Девятнадцать лет назад

[posic]

В последних числах марта -- первых числах апреля 1999 года в Принстоне была в основном сделана эта работа, увидевшая свет в Архиве 10 годами позже -- https://arxiv.org/abs/0905.2621

Процентов семьдесят всего, что мне удалось до сих пор сделать в математике, теми или иными путями из нее выросло.

Comments

[buddha239.livejournal.com]

Неужто все сделали за неделю?

[posic.livejournal.com]

Основную часть. Определения копроизводных и контрапроизводных категорий тогда появились -- собственно, это было главное. Вместе с пониманием, как их нужно использовать в производной неоднородной кошулевой двойственности. Две конильпотентные версии теоремы двойственности появились сначала, неконильпотентная версия -- чуть позже (в пределах нескольких недель), кажется.

Главное, чего тогда еще не было -- это самих слов "копроизводные и контрапроизводные категории". Термин "копроизводная категория" впервые появился лет на пять позже, в неопубликованной заметке Келлера, содержавшей изложение некоторых результатов из диссертации Лефевра-Хасегавы. При этом правильного определения копроизводной категории у них не было. Я знал, как правильно определить эту штуку, а они придумали -- как назвать. Термин "контрапроизводная категория" предложил уже я, по (очевидной) аналогии.

Поняв то, что было понято в конце марта -- начале апреля, я пошел в библиотеку IAS искать литературу по коалгебрам и смежным вопросам -- и нашел серию работ Эйленберга-Мура, и финальную работу в этой серии, уже с другим набором авторов -- Хьюзмоллера-Мура-Сташефа. В последней я обнаружил терминологию "дифференциальные производные функторы первого/второго рода" -- на почве чего, вплоть до моего знакомства с заметкой Келлера, мои категории назывались "производными категориями второго рода". Получалось, что есть одна неограниченная производная категория первого рода и две двойственные конструкции неограниченных производных категорий второго рода. Эта терминология существует и сейчас (при этом "производных категорий второго рода" теперь уже не две, а штук пять-шесть развелось, что ли).

Кроме того, в одной из работ Эйленберга-Мура (мемуаре по относительной гомологической алгебре) я нашел определение контрамодуля над коалгеброй над кольцом. Важность его я осознал только через год (летом 2000-го), когда оно мне понадобилось для полубесконечной гомологической алгебры. Так что, по состоянию на весну 1999, копроизводные категории комодулей у меня были, были и копроизводные и контрапроизводные категории модулей (называвшиеся "де-штрих" и "де-два-штриха"), но контрапроизводных категорий контрамодулей еще не было. То, что сейчас называется "кошулевой тройственностью", было осознано где-то в первой половине 00-х годов, уже в Москве, кажется.

[buddha239.livejournal.com]

Понял; спасибо.

[posic.livejournal.com]

Тогда же (между апрелем и июнем 99) я нашел в библиотеке IAS статью (на самом деле, диссертацию) Басса про совершенные кольца и статью Чейза, где решался вопрос, при каких условиях произведения проективных модулей над кольцом проективны. При каких условиях суммы инъективных модулей инъективны, сказать проще -- кольцо должно быть нетеровым. Про произведения проективных получалось, что простая формулировка, когда они проективны, -- достаточно, чтобы кольцо было артиновым (с подходящей стороны). Все коалгебры над полями в этом смысле и нетеровы, и артиновы (это очевидно).

Так родилось недоразумение -- мол, для того, чтобы контрапроизводная категория хорошо себя вела, нужно что-то вроде артиновости кольца или нульмерности схемы -- которое я медленно изживал вплоть до 2012 года (когда появились контрамодули над нетеровыми кольцами в адической топологии произвольного идеала, а потом вскоре и контрагерентные копучки). В частности, только ближе к лету 2009 года (после поездки в Падерборн) было осознано, что правильное условие -- не "произведения проективных модулей проективны", а "произведения проективных модулей имеют конечную проективную размерность" (например "произведения проективных модулей плоски, а плоские модули имеют конечную проективную размерность") -- что имеет место гораздо чаще.

Не было еще в апреле 1999 и неоднородной производной двойственности между алгебрами и коалгебрами -- эквивалентности категорий dg-алгебр с точностью до квазиизоморфизма и cdg-коалгебр с точностью до фильтрованного квазиизоморфизма. Этот результат (неискривленный коммутативно-лиевский частный случай которого восходит к препринту Володи Хинича https://arxiv.org/abs/math/9812034 ), я (независимо) придумал где-то, наверное, летом или осенью 99 года.

Вообще, я несколько недель весной 1999 -- а до какой-то степени, и несколько месяцев до середины лета или осени -- проходил в таком полуэйфорическом состоянии, постепенно осознавая импликации придуманного, в сущности, за несколько дней.