posic | Контрапроизводная категория контрагерентных копучков компактно порождена? (Reply)

Теорема. Cледующие два утверждения верны для нетеровой схемы X, если они верны для всех ее аффинных открытых подсхем:
1. в контрапроизводной категории контрагерентных копучков локально кокручения на X существуют произвольные бесконечные прямые суммы;
2. контрапроизводная категория контрагерентных копучков локально кокручения на X компактно порождена.

Комментарий: оба утвеждения 1-2 верны для нетеровых аффинных схем конечной размерности Крулля (см. предыдущий постинг); верны ли они для произвольных нетеровых аффинных схем, я не знаю.

Доказательство: прежде всего, контрапроизводная категория контрагерентных копучков локально кокручения на локально нетеровой схеме эквивалентна гомотопической категории комплексов проективных копучков локально кокручения.

Теперь докажем утверждение 1. Покроем схему X аффинными открытыми подсхемами U_a, занумерованными конечным упорядоченным множеством индексов a, и обозначим через S_a локально замкнутое дополнение в U_a к объединению всех U_b при b < a.

Согласно теореме классификации, произвольный проективный контрагерентный копучок локально кокручения на X разлагается в бесконечное произведение по точкам X прямых образов контрагерентных копучков локально кокручения над спектрами локальных колец точек, связанных со свободными контрамодулями над пополнениями этих локальных колец. Более того, убывающая фильтрация на таком копучке, индуцированная этим разложением в прямое произведение и связанная со стратификацией S_a схемы X, сохраняется всеми морфизмами между проективными контрагерентными копучками локально кокручения.

Наконец, между аддитивными категориями проективных контрагерентных копучков локально кокручения на локально нетеровой схеме и ее открытой подсхеме действуют фунторы прямого и обратного образа, из которых первый сопряжен слева ко второму. Поэтому функтор прямого образа на гомотопических категориях контрагерентных копучков локально кокручения сохраняет те бесконечные прямые суммы, которые в них существуют.

Теперь если имеется семейство комплексов проективных контрагерентных копучков локально кокручения на X, то прямые суммы их присоединенных факторов по фильтрации с номером a (сидящих на страте S_a) можно посчитать в категории, связанной с аффинной схемой U_a. Остается воспользоваться следующей леммой.

Лемма 1. Пусть в триангулированной категории Т имеется семейство выделенных треугольников A_i → B_i → C_i → A_i[1], и при этом существуют бесконечные прямые суммы ⊕_i A_i и ⊕_i B_i. Тогда существует также бесконечная прямая сумма ⊕_i C_i, и треугольник, образованный тремя бесконечными прямыми суммами, выделен.

Доказательство леммы 1: достроить морфизм ⊕_i A_i → ⊕_i B_i до выделенного треугольника с вершиной D, а естественные вложения морфизмов A_i → B_i в их прямую сумму -- до морфизмов выделенных треугольников (получится семейство морфизмов C_i → D). Применить к полученной диаграмме функтор Hom в произвольный объект T ∈ E, перейти к прямым произведениям по i полученных абелевых групп, и воспользоваться леммой о пяти гомоморфизмах.

Доказательство утверждения 2: нет, не получается. Может быть, получится, если потребовать, чтобы контрапроизводные категории контрагерентных пучков локально кокручения на формальных пополнениях локально замкнутых аффинных подсхем в X были компактно порождены. Но этого мы не знаем. А если не требовать этого, может быть, можно доказать, что контрпроизводная категория, связанная с X, является алеф-1 хорошо порожденной, что-то в этом роде.

Проблема -- в нарушении generalized smashing conjecture для триангулированных категорий, которой я пытался воспользоваться. Рассуждать же следует по образцу доказательства компактной порожденности производной категории квазикогерентных пучков на квазикомпактной отделимой схеме в статье А.Н. в JAMS-96.

Рассуждение было такое: пусть U -- открытая подсхема в X; предположим, что контрапроизводная категория контрагерентных копучков локально кокручения на U компактно порождена. Будем обозначать эту категорию просто через D(U), а аналогичную категорию, связанную с X -- через D(X). Замкнутое дополнение к U в X обозначим через Z.

Функтор обратного образа j^!: D(X) → D(U) в композиции с функтором прямого образа j_!: D(U) → D(X), сопряженным к нему слева, равен тождественному эндофунктору D(U), так что j^! является функтором локализации Вердье. Его ядро есть гомотопическая категория проективных контрагерентных копучков локально кокручения на X, равных нулю в ограничении на U (известных иначе как проективные контрагерентные копучки контрамодулей локально кокручения на формальном пополнении Z в X). Обозначим эту подкатегорию через D(Z,X), а функтор ее тождественного вложения через i_!: D(Z,X) → D(X).

Далее, функтор j_! имеет левый сопряженный, поскольку он сохраняет бесконечные произведения, а категория D(U) предполагается компактно порожденной; обозначим этот левый сопряженный через j*: D(X) → D(U). Теперь существование функтора j_!, сопряженного слева к j^!, влечет существование функтора i*: D(X) → D(Z,X), сопряженного слева к i_!. А существование функтора j*, сопряженного слева к j_!, влечет существование функтора i₊: D(Z,X) → D(X), сопряженного слева к i*.

Функторы j* и i₊ имеют по два правых сопряженных, т.е., они не только сохраняют бесконечные прямые суммы, но и переводят компактные объекты в компактные. Отсюда мне хотелось заключить, что категории D(X) и D(Z,X) компактно порождены одновременно (раз уж D(U) предполагается компактно порожденной). Дальше несложное рассуждение с индукцией по числу открытых аффинных подсхем, покрывающих X (сначала для случая, когда X полуотделима, потом для общего) доказывала бы искомое утверждение.

Проблема в том, что так нельзя доказать компактную порожденность D(Z,X) (см. выше про smashing conjecture), но только алеф-1 хорошую порожденность (ссылка: H.K., Localization theory for triangulated categories). А можно ли буквально так вывести компактную порожденность D(X), я не знаю (не нашел в литературе; см. однако ссылку на статью А.Н. выше).