Дедуализирующий комплекс для пары коколец
Dec. 13th, 2014 06:10 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПродолжение постинга http://posic.livejournal.com/1106295.html и всей серии http://posic.livejournal.com/1115798.html
Пусть С -- кокольцо над ассоциативным кольцом A, проективное (или, хотя бы, плоское) как правый A-модуль и пусть D -- кокольцо над ассоциативным кольцом B, проективное как левый В-модуль. Можно считать, что все происходит над базовым коммутативным кольцом k. Конечный комплекс C-D-бикомодулей G называется дедуализирующим (антидуализирующим) комплексом для пары коколец C и D, если выполнены следующие условия:
- G является конечным комплексом C-D бикомодулей над k,
- имеющим конечную проективную размерность как объект C-comod и конечную проективную (или, хотя бы, контраплоскую) размерность как объект comod-D,
+ условия конечной (ко)порожденности и унитальности, которые мы попытаемся сейчас в каком-то виде сформулировать.
Заметим, что первых двух условий достаточно, чтобы построить пару сопряженных функторов комодульных гомоморфизмов и контратензорного произведения между обычными неограниченными производными категориями D(C-comod) и D(D-contra) (как, впрочем, и между любым образом ограниченными версиями этих производных категорий, и между неограниченными абсолютными производными категориями, и т.д.)
В самом деле, нужно просто заменить любой комплекс левых C-комодулей на тотализацию его достаточно длинной конечной правой резольвенты, составленной из комплексов инъективных C-комодулей, перед применением функтора HomC(G,−). Аналогично, нужно заменить любой комплекс левых D-контрамодулей на тотализацию его достаточно длинной конечной левой резольвенты, составленной из комплексов проективных D-контрамодулей, перед применением функтора G⊙D−.
Вопрос в том, при каких условиях эта пара сопряженных функторов является эквивалентностью триангулированных категорий. Очевидно, достаточно, чтобы соответствующий морфизм сопряжения был квазиизоморфизмом для комплексов ко- и контрамодулей, состоящих из одного объекта. Более того, можно заменить этот объект на его инъективную/проективную резольвенту и считать его инъективным/проективным ко/контрамодулем соответственно над С и над D.
14.01.2015 - Update: все же конструкция, описанная в предпоследнем абзаце, была бы корректна, если бы каждый член комплекса G имел конечную проективную/контраплоскую размерность над C и D, а не комплекс в целом. В наших же предположениях, нужно действовать так: чтобы применить функтор к одиночному C-комодулю, надо написать ему инъективную резольвенту, подействовать функтором HomC(G,−), тотализовать, и канонически обрезать на достаточно высокой (превышающей проективную размерность G над C) когомологической градуировке. Чтобы применить функтор к комплексу C-комодулей, надо применить его к каждому члену, обрезая равномерно ограниченным образом, и тотализовать получившийся конечный комплекс комплексов.
Аналогично с применением функтора G⊙D− к D-контрамодулям и комплексам D-контрамодулей, с написанием проективной/контраплоской резольвенты и каноническим обрезанием на достаточно низкой (но равномерно ограниченной) когомологической градуировке. Чтобы показать, что функторы сопряжены, нужно построить морфизмы сопряжения (это несложно) и проверить соответствующие уравнения для композиций. Вывод остается прежним: проверять, что морфизмы сопряжения являются изоморфизмами, достаточно для одиночного инъективного C-комодуля и одиночного проективного D-контрамодуля.
Пусть С -- кокольцо над ассоциативным кольцом A, проективное (или, хотя бы, плоское) как правый A-модуль и пусть D -- кокольцо над ассоциативным кольцом B, проективное как левый В-модуль. Можно считать, что все происходит над базовым коммутативным кольцом k. Конечный комплекс C-D-бикомодулей G называется дедуализирующим (антидуализирующим) комплексом для пары коколец C и D, если выполнены следующие условия:
- G является конечным комплексом C-D бикомодулей над k,
- имеющим конечную проективную размерность как объект C-comod и конечную проективную (или, хотя бы, контраплоскую) размерность как объект comod-D,
+ условия конечной (ко)порожденности и унитальности, которые мы попытаемся сейчас в каком-то виде сформулировать.
Заметим, что первых двух условий достаточно, чтобы построить пару сопряженных функторов комодульных гомоморфизмов и контратензорного произведения между обычными неограниченными производными категориями D(C-comod) и D(D-contra) (как, впрочем, и между любым образом ограниченными версиями этих производных категорий, и между неограниченными абсолютными производными категориями, и т.д.)
В самом деле, нужно просто заменить любой комплекс левых C-комодулей на тотализацию его достаточно длинной конечной правой резольвенты, составленной из комплексов инъективных C-комодулей, перед применением функтора HomC(G,−). Аналогично, нужно заменить любой комплекс левых D-контрамодулей на тотализацию его достаточно длинной конечной левой резольвенты, составленной из комплексов проективных D-контрамодулей, перед применением функтора G⊙D−.
Вопрос в том, при каких условиях эта пара сопряженных функторов является эквивалентностью триангулированных категорий. Очевидно, достаточно, чтобы соответствующий морфизм сопряжения был квазиизоморфизмом для комплексов ко- и контрамодулей, состоящих из одного объекта. Более того, можно заменить этот объект на его инъективную/проективную резольвенту и считать его инъективным/проективным ко/контрамодулем соответственно над С и над D.
14.01.2015 - Update: все же конструкция, описанная в предпоследнем абзаце, была бы корректна, если бы каждый член комплекса G имел конечную проективную/контраплоскую размерность над C и D, а не комплекс в целом. В наших же предположениях, нужно действовать так: чтобы применить функтор к одиночному C-комодулю, надо написать ему инъективную резольвенту, подействовать функтором HomC(G,−), тотализовать, и канонически обрезать на достаточно высокой (превышающей проективную размерность G над C) когомологической градуировке. Чтобы применить функтор к комплексу C-комодулей, надо применить его к каждому члену, обрезая равномерно ограниченным образом, и тотализовать получившийся конечный комплекс комплексов.
Аналогично с применением функтора G⊙D− к D-контрамодулям и комплексам D-контрамодулей, с написанием проективной/контраплоской резольвенты и каноническим обрезанием на достаточно низкой (но равномерно ограниченной) когомологической градуировке. Чтобы показать, что функторы сопряжены, нужно построить морфизмы сопряжения (это несложно) и проверить соответствующие уравнения для композиций. Вывод остается прежним: проверять, что морфизмы сопряжения являются изоморфизмами, достаточно для одиночного инъективного C-комодуля и одиночного проективного D-контрамодуля.
