Комодули и контрамодули - 2
Apr. 12th, 2016 12:59 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПродолжение постинга http://posic.livejournal.com/1294642.html
Пусть C -- коассоциативное, коунитальное кокольцо над ассоциативным кольцом A, являющееся проективным левым A-модулем. Рассмотрим три категории:
(i) категория правых C-комодулей comod-C;
(ii) категория дискретных правых модулей discr-R над топологическим ассоциативным кольцом R = HomC(C,C)op (кольцо эндоморфизмов левого C-комодуля C с топологией, описанной в постинге http://posic.livejournal.com/1287429.html и далее по ссылкам);
(iii) категория Rex(C-contra) всех функторов из категории левых C-контрамодулей С-contra в категорию абелевых групп Ab, сохраняющих копределы.
Утверждается, что три категории (i)-(iii) естественным образом эквивалентны. Естественные функторы между ними образуют круговую диаграмму:
(i) → (ii): чтобы определить структуру правого R-модуля на правом C-комодуле N, нужно использовать изоморфизм N □C C = N. Ввиду этого изоморфизма, ясно, что эндоморфизмы левого C-комодуля C действуют слева на N. Поскольку образ каждого элемента из N в N □C C ⊂ N ⊗A C выражается в виде тензора, в который входит только конечное число элементов из C, это действие дискретно.
(ii) → (iii): категория C-contra отождествляется с категорией R-contra, как по ссылке (достаточно отождествить категории проективных объектов, для чего достаточно отождествить монады на категории множеств), после чего дискретному правому R-контрамодулю N сопоставляется функтор контратензорного произведения левых R-контрамодулей с ним N ⊙R −.
(iii) → (i): пусть F: C-contra → Ab -- функтор, сохраняющий копределы. Тогда F(HomC(C,C)) ⊗A C = F(HomC(C, C⊗AC)), поскольку ко-контра соответствие HomC(C,−) переводит прямые суммы копроективных C-комодулей в прямые суммы проективных C-контрамодулей. Теперь морфизм коумножения C → С ⊗A C индуцирует искомое отображение C-кодействия N → N ⊗A C на правом A-модуле N = F(HomC(C,C)).
Пусть теперь S -- полуассоциативная, полуунитальная полуалгебра над кокольцом C, являющаяся копроективным левым C-комодулем. Тогда аналогичные три категории тоже эквивалентны между собой:
(i) категория правых S-полумодулей simod-S;
(ii) категория дискретных правых модулей discr-R над топологическим ассоциативным кольцом R = HomS(S,S)op (кольцо эндоморфизмов левого S-полумодуля S с топологией, описанной по ссылке выше);
(iii) категория Rex(S-sicntr) всех функторов из категории левых S-полуконтрамодулей S-sicntr в категорию абелевых групп, сохраняющих копределы.
Круговая диаграмма функторов между ними строится так же, как выше; выпишем подробнее только первую и третью (самую интересную) конструкцию:
(i) → (ii): чтобы определить структуру правого R-модуля на правом S-полумодуле N, нужно использовать изоморфизм N ◊S S = N. Ввиду этого изоморфизма, ясно, что эндоморфизмы левого S-полумодуля S действуют слева на N.
Чтобы убедиться, что это действие дискретно, достаточно заметить, что (эндоморфизмы левого S-полумодуля определяются своими ограничениями на C, а) действие эндоморфизма S на конкретном элементе n из N определяется его действием на образах при отображении полуединицы в S тех элементов из C, которые входят в какое-нибудь выражение для тензора в N ⊗A C, являющегося образом элемента n при отображении правого C-кодействия.
(iii) → (i): пусть G: S-sicntr → Ab -- функтор, сохраняющий копределы. Компонуя ко-контра/полуко-полуконтра соответствие с функтором индуцирования полупроективных левых S-полумодулей с копроективных левых C-комодулей, получаем функтор из категории проективных левых C-контрамодулей в категорию проективных левых S-полуконтрамодулей, сохраняющий бесконечные прямые суммы и переводящий HomC(C,C) в HomS(S,S). Функтор этот можно однозначно продолжить до сохраняющего копределы функтора C-contra → S-sicntr. Компонуя полученный функтор с функтором G, получаем сохраняющий копределы функтор F: C-contra → Ab и связанный с ним правый C-комодуль N.
Теперь абелева группа/правый A-модуль N = G(HomS(S,S)) = F(HomC(C,C)) оказывается правым C-комодулем. Далее, имеем G(HomS(S,S)) □C S = G(HomS(S, S□CS)), поскольку полуко-полуконтра соответствие HomS(S,−) переводит прямые суммы полупроективных S-полумодулей в прямые суммы проективных S-полуконтрамодулей. Наконец, морфизм полуумножения S □C S → S индуцирует искомое отображение S-полудействия N □C S → N.
Пусть C -- коассоциативное, коунитальное кокольцо над ассоциативным кольцом A, являющееся проективным левым A-модулем. Рассмотрим три категории:
(i) категория правых C-комодулей comod-C;
(ii) категория дискретных правых модулей discr-R над топологическим ассоциативным кольцом R = HomC(C,C)op (кольцо эндоморфизмов левого C-комодуля C с топологией, описанной в постинге http://posic.livejournal.com/1287429.html и далее по ссылкам);
(iii) категория Rex(C-contra) всех функторов из категории левых C-контрамодулей С-contra в категорию абелевых групп Ab, сохраняющих копределы.
Утверждается, что три категории (i)-(iii) естественным образом эквивалентны. Естественные функторы между ними образуют круговую диаграмму:
(i) → (ii): чтобы определить структуру правого R-модуля на правом C-комодуле N, нужно использовать изоморфизм N □C C = N. Ввиду этого изоморфизма, ясно, что эндоморфизмы левого C-комодуля C действуют слева на N. Поскольку образ каждого элемента из N в N □C C ⊂ N ⊗A C выражается в виде тензора, в который входит только конечное число элементов из C, это действие дискретно.
(ii) → (iii): категория C-contra отождествляется с категорией R-contra, как по ссылке (достаточно отождествить категории проективных объектов, для чего достаточно отождествить монады на категории множеств), после чего дискретному правому R-контрамодулю N сопоставляется функтор контратензорного произведения левых R-контрамодулей с ним N ⊙R −.
(iii) → (i): пусть F: C-contra → Ab -- функтор, сохраняющий копределы. Тогда F(HomC(C,C)) ⊗A C = F(HomC(C, C⊗AC)), поскольку ко-контра соответствие HomC(C,−) переводит прямые суммы копроективных C-комодулей в прямые суммы проективных C-контрамодулей. Теперь морфизм коумножения C → С ⊗A C индуцирует искомое отображение C-кодействия N → N ⊗A C на правом A-модуле N = F(HomC(C,C)).
Пусть теперь S -- полуассоциативная, полуунитальная полуалгебра над кокольцом C, являющаяся копроективным левым C-комодулем. Тогда аналогичные три категории тоже эквивалентны между собой:
(i) категория правых S-полумодулей simod-S;
(ii) категория дискретных правых модулей discr-R над топологическим ассоциативным кольцом R = HomS(S,S)op (кольцо эндоморфизмов левого S-полумодуля S с топологией, описанной по ссылке выше);
(iii) категория Rex(S-sicntr) всех функторов из категории левых S-полуконтрамодулей S-sicntr в категорию абелевых групп, сохраняющих копределы.
Круговая диаграмма функторов между ними строится так же, как выше; выпишем подробнее только первую и третью (самую интересную) конструкцию:
(i) → (ii): чтобы определить структуру правого R-модуля на правом S-полумодуле N, нужно использовать изоморфизм N ◊S S = N. Ввиду этого изоморфизма, ясно, что эндоморфизмы левого S-полумодуля S действуют слева на N.
Чтобы убедиться, что это действие дискретно, достаточно заметить, что (эндоморфизмы левого S-полумодуля определяются своими ограничениями на C, а) действие эндоморфизма S на конкретном элементе n из N определяется его действием на образах при отображении полуединицы в S тех элементов из C, которые входят в какое-нибудь выражение для тензора в N ⊗A C, являющегося образом элемента n при отображении правого C-кодействия.
(iii) → (i): пусть G: S-sicntr → Ab -- функтор, сохраняющий копределы. Компонуя ко-контра/полуко-полуконтра соответствие с функтором индуцирования полупроективных левых S-полумодулей с копроективных левых C-комодулей, получаем функтор из категории проективных левых C-контрамодулей в категорию проективных левых S-полуконтрамодулей, сохраняющий бесконечные прямые суммы и переводящий HomC(C,C) в HomS(S,S). Функтор этот можно однозначно продолжить до сохраняющего копределы функтора C-contra → S-sicntr. Компонуя полученный функтор с функтором G, получаем сохраняющий копределы функтор F: C-contra → Ab и связанный с ним правый C-комодуль N.
Теперь абелева группа/правый A-модуль N = G(HomS(S,S)) = F(HomC(C,C)) оказывается правым C-комодулем. Далее, имеем G(HomS(S,S)) □C S = G(HomS(S, S□CS)), поскольку полуко-полуконтра соответствие HomS(S,−) переводит прямые суммы полупроективных S-полумодулей в прямые суммы проективных S-полуконтрамодулей. Наконец, морфизм полуумножения S □C S → S индуцирует искомое отображение S-полудействия N □C S → N.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2016-04-12 04:27 pm (UTC)Все копределы или только конечные? Если все, то почему так обозначается?
no subject
Date: 2016-04-12 04:49 pm (UTC)При этом там рассматривались сохраняющие копределы функторы из категории Гротендика (дискретных модулей), в каковой ситуации условие сохранения фильтрованных копределов почему-то ощущалось как безобидное/банальное, а сохранение конечных копределов (коядер) играло ключевую роль. Для функторов на контрамодулях ситуация уже немножко другая, но обозначение пока что осталось прежним.
А вы знаете какое-нибудь лучшее/стандартное обозначение для функторов, сохраняющих все копределы или пределы?
no subject
Date: 2016-04-12 05:42 pm (UTC)1). функтор, сохраняющий конечные пределы/копределы -- left/right exact functor;
2). функтор, сохраняющий все ("малые") пределы/копределы -- continuous/cocontinuous functor;
3). если С-Contra удовлетворяет SAFT* (является кохорошей), то функторы, сохраняющие копределы -- это в точности сопряжённые слева функторы.
Исходя из этого, я бы обозначил через Lex(A)/Rex(A) категории точных слева/справа функторов в категорию, над которой производится обогащение; через Cont(A)/Cocont(A) -- непрерывные/конепрерывные функторы (хотя признаю -- Cocont(C-Contra) выглядит стрёмно); через Ladj(A)/Radj(A) сопряжённые слева/справа функторы. Не знаю правда, насколько благозвучно всё это будет звучать для носителей языка (более-менее общепринятым обозначением является только Lex(A)).
Edit 1. Даже, наверное, CocontAb(C-Contra).
Edit 2 В CFWM Мак Лейна то, что я обозначил через Ladj(A) обозначается через Ab(adj)A.
no subject
Date: 2016-04-12 06:24 pm (UTC)