Комплекс Амицура и комплекс Конна
May. 17th, 2015 07:10 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicНавеяно http://posic.livejournal.com/1032667.html?thread=4669659#t4669659
Пусть A -- ассоциативная алгебра над полем k. Комплексом Амицура алгебры A называется комплекс
A → A⊗kA → A⊗kA⊗kA → ...
сосредоточенный в когомологических градуировках от нуля (где находится компонента A) до бесконечности, с дифференциалом d(a⊗b) = 1⊗a⊗b − a⊗1⊗b + a⊗b⊗1 и аналогично для тензоров других валентностей. Дифференциал в комплексе Амицура не зависит от умножения в алгебре A, но на нем есть структура DG-алгебры с умножением, определяющимся в терминах умножения в алгебре A, а именно (a⊗b)(c⊗d) = a⊗bc⊗d и аналогично для тензоров других валентностей. Когомологии комплекса Амицура ненулевой алгебры A изоморфны основному полю k, помещенному в когомологическую градуировку ноль (и нулю в остальных степенях).
Более общим образом, можно определить комплекс Амицура морфизма ассоциативных колец R → A (заменив тензорные произведения над k в конструкции выше тензорными произведениями над R). Такой комплекс Амицура является DG-кольцом. Его когомологии изоморфны кольцу R, помещенному в когомологическую градуировку ноль (и нулю в остальных степенях) при условии, что кольцо A является строго плоским левым или правым R-модулем (т.е., плоским модулем, функтор тензорного произведения с которым не переводит в ноль никакие ненулевые модули).
Доказывается это так: комплекс Амицура умножается тензорно на A над R, скажем, слева, и к нему дописывается в когомологической градуировке −1 еще один член A. Получается комплекс, похожий на исходный комплекс Амицура, но отличающийся от него (помимо когомологического сдвига) выбрасыванием первого члена в формуле для дифференциала (где единичка вставляется в самой левой позиции). Получившийся комплекс стягиваем явной гомотопией, перемножающей в кольце A две самых левых компоненты каждого тензора. Вычисленные таким образом когомологии комплекса Амицура, помноженного тензорно над R на A, позволяют восстановить когомологии исходного комплекса Амицура при условии строгой плоскости R-модуля A.
Нас, однако, интересует ситуация над полем k = R. Собственно, интересует нас не столько вычисление когомологий, сколько квадратичная двойственность. Заметим, что подлежащая градуированная алгебра DG-алгебры Амицура свободно порождена своей первой градуировочной компонентой A⊗kA, рассматриваемой как бимодуль над нулевой градуировочной компонентой A. Бимодуль этот, к тому же, является проективным левым и правым модулем. Таким образом, подлежащая градуированная алгебра DG-алгебры Амицура кошулева. Предположим для простоты на минутку, что k-алгебра A конечномерна. Какому неоднородному кошулевому фильтрованному кольцу соответствует кошулево DG-кольцо Амицура?
Конструкция неоднородной квадратичной двойственности, которая здесь подразумевается, изложена в разделе 0.4.3 полубесконечной монографии или, чуть подробнее, в разделе 2.3 недописанного отрывка http://positselski.narod.ru/domega4.ps . Она осуществляет антиэквивалентность категорий неоднородных кошулевых фильтрованных колец и кошулевых CDG-колец над фиксированным базовым кольцом. Прежде всего, присоединенное градуированное кольцо фильтрованного кольца, о котором идет речь, находится в однородной квадратичной двойственности с подлежащим градуированным кольцом CDG-кольца; и далее неоднородные компоненты соотношений в фильтрованном кольце преобразуются в компоненты дифференциала и элемент кривизны CDG-кольца. В интересующем нас случае, элемент кривизны нулевой.
Отметим еще, что относительная неоднородная квадратичная двойственность в рассматриваемой нами сейчас форме (фильтрованные кольца и CDG-кольца) зависит от стороны -- бывает "левая" и правая". Присоединенное градированное кольцо к интересующему нас фильтрованному кольцу посчитать несложно -- к свободной алгебре квадратично двойственна алгебра с нулевым умножением. Градуированное кольцо, квадратично двойственное к подлежащему градуированному кольцу алгебры Амицура, имеет нулевую компоненту A, первую A⊗A*, а остальные нули. Структура A-A-бимодуля на A⊗A* банальная (левое действие по первому тензорному сомножителю, правое по второму). Осталось описать умножение в фильтрованном кольце; оно задается формулами из текстов по ссылкам выше.
Все это, конечно, можно выписать в явном виде. Я, как водится, начал выписывать, но потом сообразил, как обойтись без вычислений. В первой градуировочной компоненте A⊗A комплекса Амицура есть выделенный элемент −1⊗1. Прибавляя к дифференциалу комплекса Амицура оператор суперкоммутатора с этим элементом, мы получаем дифференциал с меньшим количеством членов
d(a⊗b⊗c) = −a⊗1⊗b⊗c + a⊗b⊗1⊗c
и аналогично для тензоров других валентностей. Вообще говоря, при таком преобразовании DG- или CDG-кольцо превращается в CDG-изоморфное ему CDG-кольцо, но в данном случае наш элемент −1⊗1 является элементом Маурера-Картана в исходном комплексе Амицура (сумма его дифференциала и его квадрата зануляется), так что получается CDG-изоморфизм между двумя DG-кольцами.
Квадратично двойственное кольцо к модифицированному таким образом DG-кольцу Амицура уже несложно вычислить, а квадратично двойственное кольцо к исходному DG-кольцу Амицура изоморфно ему. Это прямая сумма двух колец A ⊕ End(A), где End(A) -- кольцо линейных операторов на векторном пространстве A. Нулевая компонента возрастающей фильтрации этого фильтрованного кольца равна образу вложения A → A ⊕ End(A), представляющего собой тождественное отображение в первую компоненту A → A и отображение A → End(A) во вторую компоненту прямой суммы, сопоставляющее элементу алгебры A оператор левого умножения на него в алгебре A, рассматриваемый как элемент кольца линейных операторов End(A). Первая компонента фильтрации совпадает со всем кольцом A ⊕ End(A).
Выбор DG-кольца в классе изоморфизма кошулевых CDG-колец соответствует некоторой дополнительной структуре на квадратично двойственной неоднородной кошулевой фильтрованной алгебре. В случае двойственности над полем это просто аугментация, а относительном случае, который мы сейчас рассматриваем, эта структура -- левое действие фильтрованной алгебры на своей нулевой компоненте фильтрации, продолжающее ее действие на себе левыми умножениями. В случае кольца A ⊕ End(A), имеются два таких естественных действия этого кольца на его подкольце A. Первое слагаемое A может действовать на A левыми умножениями, а второе слагаемое нулем; или наоборот, второе слагаемое End(A) можен действовать на A линейными операторами, а первое слагаемое нулем. Первое из этих действий соответствует модифицированной DG-алгебре Амицура с упрощенным дифференциалом, второе -- исходной DG-алгебре Амицура.
Пусть A -- ассоциативная алгебра над полем k. Комплексом Амицура алгебры A называется комплекс
A → A⊗kA → A⊗kA⊗kA → ...
сосредоточенный в когомологических градуировках от нуля (где находится компонента A) до бесконечности, с дифференциалом d(a⊗b) = 1⊗a⊗b − a⊗1⊗b + a⊗b⊗1 и аналогично для тензоров других валентностей. Дифференциал в комплексе Амицура не зависит от умножения в алгебре A, но на нем есть структура DG-алгебры с умножением, определяющимся в терминах умножения в алгебре A, а именно (a⊗b)(c⊗d) = a⊗bc⊗d и аналогично для тензоров других валентностей. Когомологии комплекса Амицура ненулевой алгебры A изоморфны основному полю k, помещенному в когомологическую градуировку ноль (и нулю в остальных степенях).
Более общим образом, можно определить комплекс Амицура морфизма ассоциативных колец R → A (заменив тензорные произведения над k в конструкции выше тензорными произведениями над R). Такой комплекс Амицура является DG-кольцом. Его когомологии изоморфны кольцу R, помещенному в когомологическую градуировку ноль (и нулю в остальных степенях) при условии, что кольцо A является строго плоским левым или правым R-модулем (т.е., плоским модулем, функтор тензорного произведения с которым не переводит в ноль никакие ненулевые модули).
Доказывается это так: комплекс Амицура умножается тензорно на A над R, скажем, слева, и к нему дописывается в когомологической градуировке −1 еще один член A. Получается комплекс, похожий на исходный комплекс Амицура, но отличающийся от него (помимо когомологического сдвига) выбрасыванием первого члена в формуле для дифференциала (где единичка вставляется в самой левой позиции). Получившийся комплекс стягиваем явной гомотопией, перемножающей в кольце A две самых левых компоненты каждого тензора. Вычисленные таким образом когомологии комплекса Амицура, помноженного тензорно над R на A, позволяют восстановить когомологии исходного комплекса Амицура при условии строгой плоскости R-модуля A.
Нас, однако, интересует ситуация над полем k = R. Собственно, интересует нас не столько вычисление когомологий, сколько квадратичная двойственность. Заметим, что подлежащая градуированная алгебра DG-алгебры Амицура свободно порождена своей первой градуировочной компонентой A⊗kA, рассматриваемой как бимодуль над нулевой градуировочной компонентой A. Бимодуль этот, к тому же, является проективным левым и правым модулем. Таким образом, подлежащая градуированная алгебра DG-алгебры Амицура кошулева. Предположим для простоты на минутку, что k-алгебра A конечномерна. Какому неоднородному кошулевому фильтрованному кольцу соответствует кошулево DG-кольцо Амицура?
Конструкция неоднородной квадратичной двойственности, которая здесь подразумевается, изложена в разделе 0.4.3 полубесконечной монографии или, чуть подробнее, в разделе 2.3 недописанного отрывка http://positselski.narod.ru/domega4.ps . Она осуществляет антиэквивалентность категорий неоднородных кошулевых фильтрованных колец и кошулевых CDG-колец над фиксированным базовым кольцом. Прежде всего, присоединенное градуированное кольцо фильтрованного кольца, о котором идет речь, находится в однородной квадратичной двойственности с подлежащим градуированным кольцом CDG-кольца; и далее неоднородные компоненты соотношений в фильтрованном кольце преобразуются в компоненты дифференциала и элемент кривизны CDG-кольца. В интересующем нас случае, элемент кривизны нулевой.
Отметим еще, что относительная неоднородная квадратичная двойственность в рассматриваемой нами сейчас форме (фильтрованные кольца и CDG-кольца) зависит от стороны -- бывает "левая" и правая". Присоединенное градированное кольцо к интересующему нас фильтрованному кольцу посчитать несложно -- к свободной алгебре квадратично двойственна алгебра с нулевым умножением. Градуированное кольцо, квадратично двойственное к подлежащему градуированному кольцу алгебры Амицура, имеет нулевую компоненту A, первую A⊗A*, а остальные нули. Структура A-A-бимодуля на A⊗A* банальная (левое действие по первому тензорному сомножителю, правое по второму). Осталось описать умножение в фильтрованном кольце; оно задается формулами из текстов по ссылкам выше.
Все это, конечно, можно выписать в явном виде. Я, как водится, начал выписывать, но потом сообразил, как обойтись без вычислений. В первой градуировочной компоненте A⊗A комплекса Амицура есть выделенный элемент −1⊗1. Прибавляя к дифференциалу комплекса Амицура оператор суперкоммутатора с этим элементом, мы получаем дифференциал с меньшим количеством членов
d(a⊗b⊗c) = −a⊗1⊗b⊗c + a⊗b⊗1⊗c
и аналогично для тензоров других валентностей. Вообще говоря, при таком преобразовании DG- или CDG-кольцо превращается в CDG-изоморфное ему CDG-кольцо, но в данном случае наш элемент −1⊗1 является элементом Маурера-Картана в исходном комплексе Амицура (сумма его дифференциала и его квадрата зануляется), так что получается CDG-изоморфизм между двумя DG-кольцами.
Квадратично двойственное кольцо к модифицированному таким образом DG-кольцу Амицура уже несложно вычислить, а квадратично двойственное кольцо к исходному DG-кольцу Амицура изоморфно ему. Это прямая сумма двух колец A ⊕ End(A), где End(A) -- кольцо линейных операторов на векторном пространстве A. Нулевая компонента возрастающей фильтрации этого фильтрованного кольца равна образу вложения A → A ⊕ End(A), представляющего собой тождественное отображение в первую компоненту A → A и отображение A → End(A) во вторую компоненту прямой суммы, сопоставляющее элементу алгебры A оператор левого умножения на него в алгебре A, рассматриваемый как элемент кольца линейных операторов End(A). Первая компонента фильтрации совпадает со всем кольцом A ⊕ End(A).
Выбор DG-кольца в классе изоморфизма кошулевых CDG-колец соответствует некоторой дополнительной структуре на квадратично двойственной неоднородной кошулевой фильтрованной алгебре. В случае двойственности над полем это просто аугментация, а относительном случае, который мы сейчас рассматриваем, эта структура -- левое действие фильтрованной алгебры на своей нулевой компоненте фильтрации, продолжающее ее действие на себе левыми умножениями. В случае кольца A ⊕ End(A), имеются два таких естественных действия этого кольца на его подкольце A. Первое слагаемое A может действовать на A левыми умножениями, а второе слагаемое нулем; или наоборот, второе слагаемое End(A) можен действовать на A линейными операторами, а первое слагаемое нулем. Первое из этих действий соответствует модифицированной DG-алгебре Амицура с упрощенным дифференциалом, второе -- исходной DG-алгебре Амицура.
