Можете ли вы с помощью своей новой техники
Jul. 1st, 2017 12:21 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicдоказать какую-нибудь теорему, которую можно сформулировать, но нельзя доказать без нее?
1. Пусть S -- конечно-представимая коммутативная алгебра над коммутативным кольцом R. Тогда если S -- плоский R-модуль, то проективная размерность R-модуля S не превышает единицы.
2. Пусть R -- нетерово коммутативное кольцо размерности Крулля 1. Обозначим через S дополнение к объединению всех минимальных простых идеалов в R. Тогда всякий плоский R-модуль F является прямым слагаемым некоторого R-модуля G, для которого существует короткая точная последовательность R-модулей 0 → P → G → Q → 0, где P -- свободный R-модуль, а Q -- свободный S−1R-модуль.
3. Пусть R -- счетное нетерово коммутативное кольцо. Тогда класс всех R-модулей C, таких что ExtR1(F,C) = 0 для любого плоского R-модуля F, можно описать следующим образом. Это класс всех R-модулей, которые можно получить из векторных пространств над полями вычетов кольца R с помощью операций перехода к счетно-итерированному расширению (в смысле проективного предела последовательности) и фактормодулю по произвольному подмодулю.
Может быть, кто-нибудь умеет доказывать что-нибудь из этого без моих контрамодульных техник?
***
Update -- вот сравнительно совсем элементарное утверждение в том же ряду, можно попробовать начать с него:
4. Пусть R -- коммутативное кольцо и s ∈ R -- элемент. Пусть F -- плоский R-модуль, такой что R[s−1]-модуль F[s−1] проективен и R/sR-модуль F/sF проективен. Тогда F является прямым слагаемым некоторого R-модуля G, для которого существует короткая точная последовательность R-модулей 0 → P → G → Q → 0, где P -- свободный R-модуль, а Q -- свободный R[s−1]-модуль.
UUpdate -- все-таки, утверждение 1., как оно сформулировано выше, нельзя признать удачным способом рекламировать мою гипотезу (теперь теорему), что если конечно представимая R-алгебра S является плоским R-модулем, то это очень плоский R-модуль. Оно легко доказывается другими средствами. Попросту, если R-алгебра S конечно представима, то R-модуль S счетно представим; а всякий счетно представимый плоский модуль имеет проективную размерность не больше единицы.
1. Пусть S -- конечно-представимая коммутативная алгебра над коммутативным кольцом R. Тогда если S -- плоский R-модуль, то проективная размерность R-модуля S не превышает единицы.
2. Пусть R -- нетерово коммутативное кольцо размерности Крулля 1. Обозначим через S дополнение к объединению всех минимальных простых идеалов в R. Тогда всякий плоский R-модуль F является прямым слагаемым некоторого R-модуля G, для которого существует короткая точная последовательность R-модулей 0 → P → G → Q → 0, где P -- свободный R-модуль, а Q -- свободный S−1R-модуль.
3. Пусть R -- счетное нетерово коммутативное кольцо. Тогда класс всех R-модулей C, таких что ExtR1(F,C) = 0 для любого плоского R-модуля F, можно описать следующим образом. Это класс всех R-модулей, которые можно получить из векторных пространств над полями вычетов кольца R с помощью операций перехода к счетно-итерированному расширению (в смысле проективного предела последовательности) и фактормодулю по произвольному подмодулю.
Может быть, кто-нибудь умеет доказывать что-нибудь из этого без моих контрамодульных техник?
***
Update -- вот сравнительно совсем элементарное утверждение в том же ряду, можно попробовать начать с него:
4. Пусть R -- коммутативное кольцо и s ∈ R -- элемент. Пусть F -- плоский R-модуль, такой что R[s−1]-модуль F[s−1] проективен и R/sR-модуль F/sF проективен. Тогда F является прямым слагаемым некоторого R-модуля G, для которого существует короткая точная последовательность R-модулей 0 → P → G → Q → 0, где P -- свободный R-модуль, а Q -- свободный R[s−1]-модуль.
UUpdate -- все-таки, утверждение 1., как оно сформулировано выше, нельзя признать удачным способом рекламировать мою гипотезу (теперь теорему), что если конечно представимая R-алгебра S является плоским R-модулем, то это очень плоский R-модуль. Оно легко доказывается другими средствами. Попросту, если R-алгебра S конечно представима, то R-модуль S счетно представим; а всякий счетно представимый плоский модуль имеет проективную размерность не больше единицы.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2017-07-01 06:32 am (UTC)Мне-то хочется весовые структуры применить, и даже какая-то связь чудится - но сходу не получается.
no subject
Date: 2017-07-01 08:39 am (UTC)Доказательство второго утверждения опубликовано. Это (по модулю общеизвестных в определенных кругах результатов) теорема 13.8(b) из препринта https://arxiv.org/abs/1605.03934 . Препринт, конечно, довольно длинный -- но там много чего доказывается. Кратчайшая дорожка к этой теореме занимала бы, наверное, страниц 30.
no subject
Date: 2017-07-01 08:46 am (UTC)В качестве приложений результатов статей такие результаты выглядят вполне нормально. Но совершенно не очевидно, что их нельзя доказать без контрамодулей и всего-навсего на 20 страницах.
no subject
Date: 2017-07-01 09:10 am (UTC)no subject
Date: 2017-07-01 09:22 am (UTC)no subject
Date: 2017-07-01 09:33 am (UTC)no subject
Date: 2017-07-01 09:45 am (UTC)no subject
Date: 2017-07-01 10:40 am (UTC)Утверждение 3. особенно сильно зависит от сложных результатов теории контрамодулей над топологическими кольцами. С другой стороны, вот я написал Update и добавил утверждение 4., доказательство которого относительно элементарно и произнесения слова "контрамодуль", действительно, не требует.
no subject
Date: 2017-07-01 10:55 am (UTC)no subject
Date: 2017-07-08 03:57 pm (UTC)Но могу Вам сказать из собственного грустного опыта: равносильные условия без применения к конкретным задачам любят, увы, не все.
no subject
Date: 2017-08-03 12:51 am (UTC)Из результатов, перечисленных в этом постинге, она покрывает пункты 1. и 4. Пункт 1. там называется Main Theorem (их там несколько таких, в разной общности сформулированных), а пункт 4. -- это Toy Main Lemma.
Про пункт 3. я еще отдельную статью напишу (надеюсь).
no subject
Date: 2017-08-03 06:17 am (UTC)no subject
Date: 2017-08-25 07:18 am (UTC)То, что сформулировано выше как пункт 3., называется там Corollary 0.20 (доказательство его можно найти в последней секции 7).