![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicЛемма 1. Пусть D -- дуализирующий комплекс для пары когерентных колец (A,B). Тогда гомологические размерности точных категорий fp-инъективных левых A-модулей и плоских левых B-модулей отличаются не больше, чем на длину комплекса D. В частности, они конечны одновременно.
Доказательство: см. доказательство леммы B.4.2 из препринта Contraherent cosheaves.
Лемма 2. Пусть A -- когерентное слева кольцо. Тогда триангулированный функтор Dco(A-modfpinj) → Dco(A-mod) между копроизводными категориями индуцированный вложением точной категории fp-инъективных левых A-модулей в абелеву категорию произвольных левых A-модулей является эквивалентностью триангулированных категорий.
Доказательство: см. предложение A.3.1(b) из того же препринта.
Лемма 3. Пусть A -- когерентное слева кольцо. Тогда
а) для любого ограниченного комплекса конечно представимых левых A-модулей P и любого комплекса fp-инъективных левых A-модулей I комплекс абелевых групп HomA(P,I) вычисляет Hom из объекта P в объект I в копроизводной категории Dco(A-mod);
б) если точная категория fp-инъективных левых A-модулей имеет конечную гомологическую размерность, то для любого комплекса fp-проективных левых A-модулей P и любого комплекса fp-инъективных левых A-модулей I комплекс абелевых групп HomA(P,I) вычисляет Hom из объекта P в объект I в копроизводной категории Dco(A-mod).
Доказательство: поскольку из любого комплекса левых A-модулей имеется морфизм в комплекс fp-инъективных левых A-модулей, являющийся квазиизоморфизмом в копроизводной категории, и любой коацикличный комплекс fp-инъективных левых A-модулей коацикличен по отношению к точной категории fp-инъективных левых A-модулей, в каждом из пунктов а) и б) достаточно проверить, что комплекс HomA(P,I) ацикличен, если комплекс I коацикличен по отношению к A-modfpinj.
Следствие. Пусть A -- когерентное слева кольцо. Тогда
а) полная подкатегория ограниченных комплексов конечно представимых левых A-модулей Db(A-modfp) ⊂ Dco(A-mod) в копроизводной категории комплексов A-модулей состоит из компактных объектов;
б) если точная категория fp-инъективных левых A-модулей имеет конечную гомологическую размерность, то копроизводная категория Dco(A-mod) компактно порождена, а ее полная подкатегория Db(A-modfp) является в точности подкатегорией компактных объектов в Dco(A-mod).
Доказательство: пункт а) немедленно следует из Леммы 3а). В пункте б) очевидно, что категория Db(A-modfp) содержит прямые слагаемые своих объектов (достаточно вложить ее в D(A-mod) и отождествить там с полной подкатегорией комплексов с ограниченными и конечно представимыми когомологиями), так что остается показать, что всякий объект копроизводной категории, ортогональный справа ко всем конечно представимым модулям, зануляется.
Здесь можно рассуждать, как в доказательстве аналогичного результата для нетеровых колец/локально нетеровых категорий в статье Х.К. Если у комплекса есть нетривиальный модуль когомологий, то в него есть морфизм из конечно-представимого модуля, соответственно сдвинутого по когомологической градуировке, индуцирующий нетривиальный морфизм в когомологиях. В противном случае, представим наш объект копроизводной категории комплексом fp-инъективных модулей. Тогда морфизмы в этот комплекс из конечно представимого модуля вычисляют Hom в копроизводной категории, и вычисляются как группы Ext1 из этого модуля в модули коциклов/кограниц нашего ацикличного комплекса. Если последние зануляются, то этот комплекс ацикличен в точной категории A-modfp-inj, а если эта категория имеет конечную гомологическую размерность, то он и коацикличен в ней.
Теорема. Пусть D -- дуализирующий комплекс для пары когерентных колец (A,B). Предположим, что гомологическая размерность точной категории fp-инъективных левых A-модулей конечна или, что эквивалентно, гомологическая размерность точной категории плоских левых B-модулей конечна. Тогда выбор дуализирующего комплекса D задает эквивалентность между копроизводной категорией левых A-модулей и контрапроизводной категорией левых B-модулей, Dco(A-mod) = Dctr(B-mod).
Доказательство: см. доказательство леммы B.4.2 из препринта Contraherent cosheaves.
Лемма 2. Пусть A -- когерентное слева кольцо. Тогда триангулированный функтор Dco(A-modfpinj) → Dco(A-mod) между копроизводными категориями индуцированный вложением точной категории fp-инъективных левых A-модулей в абелеву категорию произвольных левых A-модулей является эквивалентностью триангулированных категорий.
Доказательство: см. предложение A.3.1(b) из того же препринта.
Лемма 3. Пусть A -- когерентное слева кольцо. Тогда
а) для любого ограниченного комплекса конечно представимых левых A-модулей P и любого комплекса fp-инъективных левых A-модулей I комплекс абелевых групп HomA(P,I) вычисляет Hom из объекта P в объект I в копроизводной категории Dco(A-mod);
б) если точная категория fp-инъективных левых A-модулей имеет конечную гомологическую размерность, то для любого комплекса fp-проективных левых A-модулей P и любого комплекса fp-инъективных левых A-модулей I комплекс абелевых групп HomA(P,I) вычисляет Hom из объекта P в объект I в копроизводной категории Dco(A-mod).
Доказательство: поскольку из любого комплекса левых A-модулей имеется морфизм в комплекс fp-инъективных левых A-модулей, являющийся квазиизоморфизмом в копроизводной категории, и любой коацикличный комплекс fp-инъективных левых A-модулей коацикличен по отношению к точной категории fp-инъективных левых A-модулей, в каждом из пунктов а) и б) достаточно проверить, что комплекс HomA(P,I) ацикличен, если комплекс I коацикличен по отношению к A-modfpinj.
Следствие. Пусть A -- когерентное слева кольцо. Тогда
а) полная подкатегория ограниченных комплексов конечно представимых левых A-модулей Db(A-modfp) ⊂ Dco(A-mod) в копроизводной категории комплексов A-модулей состоит из компактных объектов;
б) если точная категория fp-инъективных левых A-модулей имеет конечную гомологическую размерность, то копроизводная категория Dco(A-mod) компактно порождена, а ее полная подкатегория Db(A-modfp) является в точности подкатегорией компактных объектов в Dco(A-mod).
Доказательство: пункт а) немедленно следует из Леммы 3а). В пункте б) очевидно, что категория Db(A-modfp) содержит прямые слагаемые своих объектов (достаточно вложить ее в D(A-mod) и отождествить там с полной подкатегорией комплексов с ограниченными и конечно представимыми когомологиями), так что остается показать, что всякий объект копроизводной категории, ортогональный справа ко всем конечно представимым модулям, зануляется.
Здесь можно рассуждать, как в доказательстве аналогичного результата для нетеровых колец/локально нетеровых категорий в статье Х.К. Если у комплекса есть нетривиальный модуль когомологий, то в него есть морфизм из конечно-представимого модуля, соответственно сдвинутого по когомологической градуировке, индуцирующий нетривиальный морфизм в когомологиях. В противном случае, представим наш объект копроизводной категории комплексом fp-инъективных модулей. Тогда морфизмы в этот комплекс из конечно представимого модуля вычисляют Hom в копроизводной категории, и вычисляются как группы Ext1 из этого модуля в модули коциклов/кограниц нашего ацикличного комплекса. Если последние зануляются, то этот комплекс ацикличен в точной категории A-modfp-inj, а если эта категория имеет конечную гомологическую размерность, то он и коацикличен в ней.
Теорема. Пусть D -- дуализирующий комплекс для пары когерентных колец (A,B). Предположим, что гомологическая размерность точной категории fp-инъективных левых A-модулей конечна или, что эквивалентно, гомологическая размерность точной категории плоских левых B-модулей конечна. Тогда выбор дуализирующего комплекса D задает эквивалентность между копроизводной категорией левых A-модулей и контрапроизводной категорией левых B-модулей, Dco(A-mod) = Dctr(B-mod).
