Theory-building
Jan. 6th, 2018 06:11 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posic- Это правда, что ты подготовляешь почву к тому, чтобы через сто лет доказали гипотезу Римана?
- Да!
- А что это значит?
- Сейчас объясню. Давай вот с чего начнем: мой прадед родился в 1897 году, а умер в 1993. И, как многие люди своего поколения и социального происхождения (он был из еврейской городской бедноты), он стал коммунистом. Воевал в Гражданскую за красных, приехал жить во Львов в 1939 году, работал в советской торговле.
- И что?
- Так вот, он сохранял ясность мысли почти до самой смерти, но в последние годы жизни был в довольно подавленном настроении, в частности, на почве происходивших в СССР-России событий. По этому поводу, он задавал загадку (он любил такие загадки): "В чем разница между мной и Лениным?"
- Да?
- Его ответ был: "Разница в том, что Ленин умер, но дело его живет. А я жив, но дела мои умерли."
- А при чем тут ты?
- При том, что я предлагаю задаться не менее содержательным вопросом: в чем разница между мной и Гротендиком?
- В чем сходство, можно было также спросить.
- Он продумывал основания, и я продумываю основания. Вот, в чем сходство.
- А в чем разница?
- В том, что Гротендик строил теорию вокруг задачи, что означало -- для того, чтобы решить задачу. Какую задачу решать, он не то, чтобы так уж специально выбирал, при этом -- ни когда писал диссертацию по функциональному анализу, ни когда создавал современную алгебраическую геометрию. Для диссертации он решал задачи, которые ему поставили; ну, а гипотезы Вейля были просто самой интересной задачей, которая тогда вообще была, с точки зрения многих людей, видимо. Общепризнанной важности, в соответствующем кругу.
- Да, но он хотел не просто как-нибудь решить задачу, а особенным, правильным образом ее решить. Что означало -- построить вокруг такую теорию, которая там должна была быть, по его представлениям, а не просто найти какой-то трюк, достаточный для доказательства.
- Что с гипотезами Вейля у него не получилось, в конечном итоге. И так оно до сих пор и осталось: "стандартные гипотезы" так и не доказаны. Вместо этого, Делинь придумал некий трюк.
- И Гротендик очень сердился.
- Да. Что говорит о том, что задача, которую теория должна решать, играла важную мотивирующую роль для построения теории. Делинь доказал последнюю из гипотез Вейля -- и "стандартными гипотезами" никто уже не будет больше всерьез заниматься. В этом состояли опасения Гротендика, трудно сказать, насколько обоснованные. (Были ли у них тогда какие-то шансы что-то всерьез сделать со стандартными гипотезами, в любом случае?)
- А ты что делаешь?
- А я выбираю из текущего вокруг меня потока задач немногие, которые меня интересуют. Или сам ставлю себе задачи. В общем, в большинстве случаев, теми задачами, над которыми я размышлял, никто, кроме меня, не стал бы заниматься. И так с ранних юношеских лет было.
- А теория?
- Сначала нужно решить задачу. Иногда она несложная, и это можно сделать быстро. Иногда на это уходят годы. Теория строится после того, как задача уже решена. Она встает на месте решенной задачи.
- А если задачу решить не удается?
- Тогда получается менее интересно. Но, если долго размышлять над чем-то, какие-то меньшие, промежуточные задачи оказываются все-таки решенными, в типичном случае. На их месте встают наброски того, что, как мне кажется, может пригодиться потом для построения важных теорий, когда и если этими вопросами займется кто-то поумнее меня. Или, когда время придет.
- То есть целью является теория? А малозаметная взглядам других математиков задача показывает тебе место, где такую теорию нужно построить?
- Да. После того, как я решу эту задачу и увижу, что там за ней скрывается.
- То есть, как именно решена задача, красиво, некрасиво, не очень важно?
- Нет, конечно, задача должна быть решена самым правильным образом. Иначе в этом мало пользы. Другое дело, что бывают и более технические задачи, так сказать, технические леммы, необходимые для построения каких-то теорий. На которые наталкиваешься в процессе их построения. Некоторые из них тоже оказываются трудными. На доказательство иной технической леммы тоже уходят годы.
- Их уже все равно, как доказывать, лишь бы только доказать как-нибудь?
- Нет, конечно, совершенно не все равно. На месте сегодняшней технической леммы послезавтра новая теория встанет.
- А если гипотезу Римана докажут, придумав какой-нибудь трюк? Что ты будешь делать? Тоже рассердишься?
- Гипотезу Римана на моем веку не докажут.
- Ты так уверен?
- Да. Но, если посмотреть шире, то это тоже вопрос о разнице между мной и Гротендиком. Я же не левый анархист, а человек, старающийся мыслить более-менее реалистически. Я не могу запретить другим математикам придумывать такие доказательства, которые мне бы не понравились, и не стремлюсь это делать. С моей точки зрения, опираться нужно не на эстетические предпочтения, а на сам предмет.
- Что это значит?
- Что задача должна уметь за себя постоять. Иначе это не будет работать так, как нужно. Почему-то я уверен, что гипотеза Римана сумеет за себя постоять. Бессодержательного решения у нее не существует, так я думаю.
- А если все-таки представить себе, что ее докажут, каким-то образом? Вскоре? Это будет проблемой для тебя?
- Это стало бы водораздельным событием не для меня, а для чистой математики в целом. Вся атмосфера сильнейшим образом изменится, когда-если ее докажут.
- Каким образом изменится?
- Это невозможно предсказать, конечно. Зависит от того, кто и как докажет, и т.д. Во всяком случае, я уверен, что это было бы гораздо большим шоком, чем обнаружение каких-то там противоречий.
- Противоречий -- в математике? Типа, в ZFC?
- Противоречий в ZFC не существует. В этом я уверен еще намного сильнее, чем в том, что гипотезу Римана не докажут на моем веку.
- Почему?
- Потому, что аксиомы ZFC верны в реальном мире кумулятивной иерархии множеств. И даже если таких миров оказывается много и мы не умеем выбрать, какой из них лучше, то уж в существовании-то их сомнений нет. Я не знаю -- по-моему, это очевидно. Другое дело, что отсутствие черного кота в темной комнате -- еще не повод, чтобы не найти его там.
- Тоже правда...
- Ну, конечно. Например, если деятельность по компьютерной верификации доказательств получит достаточное развитие, я не сомневаюсь, что они там докажут противоречивость арифметических операций в пределах первой сотни, не говоря уже об арифметике Пеано и ZFC. Просто в силу полной утраты ориентации в чем бы то ни было за рамками сообщений на экране монитора, выдаваемых интересной компьютерной программой. В этом смысле, деятельность Воеводского действительно очень удачно направлена к тому, чтобы подтвердить его собственное пророчество.
- Но это будет меньшим шоком, чем доказательство гипотезы Римана?
- Ну, для людей, искренне подверженных компьютерной верификации, это будет своего рода концом света, наверное. Но для неподверженных это был бы, самое большее, некий социальный шок. Собственно их деятельность это ведь никак не затронуло бы. Доказательство гипотезы Римана стало бы шоком психологическим, ценностным и мировоззренческим, гораздо более глубоким.
- И, собственно говоря, неизбежно станет? Ее ведь докажут когда-нибудь?
- Станет, конечно, хотя этот шок может быть размазан на значительный промежуток времени, в зависимости от того, насколько ожидаемым или неожиданным станет само событие.
- Ну, хорошо. Давай вернемся к изначальному вопросу. Что ты имеешь в виду, говоря, что ты подготовляешь почву для доказательства гипотезы Римана?
- Ничего определенного, разумеется. Или несколько разных вещей сразу. Например, контрамодули -- это некий новый мост между алгеброй и анализом (особенно, если кто-нибудь когда-нибудь придумает их архимедовы аналоги, и т.д.)
- Ты думаешь, это важно?
- Это может быть важно. Но я бы вот какой аспект подчеркнул, раз уж мы говорили о задачах и теориях. Ты мог бы спросить: в чем состоит мотивация к построению теорий, которые я строю? Если уж никаких конкретных задач они не решают?
- В чем состоит мотивация?
- Эти теории заполняют важные лакуны в понимании. В современной математике, как она известна современным математикам. Что возвращает нас, если хочешь, к деятельности Воеводского, или, точнее сказать, к моей переписке к с ним. Вот, что я добавил бы сейчас к двум своим письмам.
- Что?
- Я сказал бы, что наряду с задачей отпугивания и изгнания недостойных, есть не менее важная задача воодушевления достойных. И она не сводится к одному только открытию новых просторов для деятельности. Люди могут совершенно добросовестно запутываться в каких-то вещах и не уметь распутаться. Или, говоря шире, просто постепенно утрачивать понимание того, что они делают, переставая видеть за деревьями лес. Ходя кругами вокруг каких-то темных мест, и т.д.
- Да?
- В общем, я сказал бы, что благодаря моей деятельности здание гомологической алгебры и прилегающих алгебраических областей представляет собой сейчас существенно более прочную конструкцию, чем без меня бы оно было. Многие лакуны заполнены, темные места прояснены, парадоксы описаны и объяснены, выходы из них найдены. Во многих направлениях можно ходить теперь по прямой, а не кружными путями. Этому нужно учиться, конечно, но. Если хотеть разобраться, найти правильные формулировки, увидеть важные взаимосвязи и т.д. -- возможностей для этого стало больше.
- А при чем тут гипотеза Римана?
- Более прочная конструкция, с более обширным, надежным фундаментом, является и более способной к долгосрочному развитию. Мне кажется, это то, что важно в нашу эпоху.
- Да!
- А что это значит?
- Сейчас объясню. Давай вот с чего начнем: мой прадед родился в 1897 году, а умер в 1993. И, как многие люди своего поколения и социального происхождения (он был из еврейской городской бедноты), он стал коммунистом. Воевал в Гражданскую за красных, приехал жить во Львов в 1939 году, работал в советской торговле.
- И что?
- Так вот, он сохранял ясность мысли почти до самой смерти, но в последние годы жизни был в довольно подавленном настроении, в частности, на почве происходивших в СССР-России событий. По этому поводу, он задавал загадку (он любил такие загадки): "В чем разница между мной и Лениным?"
- Да?
- Его ответ был: "Разница в том, что Ленин умер, но дело его живет. А я жив, но дела мои умерли."
- А при чем тут ты?
- При том, что я предлагаю задаться не менее содержательным вопросом: в чем разница между мной и Гротендиком?
- В чем сходство, можно было также спросить.
- Он продумывал основания, и я продумываю основания. Вот, в чем сходство.
- А в чем разница?
- В том, что Гротендик строил теорию вокруг задачи, что означало -- для того, чтобы решить задачу. Какую задачу решать, он не то, чтобы так уж специально выбирал, при этом -- ни когда писал диссертацию по функциональному анализу, ни когда создавал современную алгебраическую геометрию. Для диссертации он решал задачи, которые ему поставили; ну, а гипотезы Вейля были просто самой интересной задачей, которая тогда вообще была, с точки зрения многих людей, видимо. Общепризнанной важности, в соответствующем кругу.
- Да, но он хотел не просто как-нибудь решить задачу, а особенным, правильным образом ее решить. Что означало -- построить вокруг такую теорию, которая там должна была быть, по его представлениям, а не просто найти какой-то трюк, достаточный для доказательства.
- Что с гипотезами Вейля у него не получилось, в конечном итоге. И так оно до сих пор и осталось: "стандартные гипотезы" так и не доказаны. Вместо этого, Делинь придумал некий трюк.
- И Гротендик очень сердился.
- Да. Что говорит о том, что задача, которую теория должна решать, играла важную мотивирующую роль для построения теории. Делинь доказал последнюю из гипотез Вейля -- и "стандартными гипотезами" никто уже не будет больше всерьез заниматься. В этом состояли опасения Гротендика, трудно сказать, насколько обоснованные. (Были ли у них тогда какие-то шансы что-то всерьез сделать со стандартными гипотезами, в любом случае?)
- А ты что делаешь?
- А я выбираю из текущего вокруг меня потока задач немногие, которые меня интересуют. Или сам ставлю себе задачи. В общем, в большинстве случаев, теми задачами, над которыми я размышлял, никто, кроме меня, не стал бы заниматься. И так с ранних юношеских лет было.
- А теория?
- Сначала нужно решить задачу. Иногда она несложная, и это можно сделать быстро. Иногда на это уходят годы. Теория строится после того, как задача уже решена. Она встает на месте решенной задачи.
- А если задачу решить не удается?
- Тогда получается менее интересно. Но, если долго размышлять над чем-то, какие-то меньшие, промежуточные задачи оказываются все-таки решенными, в типичном случае. На их месте встают наброски того, что, как мне кажется, может пригодиться потом для построения важных теорий, когда и если этими вопросами займется кто-то поумнее меня. Или, когда время придет.
- То есть целью является теория? А малозаметная взглядам других математиков задача показывает тебе место, где такую теорию нужно построить?
- Да. После того, как я решу эту задачу и увижу, что там за ней скрывается.
- То есть, как именно решена задача, красиво, некрасиво, не очень важно?
- Нет, конечно, задача должна быть решена самым правильным образом. Иначе в этом мало пользы. Другое дело, что бывают и более технические задачи, так сказать, технические леммы, необходимые для построения каких-то теорий. На которые наталкиваешься в процессе их построения. Некоторые из них тоже оказываются трудными. На доказательство иной технической леммы тоже уходят годы.
- Их уже все равно, как доказывать, лишь бы только доказать как-нибудь?
- Нет, конечно, совершенно не все равно. На месте сегодняшней технической леммы послезавтра новая теория встанет.
- А если гипотезу Римана докажут, придумав какой-нибудь трюк? Что ты будешь делать? Тоже рассердишься?
- Гипотезу Римана на моем веку не докажут.
- Ты так уверен?
- Да. Но, если посмотреть шире, то это тоже вопрос о разнице между мной и Гротендиком. Я же не левый анархист, а человек, старающийся мыслить более-менее реалистически. Я не могу запретить другим математикам придумывать такие доказательства, которые мне бы не понравились, и не стремлюсь это делать. С моей точки зрения, опираться нужно не на эстетические предпочтения, а на сам предмет.
- Что это значит?
- Что задача должна уметь за себя постоять. Иначе это не будет работать так, как нужно. Почему-то я уверен, что гипотеза Римана сумеет за себя постоять. Бессодержательного решения у нее не существует, так я думаю.
- А если все-таки представить себе, что ее докажут, каким-то образом? Вскоре? Это будет проблемой для тебя?
- Это стало бы водораздельным событием не для меня, а для чистой математики в целом. Вся атмосфера сильнейшим образом изменится, когда-если ее докажут.
- Каким образом изменится?
- Это невозможно предсказать, конечно. Зависит от того, кто и как докажет, и т.д. Во всяком случае, я уверен, что это было бы гораздо большим шоком, чем обнаружение каких-то там противоречий.
- Противоречий -- в математике? Типа, в ZFC?
- Противоречий в ZFC не существует. В этом я уверен еще намного сильнее, чем в том, что гипотезу Римана не докажут на моем веку.
- Почему?
- Потому, что аксиомы ZFC верны в реальном мире кумулятивной иерархии множеств. И даже если таких миров оказывается много и мы не умеем выбрать, какой из них лучше, то уж в существовании-то их сомнений нет. Я не знаю -- по-моему, это очевидно. Другое дело, что отсутствие черного кота в темной комнате -- еще не повод, чтобы не найти его там.
- Тоже правда...
- Ну, конечно. Например, если деятельность по компьютерной верификации доказательств получит достаточное развитие, я не сомневаюсь, что они там докажут противоречивость арифметических операций в пределах первой сотни, не говоря уже об арифметике Пеано и ZFC. Просто в силу полной утраты ориентации в чем бы то ни было за рамками сообщений на экране монитора, выдаваемых интересной компьютерной программой. В этом смысле, деятельность Воеводского действительно очень удачно направлена к тому, чтобы подтвердить его собственное пророчество.
- Но это будет меньшим шоком, чем доказательство гипотезы Римана?
- Ну, для людей, искренне подверженных компьютерной верификации, это будет своего рода концом света, наверное. Но для неподверженных это был бы, самое большее, некий социальный шок. Собственно их деятельность это ведь никак не затронуло бы. Доказательство гипотезы Римана стало бы шоком психологическим, ценностным и мировоззренческим, гораздо более глубоким.
- И, собственно говоря, неизбежно станет? Ее ведь докажут когда-нибудь?
- Станет, конечно, хотя этот шок может быть размазан на значительный промежуток времени, в зависимости от того, насколько ожидаемым или неожиданным станет само событие.
- Ну, хорошо. Давай вернемся к изначальному вопросу. Что ты имеешь в виду, говоря, что ты подготовляешь почву для доказательства гипотезы Римана?
- Ничего определенного, разумеется. Или несколько разных вещей сразу. Например, контрамодули -- это некий новый мост между алгеброй и анализом (особенно, если кто-нибудь когда-нибудь придумает их архимедовы аналоги, и т.д.)
- Ты думаешь, это важно?
- Это может быть важно. Но я бы вот какой аспект подчеркнул, раз уж мы говорили о задачах и теориях. Ты мог бы спросить: в чем состоит мотивация к построению теорий, которые я строю? Если уж никаких конкретных задач они не решают?
- В чем состоит мотивация?
- Эти теории заполняют важные лакуны в понимании. В современной математике, как она известна современным математикам. Что возвращает нас, если хочешь, к деятельности Воеводского, или, точнее сказать, к моей переписке к с ним. Вот, что я добавил бы сейчас к двум своим письмам.
- Что?
- Я сказал бы, что наряду с задачей отпугивания и изгнания недостойных, есть не менее важная задача воодушевления достойных. И она не сводится к одному только открытию новых просторов для деятельности. Люди могут совершенно добросовестно запутываться в каких-то вещах и не уметь распутаться. Или, говоря шире, просто постепенно утрачивать понимание того, что они делают, переставая видеть за деревьями лес. Ходя кругами вокруг каких-то темных мест, и т.д.
- Да?
- В общем, я сказал бы, что благодаря моей деятельности здание гомологической алгебры и прилегающих алгебраических областей представляет собой сейчас существенно более прочную конструкцию, чем без меня бы оно было. Многие лакуны заполнены, темные места прояснены, парадоксы описаны и объяснены, выходы из них найдены. Во многих направлениях можно ходить теперь по прямой, а не кружными путями. Этому нужно учиться, конечно, но. Если хотеть разобраться, найти правильные формулировки, увидеть важные взаимосвязи и т.д. -- возможностей для этого стало больше.
- А при чем тут гипотеза Римана?
- Более прочная конструкция, с более обширным, надежным фундаментом, является и более способной к долгосрочному развитию. Мне кажется, это то, что важно в нашу эпоху.
