posic | Многочлены пятой степени с циклической группой Галуа (из-под замка)

Вопрос юзера

gaz_v_pol:

Ты случайно не знаешь, вот если взять многочлены степени 5 от одной переменной с целыми коэффициентами. У некоторых из них группа Галуа циклическая, C(5). Спрашивается, можно ли это сформулировать в виде условия на коэффициенты многочлена? Или в виде параметризации этих коэффициентов?

Мои ответы в комментах к этому постингу.

Threaded | Top-Level Comments Only

From:

posic.livejournal.com

Ответ на этот вопрос можно сформулировать примерно в таком виде. Пусть имеется многочлен над каким-то полем k (например, полем рациональных чисел) с коэффициентами a₀, ..., a₄, т.е. x⁵ + a₄x⁴ + ... + a₀ = 0. Обозначим через x₁, ..., x₅ корни этого многочлена (лежащие в алгебраическом замыкании поля k -- мы не умеем вычислять эти корни, но это неважно).

Предположим, что группа Галуа нашего многочлена циклическая, C(5). Тогда она переставляет корни по кругу. Предположим, что они у нас занумерованы в том циклическом порядке, как группа Галуа их переставляет, т.е., какая-то образующая группы Галуа переводит x₁ в x₂, x₂ в x₃, и т.д., x₅ в x₁.

Нам нужен какой-нибудь многочлен от переменных x_i, остающийся инвариантным при таких циклических перестановках переменных x_i, но не при других их перестановках. Пример такого многочлена: x₁x₂² + x₂x₃² + ... + x₅x₁². Или: x₁x₂x₃² + x₂x₃x₄² + ...

Пусть p(x₁,...,x₅) -- такой циклически-симметричный многочлен. Займемся теперь тем, что будем подставлять в него переменные x_i в разном другом порядке, не циклически переставленном, а как угодно переставленном. Тогда у нас будут получаться разные новые многочлены от тех же переменных. Всего таких многочленов будет столько же, сколько элементов в факторгруппе S(5)/C(5), т.е., 4! = 24 штуки.

Составим вспомогательный многочлен 24-й степени от новой переменной p, корнями которого будут величины, получающиеся подстановкой в многочлен p(x₁,...,x₅) по-всякому переставленных величин x_i. Коэффициентами этого многочлена будут элементарные симметрические многочлены от этих 24 переставленных вариантов многочлена p. Выразив эти коэффициенты через величины x_i, мы получим некоторые симметрические многочлены от пяти величин x_i (инвариантные относительно всех перестановок x_i). Такие симметрические многочлены можно, в свою очередь, выразить в виде многочленов от величин a_i -- коэффициентов исходного многочлена пятой степени.

Мы получили некоторый многочлен 24-й степени от переменной p, коэффициентами которого являются многочлены от величин a_i. Последние можно вычислить и получить многочлен от переменной p с коэффициентами в поле k (например, рациональными или целыми коэффициентами).

Eсли исходный многочлен пятой степени от переменной x имел группу Галуа, содержащуюся в C(5) -- т.е., попросту, либо C(5), либо тривиальную группу -- то получившийся вспомогательный многочлен 24-й степени от переменной p имеет корень в поле k. В случае рациональных/целых коэффициентов, это можно проверить (подбором и подстановкой делителей свободного члена в качестве предполагаемых корней) -- имеет ли многочлен с целыми коэффициентами рациональный корень. Это получаетcя такое проверяемое условие на коэффициенты исходного многочлена.

Это условие необходимо и в общем положении достаточно для того, чтобы многочлен пятой степени имел группу Галуа, содержащуюся в C(5). Вернее сказать, условие достаточно, если у получившегося вспомогательного многочлена 24-й степени (с рациональными коэффициентами) не оказалось случайно кратных корней. В последнем случае, нужно взять какой-нибудь другой циклически-инвариантный многочлен p(x₁,...,x₅).

From:

posic.livejournal.com

Выше сформулирован ответ, применимый к произвольному полю k (нужно только уметь проверять, есть ли у многочлена корень в интересующем нас поле). Другой возможный ответ использовал бы теорему Кронекера-Вебера и имел бы, действительно, вид некоторой параметризации всех многочленов пятой степени с целыми/рациональными коэффициентами, группа Галуа которых циклическая.

Тут лучше все-таки немножко знать теорию Галуа, так что я опишу только примерный вид ответа в самых общих терминах. Главным параметром, связанным с интересующим нас многочленом, является его поле разложения. Это некоторое подполе в поле, полученном присоединением к полю рациональных чисел всех корней из единицы.

Нас интересуют:

1. Число 25 и связанная с ним группа обратимых остатков по модулю 25, по умножению (это циклическая группа порядка 20);
2. Простые числа p, дающие при делении на 5 остаток 1, и связанная с каждым таким простым числом группа ненулевых остатков по умножению (это циклическая группа порядка p−1).

У групп, возникающих в пп. 1 и 2, нужно взять факторгруппы по подгруппам всех элементов, являющихся пятыми степенями (каких-то элементов) в этих группах -- это будут циклические группы порядка 5. Взять число 25 как в п.1 и еще какое-то конечное множество простых чисел как в п.2, перемножить соответствующие циклические группы порядка 5. Получится абелева группа, изоморфная Z/5Z в какой-то там степени.

Выбрать у этой группы произвольную максимальную собственую подгруппу (т.е., подгруппу, факторгруппа по которой циклическая, из пяти элементов).

Вот этот набор данных: множество из n простых чисел как в п.2 + максимальная подгруппа в соответствующей группе, изоморфной Z/5Z в степени n+1 (если хочешь, гиперплоскость в (n+1)-мерном векторном пространстве над полем из пяти элементов) -- параметризует все возможные поля разложения многочленов 5-й степени с группой Галуа C(5) над полем рациональных чисел (именно и только над полем рациональных чисел), согласно теореме Кронекера-Вебера.

Теперь, когда поле зафиксировано, надо еще выбрать многочлен. Само поле представляет собой пятимерное векторное пространство над полем рациональных чисел. В нем есть одномерное подпространство -- подполе рациональных чисел. Надо выбрать в пятимерном пространстве вектор, не лежащий в этом одномерном подпространстве.

Циклическая группа Галуа действует на нашем пятимерном пространстве, а еще на нем есть умножение (структура поля). Надо подействовать группой Галуа на выбранный вектор, получить пять векторов. После этого записать уравнение пятой степени с такими корнями (используя умножение в нашем поле).