![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicТеорема. Пусть X -- нетерова схема конечной размерности Крулля. Тогда контрапроизводная категория контрагерентных копучков локально кокручения на X компактно порождена.
Доказательство. Если схема X полуотделима, можно применить следствие 5.2.5 (вместе с теоремой 5.2.11) из текущей версии контрагерентного текста, согласно которым категория, о которой идет речь, эквивалентна (ко)производной категории точной категории плоских квазикогерентных пучков на X. Последняя компактно порождена согласно диссертации Мурфета, главы 4 и 7.
В общем случае, мы воспользуемся теоремой 5.15 из статьи Рукье http://arxiv.org/abs/math/0310134 , чтобы свести вопрос к случаю аффинных схем (и замкнутых подмножеств в аффинных схемах), рассмотренному в предложении 4.5 и теореме 4.10 диссертации М.
Конкретнее, для любой полуотделимой открытой подсхемы U ⊂ X имеется шестерка функторов j!, j!, j*, i!, i*, i+, построенных в предыдущем постинге. Для любых двух таких открытых подсхем и их пересечения соответствующие функторы j! и j! образуют коммутативный квадрат (это общий факт); переходя к левым сопряженным функторам, убеждаемся, что и функторы j! и j* образуют коммутативный квадрат тоже.
Выберем аффинное открытое покрытие схемы X; тогда образы вполне строгих функторов i+, связанных с вложениями в X аффинных открытых множеств покрытия, образуют набор подкатегорий Боусфилда в D(X), попарно хорошо пересекающихся в смысле статьи Рукье. Остается проверить, что пересечения таких подкатегорий являются компактно порожденными подкатегориями в факторкатегориях D(Ua) категории D(X), связанных с открытыми множествами Ua нашего покрытия.
Для этого рассмотрим полуотделимую (или даже аффинную, но в любом случае нетерову конечной размерности Крулля) схему Y с открытой подсхемой V. Следствие 5.2.5 из текущей версии контрагерентной статьи отождествляет D(Y) и D(V) с (ко)производными категориями плоских квазикогерентных пучков на Y и V (они же гомотопические категории плоских квазикогерентных пучков кокручения).
Конструкция этого отождествления и результаты раздела 3.7 (см. доказательство теоремы 4.8.1) показывают, что функтор j! трансформируется этим отождествлением в производный функтор прямого образа (определяемый в терминах комплексов плоских квазикогерентных пучков кокручения). Последний сопряжен справа к функтору обратного образа комплексов плоских квазикогерентных пучков, в которой, таким образом, наши эквивалентности категорий трансформируют функтор j*.
Остается сослаться на процитированные выше утверждения из диссертации Д.М.
Доказательство. Если схема X полуотделима, можно применить следствие 5.2.5 (вместе с теоремой 5.2.11) из текущей версии контрагерентного текста, согласно которым категория, о которой идет речь, эквивалентна (ко)производной категории точной категории плоских квазикогерентных пучков на X. Последняя компактно порождена согласно диссертации Мурфета, главы 4 и 7.
В общем случае, мы воспользуемся теоремой 5.15 из статьи Рукье http://arxiv.org/abs/math/0310134 , чтобы свести вопрос к случаю аффинных схем (и замкнутых подмножеств в аффинных схемах), рассмотренному в предложении 4.5 и теореме 4.10 диссертации М.
Конкретнее, для любой полуотделимой открытой подсхемы U ⊂ X имеется шестерка функторов j!, j!, j*, i!, i*, i+, построенных в предыдущем постинге. Для любых двух таких открытых подсхем и их пересечения соответствующие функторы j! и j! образуют коммутативный квадрат (это общий факт); переходя к левым сопряженным функторам, убеждаемся, что и функторы j! и j* образуют коммутативный квадрат тоже.
Выберем аффинное открытое покрытие схемы X; тогда образы вполне строгих функторов i+, связанных с вложениями в X аффинных открытых множеств покрытия, образуют набор подкатегорий Боусфилда в D(X), попарно хорошо пересекающихся в смысле статьи Рукье. Остается проверить, что пересечения таких подкатегорий являются компактно порожденными подкатегориями в факторкатегориях D(Ua) категории D(X), связанных с открытыми множествами Ua нашего покрытия.
Для этого рассмотрим полуотделимую (или даже аффинную, но в любом случае нетерову конечной размерности Крулля) схему Y с открытой подсхемой V. Следствие 5.2.5 из текущей версии контрагерентной статьи отождествляет D(Y) и D(V) с (ко)производными категориями плоских квазикогерентных пучков на Y и V (они же гомотопические категории плоских квазикогерентных пучков кокручения).
Конструкция этого отождествления и результаты раздела 3.7 (см. доказательство теоремы 4.8.1) показывают, что функтор j! трансформируется этим отождествлением в производный функтор прямого образа (определяемый в терминах комплексов плоских квазикогерентных пучков кокручения). Последний сопряжен справа к функтору обратного образа комплексов плоских квазикогерентных пучков, в которой, таким образом, наши эквивалентности категорий трансформируют функтор j*.
Остается сослаться на процитированные выше утверждения из диссертации Д.М.
