![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicЛемма 1. Для любой коалгебры E над полем k, аддитивная категория конечно копорожденных косвободных правых E-комодулей антиэквивалентна аддитивной категории конечно порожденных свободных левых E-контрамодулей, которая эквивалентна аддитивной категории конечно порожденных свободных левых E*-модулей. При этом антиэквивалентность, действующая из категории комодулей в категорию контрамодулей, образует коммутативный квадрат с забывающими функторами в категорию k-векторных пространств и функтором двойственности Homk(−,k), действующим из категории k-векторных пространств в себя, а эквивалентность образует коммутативный треугольник с забывающими функторами в категорию k-векторных пространств.
Следствие 1. Аддитивная категория конечно копредставимых правых E-комодулей антиэквивалентна аддитивной категории конечно представимых левых E-контрамодулей, которая эквивалентна аддитивной категории конечно представимых левых E*-модулей. Эти антиэквивалентность и эквивалентность аддитивных категорий согласованы с забывающими функторами в категорию k-векторных пространств, как описано в лемме 1.
Следствие 2. а) Коалгебра E кокогерентна справа тогда и только тогда, когда алгебра E* когерентна слева.
б) Коалгебра Е артинова справа тогда и только тогда, когда алгебра E* нетерова слева.
Доказательство: в пункте а), первое условие означает, что в категории конечно копредставимых правых Е-комодулей есть коядра всех морфизмов, сохраняемые забывающим функтором в категорию k-векторных пространств, а второе -- что в категории конечно представимых левых E*-модулей есть ядра всех морфизмов, сохраняемые забывающим функтором в категорию k-векторных пространств. В предположении эквивалентных условий из пункта а), когда категории конечно копредставимых правых E-комодулей и конечно представимых левых E*-модулей абелевы, первое условие означает, что в категории конечно копредставимых правых E-комодулей обрываются убывающие цепочки подобъектов, а второе -- что в категории конечно представимых левых E*-модулей обрываются возрастающие цепочки подобъектов.
Замечание: похоже, примерно таким же образом можно доказать, что правый E-комодуль M артинов тогда и только тогда, когда левый Е*-модуль M* нетеров, а правый E-комодуль M кокогерентен тогда и только тогда, когда левый E*-модуль M* когерентен. Нужно пользоваться тем фактом, что гомоморфизмы левых E*-модулей J* → M* находятся в биективном соответствии с гомоморфизмами правых E-комодулей M → J для любого конечно копорожденного косвободного правого E-комодуля J (и соответственно, конечно порожденного свободного левого E*-модуля J*).
Следствие 1. Аддитивная категория конечно копредставимых правых E-комодулей антиэквивалентна аддитивной категории конечно представимых левых E-контрамодулей, которая эквивалентна аддитивной категории конечно представимых левых E*-модулей. Эти антиэквивалентность и эквивалентность аддитивных категорий согласованы с забывающими функторами в категорию k-векторных пространств, как описано в лемме 1.
Следствие 2. а) Коалгебра E кокогерентна справа тогда и только тогда, когда алгебра E* когерентна слева.
б) Коалгебра Е артинова справа тогда и только тогда, когда алгебра E* нетерова слева.
Доказательство: в пункте а), первое условие означает, что в категории конечно копредставимых правых Е-комодулей есть коядра всех морфизмов, сохраняемые забывающим функтором в категорию k-векторных пространств, а второе -- что в категории конечно представимых левых E*-модулей есть ядра всех морфизмов, сохраняемые забывающим функтором в категорию k-векторных пространств. В предположении эквивалентных условий из пункта а), когда категории конечно копредставимых правых E-комодулей и конечно представимых левых E*-модулей абелевы, первое условие означает, что в категории конечно копредставимых правых E-комодулей обрываются убывающие цепочки подобъектов, а второе -- что в категории конечно представимых левых E*-модулей обрываются возрастающие цепочки подобъектов.
Замечание: похоже, примерно таким же образом можно доказать, что правый E-комодуль M артинов тогда и только тогда, когда левый Е*-модуль M* нетеров, а правый E-комодуль M кокогерентен тогда и только тогда, когда левый E*-модуль M* когерентен. Нужно пользоваться тем фактом, что гомоморфизмы левых E*-модулей J* → M* находятся в биективном соответствии с гомоморфизмами правых E-комодулей M → J для любого конечно копорожденного косвободного правого E-комодуля J (и соответственно, конечно порожденного свободного левого E*-модуля J*).
