![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicЛемма. Пусть R -- нетерово кольцо конечной размерности Крулля d, и пусть W -- открытая подсхема в Spec R. Тогда W является объединением не более, чем d+1 главных аффинных открытых подсхем в Spec R.
Доказательство: индукция по d. Очевидно, можно предполагать, что W плотна в Spec R (иначе заменим Spec R на замыкание W). [Нифига не очевидно; здесь дыра, на самом деле. Сейчас еще посмотрим, может, заделается.] Ясно также, что можно заменить Spec R на ее максимальную приведенную замкнутую подсхему (отфакторизовать R по нильрадикалу). Пусть I -- идеал в R, соответствующий (скажем, приведенной) структуре замкнутой подсхемы на дополнении Spec R \ W.
База индукции: если d=0, то в наших предположениях кольцо R артиново, спектр его дискретен, W совпадает со всем Spec R, и является главным аффинным открытым подмножеством в самом себе.
Шаг индукции: пусть p1, ..., pn -- идеалы в R, соответствующие неприводимым компонентам Spec R (попросту, минимальные простые идеалы -- ввиду теоремы о примарном разложении в нетеровом кольце, существует конечное число таковых, и каждый простой идеал в R содержит один из pi). В силу условия, что замыкание W равно Spec R, идеал I не содержится ни в одном из pi.
В силу известной леммы об идеалах, содержащихся в конечном объединении простых идеалов, отсюда следует, что найдется элемент f ∈ I, не содержащийся ни в одном из pi. Теперь факторкольцо R/(f) имеет размерность Крулля не больше d−1.
Применив утверждение леммы для d−1 к открытой подсхеме W ∩ Spec R/(f) в Spec R/(f) ⊂ R, получим набор элементов g1, ..., gd ∈ R/(f), такой что W ∩ Spec R/(f) есть объединение колец спектров R/(f)[gi−1]. Другими словами это значит, что радикал идеала, порожденного (g1, ..., gd) в R/(f), равен I/(f). Теперь если fi -- какие-то прообразы gi в R, то радикал идеала, порожденного f, f1, ..., fd в R, равен I, что и требовалось.
--
Дыра, отмеченная выше: надо показать, что главное аффинное открытое подмножество в замыкании W в Spec R, содержащееся в W, является в то же время и главным аффинным открытым подмножеством в Spec R. Пусть замыкание W равно спектру кольца S = R/(p1∩...∩pk), где p1, ..., pn -- минимальные простые идеалы в R. Пусть подмножество U открыто в W и является главным аффинным открытым в замыкании W; это значит, что U = Spec S[g−1] для некоторого g ∈ S и U не пересекается с замкнутым подмножеством, соответствующим идеалу pk+1∩...∩pn ⊂ R.
Поднимем g до элемента f ∈ R; тогда U есть пересечение Spec R[f−1] c замыканием W в Spec R и оно же есть пересечение Spec R[f−1] с открытым подмножеством W ⊂ Spec R. Таким образом, U есть открыто-замкнутое подмножество в Spec R[f−1]. Поскольку открыто-замкнутое подмножество аффинной схемы является главным аффинным и главная аффинная подсхема главной аффинной подсхемы является главной аффинной подсхемой исходной аффинной схемы, U есть главное аффинное открытое подмножество в Spec R.
Update: http://mathoverflow.net/questions/112239/radical-generation-of-ideals-in-noetherian-rings-reference-request
Доказательство: индукция по d. Очевидно, можно предполагать, что W плотна в Spec R (иначе заменим Spec R на замыкание W). [Нифига не очевидно; здесь дыра, на самом деле. Сейчас еще посмотрим, может, заделается.] Ясно также, что можно заменить Spec R на ее максимальную приведенную замкнутую подсхему (отфакторизовать R по нильрадикалу). Пусть I -- идеал в R, соответствующий (скажем, приведенной) структуре замкнутой подсхемы на дополнении Spec R \ W.
База индукции: если d=0, то в наших предположениях кольцо R артиново, спектр его дискретен, W совпадает со всем Spec R, и является главным аффинным открытым подмножеством в самом себе.
Шаг индукции: пусть p1, ..., pn -- идеалы в R, соответствующие неприводимым компонентам Spec R (попросту, минимальные простые идеалы -- ввиду теоремы о примарном разложении в нетеровом кольце, существует конечное число таковых, и каждый простой идеал в R содержит один из pi). В силу условия, что замыкание W равно Spec R, идеал I не содержится ни в одном из pi.
В силу известной леммы об идеалах, содержащихся в конечном объединении простых идеалов, отсюда следует, что найдется элемент f ∈ I, не содержащийся ни в одном из pi. Теперь факторкольцо R/(f) имеет размерность Крулля не больше d−1.
Применив утверждение леммы для d−1 к открытой подсхеме W ∩ Spec R/(f) в Spec R/(f) ⊂ R, получим набор элементов g1, ..., gd ∈ R/(f), такой что W ∩ Spec R/(f) есть объединение колец спектров R/(f)[gi−1]. Другими словами это значит, что радикал идеала, порожденного (g1, ..., gd) в R/(f), равен I/(f). Теперь если fi -- какие-то прообразы gi в R, то радикал идеала, порожденного f, f1, ..., fd в R, равен I, что и требовалось.
--
Дыра, отмеченная выше: надо показать, что главное аффинное открытое подмножество в замыкании W в Spec R, содержащееся в W, является в то же время и главным аффинным открытым подмножеством в Spec R. Пусть замыкание W равно спектру кольца S = R/(p1∩...∩pk), где p1, ..., pn -- минимальные простые идеалы в R. Пусть подмножество U открыто в W и является главным аффинным открытым в замыкании W; это значит, что U = Spec S[g−1] для некоторого g ∈ S и U не пересекается с замкнутым подмножеством, соответствующим идеалу pk+1∩...∩pn ⊂ R.
Поднимем g до элемента f ∈ R; тогда U есть пересечение Spec R[f−1] c замыканием W в Spec R и оно же есть пересечение Spec R[f−1] с открытым подмножеством W ⊂ Spec R. Таким образом, U есть открыто-замкнутое подмножество в Spec R[f−1]. Поскольку открыто-замкнутое подмножество аффинной схемы является главным аффинным и главная аффинная подсхема главной аффинной подсхемы является главной аффинной подсхемой исходной аффинной схемы, U есть главное аффинное открытое подмножество в Spec R.
Update: http://mathoverflow.net/questions/112239/radical-generation-of-ideals-in-noetherian-rings-reference-request
