posic

Продолжение темы этих трех постингов.

Следующее простое замечание почерпнуто из письма Серра Грею, напечатанного в качестве дополнения к русскому изданию книжки Клейна "Лекции об икосаэдре". (Исключительно понятный и познавательный текст, кстати. См. также второе дополнение Тюрина к тому же изданию.)

Пусть X -- алгебраическое многообразие над полем F со свободным действием конечной группы G. Рассмотрим этальное накрытие X -> G\X; ясно, что F-точкам многообразия G\X соответствуют индуцированные G-накрытия спектра F; последние классифицируются классами сопряженности гомоморфизмов абсолютной группы Галуа поля F в группу G. Утверждается, что класс сопряженности гомоморфизма f: G_F -> G происходит из некоторой F-точки многообразия G\X тогда и только тогда, когда форма X_f многообразия X, связанная с 1-коциклом Галуа G_F -> G -> Aut(X)(Fs), имеет F-точку. (Fs здесь и далее обозначает сепарабельное замыкание поля F.)

Из этого замечания легко можно заключить следующее.

(1) Пусть алгебраическая группа A действует на многообразии X над полем F и конечная группа G содержится в A(F), причем никакой нетривиальный элемент G не действует на X тривиально. Пусть X^f обозначает открытое подмножество X, на котором G действует свободно. Предположим, что множество X(F) плотно по Зарисскому в X. Тогда всякий класс сопряженности гомоморфизма G_F -> G, представляющий тривиальный класс в множестве когомологий Галуа H^1(G_F, А(Fs)), происходит из некоторой F-точки многообразия G\X^f.

(2) Пусть А -- алгебраическая группа над полем F и пусть конечная группа G вложена в A(F). Рассмотрим форму A_c многообразия А, связанную с некоторым классом когомологий c из множества H^1(G_F, А(Fs)), где группа A отображается в Aut(A), действуя на себе правыми сдвигами. Тогда A_c является левым главным однородным пространством над группой А. Рассмотрим накрытие Галуа A_c -> G\A_c. Утверждается, что класс сопряженности гомоморфизма f: G_F -> G происходит из какой-то F-точки на G\A_c тогда и только тогда, когда класс эквивалентности 1-коцикла Галуа G_F -> G -> A(Fs), соответствующего f, равен c. Таким образом, дизъюнктное объединение накрытий A_c -> G\A_c по всем классам когомологий c классифицирует все G-расширения Галуа поля F.

(3) Следствие (из (1) или (2) на выбор). Пусть A -- алгебраическая группа над полем k и пусть конечная группа G вложена в A(k). Тогда для любого поля F, содержащего k, всякий гомоморфизм f: G_F -> G, класс которого в множестве когомологий Галуа H^1(G_F, А(Fs)) тривиален, может быть поднят до гомоморфизма в группу Галуа поля рациональных функций на факторпространстве G\A.