![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПусть Γ -- проконечная группа, Δ -- ее нормальная подгруппа, k -- полное нетерово локальное кольцо, χ: Γ → k* -- непрерывный характер. Обозначим через E = Ek категорию Γ-модулей над k, градуированных целыми числами, в которых компонента степени j представляет собой конечно-порожденный свободный k-модуль с дискретным действием факторгруппы Γ/Δ, переставляющим базисные вектора, подкрученным на характер χj группы Γ.
Пусть F = Fk -- категория конечно фильтрованных k-модулей с конечно порожденными свободными присоединенными факторами, снабженных непрерывным действием группы Γ, согласованным с фильтрацией, присоединенные факторы которых по фильтрации суть градуированные Γ-модули из категории Е. Аддитивная категория Е снабжается тривиальной структурой точной категории, категория F -- структурой точной категории, в которой тройка с нулевой композицией точна, если соответствующая тройка присоединенных факторов точна в E (т.е., расщепимо точна).
Обозначим через X → X(j) функторы подкрутки на категориях E и F, сдвигающие номера фильтрации/градуировки на j и одновременно подкручивающие действие Γ на χj. Нетрудно показать из самых общих соображений, что для любых объектов I' и I'', сосредоточенных в нулевой компоненте фильтрации в категории F, группы ExtFi(I',I''(j)) зануляются при i > j.
Будем говорить, допуская некоторую вольность речи, что набор данных (Γ,Δ,χ,k) или категория Fk "удовлетворяют основной гипотезе", если забывающий функтор из категории F в точную категорию A конечно-порожденных свободных k-модулей с непрерывным действием Γ [Upd.: или, может быть, лучше -- k-свободных k-контрамодульных k(Γ)-комодулей] индуцирует изоморфизмы ExtFi(I',I''(j)) = ExtAi(I',I''(j)) при всех i ≤ j.
Предположим теперь, что k -- полное кольцо дискретного нормирования с униформизующим элементом l. Нашей целью является доказательство следующего утверждения: для любого натурального r, точные категории Fk/l, Fk/lr и Fk удовлетворяют или не удовлетворяют основной гипотезе одновременно. При этом если основная гипотеза удовлетворяется, то группы Ext в этих трех категориях должны быть связаны между собой длинными точными последовательностями Бокштейна.
[Update: может быть, нужны все же дополнительные предположения для доказательства сформулированного выше. Например, "теорема Гильберта 90 для первых когомологий в весе 1", т.е., сюръективность отображений ExtAk1(I',I''(1)) → ExtAk/lr1(I'/lr,I''/lr(1)) → ExtAk/l1(I'/l,I''/l(1)), или что-то такое.]
Пусть F = Fk -- категория конечно фильтрованных k-модулей с конечно порожденными свободными присоединенными факторами, снабженных непрерывным действием группы Γ, согласованным с фильтрацией, присоединенные факторы которых по фильтрации суть градуированные Γ-модули из категории Е. Аддитивная категория Е снабжается тривиальной структурой точной категории, категория F -- структурой точной категории, в которой тройка с нулевой композицией точна, если соответствующая тройка присоединенных факторов точна в E (т.е., расщепимо точна).
Обозначим через X → X(j) функторы подкрутки на категориях E и F, сдвигающие номера фильтрации/градуировки на j и одновременно подкручивающие действие Γ на χj. Нетрудно показать из самых общих соображений, что для любых объектов I' и I'', сосредоточенных в нулевой компоненте фильтрации в категории F, группы ExtFi(I',I''(j)) зануляются при i > j.
Будем говорить, допуская некоторую вольность речи, что набор данных (Γ,Δ,χ,k) или категория Fk "удовлетворяют основной гипотезе", если забывающий функтор из категории F в точную категорию A конечно-порожденных свободных k-модулей с непрерывным действием Γ [Upd.: или, может быть, лучше -- k-свободных k-контрамодульных k(Γ)-комодулей] индуцирует изоморфизмы ExtFi(I',I''(j)) = ExtAi(I',I''(j)) при всех i ≤ j.
Предположим теперь, что k -- полное кольцо дискретного нормирования с униформизующим элементом l. Нашей целью является доказательство следующего утверждения: для любого натурального r, точные категории Fk/l, Fk/lr и Fk удовлетворяют или не удовлетворяют основной гипотезе одновременно. При этом если основная гипотеза удовлетворяется, то группы Ext в этих трех категориях должны быть связаны между собой длинными точными последовательностями Бокштейна.
[Update: может быть, нужны все же дополнительные предположения для доказательства сформулированного выше. Например, "теорема Гильберта 90 для первых когомологий в весе 1", т.е., сюръективность отображений ExtAk1(I',I''(1)) → ExtAk/lr1(I'/lr,I''/lr(1)) → ExtAk/l1(I'/l,I''/l(1)), или что-то такое.]
