Предотъездный угар (рефлексия) - 2

[posic]

На самом деле, я бы сказал, что на протяжении объемлющего примерно двадцатилетнего периода, с 1992 до 2012 или около того, главной проблемой, передо мной стоявшей, было не то, что какие-то тексты долго оставались не написанными. Вопрос стоял, собственно -- чем заниматься?

В ретроспективе, это очевидно. Никто не мог бы поставить ни себе, ни кому-либо задачу типа "открыть пропущенную классиками половину алгебры". Или "найти в 1999 году в библиотеке всеми забытое определение контрамодуля в мемуаре 1965 года и развитить из него теорию с приложениями к основаниям теории представлений и алгебраической геометрии, коммутативной и некоммутативной алгебре".

Я человек увлекающийся. Тем, что я не нахожу достаточно увлекательным, я заниматься не могу и не занимаюсь, и никогда не занимался. Меня притягивают какие-то математические объекты или области (на протяжении длительного времени это были кошулевы алгебры, потом мотивы с конечными коэффициентами и т.д.), и я готов размышлять о них годами и чуть ли не десятилетиями, пытаясь что-нибудь там сделать. Но сделать что-то достаточно нетривиальное удается не всегда.

В начале 00-х годов мне было уже под 30, и проблема ощущалась довольно остро. Карьерные аспекты меня не занимали, будучи отчетливо второстепенны по сравнению с главным вопросом: что, собственно, я собираюсь сделать в математике? "Закончить и опубликовать книжку про квадратичные алгебры" -- не казалось убедительным и удовлетворительным ответом на этот вопрос. "Написать и опубликовать работу про производные категории второго рода и производную неоднородную кошулеву двойственность" -- в общем, тоже.

В ретроспективе это, опять же, вполне заметно. Обе эти работы давно опубликованы, собрали все эти десятки цитирований, но они до сих пор не вызвали такого развития событий в работах других математиков, участие в котором могло бы наполнить смыслом мое существование. Написаны эти работы или не написаны, обнародованы или не обнародованы, а чем дальше заниматься, мне все равно предстояло искать самому.

Зачем карьера, если главное в жизни не достигается? Признания хочется тому, кто считает, что уже сделал или делает сейчас то, что, собственно, должно быть признанным. Если я вообще думал об этом в первой половине 00-х годов, то, видимо, мне хотелось, чтобы признано было то, что я открою в будущем, а не то, что я уже знал к этому времени.

Comments

[brandt1.livejournal.com]

Уважаемый Леонид! Всегда интересно читать ваши посты, хотя я и очень далек от вашей области. В связи с этим просьба или пожелание: не могли бы выкроить время и написать текст, в котором для людей, знакомых с алгебраическими системами (группы, кольца, модули...), основами теории категорий и топологией, в чем суть вашей теории и какие могут быть (или есть) приложения в указанных выше или других областях математики. Это было бы очень интересно.

[posic.livejournal.com]

На нынешний момент, есть два вводных текста. Один называется просто "Contramodules", и в общем, это то, что я рекомендовал бы для первого чтения, особенно, если читатель не является профессиональным математиком-алгебраистом. Он остается неопубликованным, но доступен на Архиве:

https://arxiv.org/abs/1503.00991

Другая вводного характера работа вышла из печати в Московском математическом журнале в 2017 году, но проще всего тоже скачать ее с Архива, где она лежит в свободном доступе:

https://arxiv.org/abs/1605.03934

Вторую работу можно давать студентам-математикам (скажем, старшекурсникам бакалавриата) для вводного чтения по специальности, например. Так мне это представляется.

Это то, что касается контрамодулей. Производные категории второго рода (копроизводные, контрапроизводные) -- более сложная штука, доступная тем, кто освоил учебный материал по классической гомологической алгебре, включая производные функторы и производные категории. Не имеющим таких пререквизитов о копроизводных категориях не расскажешь.

Определение алгебры с кривизной можно узнать из моей старинной (студенческой) работы https://arxiv.org/abs/1411.1982 , но этот текст вряд ли подходит под описание типа "в чем суть теории" и т.д. Что касается приложений, то, собственно, вот они, прежде всего:

https://arxiv.org/abs/1708.00846
https://arxiv.org/abs/1708.06833

Скажем, начальный раздел введения ко второй из этих работ можно почитать. Но, пожалуй, опять же, предварительные сведения для этого несколько выходят за рамки того, что обычно называют "знакомством с алгебраическими системами (группы, кольца, модули...)". Что такое плоский модуль, как минимум, нужно достаточно хорошо себе представлять.

[brandt1.livejournal.com]

Большое спасибо, попробую прочитать.