Когомологии как производный функтор
Dec. 24th, 2018 08:09 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicКогомологии группы есть правый производный функтор функтора инвариантов. Гомологии группы есть левый производный функтор функтора коинвариантов. Когомологии пучков есть правый производный функтор функтора глобальных сечений.
Все это сложновато. Попробуем попроще. Коядро морфизма есть правый производный функтор функтора ядра морфизма. Ядро морфизма есть левый производный функтор функтора коядра морфизма.
Это понятно; но нас интересуют не ядро или коядро, а, собственно, когомологии. Когомологии комплекса векторных пространств. Скажем, неограниченного с обеих сторон комплекса векторных пространств. Это производный функтор чего? И в каком смысле?
Вот он, несколько неожиданный ответ на этот вопрос: когомологии комплекса векторных пространств есть тейтовский двусторонний производный функтор функтора образа дифференциала.
Что значит "тейтовский производный функтор"? Это значит, что нужно использовать тот факт, что абелева категория комплексов векторных пространств фробениусова. Ее проективные объекты суть то же самое, что инъективные объекты, которые суть то же самое, что ацикличные (= стягиваемые) комплексы векторных пространств.
Образ дифференциала произвольного комплекса -- функтор несколько странный, но мы будем его применять только к ацикличным комплексам. Для ацикличного комплекса это прекрасный функтор (коциклов = кограниц).
Чтобы вычислить тейтовский производный функтор этого функтора на произвольном комплексе векторных пространств, нужно выбрать этому комплексу ацикличную двустороннюю резольвенту в категории комплексов, члены которой -- проективно-инъективные комплексы векторных пространств. Попросту говоря, выбрать любую проективную левую резольвенту, любую инъективную правую резольвенту, и составить их вместе, получив ацикличный комплекс. Применить к нему наш функтор и посчитать когомологии.
Это такое крайне тавтологическое утверждение. Но занятное.
А что делать, если комплексы не векторных пространств, а объектов какой-то абелевой категории? Производить предыдущую конструкцию в точной категории комплексов с почленно расщепимыми точными тройками. Эта точная категория (для любой даже не абелевой, а аддитивной категории) фробениусова, и ее проективно-инъективные объекты суть стягиваемые комплексы.
Если наша аддитивная категория содержит образы идемпотентных эндоморфизмов своих объектов, то на категории стягиваемых комплексов в ней определен функтор образа дифференциала. Для того, чтобы определить тейтовский производный функтор этого функтора на нашей точной категории комплексов, придется, конечно, предположить, что подлежащая категория абелева (просто, чтобы можно было посчитать когомологии на последнем шаге).
Все это сложновато. Попробуем попроще. Коядро морфизма есть правый производный функтор функтора ядра морфизма. Ядро морфизма есть левый производный функтор функтора коядра морфизма.
Это понятно; но нас интересуют не ядро или коядро, а, собственно, когомологии. Когомологии комплекса векторных пространств. Скажем, неограниченного с обеих сторон комплекса векторных пространств. Это производный функтор чего? И в каком смысле?
Вот он, несколько неожиданный ответ на этот вопрос: когомологии комплекса векторных пространств есть тейтовский двусторонний производный функтор функтора образа дифференциала.
Что значит "тейтовский производный функтор"? Это значит, что нужно использовать тот факт, что абелева категория комплексов векторных пространств фробениусова. Ее проективные объекты суть то же самое, что инъективные объекты, которые суть то же самое, что ацикличные (= стягиваемые) комплексы векторных пространств.
Образ дифференциала произвольного комплекса -- функтор несколько странный, но мы будем его применять только к ацикличным комплексам. Для ацикличного комплекса это прекрасный функтор (коциклов = кограниц).
Чтобы вычислить тейтовский производный функтор этого функтора на произвольном комплексе векторных пространств, нужно выбрать этому комплексу ацикличную двустороннюю резольвенту в категории комплексов, члены которой -- проективно-инъективные комплексы векторных пространств. Попросту говоря, выбрать любую проективную левую резольвенту, любую инъективную правую резольвенту, и составить их вместе, получив ацикличный комплекс. Применить к нему наш функтор и посчитать когомологии.
Это такое крайне тавтологическое утверждение. Но занятное.
А что делать, если комплексы не векторных пространств, а объектов какой-то абелевой категории? Производить предыдущую конструкцию в точной категории комплексов с почленно расщепимыми точными тройками. Эта точная категория (для любой даже не абелевой, а аддитивной категории) фробениусова, и ее проективно-инъективные объекты суть стягиваемые комплексы.
Если наша аддитивная категория содержит образы идемпотентных эндоморфизмов своих объектов, то на категории стягиваемых комплексов в ней определен функтор образа дифференциала. Для того, чтобы определить тейтовский производный функтор этого функтора на нашей точной категории комплексов, придется, конечно, предположить, что подлежащая категория абелева (просто, чтобы можно было посчитать когомологии на последнем шаге).
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2018-12-26 11:52 am (UTC)Или, например, что образы дифференциалов являются допустимыми комплексами (то есть такими, в которых каждый дифференциал имеет (AdmEpi,AdmMono)-факторизацию; при условии, что на подлежащей категории задана какая-то точная структура).