posic

Весной 1999 года появились два варианта определения того, что тогда называлось производными категориями второго рода. К тому времени, когда (весной 2009 года) появился мой препринт на эту тему, они стали называться копроизводными и контрапроизводными категориями.

В 2000-02 годах была сформулирована философия полубесконечной гомологической алгебры: следует рассматривать структуры, являющиеся коалгебрами по половине переменных и алгебрами по другой половине; модульные объекты над такими структурами могут быть комодулями или контрамодулями над переменными коалгебры, будучи в любом случае модулями над переменными алгебры. У таких модулей следует рассматривать полупроизводные категории -- копроизводные или контрапроизводные в том направлении, в котором имеются комодули или контрамодули, и обычные производные в том направлении, в котором модули.

Где-то, кажется, в начале 2009 года я задался вопросом, как следует относиться к геометрическим объектам: следует ли считать пучки на многообразии модулями или комодулями, рассматривать для них обычную производную или копроизводную категорию? Через несколько месяцев размышлений на эту тему, мне захотелось иметь определение того, что тогда называлось "контракогерентными пучками" (чтобы для них контрапроизводную категорию рассматривать). Весной 2012 года, когда, после ряда неудачных попыток, это определение у меня, наконец, появилось, они стали называться "контрагерентными копучками".

Немало времени ушло на преодоление психологического барьера между контрамодулями над коалгебрами над полями -- геометрически соответствующими инд-нульмерным схемам -- и контрамодулями над геометрическими объектами положительной размерности. Осознание (в начале весны 2012 года) того, что теория контрамодулей над адическим пополнением нетерова коммутативного кольца почти не зависит от того, является ли идеал, по которому производится пополнение, максимальным или произвольным, помогло мне преодолеть этот рубеж.

Где-то с весны 2009 года постепенно начало выясняться, что в контексте комодульно-контрамодульного соответствия можно рассматривать и ко- или контрапроизводные категории модулей, и, наоборот, обычные производные категории комодулей и контрамодулей. Вершиной этого развития стала сформулированная весной 2015 года философия дуализирующих и дедуализирующих комплексов.

Летом 2016 года стало понятно, что производные категории первого рода ("обычные") и второго рода (ко- и контрапроизводные) образуют не дихотомию с возможностью надстраивать одно над другим, а что-то вроде непрерывного спектра -- появилось то, что в моем мартовском, 2017 года, препринте стало называться псевдо-копроизводными и псевдо-контрапроизводными категориями. С новой точки зрения, сама постановка вопроса о том, должен ли считаться тот или иной геометрический объект "алгеброй" или "коалгеброй", занимавшая столь важное место в моих размышлениях 2009-15 годов, лишается своего значения.

Что дальше? Я не знаю, что дальше. Пока что можно сказать, что если в 1999-2009 годах я занимался, условно, теорией представлений, а в 2009-15 -- алгебраической геометрией, то начиная со второй половины 2015 и, особенно, с 2016 года, я переместился в чистую алгебру. При этом, разумеется, все это время, как и всю жизнь вообще, я работаю, в каком-то смысле, над одним и тем же; просто это "одно и то же" по-разному пересекает общепринятые границы областей -- границы того, чем занимаются другие люди.