![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПродолжение оборванного на полуслове февральского постинга http://posic.livejournal.com/1163356.html , в котором мне не удалось доказать сформулированную там теорему.
Итак, пусть R -- нетерово коммутативное кольцо с идеалом I и I-адическим пополнением R^ = projlimn R/In, и пусть B -- дедуализирующий комплекс для пары (R,I). Мы хотим показать, что морфизмы сопряжения R^[[X]] → RHomR(B, B⊗LRR^[[X]]) = RHomR(B,B[X]) и B ⊗LR HomR(B,J) → J являются квазиизоморфизмами для всех множеств X и всех инъективных R-модулей I-кручения J. Пусть E -- ограниченный снизу комплекс инъективных R-модулей I-кручения, снабженный квазиизоморфизмом B → E.
Пусть sj -- какой-нибудь конечный набор образующих идеала I. Согласно [PSY, Theorem 5.21] (см. ткж. леммы 3-4 из предыдущего постинга http://posic.livejournal.com/1168544.html ), естественное отображение HomR(Tel(R,s), R^[X]) → R^[[X]] является квазиизоморфизмом (конечных комплексов). Далее, комплекс Tel(R,s) является объединением конечных комплексов конечно-порожденных свободных R-модулей Teli(R,s), занумерованных натуральными числами i. Каждый комплекс Teli(R,s) гомотопически эквивалентен двойственному (т.е., неотрицательно когомологически градуированному) комплексу Кошуля Kv(R,si), связанному с набором элементов sji в кольце R.
Таким образом, имеется естественный квазиизоморфизм projlimi HomR(Teli(R,s), R^[X]) → R^[[X]]. С другой стороны, комплекс B, будучи комплексом R-модулей I-кручения, квазиизоморфен комплексу Tel(R,s) ⊗R B = indlimi Teli(R,s) ⊗R B (см. первый постинг этой серии http://posic.livejournal.com/1167741.html ). Теперь мы приходим к важной лемме, на которой неизбежно основываются любые надежды на осмысленность самого определения дедуализирующего комплекса для пары (R,I) из постинга по первой ссылке (ср. с сентябрьским постингом http://posic.livejournal.com/1109490.html ).
Лемма о конетеровости: для любого идеала I в нетеровом кольце R, класс R-модулей I-кручения, в которых для всех n подмодули элементов, аннулируемых In, конечно-порождены (или, что эквивалентно, подмодуль элементов, аннулируемых I, конечно-порожден) замкнут относительно перехода к фактормодулям по произвольным подмодулям.
Приняв пока эту лемму без доказательства, докажем теорему по модулю леммы. Поскольку когомологии комплекса Kv(R,si) сосредоточены в конечном числе когомологических градуировок, конечно-порождены над R и аннулируются умножением на I, комплекс Teli(R,s) ⊗R B квазиизоморфен конечному комплексу конечно-порожденных R/In-модулей для некоторого n. Следовательно, имеют место естественные квазиизоморфизмы
RHomR(B,B[X]) = HomR(B,E[X]) = HomR(indlimi Teli(R,s)⊗RB, E[X]) = projlimi HomR(Teli(R,s)⊗RB, E[X]) = projlimi HomR(Teli(R,s)⊗RB, E) [X] = projlimi HomR(Teli(R,s), HomR(B,E)) [X] = projlimi HomR(Teli(R,s), R^) [X] = projlimi HomR(Teli(R,s), R^[X]) = R^[[X]].
Первый желаемый квазиизоморфизм получен. Чтобы доказать второй, помножим обе стороны интересующего нас отображения тензорно на Teli(R,s) над R. Имеем B ⊗LR HomR(B,J) = B ⊗R HomR(E,J) и цепочку естественных квазиизоморфизмов
Teli(R,s) ⊗R B ⊗ HomR(E,J) = HomR(HomR(Teli(R,s)⊗RB, E), J) = HomR(HomR(Teli(R,s), HomR(B,E)), J) = HomR(HomR(Teli(R,s), R^), J) = Teli(R,s) ⊗R HomR(R^,J) = Teli(R,s) ⊗R J.
Второй искомый квазиизоморфизм получается переходом к прямому пределу по i. В предположении леммы о конетеровости, теорема доказана.
Итак, пусть R -- нетерово коммутативное кольцо с идеалом I и I-адическим пополнением R^ = projlimn R/In, и пусть B -- дедуализирующий комплекс для пары (R,I). Мы хотим показать, что морфизмы сопряжения R^[[X]] → RHomR(B, B⊗LRR^[[X]]) = RHomR(B,B[X]) и B ⊗LR HomR(B,J) → J являются квазиизоморфизмами для всех множеств X и всех инъективных R-модулей I-кручения J. Пусть E -- ограниченный снизу комплекс инъективных R-модулей I-кручения, снабженный квазиизоморфизмом B → E.
Пусть sj -- какой-нибудь конечный набор образующих идеала I. Согласно [PSY, Theorem 5.21] (см. ткж. леммы 3-4 из предыдущего постинга http://posic.livejournal.com/1168544.html ), естественное отображение HomR(Tel(R,s), R^[X]) → R^[[X]] является квазиизоморфизмом (конечных комплексов). Далее, комплекс Tel(R,s) является объединением конечных комплексов конечно-порожденных свободных R-модулей Teli(R,s), занумерованных натуральными числами i. Каждый комплекс Teli(R,s) гомотопически эквивалентен двойственному (т.е., неотрицательно когомологически градуированному) комплексу Кошуля Kv(R,si), связанному с набором элементов sji в кольце R.
Таким образом, имеется естественный квазиизоморфизм projlimi HomR(Teli(R,s), R^[X]) → R^[[X]]. С другой стороны, комплекс B, будучи комплексом R-модулей I-кручения, квазиизоморфен комплексу Tel(R,s) ⊗R B = indlimi Teli(R,s) ⊗R B (см. первый постинг этой серии http://posic.livejournal.com/1167741.html ). Теперь мы приходим к важной лемме, на которой неизбежно основываются любые надежды на осмысленность самого определения дедуализирующего комплекса для пары (R,I) из постинга по первой ссылке (ср. с сентябрьским постингом http://posic.livejournal.com/1109490.html ).
Лемма о конетеровости: для любого идеала I в нетеровом кольце R, класс R-модулей I-кручения, в которых для всех n подмодули элементов, аннулируемых In, конечно-порождены (или, что эквивалентно, подмодуль элементов, аннулируемых I, конечно-порожден) замкнут относительно перехода к фактормодулям по произвольным подмодулям.
Приняв пока эту лемму без доказательства, докажем теорему по модулю леммы. Поскольку когомологии комплекса Kv(R,si) сосредоточены в конечном числе когомологических градуировок, конечно-порождены над R и аннулируются умножением на I, комплекс Teli(R,s) ⊗R B квазиизоморфен конечному комплексу конечно-порожденных R/In-модулей для некоторого n. Следовательно, имеют место естественные квазиизоморфизмы
RHomR(B,B[X]) = HomR(B,E[X]) = HomR(indlimi Teli(R,s)⊗RB, E[X]) = projlimi HomR(Teli(R,s)⊗RB, E[X]) = projlimi HomR(Teli(R,s)⊗RB, E) [X] = projlimi HomR(Teli(R,s), HomR(B,E)) [X] = projlimi HomR(Teli(R,s), R^) [X] = projlimi HomR(Teli(R,s), R^[X]) = R^[[X]].
Первый желаемый квазиизоморфизм получен. Чтобы доказать второй, помножим обе стороны интересующего нас отображения тензорно на Teli(R,s) над R. Имеем B ⊗LR HomR(B,J) = B ⊗R HomR(E,J) и цепочку естественных квазиизоморфизмов
Teli(R,s) ⊗R B ⊗ HomR(E,J) = HomR(HomR(Teli(R,s)⊗RB, E), J) = HomR(HomR(Teli(R,s), HomR(B,E)), J) = HomR(HomR(Teli(R,s), R^), J) = Teli(R,s) ⊗R HomR(R^,J) = Teli(R,s) ⊗R J.
Второй искомый квазиизоморфизм получается переходом к прямому пределу по i. В предположении леммы о конетеровости, теорема доказана.
