![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicТеорема 1. Пусть R -- полное, отделимое топологическое кольцо со счетной базой окрестностей нуля, состоящей из открытых правых идеалов. Допустим, что R имеет также базу окрестностей нуля, состоящую из конечно-порожденных открытых левых идеалов (конечно-порожденных в сильном смысле: любое сходящееся к нулю семейство элементов в таком идеале должно быть линейной комбинацией сходящихся к нулю семейств элементов кольца с коэффициентами -- образующими идеала). Тогда забывающий функтор из категории левых R-контрамодулей в категорию левых R-модулей -- вполне строгий.
Доказательство: В самом деле, достаточно показать, что всякий гомоморфизм левых R-модулей R[[X]] → P, где P -- левый R-контрамодуль, является морфизмом левых R-контрамодулей. Для этого достаточно проверить, что всякий гомоморфизм левых R-модулей R[[X]] → P, отображающий элементы из X в нулевые элементы в P, равен нулю. Пусть f: R[[X]] → P -- такой гомоморфизм R-модулей. Без потери общности мы можем предполагать, что R-контрамодуль P порожден элементами, лежащими в образе f (иначе можно заменить P на соответствующий подконтрамодуль).
Пусть I -- конечно-порожденный в сильном смысле левый идеал в кольце R. Тогда для любого левого R-контрамодуля Q образ I×Q отображения контрадействия I[[Q]] → Q совпадает с подмодулем IQ ⊂ Q. В частности, имеем I[[X]] = I×R[[X]] = I R[[X]] и I×P = IP. Теперь индуцированное отображение f/I: R[[X]]/IR[[X]] → P/IP равно нулю, так как левый R-модуль R[[X]]/I[[X]] = R/I[X] порожден элементами из X. Поскольку R-контрамодуль P порожден f(R[[X]]) и I×P = IP -- R-подконтрамодуль в P, отсюда следует, что P = IP.
Мы показали, что P = I×P для некоторого счетного множества левых идеалов I ⊂ R, образующих базу окрестностей нуля в R. Согласно контрамодульной лемме Накаямы (1512.08119, лемма 6.14), отсюда следует, что P = 0.
Теорема 2. Пусть R -- ассоциативное кольцо с двусторонним идеалом I. Рассмотрим присоединенное градуированное кольцо grIR и пополнение RI^ кольца R по I-адической фильтрации. Предположим, что идеал grII ⊂ grIR порожден конечным числом центральных элементов (градуировки 1). Тогда забывающий функтор RI^-contra → R-mod вполне строгий.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 1 и использует тот факт, что идеалы InI^ в кольце RI^, рассматриваемые как левые идеалы, порождены в сильном смысле конечными множествами элементов, приходящих из кольца R, а на фактормодули (факторкольца) по этим идеалам кольцо R сюръективно отображается. Соответствующий обобщенный вариант теоремы 1 прямо влечет теорему 2.
Теорема 3. (а) Пусть k -- коммутативное кольцо и k{{x1,…,xm}} -- алгебра некоммутативных многочленов от конечного набора переменных с коэффициентами в k, снабженная гомоморфизмом аугментации k{{x1,…,xm}} → k. Пусть R -- факторалгебра алгебры k{{x1,…xm}} по двустороннему идеалу, содержащемуся в идеале аугментации, I -- ядро гомоморфизма аугментации R → k, и RI^ -- пополнение R в I-адической топологии. Тогда забывающий функтор RI^-contra &rarr R-mod вполне строгий.
(б) Пусть k -- коммутативное кольцо и k<< x1,…,xm >> -- топологическая алгебра формальных степенных рядов от конечного набора переменных с коэффициентами в k. Пусть R -- факторалгебра алгебры k<< x1,…,xm >> по замкнутому двустороннему идеалу, снабженная индуцированной топологией. Тогда забывающий функтор R-contra → R-mod вполне строгий.
(в) Пусть C -- конильпотентная коалгебра над полем k, такая что пространство первых когомологий H1(C) = H1(C,k) конечномерно. Тогда забывающий функтор C-contra → C*-mod вполне строгий.
Доказательство: В самом деле, достаточно показать, что всякий гомоморфизм левых R-модулей R[[X]] → P, где P -- левый R-контрамодуль, является морфизмом левых R-контрамодулей. Для этого достаточно проверить, что всякий гомоморфизм левых R-модулей R[[X]] → P, отображающий элементы из X в нулевые элементы в P, равен нулю. Пусть f: R[[X]] → P -- такой гомоморфизм R-модулей. Без потери общности мы можем предполагать, что R-контрамодуль P порожден элементами, лежащими в образе f (иначе можно заменить P на соответствующий подконтрамодуль).
Пусть I -- конечно-порожденный в сильном смысле левый идеал в кольце R. Тогда для любого левого R-контрамодуля Q образ I×Q отображения контрадействия I[[Q]] → Q совпадает с подмодулем IQ ⊂ Q. В частности, имеем I[[X]] = I×R[[X]] = I R[[X]] и I×P = IP. Теперь индуцированное отображение f/I: R[[X]]/IR[[X]] → P/IP равно нулю, так как левый R-модуль R[[X]]/I[[X]] = R/I[X] порожден элементами из X. Поскольку R-контрамодуль P порожден f(R[[X]]) и I×P = IP -- R-подконтрамодуль в P, отсюда следует, что P = IP.
Мы показали, что P = I×P для некоторого счетного множества левых идеалов I ⊂ R, образующих базу окрестностей нуля в R. Согласно контрамодульной лемме Накаямы (1512.08119, лемма 6.14), отсюда следует, что P = 0.
Теорема 2. Пусть R -- ассоциативное кольцо с двусторонним идеалом I. Рассмотрим присоединенное градуированное кольцо grIR и пополнение RI^ кольца R по I-адической фильтрации. Предположим, что идеал grII ⊂ grIR порожден конечным числом центральных элементов (градуировки 1). Тогда забывающий функтор RI^-contra → R-mod вполне строгий.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 1 и использует тот факт, что идеалы InI^ в кольце RI^, рассматриваемые как левые идеалы, порождены в сильном смысле конечными множествами элементов, приходящих из кольца R, а на фактормодули (факторкольца) по этим идеалам кольцо R сюръективно отображается. Соответствующий обобщенный вариант теоремы 1 прямо влечет теорему 2.
Теорема 3. (а) Пусть k -- коммутативное кольцо и k{{x1,…,xm}} -- алгебра некоммутативных многочленов от конечного набора переменных с коэффициентами в k, снабженная гомоморфизмом аугментации k{{x1,…,xm}} → k. Пусть R -- факторалгебра алгебры k{{x1,…xm}} по двустороннему идеалу, содержащемуся в идеале аугментации, I -- ядро гомоморфизма аугментации R → k, и RI^ -- пополнение R в I-адической топологии. Тогда забывающий функтор RI^-contra &rarr R-mod вполне строгий.
(б) Пусть k -- коммутативное кольцо и k<< x1,…,xm >> -- топологическая алгебра формальных степенных рядов от конечного набора переменных с коэффициентами в k. Пусть R -- факторалгебра алгебры k<< x1,…,xm >> по замкнутому двустороннему идеалу, снабженная индуцированной топологией. Тогда забывающий функтор R-contra → R-mod вполне строгий.
(в) Пусть C -- конильпотентная коалгебра над полем k, такая что пространство первых когомологий H1(C) = H1(C,k) конечномерно. Тогда забывающий функтор C-contra → C*-mod вполне строгий.
