![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПродолжение постинга http://posic.livejournal.com/996727.html
Пусть, помимо точного функтора h: G → H, заданы точные функторы eG: G → EG и eH: H → EH, а также точный функтор eh: EG → EH, образующие коммутативный квадрат. Тогда если свойством отражать допустимые мономорфизмы, допустимые эпиморфизмы и точные последовательности обладают функторы eG и eh, то такими же свойствами обладает и функтор h.
Вернемся теперь к обозначениям постинга http://posic.livejournal.com/995400.html , и предположим, что редуцированные категории Gστ, Gτ, Gσ построены с помощью "консервативных точных фукторов" из категории F в точные категории Eστ, Eτ, Eσ, так что имеются также естественные "консервативные точные функторы" из редуцированных категорий G в базовые категории E с теми же индексами. Предположим далее дополнительно, что заданы точные функторы Gστ → Gτ, Gσ и "консервативные точные функторы" Eστ → Eτ, Eσ, так что вся вместе диаграмма из семи категорий и десяти функторов коммутативна.
Наконец, предположим, что σ и τ действуют как эндоморфизмы тождественного функтора на категории Eστ, коммутируя с функтором F → Eστ (а значит, и с функтором Gστ → Eστ). Тогда
1. Если верно, что морфизм в категории Eστ аннулируется функтором Eστ → Eτ тогда и только тогда, когда он аннулируется умножением на σ, то верно и то, что морфизм в категории Gστ аннулируется функтором Gστ → Gτ тогда и только тогда, когда он аннулируется умножением на σ. (Просто потому, что функторы Gστ → Eστ и Gσ → Eσ отражают нулевые морфизмы.)
2. Морфизм в категории Gστ аннулируется функтором Gστ → Gσ тогда и только тогда, когда к нему можно прикомпоновать одновременно допустимый эпиморфизм с одной стороны и допустимый мономорфизм с другой в категории Gστ так, чтобы композиция делилась на σ. (Представить рассматриваемый морфизм в редуцированной категории морфизмом матричных факторизаций естественного преобразования στ в категории F и воспользоваться изначальным предположением, что морфизм в категории F аннулируется функтором F → Eσ тогда и только тогда, когда он делится на σ.)
Теперь, ввиду замечания в конце постинга http://posic.livejournal.com/996551.html насчет эквивалентности делимости на σ после взятия композиции с допустимым мономорфизмом или с допустимым эпиморфизмом, условие в пункте 2. можно (при соответствующих предположениях) переписать, позволяя только композицию с допустимым мономорфизмом с одной стороны или с допустимым эпиморфизмом с другой.
Пусть, помимо точного функтора h: G → H, заданы точные функторы eG: G → EG и eH: H → EH, а также точный функтор eh: EG → EH, образующие коммутативный квадрат. Тогда если свойством отражать допустимые мономорфизмы, допустимые эпиморфизмы и точные последовательности обладают функторы eG и eh, то такими же свойствами обладает и функтор h.
Вернемся теперь к обозначениям постинга http://posic.livejournal.com/995400.html , и предположим, что редуцированные категории Gστ, Gτ, Gσ построены с помощью "консервативных точных фукторов" из категории F в точные категории Eστ, Eτ, Eσ, так что имеются также естественные "консервативные точные функторы" из редуцированных категорий G в базовые категории E с теми же индексами. Предположим далее дополнительно, что заданы точные функторы Gστ → Gτ, Gσ и "консервативные точные функторы" Eστ → Eτ, Eσ, так что вся вместе диаграмма из семи категорий и десяти функторов коммутативна.
Наконец, предположим, что σ и τ действуют как эндоморфизмы тождественного функтора на категории Eστ, коммутируя с функтором F → Eστ (а значит, и с функтором Gστ → Eστ). Тогда
1. Если верно, что морфизм в категории Eστ аннулируется функтором Eστ → Eτ тогда и только тогда, когда он аннулируется умножением на σ, то верно и то, что морфизм в категории Gστ аннулируется функтором Gστ → Gτ тогда и только тогда, когда он аннулируется умножением на σ. (Просто потому, что функторы Gστ → Eστ и Gσ → Eσ отражают нулевые морфизмы.)
2. Морфизм в категории Gστ аннулируется функтором Gστ → Gσ тогда и только тогда, когда к нему можно прикомпоновать одновременно допустимый эпиморфизм с одной стороны и допустимый мономорфизм с другой в категории Gστ так, чтобы композиция делилась на σ. (Представить рассматриваемый морфизм в редуцированной категории морфизмом матричных факторизаций естественного преобразования στ в категории F и воспользоваться изначальным предположением, что морфизм в категории F аннулируется функтором F → Eσ тогда и только тогда, когда он делится на σ.)
Теперь, ввиду замечания в конце постинга http://posic.livejournal.com/996551.html насчет эквивалентности делимости на σ после взятия композиции с допустимым мономорфизмом или с допустимым эпиморфизмом, условие в пункте 2. можно (при соответствующих предположениях) переписать, позволяя только композицию с допустимым мономорфизмом с одной стороны или с допустимым эпиморфизмом с другой.
