![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicРазвитие постинга http://posic.livejournal.com/1226392.html ; см. также фейсбучную английскую версию https://www.facebook.com/posic/posts/1199839513364214
Абелева категория с достаточным количеством проективных объектов восстанавливается по своей полной подкатегории проективных объектов (конкретная конструкция, осуществляющая такое восстановление, обсуждается в неаддитивном контексте в серии работ Vitale, где это называется "конструкцией точной категории по слабо точной слева категории", и в аддитивном контексте в работах Crawley-Boevey и Краузе, где это называется "категорией когерентных функторов").
Поэтому, в самом деле, можно утверждать, что всякая абелева категория с одним конечно порожденным/конечно представимым проективным образующим объектом эквивалентна категории модулей над кольцом (правых модулей над кольцом эндоморфизмов этого объекта), а абелева категория с множеством конечно порожденных/конечно представимых проективных образующих эквивалентна категории (правых) модулей над "большим кольцом" морфизмов между этими проективными образующими.
Пусть теперь K -- произвольная абелева категория с проективным образующим объектом P, прямые суммы любого количества копий которого существуют в K. Тогда, в силу тех же соображений, категория K однозначно определяется заданием множеств или групп морфизмов из объекта P в прямые суммы P(S) копий объекта P по произвольным множествам индексов S. Функтор, сопоставляющий множеству S множество всех морфизмов P → P(S), является монадой на категории множеств; категория K отождествляется с категорией алгебр над этой монадой.
Обратным образом, категория алгебр над монадой T на категории множеств абелева, если она аддитивна. Для этого нужно, чтобы в множестве T({x,y}) был элемент x+y, в множестве T({x}) элемент −x, и в множестве T(∅) элемент 0, удовлетворяющие очевидным уравнениям согласования между собой, плюс уравнениям коммутации со всеми остальными "операциями в монаде" (элементами множеств T(S), которые интерпретируются как "операции" постольку, поскольку для всякой алгебры A над монадой T, выбор элемента в множестве T(S) позволяет сопоставить всякому отображению S → A элемент из A).
Далее, пусть κ -- регулярный кардинал. Объект P ∈ K называется абстрактно κ-малым, если всякий морфизм P → P(S) факторизуется через прямую сумму копий P по некоторуму подмножеству множества S мощности, меньшей κ. В этом случае функтор T: Sets → Sets коммутирует с κ-направленными прямыми пределами и категория K локально κ-представима. Обратно, если категория K локально представима, то объект P является κ-представимым для некоторого регулярного кардинала κ, и следовательно, является также абстрактно κ-малым.
Абелева категория с достаточным количеством проективных объектов восстанавливается по своей полной подкатегории проективных объектов (конкретная конструкция, осуществляющая такое восстановление, обсуждается в неаддитивном контексте в серии работ Vitale, где это называется "конструкцией точной категории по слабо точной слева категории", и в аддитивном контексте в работах Crawley-Boevey и Краузе, где это называется "категорией когерентных функторов").
Поэтому, в самом деле, можно утверждать, что всякая абелева категория с одним конечно порожденным/конечно представимым проективным образующим объектом эквивалентна категории модулей над кольцом (правых модулей над кольцом эндоморфизмов этого объекта), а абелева категория с множеством конечно порожденных/конечно представимых проективных образующих эквивалентна категории (правых) модулей над "большим кольцом" морфизмов между этими проективными образующими.
Пусть теперь K -- произвольная абелева категория с проективным образующим объектом P, прямые суммы любого количества копий которого существуют в K. Тогда, в силу тех же соображений, категория K однозначно определяется заданием множеств или групп морфизмов из объекта P в прямые суммы P(S) копий объекта P по произвольным множествам индексов S. Функтор, сопоставляющий множеству S множество всех морфизмов P → P(S), является монадой на категории множеств; категория K отождествляется с категорией алгебр над этой монадой.
Обратным образом, категория алгебр над монадой T на категории множеств абелева, если она аддитивна. Для этого нужно, чтобы в множестве T({x,y}) был элемент x+y, в множестве T({x}) элемент −x, и в множестве T(∅) элемент 0, удовлетворяющие очевидным уравнениям согласования между собой, плюс уравнениям коммутации со всеми остальными "операциями в монаде" (элементами множеств T(S), которые интерпретируются как "операции" постольку, поскольку для всякой алгебры A над монадой T, выбор элемента в множестве T(S) позволяет сопоставить всякому отображению S → A элемент из A).
Далее, пусть κ -- регулярный кардинал. Объект P ∈ K называется абстрактно κ-малым, если всякий морфизм P → P(S) факторизуется через прямую сумму копий P по некоторуму подмножеству множества S мощности, меньшей κ. В этом случае функтор T: Sets → Sets коммутирует с κ-направленными прямыми пределами и категория K локально κ-представима. Обратно, если категория K локально представима, то объект P является κ-представимым для некоторого регулярного кардинала κ, и следовательно, является также абстрактно κ-малым.
