gomotopicheskoj kategorii
kompleksov S-modulej na gomotopicheskuyu kategoriyu poluinjektivnyh
kompleksov S-kontramodulej.

Predpolozhim, chto kol'co A yavlyaetsya algebroj nad kommutativnym
kol'com k, prichem levoe i pravoe dejstviya k na A-bimodulyah C i S
sovpadayut. Togda funktory SemiTor i SemiExt nad S prinimayut
znacheniya v proizvodnoj kategorii k-modulej. Pust' J -- injektivnyj
k-modul'. Togda dlya lyubogo kompleksa pravyh S-modulej N
i kompleksa levyh S-modulej M imeet mesto estestvennyj izomorfizm
Hom_k(SemiTor^S(N,M), J) = SemiExt_S(M, Hom_k(N,J)) v proizvodnoj
kategorii D(k-mod).