![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicQ1. Как соотносятся контрагерентные копучки и инд-когерентные пучки?
A1. Как термины из разных терминологических систем.
Инд-когерентные пучки в буквальном смысле -- это просто квазикогерентные пучки (по крайней мере, на нетеровой схеме). Берется абелева категория когерентных пучков, применяется к ней конструкция категории инд-объектов, получается абелева категория квазикогерентных пучков.
"Инд-когерентные пучки" в том смысле, как это выражение употребляется у Гайцгори и т.д. -- это сокращенный оборот с опущенными словами, жаргонизм такой. На самом деле имеется в виду что-то вроде "инд-объектов в (бесконечность,1)-производной категории когерентных пучков". Это не пучки, а комплексы пучков. Не абелева или точная, а (бесконечность,1) или триангулированная категория.
Контрагерентные копучки, с другой стороны -- точная категория (в каком-то там смысле, "отстоящая на конечную гомологическую размерность от абелевой", на квазикомпактной полуотделимой схеме, и т.д.) Так же, как под "квазикогерентными пучками" в терминологической системе, к которой относится выражение "контрагерентные копучки", понимается абелева категория пучков (а вовсе никаких не комплексов).
В терминологической системе, к которой относится выражение "контрагерентные копучки", выражению "инд-когерентные пучки" соответствует понятие "копроизводная категория квазикогерентных пучков". По крайней мере, на нетеровой схеме, подлежащая триангулированная категория (бесконечность,1)-категории "инд-когерентных пучков" в смысле Гайцгори естественно эквивалентна "копроизводной категории квазикогерентных пучков" в смысле моих текстов.
Между триангулированными категориями, построенными на основе квазикогерентных пучков и контрагерентных копучков, в свою очередь, имеются разные эквивалентности -- в целом, этот класс феноменов называется "ко-контра соответствием". В частности, если на нетеровой схеме выбран дуализирующий комплекс, то с этим выбором связана (зависящая от него) эквивалентность между копроизводной категорией квазикогерентных пучков и контрапроизводной категорией контрагерентных копучков.
Суммируя утверждения из двух предыдущих абзацев, получаем: "выбор дуализирующего комплекса на нетеровой схеме индуцирует эквивалентность между инд-когерентными пучками и контрапроизводной категорией контрагерентных копучков". Смесь французского с нижегородским, явственно режущая ухо в закавыченной фразе, выдает существо обсуждаемого вопроса.
Q2. Вопрос не об этом. Словоупотребление словоупотреблением, но почему-то кажется, что между понятиями, обозначаемыми этими словами, должна быть прямая связь.
A2. Да, я думаю, что понимаю, почему так кажется. Это ошибка, вот с чем связанная.
Обычно думают, что с морфизмом схем связаны два функтора обратного образа -- обычный f* и экстраординарный f!. Если рассматривать неограниченные комплексы пучков, то оказывается, что на обычной производной категории квазикогерентных пучков хорошо определены функторы f*, а на копроизводной категории ("инд-когерентных пучках") -- f!. Лингвистическая интуиция подсказывает, что "контрагерентные копучки" (что бы под таковыми ни понималось) тоже должны быть как-то связаны с функтором f!.
Это путаница, потому что функторов обратного образа не два, а, как минимум, три (на самом деле, наверное, четыре...) Запутаться несложно, поскольку различие в литературе не подчеркивается, обозначение f! употребляется в разных текстах в двух разных смыслах, а людей, внимательно читавших приложение Делиня к книжке Хартсхорна и т.п. источники, или самостоятельно продумывавших эти основания, очень немного. Но разница весома, груба, зрима и совершенно очевидна.
Есть функтор f*, сопряженный слева к функтору прямого образа f*. Есть функтор f×, сопряженный справа к функтору прямого образа f*. Это функтор, существование которого на (производной или копроизводной) категории квазикогерентных пучков можно вывести из общих теорем существования сопряженных функторов, представимости Брауна и т.д. Это то, что у меня называется "экстраординарный функтор обратного образа Неемана" (хотя Делинь пишет, что его построил еще Вердье).
И есть функтор f!, равный f* для открытого вложения и f× для собственного морфизма f. Чтобы построить функтор f! для произвольного морфизма (конечного типа) f, надо разложить этот морфизм в композицию открытого вложения и собственного морфизма (или замкнутого вложения и гладкого морфизма, и т.п.) и взять композицию двух совершенно разных функторов обратного образа для двух компонуемых морфизмов схем, из которых составлен морфизм f. Это то, что у меня называется "экстраординарным функтором обратного образа Делиня".
То, что он не зависит от разложения морфизма f в композицию двух морфизмов из требуемых классов -- довольно тонкий факт, который Делинь доказывает для ограниченных снизу производных категорий. Для обыкновенных неограниченных производных категорий квазикогерентных пучков он неверен (на что у Неемана есть контрпример), но верен для копроизводных категорий.
Для открытого вложения аффинных схем Spec S → Spec R функтор f* сопоставляет модулю M над кольцом R модуль S⊗RM над кольцом S, функтор f× сопоставляет модулю M над кольцом R модуль HomR(S,M) над кольцом S, а функтор f! совпадает с f*.
Определение абелевой категории квазикогерентных пучков использует для склейки функторы f* для аффинных открытых подсхем, а точной категории контрагерентных копучков -- функторы f×. При этом S -- плоский, но обычно не проективный R-модуль (на самом деле, его проективная размерность никогда не превосходит единицы, но все же не ноль), так что функтор тензорного произведения с S над R точен, а функтор Hom из S над R только точен слева. Именно поэтому категория квазикогерентных пучков абелева, а категория контрагерентных копучков всего лишь точная.
A1. Как термины из разных терминологических систем.
Инд-когерентные пучки в буквальном смысле -- это просто квазикогерентные пучки (по крайней мере, на нетеровой схеме). Берется абелева категория когерентных пучков, применяется к ней конструкция категории инд-объектов, получается абелева категория квазикогерентных пучков.
"Инд-когерентные пучки" в том смысле, как это выражение употребляется у Гайцгори и т.д. -- это сокращенный оборот с опущенными словами, жаргонизм такой. На самом деле имеется в виду что-то вроде "инд-объектов в (бесконечность,1)-производной категории когерентных пучков". Это не пучки, а комплексы пучков. Не абелева или точная, а (бесконечность,1) или триангулированная категория.
Контрагерентные копучки, с другой стороны -- точная категория (в каком-то там смысле, "отстоящая на конечную гомологическую размерность от абелевой", на квазикомпактной полуотделимой схеме, и т.д.) Так же, как под "квазикогерентными пучками" в терминологической системе, к которой относится выражение "контрагерентные копучки", понимается абелева категория пучков (а вовсе никаких не комплексов).
В терминологической системе, к которой относится выражение "контрагерентные копучки", выражению "инд-когерентные пучки" соответствует понятие "копроизводная категория квазикогерентных пучков". По крайней мере, на нетеровой схеме, подлежащая триангулированная категория (бесконечность,1)-категории "инд-когерентных пучков" в смысле Гайцгори естественно эквивалентна "копроизводной категории квазикогерентных пучков" в смысле моих текстов.
Между триангулированными категориями, построенными на основе квазикогерентных пучков и контрагерентных копучков, в свою очередь, имеются разные эквивалентности -- в целом, этот класс феноменов называется "ко-контра соответствием". В частности, если на нетеровой схеме выбран дуализирующий комплекс, то с этим выбором связана (зависящая от него) эквивалентность между копроизводной категорией квазикогерентных пучков и контрапроизводной категорией контрагерентных копучков.
Суммируя утверждения из двух предыдущих абзацев, получаем: "выбор дуализирующего комплекса на нетеровой схеме индуцирует эквивалентность между инд-когерентными пучками и контрапроизводной категорией контрагерентных копучков". Смесь французского с нижегородским, явственно режущая ухо в закавыченной фразе, выдает существо обсуждаемого вопроса.
Q2. Вопрос не об этом. Словоупотребление словоупотреблением, но почему-то кажется, что между понятиями, обозначаемыми этими словами, должна быть прямая связь.
A2. Да, я думаю, что понимаю, почему так кажется. Это ошибка, вот с чем связанная.
Обычно думают, что с морфизмом схем связаны два функтора обратного образа -- обычный f* и экстраординарный f!. Если рассматривать неограниченные комплексы пучков, то оказывается, что на обычной производной категории квазикогерентных пучков хорошо определены функторы f*, а на копроизводной категории ("инд-когерентных пучках") -- f!. Лингвистическая интуиция подсказывает, что "контрагерентные копучки" (что бы под таковыми ни понималось) тоже должны быть как-то связаны с функтором f!.
Это путаница, потому что функторов обратного образа не два, а, как минимум, три (на самом деле, наверное, четыре...) Запутаться несложно, поскольку различие в литературе не подчеркивается, обозначение f! употребляется в разных текстах в двух разных смыслах, а людей, внимательно читавших приложение Делиня к книжке Хартсхорна и т.п. источники, или самостоятельно продумывавших эти основания, очень немного. Но разница весома, груба, зрима и совершенно очевидна.
Есть функтор f*, сопряженный слева к функтору прямого образа f*. Есть функтор f×, сопряженный справа к функтору прямого образа f*. Это функтор, существование которого на (производной или копроизводной) категории квазикогерентных пучков можно вывести из общих теорем существования сопряженных функторов, представимости Брауна и т.д. Это то, что у меня называется "экстраординарный функтор обратного образа Неемана" (хотя Делинь пишет, что его построил еще Вердье).
И есть функтор f!, равный f* для открытого вложения и f× для собственного морфизма f. Чтобы построить функтор f! для произвольного морфизма (конечного типа) f, надо разложить этот морфизм в композицию открытого вложения и собственного морфизма (или замкнутого вложения и гладкого морфизма, и т.п.) и взять композицию двух совершенно разных функторов обратного образа для двух компонуемых морфизмов схем, из которых составлен морфизм f. Это то, что у меня называется "экстраординарным функтором обратного образа Делиня".
То, что он не зависит от разложения морфизма f в композицию двух морфизмов из требуемых классов -- довольно тонкий факт, который Делинь доказывает для ограниченных снизу производных категорий. Для обыкновенных неограниченных производных категорий квазикогерентных пучков он неверен (на что у Неемана есть контрпример), но верен для копроизводных категорий.
Для открытого вложения аффинных схем Spec S → Spec R функтор f* сопоставляет модулю M над кольцом R модуль S⊗RM над кольцом S, функтор f× сопоставляет модулю M над кольцом R модуль HomR(S,M) над кольцом S, а функтор f! совпадает с f*.
Определение абелевой категории квазикогерентных пучков использует для склейки функторы f* для аффинных открытых подсхем, а точной категории контрагерентных копучков -- функторы f×. При этом S -- плоский, но обычно не проективный R-модуль (на самом деле, его проективная размерность никогда не превосходит единицы, но все же не ноль), так что функтор тензорного произведения с S над R точен, а функтор Hom из S над R только точен слева. Именно поэтому категория квазикогерентных пучков абелева, а категория контрагерентных копучков всего лишь точная.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2015-05-14 09:44 pm (UTC)Вопрос: что имеется в виду под "отстоящая на конечную гомологическую размерность от абелевой"? Мне приходит в голову только вариант "для достаточно больших n, (-n)-ая отрицательная К-группа тривиальна", это оно? В этой статье доказана гипотеза Шлихтинга о том, что все отрицательные К-группы абелевых категорий тривиальны: Satoshi Mochizuki "Negative K-groups of abelian categories ", 1306.0296 на архиве.
no subject
Date: 2015-05-14 10:00 pm (UTC)Будем говорить, что точная категория E отстоит на конечную гомологическую размерность от своей точной подкатегории I, если найдется такая константа d, что у всякого объекта категории E существует конечная правая резольвента, составленная из объектов подкатегории I, длины, не превышающей d. Если в точной категории E имеется полная подкатегория P, удовлетворяющая двойственным условиям (так что всякий объект из E имеет конечную левую резольвенту длины, не превышающей d, составленную из объектов из P) -- будем тоже говорить, что точная категория E отстоит на конечную гомологическую размерность от своей точной подкатегории P.
Наконец, будем говорить, что две точные категории отстоят на конечную гомологическую размерность одна от другой, если их можно связать цепочкой точных категорий, в которой из каждых двух соседних категорий какая-то одна эквивалентна полной подкатегории в другой, от которой та отстоит на конечную гомологическую размерность (в "левом" или в "правом") смысле.
no subject
Date: 2015-05-15 11:57 am (UTC)no subject
Date: 2015-05-15 10:44 pm (UTC)no subject
Date: 2015-05-16 06:54 am (UTC)