![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПусть A -- когерентное слева кольцо, A-mod -- абелева категория произвольных левых A-модулей, A-modfp ⊂ A-mod -- полная абелева подкатегория конечно представимых левых A-модулей.
Лемма 1. Пусть С -- ограниченный сверху комплекс левых модулей над кольцом A, модули когомологий которого Hn(C) конечно представимы над A. Тогда найдется ограниченный сверху комплекс конечно порожденных свободных левых A-модулей F вместе с квазиизоморфизмом комплексов A-модулей F → C.
Следствие. Триангулированные функторы Db(A-modfp) → Db(A-mod) и D−(A-modfp) → D−(A-mod) вполне строги. Их образы совпадают с полными подкатегориями Dbfp(A-mod) и D−fp(A-mod) комплексов A-модулей с конечно представимыми модулями когомологий в Db(A-mod) и D−(A-mod).
Левый A-модуль называется fp-инъективным, если всякий морфизм в него из конечно-порожденного подмодуля конечно-представимого левого A-модуля можно продолжить до морфизма из всего модуля, т.е., другими словами, функтор Hom в него переводит короткие точные последовательности конечно представимых левых A-модулей в короткие точные последовательности абелевых групп. Левый A-модуль называется fp-проективным, если функтор Hom из него переводит короткие точные последовательности fp-инъективных левых A-модулей в короткие точные последовательности абелевых групп.
Класс fp-инъективных левых A-модулей замкнут относительно расширений, коядер вложений, бесконечных прямых сумм и произведений. Класс fp-проективных левых A-модулей замкнут относительно ядер сюръекций и трансфинитно-итерированных расширений; левый A-модуль fp-проективен тогда и только тогда, когда он является прямым слагаемым трансфинитно-итерированного расширения конечно представимых левых A-модулей.
Лемма 2. Конечно порожденный левый A-модуль является fp-проективным тогда и только тогда, когда он конечно представим.
Доказательство: вообще, всякий конечно порожденный подмодуль fp-проективного левого A-модуля конечно представим. В самом деле, пусть (M,F) -- трансфинитно-итерированное расширение конечно представимых левых A-модулей и L -- конечно-порожденный подмодуль в M. Рассмотрим на L индуцированную фильтрацию F. Пусть α -- наибольший индекс, для которого grFαL ≠ 0 (такой α существует, поскольку A-модуль L конечно порожден). Тогда grFαL -- конечно порожденный (как фактормодуль A-модуля L) подмодуль конечно представимого A-модуля grFαM, и следовательно, тоже конечно представимый A-модуль. Теперь A-модуль F<αL конечно порожден как ядро сюръективного гомоморфизма из конечно порожденного A-модуля в конечно представимый, так что предположение индукции по α позволяет считать F<αL конечно представимым A-модулем, и тогда A-модуль L конечно представим как расширение двух конечно представимых A-модулей.
Лемма 3. Если P -- комплекс fp-проективных левых A-модулей, I -- комплекс fp-инъективных левых A-модулей, и либо комплекс P ограничен сверху, либо комплекс I ограничен снизу, то комплекс абелевых групп HomA(P,I) вычисляет Hom из объекта P в объект I в производной категории D(A-mod).
Доказательство: нужно заметить, что 1) все ограниченные сверху комплексы проективных объектов в любой абелевой категории гомотопически проективны, а все ограниченные снизу комплексы инъективных объектов гомотопически инъективны; и 2) комплекс Hom из любого ограниченного сверху ацикличного комплекса fp-проективных левых A-модулей в любой комплекс fp-инъективных левых A-модулей ацикличен, как и комплекс Hom из любого комплекса fp-проективных левых A-модулей в любой ограниченный снизу ацикличный комплекс fp-инъективных левых A-модулей.
Пусть A -- когерентное слева кольцо и B -- когерентное справа кольцо.
Определение. Конечный комплекс A-B-бимодулей D называется дуализирующим комплексом для пары когерентных колец (A,B) если выполнены следующие условия:
- все члены комплекса D являются fp-инъективными левыми A-модулями и fp-инъективными правыми B-модулями;
- все бимодули когомологий комплекса D являются конечно представимыми левыми A-модулями и конечно представимыми правыми B-модулями;
- отображения гомотетии Bop → RHomA(D,D) и A → RHomBop(D,D) являются квазиизоморфизмами DG-колец (или просто комплексов абелевых групп).
Теорема. Если D -- дуализирующий комплекс для пары когерентных колец (A,B), то функторы M → HomA(M,D) и N → HomBop(N,D) устанавливают эквивалентность между производными категориями ограниченных комплексов конечно представимых левых A-модулей и правых B-модулей Db(A-modfp) и Db(modfp-B).
Лемма 1. Пусть С -- ограниченный сверху комплекс левых модулей над кольцом A, модули когомологий которого Hn(C) конечно представимы над A. Тогда найдется ограниченный сверху комплекс конечно порожденных свободных левых A-модулей F вместе с квазиизоморфизмом комплексов A-модулей F → C.
Следствие. Триангулированные функторы Db(A-modfp) → Db(A-mod) и D−(A-modfp) → D−(A-mod) вполне строги. Их образы совпадают с полными подкатегориями Dbfp(A-mod) и D−fp(A-mod) комплексов A-модулей с конечно представимыми модулями когомологий в Db(A-mod) и D−(A-mod).
Левый A-модуль называется fp-инъективным, если всякий морфизм в него из конечно-порожденного подмодуля конечно-представимого левого A-модуля можно продолжить до морфизма из всего модуля, т.е., другими словами, функтор Hom в него переводит короткие точные последовательности конечно представимых левых A-модулей в короткие точные последовательности абелевых групп. Левый A-модуль называется fp-проективным, если функтор Hom из него переводит короткие точные последовательности fp-инъективных левых A-модулей в короткие точные последовательности абелевых групп.
Класс fp-инъективных левых A-модулей замкнут относительно расширений, коядер вложений, бесконечных прямых сумм и произведений. Класс fp-проективных левых A-модулей замкнут относительно ядер сюръекций и трансфинитно-итерированных расширений; левый A-модуль fp-проективен тогда и только тогда, когда он является прямым слагаемым трансфинитно-итерированного расширения конечно представимых левых A-модулей.
Лемма 2. Конечно порожденный левый A-модуль является fp-проективным тогда и только тогда, когда он конечно представим.
Доказательство: вообще, всякий конечно порожденный подмодуль fp-проективного левого A-модуля конечно представим. В самом деле, пусть (M,F) -- трансфинитно-итерированное расширение конечно представимых левых A-модулей и L -- конечно-порожденный подмодуль в M. Рассмотрим на L индуцированную фильтрацию F. Пусть α -- наибольший индекс, для которого grFαL ≠ 0 (такой α существует, поскольку A-модуль L конечно порожден). Тогда grFαL -- конечно порожденный (как фактормодуль A-модуля L) подмодуль конечно представимого A-модуля grFαM, и следовательно, тоже конечно представимый A-модуль. Теперь A-модуль F<αL конечно порожден как ядро сюръективного гомоморфизма из конечно порожденного A-модуля в конечно представимый, так что предположение индукции по α позволяет считать F<αL конечно представимым A-модулем, и тогда A-модуль L конечно представим как расширение двух конечно представимых A-модулей.
Лемма 3. Если P -- комплекс fp-проективных левых A-модулей, I -- комплекс fp-инъективных левых A-модулей, и либо комплекс P ограничен сверху, либо комплекс I ограничен снизу, то комплекс абелевых групп HomA(P,I) вычисляет Hom из объекта P в объект I в производной категории D(A-mod).
Доказательство: нужно заметить, что 1) все ограниченные сверху комплексы проективных объектов в любой абелевой категории гомотопически проективны, а все ограниченные снизу комплексы инъективных объектов гомотопически инъективны; и 2) комплекс Hom из любого ограниченного сверху ацикличного комплекса fp-проективных левых A-модулей в любой комплекс fp-инъективных левых A-модулей ацикличен, как и комплекс Hom из любого комплекса fp-проективных левых A-модулей в любой ограниченный снизу ацикличный комплекс fp-инъективных левых A-модулей.
Пусть A -- когерентное слева кольцо и B -- когерентное справа кольцо.
Определение. Конечный комплекс A-B-бимодулей D называется дуализирующим комплексом для пары когерентных колец (A,B) если выполнены следующие условия:
- все члены комплекса D являются fp-инъективными левыми A-модулями и fp-инъективными правыми B-модулями;
- все бимодули когомологий комплекса D являются конечно представимыми левыми A-модулями и конечно представимыми правыми B-модулями;
- отображения гомотетии Bop → RHomA(D,D) и A → RHomBop(D,D) являются квазиизоморфизмами DG-колец (или просто комплексов абелевых групп).
Теорема. Если D -- дуализирующий комплекс для пары когерентных колец (A,B), то функторы M → HomA(M,D) и N → HomBop(N,D) устанавливают эквивалентность между производными категориями ограниченных комплексов конечно представимых левых A-модулей и правых B-модулей Db(A-modfp) и Db(modfp-B).
