![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicКто-нибудь когда-нибудь может написать книжку под заголовком "Контрпримеры и парадоксы в гомологической алгебре". По образцу "контрпримеров в анализе" и "парадоксов теории вероятностей". Возможные сюжеты из круга моих интересов:
- контрпримеры в теории алгебр с образующими и соотношениями (от алгебр с "плохими" рядами Гильберта и Пуанкаре до невозможности определить кошулевость по паре рядов Гильберта двух двойственных квадратичных алгебр);
- ошибка Руса, с контрпримером в виде категории контрамодулей над целыми p-адическими числами (и выводом, что у этой категории нет множества кообразующих);
- неполнота теорий кокручения, порожденных малыми множествами объектов, в локально представимых абелевых категориях без инъективных/проективных объектов;
- неограниченные комплексы проективных/инъективных объектов, градуированно проективные/инъективные DG-модули, и разница между производными категориями первого и второго рода;
- двусторонние производные функторы сбалансированных функторов двух аргументов, их зависимость от отношения эквивалентности на комплексах;
- гомотопическая категория искривленных DG-модулей над искривленной DG-алгеброй, и несовместимость CDG-изоморфизмов и квазиизоморфизмов DG-алгебр (любые две DG-алгебры над полем можно связать цепочкой преобразований, некоторые из которых -- CDG-изоморфизмы, а другие -- квазиизоморфизмы);
- искривленные DG-алгебры, искривленные A∞-алгебры и Kontsevich-Positselski vanishing
(бонус-трэк: модульная категория, связанная со слабо искривленной DG-алгеброй, уже совпадает с категорией, связанной с ней же как слабо искривленной A∞-алгеброй -- и при этом все равно может вдруг занулиться! -- но не обязана, и, вообще говоря, совершенно нетривиальна -- в отличие от ситуации с обычной искривленной A∞-алгеброй, модульная категория которой тривиальна всегда, да и сама такая алгебра тоже);
- обычная производная категория DG-комодулей над DG-коалгеброй может измениться при замене DG-коалгебры на квазиизоморфную (в отличие от ситуации с DG-кольцом);
- неотделимые контрамодули и парадокс ненулевой суммы ряда с нулевыми членами
(бонус-трэк: нефакторотделимые, в смысле nonquotseparated, контрамодули над ненетеровыми коммутативными кольцами с не-слабо-прорегулярными конечно-порожденными идеалами, и две естественные абелевы категории контрамодулей, вложенные одна в другую);
- нарушение теоремы локализации Томасона-Трубо для локально свободных матричных факторизаций (в отличие от локально свободных пучков);
- гомотопически инъективный комплекс квазикогерентных пучков на нетеровой схеме перестает быть таковым после ограничения на открытую подсхему
(бонус-трэк: и поэтому экстраординарный обратный образ Хартсхорна-Делиня не является функтором между обычными неограниченными производными категориями квазикогерентных пучков, а только между копроизводными категориями -- зато между копроизводными категориями не действует обычный производный обратный образ);
- локально контрагерентный копучок может не быть контрагерентным.
Что-нибудь еще (возможно, не из круга моих интересов...) ?
- контрпримеры в теории алгебр с образующими и соотношениями (от алгебр с "плохими" рядами Гильберта и Пуанкаре до невозможности определить кошулевость по паре рядов Гильберта двух двойственных квадратичных алгебр);
- ошибка Руса, с контрпримером в виде категории контрамодулей над целыми p-адическими числами (и выводом, что у этой категории нет множества кообразующих);
- неполнота теорий кокручения, порожденных малыми множествами объектов, в локально представимых абелевых категориях без инъективных/проективных объектов;
- неограниченные комплексы проективных/инъективных объектов, градуированно проективные/инъективные DG-модули, и разница между производными категориями первого и второго рода;
- двусторонние производные функторы сбалансированных функторов двух аргументов, их зависимость от отношения эквивалентности на комплексах;
- гомотопическая категория искривленных DG-модулей над искривленной DG-алгеброй, и несовместимость CDG-изоморфизмов и квазиизоморфизмов DG-алгебр (любые две DG-алгебры над полем можно связать цепочкой преобразований, некоторые из которых -- CDG-изоморфизмы, а другие -- квазиизоморфизмы);
- искривленные DG-алгебры, искривленные A∞-алгебры и Kontsevich-Positselski vanishing
(бонус-трэк: модульная категория, связанная со слабо искривленной DG-алгеброй, уже совпадает с категорией, связанной с ней же как слабо искривленной A∞-алгеброй -- и при этом все равно может вдруг занулиться! -- но не обязана, и, вообще говоря, совершенно нетривиальна -- в отличие от ситуации с обычной искривленной A∞-алгеброй, модульная категория которой тривиальна всегда, да и сама такая алгебра тоже);
- обычная производная категория DG-комодулей над DG-коалгеброй может измениться при замене DG-коалгебры на квазиизоморфную (в отличие от ситуации с DG-кольцом);
- неотделимые контрамодули и парадокс ненулевой суммы ряда с нулевыми членами
(бонус-трэк: нефакторотделимые, в смысле nonquotseparated, контрамодули над ненетеровыми коммутативными кольцами с не-слабо-прорегулярными конечно-порожденными идеалами, и две естественные абелевы категории контрамодулей, вложенные одна в другую);
- нарушение теоремы локализации Томасона-Трубо для локально свободных матричных факторизаций (в отличие от локально свободных пучков);
- гомотопически инъективный комплекс квазикогерентных пучков на нетеровой схеме перестает быть таковым после ограничения на открытую подсхему
(бонус-трэк: и поэтому экстраординарный обратный образ Хартсхорна-Делиня не является функтором между обычными неограниченными производными категориями квазикогерентных пучков, а только между копроизводными категориями -- зато между копроизводными категориями не действует обычный производный обратный образ);
- локально контрагерентный копучок может не быть контрагерентным.
Что-нибудь еще (возможно, не из круга моих интересов...) ?
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2018-01-05 08:22 am (UTC)V. H.
no subject
Date: 2018-01-05 03:31 pm (UTC)В чем-то близкая вещь: вроде бы, бывают изоморфные триангулированные категории с разными моделями, для которых эти модели дают разную К-теорию.
no subject
Date: 2018-01-05 03:46 pm (UTC)no subject
Date: 2018-01-05 05:00 pm (UTC)https://arxiv.org/abs/1007.4776
https://arxiv.org/abs/0704.1378
no subject
Date: 2018-01-05 05:02 pm (UTC)no subject
Date: 2018-01-05 05:17 pm (UTC)Конечно, если "абстрагироваться от геометрии", то пример будет менее интересным.
no subject
Date: 2018-01-05 05:22 pm (UTC)Или там останется что-то, если абстрагироваться от геометрии? Что именно?
no subject
Date: 2018-01-05 06:41 pm (UTC)Если абстрагироваться, то имеем две неизоморфные конечномерные градуированные самодвойственные Z-алгебры, чьи пополнения изоморфны.
no subject
Date: 2018-01-05 06:51 pm (UTC)Или соль, вы считаете, в том, что они одинаковые над целыми p-адическими числами для всех p, но разные над вещественными числами?
no subject
Date: 2018-01-05 07:03 pm (UTC)Не думал, что кто-то по-русски добровольно выговорит/напишет "целые рациональные числа".:)