Ошибка вышла, вот о чем молчит наука

[posic]

Пусть A -- DG-алгебра над полем k, когомологически градуированная целыми числами. Предположим, что Hⁱ(A) = 0 для всех i < 0. Существует ли DG-алгебра B, связанная c A цепочкой квазиизоморфизмов DG-алгебр, такая что Bⁱ = 0 для всех i < 0 ?

В замечании 1 в разделе 1.9 мемуара Two kinds of derived categories ... предлагался контпример DG-алгебры A, для которой, якобы, ответ на этот вопрос отрицательный. Вернувшись сейчас, по случаю, к этому вопросу, я вижу, однако, что контрпример тот ошибочный. Там действительно Hⁱ(A) = 0 для i < 0, однако, обозначив через B факторалгебру A по идеалу, порожденному элементами отрицательной когомологической градуировки и их дифференциалами, можно получить DG-алгебру, сосредоточенную в неотрицательных когомологических степенях и квазиизоморфную A.

Вопрос, сформулированный в первом параграфе, таким образом, остается (насколько я знаю) открытым.

Comments

[dmitri-pavlov.livejournal.com]

Рассмотрим правый функтор Квиллена Ch_{≥0}→Ch,
где Ch_{≥0} — коцепные комплексы, сосредоточенные в неотрицательных
степенях, снабжённые проективной модельной структурой,
а Ch — коцепные комплексы в произвольных степенях,
тоже снабжённые проективной модельной структурой.

Этот функтор индуцирует правый функтор Квиллена DGA_{≥0}→DGA.
Рассмотрим теперь ассоциированный левый функтор Квиллена trunc: DGA→DGA_{≥0}.
Взяв произвольную алгебру A∈DGA,
можно её кофибрантно заменить QA→A,
после чего взять trunc(QA).
Получим цепочку квазиизоморфизмов trunc(QA)←QA→A,
и trunc(QA)∈DGA_{≥0}.

Таким образом, ответ на вопрос положительный.

[posic.livejournal.com]

Два вопроса:

1. Что за модельная структура на DGA_{≥0}, почему она существует?

2. Почему trunc(QA) ← QA -- квазиизоморфизм?

[dmitri-pavlov.livejournal.com]

1. Модельная структура на DGA_{≥0} получается переносом слабых
эквивалентностей и расслоений с Ch_{≥0}.

Для её существования требуется
моноидная аксиома Шведе-Шипли:
трансфинитные композиции замены кобаз морфизмов
вида A⊗f, где A — объект, а f — ацикличное корасслоение,
являются слабыми эквивалентностями.
Шведе и Шипли доказали эту аксиому для неограниченных
коцепных комплексов.
Сужение на Ch_{≥0} не нарушает этой аксиомы,
ибо все операции сохраняются.

Другой способ доказать существование:
начать с модельной структуры Жардина на DGA,
и перенести слабые эквивалентности и расслоения
на DGA_{≥0}.
Согласно теореме Смита и теореме Кана,
для существования перенесённой модельной структуры
достаточно проверить, что трансфинитные композиции
замены кобаз морфизмов вида trunc(J), где J — порождающие
ациклические расслоения DGA,
являются слабыми эквивалентностями.
Это можно сделать явно, аналогично Жардину.

[dmitri-pavlov.livejournal.com]

2. Морфизм QA→trunc(QA) является квазиизоморфизмом
по теореме Кадеишвили: всякая дга восстанавливается
из A_∞-алгебры когомологий с точностью до квазиизоморфизма.
А_∞-алгебра когомологий в нашем случае сосредоточена
в неотрицательных степенях, и достаточно доказать,
что любая такая алгебра может быть реализована дг-алгеброй
сосредоточенной в неотрицательных степенях.
Всякая дг-алгебра восстанавливается из своей A_∞-алгебры A
с точностью до квазиизоморфизма как антиминмальная
модель B=Tot Hom_A(A,A).
Если A сосредоточена в неотрицательных степенях, то и B тоже.

[posic.livejournal.com]

Ну, если этот аргумент проходит, то для доказательства исходного утверждения не нужны ни модельная структура на DGA_≥0, ни функтор trunc. Однако я не вижу, каким образом бы этот аргумент проходил.

Привычный мне способ построения DG-алгебры, квазиизоморфной данной A_∞-алгебре A -- это взять приведенную кобар-конструкцию от приведенной бар-конструкции, Cob(Bar(A)).

Так действительно можно показать, что всякая DG-алгебра D над k, для которой Hⁱ(D) = 0 при i < 0 и H⁰(D) = k, квазиизоморфна DG-алгебре B, такой что Bⁱ = 0 при i < 0 и B⁰ = k. Но это я и так знал (если посмотреть на явную конструкцию кофибрантной замены в модельной категории DG-алгебр, то видно, что для такой DG-алгебры D, если строить ее кофибрантную замену QD достаточно экономным образом, то можно просто взять B = QD).

А вот для DG-алгебры D, про которую известно только, что Hⁱ(D) = 0 при i < 0 (а про H⁰(D) ничего не известно), бар-конструкция Bar(A) соответствующей A_∞-алгебры A -- это тензорная коалгебра градуированного векторного пространства (A/k)[1] -- размажется по всем целочисленным градуировкам, и положительным, и отрицательным. DG-алгебра Cob(Bar(A)) -- соответственно, тоже. Потому что если A/k сидит в когомологических степенях от нуля до плюс бесконечности, то A/k[1] будет сидеть в когомологических степенях от минус единицы до плюс бесконечности.

Теперь, если я правильно понял ваши обозначения, вы предлагаете использовать другой способ построения DG-алгебры по A_∞-алгебре A -- рассмотреть DG-алгебру A_∞-морфизмов из A_∞-модуля A над A в себя. Так?

Но это выглядит еще хуже. Как векторное пространство, такая DG-алгебра изоморфна Hom_k(A⊗_kBar(A), A). То есть (грубо говоря, для наглядности), с точностью до пополнения, это значит просто A* ⊗_k Bar(A)* ⊗_k A (где * обозначает двойственное векторное пространство). За исключением случая, когда вся A_∞-алгебра A сосредоточена в когомологической градуировке 0, полученная таким образом DG-алгебра всегда будет иметь нетривиальные компоненты как в положительных, так и в отрицательных когомологических градуировках.

[vanja-y.livejournal.com]

Что-то я совсем неправильное было написал...

[posic.livejournal.com]

Я не успел вчитаться -- но с примером из книжки проблема не в том, что произведение Масси содержит ноль. Оно не содержит нуля. Проблема в том, что ненулевое произведение Масси не препятствует возможности существования неотрицательно когомологически градуированной DG-алгебры B, квазиизоморфной A.

[vanja-y.livejournal.com]

Да, я сообразил через 5 минут после написания "примера", что m₃ (x,y,z) может не содержать 0 для положительно градуированной алгебры с x, y в степенях 0 и z в положительной степени.