Двойственность Серра-Гротендика/ко-контра соответствие на схемах

[posic]

На нетеровой схеме с дуализирующим комплексом, должна быть эквивалентность четырех триангулированных категорий:

- копроизводной категории квазикогерентных пучков = гомотопической категории комплексов инъективных квазикогерентных пучков
- (абсолютной) производной категории точной категории плоских квазикогерентных пучков
- (абсолютной) производной категории точной категории локально инъективных контрагерентных копучков
- контрапроизводной категории точной категории контрагерентных копучков = гомотопической категории комплексов проективных контрагерентных копучков = контрапроизводной категории контрагерентных копучков локально кокручения = гомотопической категории комплексов проективных контрагерентных копучков локально кокручения

На нетеровой формальной схеме с дуализирующим комплексом (квазикогерентных пучков кручения), должна быть эквивалентность четырех триангулированных категорий:

- копроизводной категории квазикогерентных пучков кручения = гомотопической категории комплексов инъективных квазикогерентных пучков кручения
- (абсолютной) производной категории точной категории плоских про-квазикогерентных про-пучков
- (абсолютной) производной категории точной категории локально инъективных инд-контрагерентных инд-копучков
- контрапроизводной категории точной категории контрагерентных копучков контрамодулей = контрапроизводной категории точной категории контрагерентных копучков контрамодулей локально кокручения = гомотопической категории комплексов проективных контрагерентных копучков контрамодулей локально кокручения

Эквивалентности между плоскими и инъективными штуками (четные и нечетные позиции в списках выше) должны строиться с помощью дуализирующего комплекса (а как еще?). Эквивалентности отдельно между плоскими и отдельно между инъективными штуками (позиции одной четности в списках выше) должны строиться с помощью функторов контрагерентного ("готического") Hom/контратензорного произведения из/на структурного пучка.

Comments

[roma.livejournal.com]

погоди, а почему у тебя нет противоположных категорий? (т.е. какие из эквивалентностей контра- а какие ковариантные)?

[posic.livejournal.com]

Все ковариантные.

[posic.livejournal.com]

Собственно, в случае, когда схема = спектру поля, все упоминаемые абелевы/точные категории совпадают с категорией (бесконечномерных, дискретных) векторных пространств над этим полем. Все триангулированные категории совпадают с неограниченной производной категорией векторных пространств. Ковариантные эквивалентности между ними, о которых идет речь -- ввиду этих отождествлений, тождественные отображения; а контравариантных эквивалентностей быть не может.

[roma.livejournal.com]

а какой простейший пример ковариантной эквивалентности, строящейся с помощью дуализирующего пучка?
[извиняюсь за уровень вопросов, я не пытался пока в этой науке разбираться]

[posic.livejournal.com]

Гомотопическая категория комплексов проективных модулей над нетеровым кольцом с дуализирующим комплексом эквивалентна гомотопической категории комплексов инъективных модулей над ним же.

Функторы строятся так: если есть комплекс проективных модулей, он тензорно умножается на дуализирующий комплекс и получается комплекс инъективных модулей. Если есть комплекс инъективных модулей, берется Hom в него (!) из дуализирующего комплекса и получается комплекс плоских модулей, который можно заменить на комплекс проективных (здесь используется, что проективная размерность плоского модуля конечна).