Вялые пучки и дистрибутивные наборы

[posic]

Пусть X -- топологическое пространство, покрытое конечным набором своих открытых подмножеств U₁, ..., U_n. Предположим для простоты, что подмножества эти находятся в общем положении, т.е. для любого поднабора U_i найдется точка из X, содержащаяся в подмножествах из этого поднабора и не содержащаяся в остальных.

Пусть F -- пучок абелевых групп на X. Рассмотрим две полные подкатегории в категории открытых подмножеств X (и тождественных вложений): подкатегория C будет состоять из всех пересечений непустых поднаборов U_i, а подкатегория D -- из всех открытых подмножеств, которые можно получить из U_i объединениями и пересечениями. Заметим, что всякий контравариантный функтор C → Ab однозначно продолжается до контравариантного функтора D → Ab, удовлетворяющего аксиоме пучка для покрытий открытых множеств из D открытыми множествами из D.

Будем говорить, что пучок F вял (в ограничении) на D, если для все отображения ограничения между группами сечений F над открытыми подмножествами X, входящими в D, сюръективны. Утверждается, что пучок F вял на D тогда и только тогда, когда

- отображение F(X) → F(U_i1∩...∩U_ik) сюръективно для всех i₁ < ... < i_k;
- ядро этого отображения, как подгруппа в F(X), равно сумме ядер отображений F(X) → F(U_is) по всем s от 1 до k;
- набор из n подгрупп -- ядер отображений F(X) → F(U_i) -- порождает дистрибутивную решетку подгрупп группы F(X).

Полного доказательства у меня в данный момент нет, но очень похоже на правду. Такой элементарный пример утверждения в знакомом русле "простое условие (типа сюръективности), примененное к большому множеству объектов, замкнутому относительно операций, эквивалентно сложному условию (типа кошулевости), примененному к набору образующих этого большого множества объектов".

Ср. Quadratic Algebras, Lemma 4.5 from Chapter 3.