posic

Запишу сейчас наброском идею дальнейшего рассуждения в предполагаемом доказательстве теоремы 2, с тем чтобы, если на то будет воля Всевышнего, вернуться к этому позже.

Предположим, что у нас имеется ненулевой элемент проективного предела ядер отображений Ext_{F_k/l^r}²(X/l^r,Y/l^r) → Ext_{A_k/l^r}²(X/l^r,Y/l^r) или коядер отображений Ext_{F_k/l^r}¹(X/l^r,Y/l^r) → Ext_{A_k/l^r}¹(X/l^r,Y/l^r) при r, стремящемся к бесконечности. Хотелось бы реализовать такой элемент индуктивной (!) системой фильтрованных Γ-модулей из категорий F_k/l^r, не принадлежащих полным подкатегориям F_k/l^r ⊂ F_k/l^r. И более того, чтобы отображения в этой индуктивной системе переводились функторами редукции (что означает в данном случае, перехода к подмодулям элементов, аннулируемых умножением на l^r) в допустимые мономорфизмы в категориях F_k/l^r.

После этого хочется перейти к индуктивному пределу этой индуктивной системы, получив конечно фильтрованный Γ-модуль кручения (M,F) над k c присоединенными факторами -- объектами категории бесконечных прямых сумм k-инъективных перестановочных Γ/Δ-модулей k-кручения E_k⁰⁺ с действием Γ, подкрученным на соответствующие степени χ. Обозначим всю точную категорию таких фильтрованных Γ-модулей через F_k⁺, а аналогичные категории конечно фильтрованных Γ-модулей над k/l^r с бесконечно-порожденными χ-подкрученно Γ/Δ-перестановочными k/l^r-(ко)свободными присоединенными факторами -- через F_k/l^r⁺.

Применим теперь к точной категории F_k⁺ процедуру редукции по центральному элементу l^r (используя декартово произведение точных категорий конечно фильтрованных k/l^r-модулей с (ко)свободными бесконечно-порожденными присоединенными факторами и конечно-градуированных бесконечно-порожденных перестановочных Γ/Δ-модулей, (ко)свободных над k/l^r, в роли базы). Согласно рассуждению из первой половины предыдущего постинга (не зависящему ни от каких предположений основной гипотезы), естественный точный функтор F_k⁺/l^r → F_k/l^r⁺ является не только "точно-консервативным", но и вполне строгим.

Теми же свойствами обладает и функтор вложения F_k/l^r → F_k/l^r⁺ (образ которого, к тому же, еще и замкнут относительно расширений в F_k/l^r⁺). Из коммутативности этой квадратной диаграммы функторов теперь следует, что "точно-консервативным" и вполне строгим является и функтор F_k/l^r → F_k⁺/l^r.

Сосредоточимся сперва на вопросе об инъективности отображения Ext_{F_k/l^r}²(X/l^r,Y/l^r) → Ext_{A_k/l^r}²(X/l^r,Y/l^r) (сюръективность отображения на Ext¹, кажется, вообще не доказывается этим способом -- см. ниже). Построенный выше объект (M,F) из F_k⁺ можно редуцировать по модулю l^r, получив объект редуцированной точной категории F_k⁺/l^r. Существование этого объекта в этой точной категории, видимо, должно означать, что образ исходного элемента из Ext_{F_k/l^r}²(X/l^r,Y/l^r) (принадлежащего ядру отображения в Ext_{A_k/l^r}²) равен нулю в группе Ext_{F_k⁺/l^r}²(X/l^r,Y/l^r).

Проблема в том, как доказать, что функтор F_k/l^r → F_k⁺/l^r индуцирует инъективные отображения на Ext². Например, достаточно было бы как-нибудь установить, что его образ замкнут относительно расширений в F_k⁺/l^r. Альтернативным образом, достаточно было бы показать, что функтор F_k → F_k⁺ индуцирует изоморфизмы групп Ext² и мономорфизмы групп Ext³ (после чего можно было бы использовать 5-лемму для последовательностей Бокштейна, чтобы вывести искомую инъективность на Ext²). Мне сейчас кажется, что эта проблема не решается, и подход, намеченный в предыдущем постинге, нужно несколько модифицировать.