Небольшое упражение по гомологической алгебре

[posic]

Пусть R -- коммутативное кольцо, и пусть a, b ∈ R -- два элемента, такие что ab = 0 в R. Пусть P -- плоский R-модуль, такой что R/aR-модуль P/aP проективен и R/bR-модуль P/bP проективен. Показать, что R-модуль P проективен.

Я, например, решил это упражнение, но не с первой попытки.

Comments

[posic.livejournal.com]

Доказательство: показать, что Ext_R¹(P,C) = 0 для любого R-модуля C, аннулируемого одним из элементов a или b, и вывести то же самое для любого R-модуля C, используя точную последовательность R-модулей 0 → aC → C → C/aC → 0, где модуль aC аннулируется элементом b, а модуль C/aC аннулируется элементом a.

[(Anonymous)]

Raynaud-Gruson?
V. Hinich

[posic.livejournal.com]

Конечно, я задался этим вопросом именно в результате (очень выборочного) чтения статьи Рейно-Грюзона. Дело в том, что, как известно, в этой статье есть ошибка или ошибки. Конкретно, в частности, Exemple II.3.1.4(1), в котором дается, в намного большей общности, ответ на этот конкретный вопрос, называют среди ошибочных, в том смысле, что его доказательство, данное в статье, не проходит (см. https://arxiv.org/abs/1011.0038 ).

Похоже, что нужный здесь аспект того, что утверждается в RG II.3.1.4(1), Грюзон починил в своей последующей статье (которая вышла в ныне уже не издающемся итальянском журнале Symposia Mathematica и мне недоступна). Меня интересовала RG Theoreme II.3.3.1, доказательство которой ссылается на II.3.1.4(1), но там используется только тот довольно специальный частный случай, который сформулирован в моем постинге. Соответственно, я хотел убедиться, что умею это доказывать без ссылки на проблематичный RG II.3.1.4(1).

[posic.livejournal.com]

Вот обсуждение -- https://mathoverflow.net/questions/6719/is-projectiveness-a-zariski-local-property-of-modules-answered-yes