Контрагерентные копучки - 2
May. 20th, 2012 05:09 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПродолжение http://posic.livejournal.com/786051.html?mode=reply
II.4. Cohom из квазикогерентного пучка в контрагерентный копучок
Пусть X -- схема над аффинной схемой Spec R, пусть M --
квазикогерентный пучок на X, и пусть J -- инъективный R-модуль.
Тогда правило U\mpsto Hom_R(M(U),J) для аффинных открытых
подсхем U \sub Х определяет контрагерентный копучок на X.
Поскольку O(U)-модуль Hom_R(M(U),J) является модулем кокручения
согласно лемме I.3.2б), построенный копучок является
контрагерентным копучком локально кокручения. Мы будем обозначать
этот копучок через Hom_R(M,J).
Будем называть квазикогерентный пучок F над схемой Х очень плоским,
если O_X(U)-модуль F(U) очень плоский для любой аффинной открытой
подсхемы U \sub X. Согласно лемме I.1.6а), очень плоскость
квазикогерентного пучка на схеме является локальным свойством.
Согласно лемме I.1.3б), обратный образ очень плоского
квазикогерентного пучка при любом морфизме схем является очень
плоским пучком. Согласно лемме I.1.4б), прямой образ очень
плоского квазикогерентного пучка при очень плоском аффинном
морфизме является очень плоским пучком.
Более общим образом, если f: Y \to X -- морфизм схем, то
квазикогерентный пучок F над схемой Y называется очень плоским над
X, если для любых открытых аффинных подсхем U \sub X и V \sub Y,
таких что f(V) \sub U, модуль F(V) очень плоский над кольцом
O_X(U). Согласно лемме I.1.6а) и модульному аналогу леммы I.1.7б),
свойство очень плоскости F над X локально как по X, так и по Y.
Согласно лемме I.1.4б), если схема Y очень плоская над схемой X и
F -- очень плоский квазикогерентный пучок на Y, то F является также
очень плоским над X.
Если схема X плоская над аффинной схемой Spec R и квазикогерентный
пучок F над X очень плоский, то для любого контраприспособленного
R-модуля P правило U\mpsto Hom_R(F(U),P) для аффинных открытых
подсхем U \sub X определяет контрагерентный копучок на X. При этом
контраприспособленность O(U)-модулей Hom_R(F(U),P) следует из
леммы I.1.4в). Мы будем обозначать этот копучок через Hom_R(F,P).
Аналогично, если схема X плоская над Spec R и квазикогерентный
пучок F на X плоский (или, более общо, квазикогерентный пучок F
на X плоский над Spec R), то для любого R-модуля кручения P правило
U\mpsto Hom_R(F(U),P) для аффинных открытых подсхем U \sub X
определяет контрагерентный копучок над X; при этом O(U)-модули
Hom_R(F(U),P) являются модулями кокручения по лемме I.3.2а),
так что построенный копучок Hom_R(F,P) является контрагерентным
копучком локально кокручения на X.
Пусть F -- очень плоский квазикогерентный пучок на схеме X,
и пусть P -- контрагерентный копучок на X. Контрагерентный копучок
Cohom_X(F,P) определяется правилом U \mpsto Hom_{O(U)}(F(U),P(U))
для всех аффинных открытых подсхем U \sub X. Для любых двух
вложенных аффинных открытых подсхем V \sub U \sub X имеем
Hom_{O(V)}(F(V),P(V)) = Hom_{O(V)}(F(V),Hom_{O(U)}(O(V),P(U))) =
Hom_{O(U)}(F(V),P(U)) = Hom_{O(U)}(F(U)\otimes_{O(U)}O(V), P(U)) =
Hom_{O(U)}(O(V), Hom_{O(U)}(F(U),P(U))), так что условие
контрагерентности выполнено; а контраприспособленность следует
из леммы I.1.2б).
Аналогично, если F -- плоский квазикогерентный пучок на X, а P --
контрагерентный копучок локально кокручения на X, то
контрагерентный копучок Cohom_X(F,P) на X определяется тем же
правилом U \mpsto Hom_{O(U)}(F(U),P(U)) для всех аффинных открытых
подсхем U \sub X. Согласно лемме I.3.1а), копучок Cohom_X(F,P)
является контрагерентным копучком локально кокручения на X.
Наконец, если M -- квазикогерентный пучок на X, а J -- локально
инъективный контрагерентный копучок на X, то контрагерентный
копучок Cohom_X(M,J) определяется тем же правилом, что выше.
Условие контрагерентности проверяется так же, как раньше; и
согласно лемме I.3.1б), копучок Cohom_X(M,J) является
контрагерентным копучком локально кокручения на X.
Если F -- плоский квазикогерентный пучок на X, а J -- локально
инъективный контрагерентный копучок на X, то контрагерентный
копучок Cohom_X(F,J) локально инъективен.
II.5. Контрагерентные копучки fHom между квазикогерентными пучками
Квазикогерентный пучок P на схеме X называется
квазикогерентным пучком кокручения, если Ext_X^1(F,P) = 0 для
любого плоского квазикогерентного пучка F на X (где Ext_X
обозначает Ext в абелевой категории квазикогерентных пучков на X).
Квазикогерентный пучок P на X называется контраприспособленным,
если Ext_X^1(F,P) = 0 для любого очень плоского квазикогерентного
пучка F на X. Очевидно, упомянутые классы квазикогерентных
пучков на X замкнуты относительно расширений, так что они образуют
точные подкатегории в абелевой категории квазикогерентных пучков.
Кроме того, эти точные подкатегории замкнуты относительно перехода
к прямым слагаемым объектов.
Для любого аффинного морфизма f: Y \to X, любого плоского
квазикогерентного пучка F на X, и любого квазикогерентного пучка P
на Y имеется естественный изоморфизм Ext_X^1(f^*F, P) =
Ext_X^1(F, f_*P). Поэтому классы квазикогерентных пучков
кокручения и контраприспособленных квазикогерентных пучков
сохраняются прямыми образами при аффинных морфизмах.
Пусть F -- квазикогерентный пучок на схеме X, и пусть
(некоммутативное) кольцо R действует на F справа (как на объекте
абелевой категории квазикогерентных пучков) эндоморфизмами.
Пусть M -- левый R-модуль. Определим контравариантный функтор
F\otimes_R M из категории аффинных открытых подсхем U \sub X
(с тождественными вложениями в качестве морфизмов) в категорию
абелевых групп правилом (F\otimes_R M)(U) = F(U)\otimes_R M.
Естественные структуры O_X(U)-модулей над (F\otimes_R M)(U)
согласованы с отображениями ограничения (F\otimes_R M)(U) \to
(F\otimes_R M)(V) для аффинных открытых подсхем V \sub U \sub X,
и условие квазикогерентности (F\otimes_R M)(V) = O_X(V)\ot_{O_X(U)}
(F\otimes_R M)(U), так что функтор F\otimes_R M однозначно
продолжается до квазикогерентного пучка на X, который мы будем
обозначать тоже через F\otimes_R M.
Пусть P -- квазикогерентный пучок на X; тогда абелева группа
Hom_X(F,P) имеет естественную структуру левого R-модуля. Нетрудно
построить естественный изоморфизм абелевых групп
Hom_X(F\otimes_R M, P) = Hom_R(M, Hom_X(F,P)).
Предположим, что Ext_X^i(F,P) = 0 при i > 0, а M -- плоский левый
R-модуль. Покажем, что в этом случае существует изоморфизм
абелевых групп Ext_X^i(F\otimes_R M, P) = Ext^i_R(M, Hom_X(F,P))
для всех i > 0. Такой же изоморфизм имеет место, если правые
R-модули F(U) плоские для всех аффинных открытых подсхем U \sub X,
а M -- произвольный левый R-модуль.
В самом деле, заменим модуль M его проективной левой резольвентой
L_i. Тогда остается заметить, что Ext_X^j(F\otimes_R L_i, P) = 0
для всех j > 0 и всех i, а комплекс квазикогерентных пучков
F\otimes_R L_i является левой резольвентой пучка F\otimes_R M,
так что комплекс абелевых групп Hom_X(F\otimes_R L_i, P) вычисляет
Ext_X^i(F\otimes_R M, P).
Пусть F -- квазикогерентный пучок на схеме X с правым действием
кольца R, и пусть f: Y \to X -- морфизм схем. Тогда f^*F --
квазикогерентный пучок на Y с правым действием R, и если M --
левый R-модуль, то имеется естественный изоморфизм квазикогерентных
пучков f^*(F\otimes_R M) = f^*F \otimes_R M на Y. Аналогично, если
F -- квазикогерентный пучок на Y с правым действием R и f --
квазикомпактный квазиотделимый морфизм, то f_*F -- квазикогерентный
пучок на X с правым действием R; и если M -- левый R-модуль, то
имеется естественный морфизм квазикогерентных пучков
f_*F \otimes_R M \to f_*(F\otimes_R M) на X. Если f -- аффинный
морфизм, то это изоморфизм квазикогерентных пучков на X.
Пусть F -- плоский квазикогерентный пучок на полуотделимой схеме X,
и пусть P -- квазикогерентный пучок кокручения на X. Определим
контрагерентный копучок локально кокручения fHom_X(F,P) на X
правилом U \mpsto Hom_X(j_*j^*F, P) для любой аффинной открытой
подсхемы U \sub X, где j: U \to X обозначает тождественное открытое
вложение. Очевидно, что это правило определяет ковариантный
функтор на категории аффинных открытых подсхем X с O_X-модульной
структурой. Модуль Hom_X(j_*j^*F, P) над кольцом O_X(U) является
модулем кокручения, поскольку Ext^i_{O_X(U)}(M, Hom_X(j_*j^*F,P))
= Ext^i_X((j_*j^*F)\otimes_{O_X(U)}M, P) =
Ext^i_X(j_*(j^*F \otimes_{O_X(U)} M), P) = 0 при i = 1 для любого
плоского O_X(U)-модуля M, поскольку пучок
j_*(j^*F \otimes_{O_X(U)} M) плоский на X. Наконец, для любой пары
вложенных открытых аффинных подсхем V \sub U \sub X имеем
Hom_{O_X(U)}(O_X(V), Hom_X(j_*j^*F,P)) =
Hom_X(j_*(j^*F \otimes_{O_X(U)} O_X(V)), P) =
Hom_X(k_*k^*F, P), где j: U \to X и k: V \to X -- открытые вложения.
Аналогичным образом определяется контрагерентный копучок
fHom_X(F,P) для любого очень плоского квазикогерентного пучка F
и любого контраприспособленного квазикогерентного пучка P на
полуотделимой схеме X. Наконец, и контрагерентный копучок локально
кокручения fHom_X(M,J) для любого квазикогерентного пучка M и
любого инъективного квазикогерентного пучка J на полуотделимой
схеме X определяется тем же правилом. Если F -- плоский
квазикогерентный пучок, а J -- инъективный квазикогерентный пучок
на X, то контрагерентный копучок fHom_X(F,J) локально инъективен.
Для любого аффинного морфизма f: Y \to X и любых квазикогерентных
пучков M на X и K на Y имеется естественный изоморфизм
квазикогерентных пучков f_*(f^*M\otimes_{O_Y} K) =
M \otimes_{O_X} f_*K на Y (формула проекции). В частности, для
любого аффинного открытого вложения j: U \to X и любых
квазикогерентных пучков M и K на X имеется естественный изоморфизм
j_*j^*(M\otimes_{O_X} K) = M\otimes_{O_X} j_*j^*K на X. Для любого
вложения аффинной открытой подсхемы U \to X в полуотделимую схему X
и любых квазикогерентных пучков K и M на X имеется естественный
изоморфизм квазикогерентных пучков j_*j^*(K\otimes_{O_X} M) =
j_*j^*K \otimes_{O_X(U)} M(U).
Из первого из вышеприведенных изоморфизмов следует, что для любых
плоских квазикогерентных пучков M и K на полуотделимой схеме X и
любого квазикогерентного пучка кокручения P на X имеется
естественный изоморфизм контрагерентных копучков локально
кокручения fHom_X(M\otimes K, P) = fHom_X(K, Hom_{X-qc}(M,P)),
где Hom_{X-qc} обозначает внутренний Hom в тензорной категории
квазикогерентных пучков на X. Отметим, что квазикогерентный пучок
Hom_{X-qc}(M,P) является пучком кокручения для любого
квазикогерентного пучка кокручения P и плоского квазикогерентного
пучка M на X.
Для любых очень плоских квазикогерентных пучков M и K на X
и любого контраприспособленного квазикогерентного пучка P на X
имеется естественный изоморфизм контрагерентных копучков
fHom_X(M\otimes K, P) = fHom_X(K, Hom_{X-qc}(M,P)) на X. Отметим,
что квазикогерентный пучок Hom_{X-qc}(M,P) контраприспособлен для
любого очень плоского квазикогерентного пучка M и любого
контраприспособленного квазикогерентного пучка P на X.
Наконец, для любого плоского квазикогерентного пучка F,
квазикогерентного пучка M и инъективного квазикогерентного пучка J
на X имеются естественные изоморфизмы контрагерентных копучков
локально кокручения fHom_X(M\otimes F, J) =
fHom_X(M, Hom_{X-qc}(F,J)) = fHom_X(F, Hom_{X-qc}(M,J)) на X.
Отметим, что квазикогерентный пучок Hom_{X-qc}(F,J) инъективен,
а квазикогерентный пучок Hom_{X-qc}(M,J) является квазикогерентным
пучком кокручения в наших предположениях.
Из второго из приведенных извоморфизмов квазикогерентных пучков
следует, что для любых плоских квазикогерентных пучков M и K на
полуотделимой схеме X и любого квазикогерентного пучка кокручения P
на X имеется естественный изоморфизм квазикогерентных копучков
локально кокручения fHom_X(K\otimes M, P) = Cohom_X(M, fHom_X(K,P)).
Для любых очень плоских квазикогерентных пучков M и K на X
и любого контраприспособленного квазикогерентного пучка P на X
имеется естественный изоморфизм контрагерентных копучков
fHom_X(K\otimes M, P) = Cohom_X(M, fHom_X(K,P)).
Наконец, для любого плоского квазикогерентного пучка F,
квазикогерентного пучка K и инъективного квазикогерентного пучка J
на X имеются естественные изоморфизмы контрагерентных копучков
локально локально кокручения fHom_X(K\otimes F, J) =
Cohom_X(K, fHom_X(F,J)) = Cohom_X(F, fHom_X(K,J)) на X.
II.6. Контратензорное произведение пучков и копучков
Пусть X -- полуотделимая схема с фиксированной базой
аффинных открытых подсхем B. Пусть M -- квазикогерентный пучок
на X и P -- произвольный копучок O_X-модулей.
Контратензорное произведение M\ocn_X P (посчитанное по базе B) --
это квазикогерентный пучок на X, определяемый как (не направленный)
прямой предел следующей диаграммы квазикогерентных пучков,
открытыми подмножествами из B. Каждой аффинной открытой подсхеме
U \in B с отображением тождественного вложения j: U \to X
соответствует квазикогерентный пучок j_*(j^*M\otimes_{O_X(U)} P(U))
на X. Каждой паре вложенных открытых аффинных подсхем
V \sub U, V, U \in B, с отображениями вложений j: U \to X и
k: V \to U соответствует морфизм квазикогерентных пучков
j_*k_*(k^*j^*M\otimes_{O_X(V)} P(V)) \to
j_*(j^*M\otimes_{O_X(U)} P(U))
определяемый в терминах морфизма O_X(U)-модулей P(V) \to P(U)
и естественного изоморфизма k_*(k^*j^*M\otimes_{O_X(V)} P(V))
= j^*M\otimes_{O_X(U)} P(V), имеющего место, поскольку структура
O_X(U)-модуля на P(V) происходит из структуры O_X(V)-модуля.
Для любых двух квазикогерентных пучков M и J и копучка O_X-модулей
P на X, таких что контрагерентный копучок fHom_X(M,J) определен,
имеется естественный изоморфизм между группой гомоморфизмов
квазикогерентных пучков Hom_X(M\ocn_X P, J) и группой гомоморфизмов
копучков O_X-модулей Hom^X(P,fHom_X(M,J)). Другими словами,
функтор M\ocn_X - сопряжен слева к функтору fHom_X(L,-) "там,
где последний определен".
В самом деле, обе группы гомоморфизмов состоят из согласованных
наборов морфизмов квазикогерентных пучков
j_*(j^*M\otimes_{O_X(U)} P(U)) = j_*j^*M \otimes_{O_X(U) P(U)
\to J на X или, что то же самое, согласованных наборов морфизмов
O_X(U)-модулей P(U) \to Hom_X(j_*j^*M,J), заданных для всех
вложений U \to X аффинных открытых подсхем, принадлежащих B.
В частности, указанный изоморфизм сопряжения имеет место для любого
квазикогерентного пучка M, копучка O_X-модулей P и инъективного
квазикогерентного пучка J. Поскольку инъективных квазикогерентных
пучков достаточно много, из этого следует, в частности, что
квазикогерентный пучок M\ocn_X P не зависит от выбора базы аффинных
открытых подсхем B в X, по которой он вычисляется.
Из изоморфизма j_*j^*(M\otimes K) = M \otimes j_*j^*K для вложения
аффинной открытой подсхемы j: U \to X и квазикогерентных пучков
M и K на X следует изоморфизм квазикогерентных пучков
M \otimes (K\ocn_X P) = (M\otimes K) \ocn_X P
для любых квазикогерентных пучков M, K и копучка O_X-модулей P
на полуотделимой схеме X.
III. Локально контрагерентные копучки над схемой
III.1. Контрагерентные и локально контрагерентные копучки
Пусть X -- схема и W \sub X -- ее открытая подсхема. Для
любого копучка O_X-модулей F на X, копучок O_W-модулей F|_W на W
определяется правилом (F|_W)(U) = F(U) для всех открытых
подмножеств U \sub W. Для контрагерентного копучка F на X имеем
F|_W = j^!F, где j: W \to X обозначает тождественное вложение.
Копучок O_X-модулей F на схеме X называется локально
контрагерентным, если у любой точки x \in X найдется открытая
окрестность x\in W \sub X, такая что копучок O_W-модулей F|_W
контрагерентен на W. Если \W = {W} -- открытое покрытие схемы X,
то копучок O_X-модулей F называется \W-локально контрагерентным,
если для любо открытой подсхемы W \sub X, принадлежащей \W,
копучок O_W-модулей F|_W контрагерентен на W. Очевидно, копучок
O_X-модулей F локально контрагерентен тогда и только тогда,
когда существует открытое покрытие \W схемы X, для которого F
является \W-локально контрагерентным.
Будем называть открытую подсхему схемы X подчиненной (subordinate)
покрытию \W, если она содержится в одном из открытых подмножеств X,
входящих в покрытие \W.
Теорема. Пусть \W -- открытое покрытие схемы X. Тогда ограничение
копучков O_X-модулей на базу открытых подмножеств X, состоящую из
всех аффинных открытых подсхем, подчиненных покрытию \W, индуцирует
эквивалентность между категорией \W-локально контрагерентных
копучков на X и категорией ковариантных функторов G из категории
аффинных открытых подсхем X, подчиненных покрытию \W, в категорию
абелевых групп, снабженных структурой O_X-модулей таким образом,
что для любой аффинной открытой подсхемы U\sub X, подчиненной \W,
модуль G(U) над кольцом O_X(U) контраприспособлен и для любой пары
вложенных аффинных открытых подсхем V\sub U, подчиненных \W,
морфизм O_X(V)-модулей G(V) \to Hom_{O(U)}(O(V),G(U)),
индуцированный морфизмом O_X(U)-модулей G(V)\to G(U),
является изоморфизмом.
Доказательство: см. доказательство теоремы II.2.
Короткая последовательность \W-локально контрагерентных копучков
F \to G \to H на X называется точной, если последовательность
модулей косечений 0 \to F(U) \to G(U) \to H(U) \to 0 точна для всех
аффинных открытых подсхем U\sub X, подчиненных \W. Категория
\W-локально контрагерентных копучков на X (т.е., полная
подкатегория в категории копучков O_X-модулей, состоящая из
\W-локально контрагерентных копучков), снабженная этим классом
точных троек, является точной категорией с точными функторами
бесконечных произведений. Переходя к прямому пределу по
измельчающимся покрытиям \W, мы получаем точную категорию локально
контрагерентных копучков на X.
Отметим, что короткая последовательность \W-локально
контрагерентных копучков на X точна как последовательность
локально контрагерентных копучков тогда и только тогда, когда
она точна как последовательность \W-локально контрагерентных
копучков. То же самое верно применительно с допустимым
эпиморфизмам \W-локально контрагерентных копучков (см. лемму I.2),
но не применительно к допустимым мономорфизмам (см.
http://posic.livejournal.com/800532.html ). При этом морфизм
\W-локально контрагерентных копучков на X является допустимым
мономорфизмом тогда и только тогда, когда он действует инъективно
на модулях косечений над всеми аффинными открытыми подсхемами X,
содержащимися в каком-либо из открытых подмножеств покрытия \W.
Перефразируя сказанное выше, точная подкатегория \W-локально
контрагерентных копучков замкнута относительно взятия ядер
допустимых эпиморфизмов в точной категории всех локально
контрагерентных копучков, но не относительно взятия коядер
допустимых мономорфизмов. В оставшейся части этого раздела
мы покажем, что эта точная подкатегория замкнута также
относительно расширений.
Пусть X -- полуотделимая схема, \W -- ее открытое покрытие, и
{U_\alpha} -- аффинное открытое покрытие X, подчиненное \W
(т.е., состоящее из аффинных открытых подсхем X, подчиненных \W).
Пусть F -- \W-локально контрагерентный копучок на X. Рассмотрим
гомологический комплекс Чеха C_*({U_\alpha},F) вида
... \to \bigoplus_{\alpha<\beta} F(U_\alpha \cap U_\beta) \to
\bigoplus_\alpha F(U_\alpha).
В частности, по определению, имеем \Delta(X,F) =
H_0C_*({U_\alpha},F), где \Delta(X,-) обозначает функтор глобальных
сосечений (локально контрагерентных) копучков на X.
Лемма. Пусть X -- аффинная схема с открытым подкрытием \W и
подчиненным ему конечным аффинным открытым покрытием {U_\alpha}.
Тогда \W-локально контрагерентный копучок F на X является
(глобально) контрагерентным в том и только том случае, когда
H_iC_*({U_\alpha},F) = 0 при всех i > 0.
Доказательство. Часть "только тогда" доставляется леммой I.1.6б).
Докажем "тогда". Если комплекс Чеха С_*({U_\alpha},F) не имеет
высших гомологий, то он представляет собой конечную левую
резольвенту O(X)-модуля F(X), составленную из контраприспособленных
O(X)-модулей. O(X)-модуль F(X) тоже контраприспособлен, поскольку
класс контраприспособленных модулей замкнут относительно перехода
к фактормодулям. Для каждой аффинной открытой подсхемы Y\sub X,
рассмотрим комплекс Чеха C_*({U_\alpha\cap Y},F_|Y), связанный
с ограничениями нашего копучка и нашего покрытия на аффинную
открытую подсхему U \sub X. Комплекс C_*({U_\alpha\cap Y},F_|Y)
получается из комплекса С_*({U_\alpha},F) применением функтора
Hom_{O(X)}(O(Y),-). Имеем H_0C_*({U_\alpha},F) = F(X),
H_0C_*({U_\alpha\cap Y},F_|Y) = F(Y), и функтор Hom_{O(X)}(O(Y),-)
сохраняет точность троек контраприспособленных O(X)-модулей,
откуда F(Y) = Hom_{O(X)}(O(Y),F(X)). Оба условия
контраприспособленности и контрагерентности для копучка F
на схеме X проверены.
Следствие 1. Если \W-локально контрагерентный копучок G на
аффинной схеме X является расширением двух контрагерентных копучков
H и F, то G тоже контрагерентный копучок на X.
Доказательство: выберем конечное аффинное покрытие {U_\alpha}
схемы X, подчиненное покрытию \W. Тогда комплекс абелевых групп
С_*({U_\alpha},G) является расширением комплексов абелевых групп
С_*({U_\alpha},H) и С_*({U_\alpha},F); так что если последние два
комплекса не имеют высших гомологий, то их не имеет и первый
комплекс.
Следствие 2. Для любой схемы X и любого ее открытого покрытия \W,
полная точная подкатегория \W-локально контрагерентных копучков
на X замкнута относительно расширений в точной категории всех
локально контрагерентных копучков на X. В частности, полная точная
подкатегория контрагерентных копучков на X замкнута относительно
расширений в точной категории локально контрагерентных
(или \W-локально контрагерентных) копучков на X.
Доказательство: легко выводится из следствия 1.
III.2. Прямые и обратные образы локально контрагерентных копучков
Пусть \W и \T -- открытые покрытия схем X и Y,
соответственно. Назовем морфизм схем f: Y \to X (\W,\T)-аффинным,
если для любой аффинной открытой подсхемы U \sub X, подчиненной \W,
открытая подсхема f^{-1}(U) \sub Y аффинна и подчинена \T.
Отметим, что всякий (\W,\T)-аффинный морфизм f: Y \to X является
аффинным, но обратное неверно.
Пусть f: Y \to X -- (\W,\T)-аффинный морфизм схем, и пусть G --
\T-локально контрагерентный копучок на Y. Тогда копучок
O_X-модулей f_!G на X является \W-локально контрагерентным.
Доказательство этого утверждения аналогично доказательству его
глобальной версии в разделе II.3.
Назовем морфизм схем f: Y \to X (\W,\T)-коаффинным, если для любой
аффинной открытой подсхемы V \sub Y, подчиненной \T, найдется
аффинная открытая подсхема U \sub X, подчиненная \W и такая что
f(V) \sub U, и для любых двух таких открытых подсхем
f(V) \sub U', U'' \sub X найдется аффинная открытая подсхема
U \sub X, такая что f(V) \sub U \sub U', U''. Отметим, что для
любого фиксированного открытого покрытия \W полуотделимой схемы X
и любого морфизма схем f: Y \to X покрытие \T схемы Y, состоящее
из всех полных прообразов аффинных открытых подсхем U \sub X,
подчиненных \W, при морфизме f, обладает тем свойством, что морфизм
f: Y \to X (\W,\T)-коаффинный. Если морфизм f аффинный, то он
является также (\W,\T)-аффинным по отношению к построенному таким
образом покрытию \T.
Пусть f: Y \to X -- очень плоский (\W,\T)-коаффинный морфизм, и
пусть F -- \W-локально контрагерентный копучок на X. Определим
\T-локально контрагерентный копучок f^!F на Y следующим образом.
Пусть V \sub Y -- аффинная открытая подсхема, подчиненная \T.
Выберем открытую аффинную подсхему U \sub X, подчиненную \W
и такую что f(V) \sub U, и положим (f^!F)(V) =
Hom_{O_X(U)}(O_Y(V),F(U)). Условия контраприспособленности и
локальной контрагерентности проверяются так же, как в разделе II.3.
Пусть X -- схема и \W -- ее открытое покрытие. \W-локально
контрагерентный копучок P на X называется локально контрагерентным
копучком локально кокручения, если для любой аффинной открытой
подсхемы U\sub X, подчиненной \W, модуль P(U) над кольцом O_X(U)
является модулем кокручения. Эквивалентным образом, локально
контрагерентный копучок P на X является локально контрагерентным
копучком локально кокручения тогда и только тогда, когда для
любого открытого подмножества U \sub X, такого что копучок P|_U
контрагерентен на U, модуль P(U) над кольцом O_X(U) является
модулем кокручения.
\W-локально контрагерентный копучок J на X называется локально
инъективным, если для любой аффинной открытой подсхемы U\sub X,
подчиненной \W, модуль J(U) над кольцом O_X(U) инъективен.
Эквивалентным образом, локально контрагерентный копучок J на X
локально инъективен тогда и только тогда, когда для любого
открытого подмножества U \sub X, такого что копучок J|_U
контрагерентен на U, модуль J(U) над кольцом O_X(U) инъективен.
Пусть f: Y \to X -- плоский (\W,\T)-коаффинный морфизм схем, и
пусть P -- \W-локально контрагерентный копучок локально кокручения
на X. Такое же правило, как выписано выше, определяет \T-локально
контрагерентный копучок локально кокручения f^!P на Y.
Для любого (\W,\T)-коаффинного морфизма схем f: Y \to X и локально
инъективного \W-локально контрагерентного копучка J на X то же
самое правило определяет локально инъективный \T-локально
контрагерентный копучок f^!J на Y.
Если f: Y \to X -- (\W,\T)-аффинный морфизм и G -- \T-локально
контрагерентный копучок локально кокручения на Y, то f_!G --
\W-локально контрагерентный копучок локально кокручения на X.
Если f -- плоский (\W,\T)-аффинный морфизм и G -- локально
инъективный \T-локально контрагерентный копучок на Y, то f_!G --
локально инъективный \W-локально контрагерентный копучок на X.
Пусть f: Y \to X -- (\W,\T)-аффинный (\W,\T)-коаффинный морфизм.
Тогда если G -- \T-локально контрагерентный копучок на Y, а F --
локально инъективный \W-локально контрагерентный копучок на X,
то имеется изоморфизм сопряжения Hom^X(f_!G, F) = Hom^Y(G, f^!F),
где Hom^X и Hom^Y обозначают абелевы группы морфизмов в категориях
локально контрагерентных копучков на X и на Y, соответственно.
Если морфизм f, кроме того, плоский то такой же изоморфизм
сопряжения имеет место для всех \T-локально контрагеренных копучков
G на Y и \W-локально контрагерентных копучков локально кокручения
F на X; в частности, f_! и f^! образуют пару сопряженных функторов
между точными категориями \W- и \T-локально контрагерентных
копучков локально кокручения на X и на Y. Если морфизм f очень
плоский, то функтор f^!, действующий между точными категориями
\W- и \T-локально контрагерентных копучков на X и Y, сопряжен
справа к функтору f^!, действующему между теми же двумя точными
категориями.
Во всех перечисленных случаях, обе абелевы группы Hom^X(f_!G, F)
и Hom^Y(G, f^!F) отождествляются с группой, элементами которой
являются все согласованные наборы гомоморфизмов O_X(U)-модулей
G(V) \to F(U), определенных для всех аффинных открытых подсхем
U \sub X и V \sub Y, подчиненных соответственно \W и \T, таких
что f(V) \sub U.
Все функторы, построенные выше в этом разделе, являются точными
функторами между теми точными категориями локально контрагерентных
копучков, между которыми они действуют.
В частности, если \W -- открытое покрытие полуотделимой схемы Х,
j: U \to X -- аффинное открытое вложение, подчиненное \W (т.е., U
содержится в одном из открытых подмножеств покрытия \W) и схема U
снабжена покрытием \T, состоящим из единственного открытого
подмножества U в U, то морфизм j являтся (\W,\T)-аффинным и
(\W,\T)-коаффинным, а также очень плоским. Поэтому j^! и j_!
образуют пару сопряженных точных функторов между точными
категориями \W-локально контрагерентных копучков на X и
контрагерентных копучков на U. При этом образ функтора j_!
содержится в точной подкатегории (глобально) контрагерентных
копучков на X.
Пусть теперь \W -- открытое покрытие квазикомпактной полуотделимой
схемы X, и пусть {U_i} -- конечное аффинное покрытие X, подчиненное
\W. Обозначим через j_{i_1,..,i_s} открытое вложение пересечения
U_{i_1}\cap ... \cap U_{i_s} в X. Тогда для любого \W-локально
контрагерентного копучка F на X последовательность Чеха 0 \to
j_{1,...,n}_! j_{1,...,n}^! F \to ... \to \bigoplus_{i_1 < i_2}
j_{i_1,i_2}_! j_{i_1,i_2}^! F \to \bigoplus_i j_{i,!} j_i^! F
\to F \to 0 точна в точной категории \W-локально контрагерентных
копучков на X, как следует из леммы I.1.6б). Мы построили конечную
левую резольвенту \W-локально контрагерентного копучка F, состоящую
из контрагерентных копучков.
III.3. Cohom в локально контрагерентный копучок
Пусть \W -- открытое покрытие схемы X. Пусть F -- очень
плоский квазикогерентный пучок на X, и пусть P -- \W-локально
контрагерентный копучок на X. \W-локально контрагерентный копучок
Cohom_X(F,P) на X определяется правилом
U \mpsto Hom_{O(U)}(F(U),P(U)) для всех аффинных открытых подсхем
U \sub X, подчиненных \W. Условия контраприспособленности и
локальной контрагерентности проверяются так же, как в разделе II.4.
Аналогично, если F -- плоский квазикогерентный копучок на X, а P
-- \W-локально контрагерентный копучок локально кокручения, то
\W-локально контрагерентный копучок локально кокручения
Cohom_X(F,P) на X определяется тем же правилом
U \mpsto Hom_{O(U)}(F(U),P(U)) для всех аффинных открытых подсхем
U \sub X, подчиненных \W.
Наконец, если M -- квазикогерентный пучок на X, а J -- локально
инъективный \W-локально контрагерентный копучок на X, то
\W-локально контрагерентный копучок локально кокручения
Cohom_X(M,J) определяется тем же правилом, что и выше. Если F --
плоский квазикогерентный пучок, а J -- \W-локально контрагерентный
копучок локально кокручения на X, то \W-локально контрагерентный
копучок Cohom_X(F,J) локально инъективен.
Еще более общее определение Cohom в производно локально
контрагерируемый копучок O_X-модулей (см. определение
в разделе IV.4) будет рассматриваться в разделе V.3.
III.4. Согласованность прямых и обратных образов
с тензорными операциями
Пусть \W и \T -- открытые покрытия схем X и Y, и пусть
f: Y \to X -- (\W,\T)-коаффинный морфизм. Пусть F -- плоский
квазикогерентный пучок, а J -- локально инъективный \W-локально
контрагерентный копучок на X. Тогда имеется естественный
изоморфизм локально инъективный \T-локально контрагерентных
копучков f^!Cohom_X(F,J) = Cohom_Y(f^*F,f^!J) на Y.
Предположим дополнительно, что f -- плоский морфизм. Пусть M --
квазикогерентный пучок, а J -- локально инъективный \W-локально
контрагерентный копучок на X. Тогда имеется естественный
изоморфизм \T-локально контрагерентных копучков локально
кокручения f^!Cohom_X(M,J) = Cohom_Y(f^*M,f^!J) на Y. Аналогично,
если F -- плоский квазикогерентный пучок, а P -- \W-локально
контрагерентный копучок локально кокручения на X, то имеется
естественный изоморфизм \T-локально контрагерентных копучков
локально кокручения f^!Cohom_X(F,P) = Cohom_Y(f^*F,f^!P) на Y.
Предположим, более того, что f -- очень плоский морфизм. Пусть F
-- очень плоский квазикогерентный пучок, а P -- \W-локально
контрагерентный копучок на X. Тогда имеется естественный
изоморфизм \T-локально контрагерентных копучков f^!Cohom_X(F,P) =
Cohom_Y(f^*F,f^!P) на Y.
Пусть f: Y \to X -- (\W,\T)-аффинный (\W,\T)-коаффинный морфизм.
Пусть N -- квазикогерентный пучок на Y, а J -- локально инъективный
\W-локально контрагерентный копучок на X. Тогда имеется
естественный изоморфизм \W-локально контрагерентных копучков
локально кокручения Cohom_X(f_*N,J) = f_!Cohom_Y(N,f^!J).
Предположим дополнительно, что f -- плоский морфизм. Пусть G --
плоский квазикогерентный пучок на Y, а P -- \W-локально
контрагерентный копучок локально кокручения на X. Тогда имеется
естественный изоморфизм \W-локально контрагерентных копучков
локально кокручения Cohom_X(f_*G,P) = f_!Cohom_Y(G,f^!P).
Предположим, более того, что f -- очень плоский морфизм. Пусть G
-- очень плоский квазикогерентный пучок на Y, а P -- \W-локально
контрагерентный копучок на X. Тогда имеется естественный
изоморфизм \W-локально контрагерентных копучков локально кокручения
Cohom_X(f_*G,P) = f_!Cohom_Y(G,f^!P).
Пусть f: Y \to X -- (\W,\T)-аффинный морфизм. Пусть F -- плоский
квазикогерентный пучок на X, а Q -- \T-локально контрагерентный
копучок локально кокручения на Y. Тогда имеется естественный
изоморфизм \W-локально контрагерентных копучков локально кокручения
Cohom_X(F,f_!Q) = f_!Cohom_Y(f^*F,Q). Аналогичный изоморфизм
\W-локально контрагерентных копучков имеет место для очень плоского
квазикогерентного пучка F на X и \T-локально контрагерентного
копучка Q на Y.
Предположим дополнительно, что f -- плоский морфизм. Пусть
M -- квазикогерентный пучок на X, а I -- локально инъективный
\T-локально контрагерентный копучок на Y. Тогда имеется
естественный изоморфизм \W-локально контрагерентных копучков
локально кокручения Cohom_X(M,f_!I) = f_!Cohom_Y(f^*M,I).
Пусть f: Y \to X -- аффинный морфизм полуотделимых схем. Пусть F
-- плоский квазикогерентный пучок на X, а Q -- квазикогерентный
пучок кокручения на Y. Тогда имеется естественный изоморфизм
контрагерентных копучков локально кокручения fHom_X(F,f_*Q) =
f_!fHom_Y(f^*F,Q). Аналогичный изоморфизм контрагерентных копучков
имеет место для очень плоского квазикогерентного пучка F на X и
контраприспособленного квазикогерентного пучка Q на Y.
В самом деле, пусть j: U \to X -- вложение аффинной открытой
подсхемы, V = U\times_X Y, j': V \to Y и f': V \to U --
естественные отображения. Тогда Hom_X(j_*j^*F, f_*Q) =
Hom_Y(f^*j_*j^*F, Q) = Hom_Y(j'_*j'^*f^*F, Q). (Отметим, что
прямые образы квазикогерентных пучков при аффинных морфизмах
коммутируют с обратными образами в ситуациях замены базы.)
Предположим дополнительно, что f -- плоский морфизм. Пусть M --
квазикогерентный пучок на X, а I -- инъективный квазикогерентный
пучок на Y. Тогда имеется естественный изоморфизм контрагерентных
копучков локально кокручения fHom_X(M,f_*I) = f_!fHom_Y(f^*M,I)
на Y.
Пусть f: Y \to X -- аффинный морфизм полуотделимых схем.
Пусть М -- квазикогерентный пучок на X, а Q -- копучок O_Y-модулей.
Тогда имеется естественный изоморфизм квазикогерентных пучков
M\ocn_X f_! Q = f_*(f^*M\ocn_Y Q) на X.
В самом деле, в обозначениях выше, для любой открытой аффинной
подсхемы U \sub X, имеем
j_*j^*M\ot_{O_X(U)} (f_!Q)(U) = j_*j^*M\ot_{O_X(U)} Q(V) =
(j_*j^*M\ot_{O_X(U)} O_Y(V))\ot_{O_Y(V)} Q(V) =
(j_*(j^*M\ot_{O_X(U)} O_Y(V)))\ot_{O_Y(V)} Q(V) =
j_*f'_*f'^*j^*M\ot_{O_Y(V)} Q(V) = f_*j'_*j^*f^*M\ot_{O_Y(V)} Q(V)
= f_*(j'_*j^*f^*M\ot_{O_Y(V)} Q(V)). Как показано в разделе II.6,
квазикогерентный пучок f^*M\ocn_Y Q можно вычислять по базе
аффинных открытых подсхем в Y, образы которых содержатся
в аффинных отрытых подсхемах в X. Ввиду конфинальности,
можно далее ограничиться аффинными открытыми подсхемами V \sub Y
вида V = U\times_X Y, где U -- аффинные открытые подсхемы в X
как выше. Остается воспользоваться точностью функтора прямого
образа квазикогерентных пучков при аффинном морфизме.
II.4. Cohom из квазикогерентного пучка в контрагерентный копучок
Пусть X -- схема над аффинной схемой Spec R, пусть M --
квазикогерентный пучок на X, и пусть J -- инъективный R-модуль.
Тогда правило U\mpsto Hom_R(M(U),J) для аффинных открытых
подсхем U \sub Х определяет контрагерентный копучок на X.
Поскольку O(U)-модуль Hom_R(M(U),J) является модулем кокручения
согласно лемме I.3.2б), построенный копучок является
контрагерентным копучком локально кокручения. Мы будем обозначать
этот копучок через Hom_R(M,J).
Будем называть квазикогерентный пучок F над схемой Х очень плоским,
если O_X(U)-модуль F(U) очень плоский для любой аффинной открытой
подсхемы U \sub X. Согласно лемме I.1.6а), очень плоскость
квазикогерентного пучка на схеме является локальным свойством.
Согласно лемме I.1.3б), обратный образ очень плоского
квазикогерентного пучка при любом морфизме схем является очень
плоским пучком. Согласно лемме I.1.4б), прямой образ очень
плоского квазикогерентного пучка при очень плоском аффинном
морфизме является очень плоским пучком.
Более общим образом, если f: Y \to X -- морфизм схем, то
квазикогерентный пучок F над схемой Y называется очень плоским над
X, если для любых открытых аффинных подсхем U \sub X и V \sub Y,
таких что f(V) \sub U, модуль F(V) очень плоский над кольцом
O_X(U). Согласно лемме I.1.6а) и модульному аналогу леммы I.1.7б),
свойство очень плоскости F над X локально как по X, так и по Y.
Согласно лемме I.1.4б), если схема Y очень плоская над схемой X и
F -- очень плоский квазикогерентный пучок на Y, то F является также
очень плоским над X.
Если схема X плоская над аффинной схемой Spec R и квазикогерентный
пучок F над X очень плоский, то для любого контраприспособленного
R-модуля P правило U\mpsto Hom_R(F(U),P) для аффинных открытых
подсхем U \sub X определяет контрагерентный копучок на X. При этом
контраприспособленность O(U)-модулей Hom_R(F(U),P) следует из
леммы I.1.4в). Мы будем обозначать этот копучок через Hom_R(F,P).
Аналогично, если схема X плоская над Spec R и квазикогерентный
пучок F на X плоский (или, более общо, квазикогерентный пучок F
на X плоский над Spec R), то для любого R-модуля кручения P правило
U\mpsto Hom_R(F(U),P) для аффинных открытых подсхем U \sub X
определяет контрагерентный копучок над X; при этом O(U)-модули
Hom_R(F(U),P) являются модулями кокручения по лемме I.3.2а),
так что построенный копучок Hom_R(F,P) является контрагерентным
копучком локально кокручения на X.
Пусть F -- очень плоский квазикогерентный пучок на схеме X,
и пусть P -- контрагерентный копучок на X. Контрагерентный копучок
Cohom_X(F,P) определяется правилом U \mpsto Hom_{O(U)}(F(U),P(U))
для всех аффинных открытых подсхем U \sub X. Для любых двух
вложенных аффинных открытых подсхем V \sub U \sub X имеем
Hom_{O(V)}(F(V),P(V)) = Hom_{O(V)}(F(V),Hom_{O(U)}(O(V),P(U))) =
Hom_{O(U)}(F(V),P(U)) = Hom_{O(U)}(F(U)\otimes_{O(U)}O(V), P(U)) =
Hom_{O(U)}(O(V), Hom_{O(U)}(F(U),P(U))), так что условие
контрагерентности выполнено; а контраприспособленность следует
из леммы I.1.2б).
Аналогично, если F -- плоский квазикогерентный пучок на X, а P --
контрагерентный копучок локально кокручения на X, то
контрагерентный копучок Cohom_X(F,P) на X определяется тем же
правилом U \mpsto Hom_{O(U)}(F(U),P(U)) для всех аффинных открытых
подсхем U \sub X. Согласно лемме I.3.1а), копучок Cohom_X(F,P)
является контрагерентным копучком локально кокручения на X.
Наконец, если M -- квазикогерентный пучок на X, а J -- локально
инъективный контрагерентный копучок на X, то контрагерентный
копучок Cohom_X(M,J) определяется тем же правилом, что выше.
Условие контрагерентности проверяется так же, как раньше; и
согласно лемме I.3.1б), копучок Cohom_X(M,J) является
контрагерентным копучком локально кокручения на X.
Если F -- плоский квазикогерентный пучок на X, а J -- локально
инъективный контрагерентный копучок на X, то контрагерентный
копучок Cohom_X(F,J) локально инъективен.
II.5. Контрагерентные копучки fHom между квазикогерентными пучками
Квазикогерентный пучок P на схеме X называется
квазикогерентным пучком кокручения, если Ext_X^1(F,P) = 0 для
любого плоского квазикогерентного пучка F на X (где Ext_X
обозначает Ext в абелевой категории квазикогерентных пучков на X).
Квазикогерентный пучок P на X называется контраприспособленным,
если Ext_X^1(F,P) = 0 для любого очень плоского квазикогерентного
пучка F на X. Очевидно, упомянутые классы квазикогерентных
пучков на X замкнуты относительно расширений, так что они образуют
точные подкатегории в абелевой категории квазикогерентных пучков.
Кроме того, эти точные подкатегории замкнуты относительно перехода
к прямым слагаемым объектов.
Для любого аффинного морфизма f: Y \to X, любого плоского
квазикогерентного пучка F на X, и любого квазикогерентного пучка P
на Y имеется естественный изоморфизм Ext_X^1(f^*F, P) =
Ext_X^1(F, f_*P). Поэтому классы квазикогерентных пучков
кокручения и контраприспособленных квазикогерентных пучков
сохраняются прямыми образами при аффинных морфизмах.
Пусть F -- квазикогерентный пучок на схеме X, и пусть
(некоммутативное) кольцо R действует на F справа (как на объекте
абелевой категории квазикогерентных пучков) эндоморфизмами.
Пусть M -- левый R-модуль. Определим контравариантный функтор
F\otimes_R M из категории аффинных открытых подсхем U \sub X
(с тождественными вложениями в качестве морфизмов) в категорию
абелевых групп правилом (F\otimes_R M)(U) = F(U)\otimes_R M.
Естественные структуры O_X(U)-модулей над (F\otimes_R M)(U)
согласованы с отображениями ограничения (F\otimes_R M)(U) \to
(F\otimes_R M)(V) для аффинных открытых подсхем V \sub U \sub X,
и условие квазикогерентности (F\otimes_R M)(V) = O_X(V)\ot_{O_X(U)}
(F\otimes_R M)(U), так что функтор F\otimes_R M однозначно
продолжается до квазикогерентного пучка на X, который мы будем
обозначать тоже через F\otimes_R M.
Пусть P -- квазикогерентный пучок на X; тогда абелева группа
Hom_X(F,P) имеет естественную структуру левого R-модуля. Нетрудно
построить естественный изоморфизм абелевых групп
Hom_X(F\otimes_R M, P) = Hom_R(M, Hom_X(F,P)).
Предположим, что Ext_X^i(F,P) = 0 при i > 0, а M -- плоский левый
R-модуль. Покажем, что в этом случае существует изоморфизм
абелевых групп Ext_X^i(F\otimes_R M, P) = Ext^i_R(M, Hom_X(F,P))
для всех i > 0. Такой же изоморфизм имеет место, если правые
R-модули F(U) плоские для всех аффинных открытых подсхем U \sub X,
а M -- произвольный левый R-модуль.
В самом деле, заменим модуль M его проективной левой резольвентой
L_i. Тогда остается заметить, что Ext_X^j(F\otimes_R L_i, P) = 0
для всех j > 0 и всех i, а комплекс квазикогерентных пучков
F\otimes_R L_i является левой резольвентой пучка F\otimes_R M,
так что комплекс абелевых групп Hom_X(F\otimes_R L_i, P) вычисляет
Ext_X^i(F\otimes_R M, P).
Пусть F -- квазикогерентный пучок на схеме X с правым действием
кольца R, и пусть f: Y \to X -- морфизм схем. Тогда f^*F --
квазикогерентный пучок на Y с правым действием R, и если M --
левый R-модуль, то имеется естественный изоморфизм квазикогерентных
пучков f^*(F\otimes_R M) = f^*F \otimes_R M на Y. Аналогично, если
F -- квазикогерентный пучок на Y с правым действием R и f --
квазикомпактный квазиотделимый морфизм, то f_*F -- квазикогерентный
пучок на X с правым действием R; и если M -- левый R-модуль, то
имеется естественный морфизм квазикогерентных пучков
f_*F \otimes_R M \to f_*(F\otimes_R M) на X. Если f -- аффинный
морфизм, то это изоморфизм квазикогерентных пучков на X.
Пусть F -- плоский квазикогерентный пучок на полуотделимой схеме X,
и пусть P -- квазикогерентный пучок кокручения на X. Определим
контрагерентный копучок локально кокручения fHom_X(F,P) на X
правилом U \mpsto Hom_X(j_*j^*F, P) для любой аффинной открытой
подсхемы U \sub X, где j: U \to X обозначает тождественное открытое
вложение. Очевидно, что это правило определяет ковариантный
функтор на категории аффинных открытых подсхем X с O_X-модульной
структурой. Модуль Hom_X(j_*j^*F, P) над кольцом O_X(U) является
модулем кокручения, поскольку Ext^i_{O_X(U)}(M, Hom_X(j_*j^*F,P))
= Ext^i_X((j_*j^*F)\otimes_{O_X(U)}M, P) =
Ext^i_X(j_*(j^*F \otimes_{O_X(U)} M), P) = 0 при i = 1 для любого
плоского O_X(U)-модуля M, поскольку пучок
j_*(j^*F \otimes_{O_X(U)} M) плоский на X. Наконец, для любой пары
вложенных открытых аффинных подсхем V \sub U \sub X имеем
Hom_{O_X(U)}(O_X(V), Hom_X(j_*j^*F,P)) =
Hom_X(j_*(j^*F \otimes_{O_X(U)} O_X(V)), P) =
Hom_X(k_*k^*F, P), где j: U \to X и k: V \to X -- открытые вложения.
Аналогичным образом определяется контрагерентный копучок
fHom_X(F,P) для любого очень плоского квазикогерентного пучка F
и любого контраприспособленного квазикогерентного пучка P на
полуотделимой схеме X. Наконец, и контрагерентный копучок локально
кокручения fHom_X(M,J) для любого квазикогерентного пучка M и
любого инъективного квазикогерентного пучка J на полуотделимой
схеме X определяется тем же правилом. Если F -- плоский
квазикогерентный пучок, а J -- инъективный квазикогерентный пучок
на X, то контрагерентный копучок fHom_X(F,J) локально инъективен.
Для любого аффинного морфизма f: Y \to X и любых квазикогерентных
пучков M на X и K на Y имеется естественный изоморфизм
квазикогерентных пучков f_*(f^*M\otimes_{O_Y} K) =
M \otimes_{O_X} f_*K на Y (формула проекции). В частности, для
любого аффинного открытого вложения j: U \to X и любых
квазикогерентных пучков M и K на X имеется естественный изоморфизм
j_*j^*(M\otimes_{O_X} K) = M\otimes_{O_X} j_*j^*K на X. Для любого
вложения аффинной открытой подсхемы U \to X в полуотделимую схему X
и любых квазикогерентных пучков K и M на X имеется естественный
изоморфизм квазикогерентных пучков j_*j^*(K\otimes_{O_X} M) =
j_*j^*K \otimes_{O_X(U)} M(U).
Из первого из вышеприведенных изоморфизмов следует, что для любых
плоских квазикогерентных пучков M и K на полуотделимой схеме X и
любого квазикогерентного пучка кокручения P на X имеется
естественный изоморфизм контрагерентных копучков локально
кокручения fHom_X(M\otimes K, P) = fHom_X(K, Hom_{X-qc}(M,P)),
где Hom_{X-qc} обозначает внутренний Hom в тензорной категории
квазикогерентных пучков на X. Отметим, что квазикогерентный пучок
Hom_{X-qc}(M,P) является пучком кокручения для любого
квазикогерентного пучка кокручения P и плоского квазикогерентного
пучка M на X.
Для любых очень плоских квазикогерентных пучков M и K на X
и любого контраприспособленного квазикогерентного пучка P на X
имеется естественный изоморфизм контрагерентных копучков
fHom_X(M\otimes K, P) = fHom_X(K, Hom_{X-qc}(M,P)) на X. Отметим,
что квазикогерентный пучок Hom_{X-qc}(M,P) контраприспособлен для
любого очень плоского квазикогерентного пучка M и любого
контраприспособленного квазикогерентного пучка P на X.
Наконец, для любого плоского квазикогерентного пучка F,
квазикогерентного пучка M и инъективного квазикогерентного пучка J
на X имеются естественные изоморфизмы контрагерентных копучков
локально кокручения fHom_X(M\otimes F, J) =
fHom_X(M, Hom_{X-qc}(F,J)) = fHom_X(F, Hom_{X-qc}(M,J)) на X.
Отметим, что квазикогерентный пучок Hom_{X-qc}(F,J) инъективен,
а квазикогерентный пучок Hom_{X-qc}(M,J) является квазикогерентным
пучком кокручения в наших предположениях.
Из второго из приведенных извоморфизмов квазикогерентных пучков
следует, что для любых плоских квазикогерентных пучков M и K на
полуотделимой схеме X и любого квазикогерентного пучка кокручения P
на X имеется естественный изоморфизм квазикогерентных копучков
локально кокручения fHom_X(K\otimes M, P) = Cohom_X(M, fHom_X(K,P)).
Для любых очень плоских квазикогерентных пучков M и K на X
и любого контраприспособленного квазикогерентного пучка P на X
имеется естественный изоморфизм контрагерентных копучков
fHom_X(K\otimes M, P) = Cohom_X(M, fHom_X(K,P)).
Наконец, для любого плоского квазикогерентного пучка F,
квазикогерентного пучка K и инъективного квазикогерентного пучка J
на X имеются естественные изоморфизмы контрагерентных копучков
локально локально кокручения fHom_X(K\otimes F, J) =
Cohom_X(K, fHom_X(F,J)) = Cohom_X(F, fHom_X(K,J)) на X.
II.6. Контратензорное произведение пучков и копучков
Пусть X -- полуотделимая схема с фиксированной базой
аффинных открытых подсхем B. Пусть M -- квазикогерентный пучок
на X и P -- произвольный копучок O_X-модулей.
Контратензорное произведение M\ocn_X P (посчитанное по базе B) --
это квазикогерентный пучок на X, определяемый как (не направленный)
прямой предел следующей диаграммы квазикогерентных пучков,
открытыми подмножествами из B. Каждой аффинной открытой подсхеме
U \in B с отображением тождественного вложения j: U \to X
соответствует квазикогерентный пучок j_*(j^*M\otimes_{O_X(U)} P(U))
на X. Каждой паре вложенных открытых аффинных подсхем
V \sub U, V, U \in B, с отображениями вложений j: U \to X и
k: V \to U соответствует морфизм квазикогерентных пучков
j_*k_*(k^*j^*M\otimes_{O_X(V)} P(V)) \to
j_*(j^*M\otimes_{O_X(U)} P(U))
определяемый в терминах морфизма O_X(U)-модулей P(V) \to P(U)
и естественного изоморфизма k_*(k^*j^*M\otimes_{O_X(V)} P(V))
= j^*M\otimes_{O_X(U)} P(V), имеющего место, поскольку структура
O_X(U)-модуля на P(V) происходит из структуры O_X(V)-модуля.
Для любых двух квазикогерентных пучков M и J и копучка O_X-модулей
P на X, таких что контрагерентный копучок fHom_X(M,J) определен,
имеется естественный изоморфизм между группой гомоморфизмов
квазикогерентных пучков Hom_X(M\ocn_X P, J) и группой гомоморфизмов
копучков O_X-модулей Hom^X(P,fHom_X(M,J)). Другими словами,
функтор M\ocn_X - сопряжен слева к функтору fHom_X(L,-) "там,
где последний определен".
В самом деле, обе группы гомоморфизмов состоят из согласованных
наборов морфизмов квазикогерентных пучков
j_*(j^*M\otimes_{O_X(U)} P(U)) = j_*j^*M \otimes_{O_X(U) P(U)
\to J на X или, что то же самое, согласованных наборов морфизмов
O_X(U)-модулей P(U) \to Hom_X(j_*j^*M,J), заданных для всех
вложений U \to X аффинных открытых подсхем, принадлежащих B.
В частности, указанный изоморфизм сопряжения имеет место для любого
квазикогерентного пучка M, копучка O_X-модулей P и инъективного
квазикогерентного пучка J. Поскольку инъективных квазикогерентных
пучков достаточно много, из этого следует, в частности, что
квазикогерентный пучок M\ocn_X P не зависит от выбора базы аффинных
открытых подсхем B в X, по которой он вычисляется.
Из изоморфизма j_*j^*(M\otimes K) = M \otimes j_*j^*K для вложения
аффинной открытой подсхемы j: U \to X и квазикогерентных пучков
M и K на X следует изоморфизм квазикогерентных пучков
M \otimes (K\ocn_X P) = (M\otimes K) \ocn_X P
для любых квазикогерентных пучков M, K и копучка O_X-модулей P
на полуотделимой схеме X.
III. Локально контрагерентные копучки над схемой
III.1. Контрагерентные и локально контрагерентные копучки
Пусть X -- схема и W \sub X -- ее открытая подсхема. Для
любого копучка O_X-модулей F на X, копучок O_W-модулей F|_W на W
определяется правилом (F|_W)(U) = F(U) для всех открытых
подмножеств U \sub W. Для контрагерентного копучка F на X имеем
F|_W = j^!F, где j: W \to X обозначает тождественное вложение.
Копучок O_X-модулей F на схеме X называется локально
контрагерентным, если у любой точки x \in X найдется открытая
окрестность x\in W \sub X, такая что копучок O_W-модулей F|_W
контрагерентен на W. Если \W = {W} -- открытое покрытие схемы X,
то копучок O_X-модулей F называется \W-локально контрагерентным,
если для любо открытой подсхемы W \sub X, принадлежащей \W,
копучок O_W-модулей F|_W контрагерентен на W. Очевидно, копучок
O_X-модулей F локально контрагерентен тогда и только тогда,
когда существует открытое покрытие \W схемы X, для которого F
является \W-локально контрагерентным.
Будем называть открытую подсхему схемы X подчиненной (subordinate)
покрытию \W, если она содержится в одном из открытых подмножеств X,
входящих в покрытие \W.
Теорема. Пусть \W -- открытое покрытие схемы X. Тогда ограничение
копучков O_X-модулей на базу открытых подмножеств X, состоящую из
всех аффинных открытых подсхем, подчиненных покрытию \W, индуцирует
эквивалентность между категорией \W-локально контрагерентных
копучков на X и категорией ковариантных функторов G из категории
аффинных открытых подсхем X, подчиненных покрытию \W, в категорию
абелевых групп, снабженных структурой O_X-модулей таким образом,
что для любой аффинной открытой подсхемы U\sub X, подчиненной \W,
модуль G(U) над кольцом O_X(U) контраприспособлен и для любой пары
вложенных аффинных открытых подсхем V\sub U, подчиненных \W,
морфизм O_X(V)-модулей G(V) \to Hom_{O(U)}(O(V),G(U)),
индуцированный морфизмом O_X(U)-модулей G(V)\to G(U),
является изоморфизмом.
Доказательство: см. доказательство теоремы II.2.
Короткая последовательность \W-локально контрагерентных копучков
F \to G \to H на X называется точной, если последовательность
модулей косечений 0 \to F(U) \to G(U) \to H(U) \to 0 точна для всех
аффинных открытых подсхем U\sub X, подчиненных \W. Категория
\W-локально контрагерентных копучков на X (т.е., полная
подкатегория в категории копучков O_X-модулей, состоящая из
\W-локально контрагерентных копучков), снабженная этим классом
точных троек, является точной категорией с точными функторами
бесконечных произведений. Переходя к прямому пределу по
измельчающимся покрытиям \W, мы получаем точную категорию локально
контрагерентных копучков на X.
Отметим, что короткая последовательность \W-локально
контрагерентных копучков на X точна как последовательность
локально контрагерентных копучков тогда и только тогда, когда
она точна как последовательность \W-локально контрагерентных
копучков. То же самое верно применительно с допустимым
эпиморфизмам \W-локально контрагерентных копучков (см. лемму I.2),
но не применительно к допустимым мономорфизмам (см.
http://posic.livejournal.com/800532.html ). При этом морфизм
\W-локально контрагерентных копучков на X является допустимым
мономорфизмом тогда и только тогда, когда он действует инъективно
на модулях косечений над всеми аффинными открытыми подсхемами X,
содержащимися в каком-либо из открытых подмножеств покрытия \W.
Перефразируя сказанное выше, точная подкатегория \W-локально
контрагерентных копучков замкнута относительно взятия ядер
допустимых эпиморфизмов в точной категории всех локально
контрагерентных копучков, но не относительно взятия коядер
допустимых мономорфизмов. В оставшейся части этого раздела
мы покажем, что эта точная подкатегория замкнута также
относительно расширений.
Пусть X -- полуотделимая схема, \W -- ее открытое покрытие, и
{U_\alpha} -- аффинное открытое покрытие X, подчиненное \W
(т.е., состоящее из аффинных открытых подсхем X, подчиненных \W).
Пусть F -- \W-локально контрагерентный копучок на X. Рассмотрим
гомологический комплекс Чеха C_*({U_\alpha},F) вида
... \to \bigoplus_{\alpha<\beta} F(U_\alpha \cap U_\beta) \to
\bigoplus_\alpha F(U_\alpha).
В частности, по определению, имеем \Delta(X,F) =
H_0C_*({U_\alpha},F), где \Delta(X,-) обозначает функтор глобальных
сосечений (локально контрагерентных) копучков на X.
Лемма. Пусть X -- аффинная схема с открытым подкрытием \W и
подчиненным ему конечным аффинным открытым покрытием {U_\alpha}.
Тогда \W-локально контрагерентный копучок F на X является
(глобально) контрагерентным в том и только том случае, когда
H_iC_*({U_\alpha},F) = 0 при всех i > 0.
Доказательство. Часть "только тогда" доставляется леммой I.1.6б).
Докажем "тогда". Если комплекс Чеха С_*({U_\alpha},F) не имеет
высших гомологий, то он представляет собой конечную левую
резольвенту O(X)-модуля F(X), составленную из контраприспособленных
O(X)-модулей. O(X)-модуль F(X) тоже контраприспособлен, поскольку
класс контраприспособленных модулей замкнут относительно перехода
к фактормодулям. Для каждой аффинной открытой подсхемы Y\sub X,
рассмотрим комплекс Чеха C_*({U_\alpha\cap Y},F_|Y), связанный
с ограничениями нашего копучка и нашего покрытия на аффинную
открытую подсхему U \sub X. Комплекс C_*({U_\alpha\cap Y},F_|Y)
получается из комплекса С_*({U_\alpha},F) применением функтора
Hom_{O(X)}(O(Y),-). Имеем H_0C_*({U_\alpha},F) = F(X),
H_0C_*({U_\alpha\cap Y},F_|Y) = F(Y), и функтор Hom_{O(X)}(O(Y),-)
сохраняет точность троек контраприспособленных O(X)-модулей,
откуда F(Y) = Hom_{O(X)}(O(Y),F(X)). Оба условия
контраприспособленности и контрагерентности для копучка F
на схеме X проверены.
Следствие 1. Если \W-локально контрагерентный копучок G на
аффинной схеме X является расширением двух контрагерентных копучков
H и F, то G тоже контрагерентный копучок на X.
Доказательство: выберем конечное аффинное покрытие {U_\alpha}
схемы X, подчиненное покрытию \W. Тогда комплекс абелевых групп
С_*({U_\alpha},G) является расширением комплексов абелевых групп
С_*({U_\alpha},H) и С_*({U_\alpha},F); так что если последние два
комплекса не имеют высших гомологий, то их не имеет и первый
комплекс.
Следствие 2. Для любой схемы X и любого ее открытого покрытия \W,
полная точная подкатегория \W-локально контрагерентных копучков
на X замкнута относительно расширений в точной категории всех
локально контрагерентных копучков на X. В частности, полная точная
подкатегория контрагерентных копучков на X замкнута относительно
расширений в точной категории локально контрагерентных
(или \W-локально контрагерентных) копучков на X.
Доказательство: легко выводится из следствия 1.
III.2. Прямые и обратные образы локально контрагерентных копучков
Пусть \W и \T -- открытые покрытия схем X и Y,
соответственно. Назовем морфизм схем f: Y \to X (\W,\T)-аффинным,
если для любой аффинной открытой подсхемы U \sub X, подчиненной \W,
открытая подсхема f^{-1}(U) \sub Y аффинна и подчинена \T.
Отметим, что всякий (\W,\T)-аффинный морфизм f: Y \to X является
аффинным, но обратное неверно.
Пусть f: Y \to X -- (\W,\T)-аффинный морфизм схем, и пусть G --
\T-локально контрагерентный копучок на Y. Тогда копучок
O_X-модулей f_!G на X является \W-локально контрагерентным.
Доказательство этого утверждения аналогично доказательству его
глобальной версии в разделе II.3.
Назовем морфизм схем f: Y \to X (\W,\T)-коаффинным, если для любой
аффинной открытой подсхемы V \sub Y, подчиненной \T, найдется
аффинная открытая подсхема U \sub X, подчиненная \W и такая что
f(V) \sub U, и для любых двух таких открытых подсхем
f(V) \sub U', U'' \sub X найдется аффинная открытая подсхема
U \sub X, такая что f(V) \sub U \sub U', U''. Отметим, что для
любого фиксированного открытого покрытия \W полуотделимой схемы X
и любого морфизма схем f: Y \to X покрытие \T схемы Y, состоящее
из всех полных прообразов аффинных открытых подсхем U \sub X,
подчиненных \W, при морфизме f, обладает тем свойством, что морфизм
f: Y \to X (\W,\T)-коаффинный. Если морфизм f аффинный, то он
является также (\W,\T)-аффинным по отношению к построенному таким
образом покрытию \T.
Пусть f: Y \to X -- очень плоский (\W,\T)-коаффинный морфизм, и
пусть F -- \W-локально контрагерентный копучок на X. Определим
\T-локально контрагерентный копучок f^!F на Y следующим образом.
Пусть V \sub Y -- аффинная открытая подсхема, подчиненная \T.
Выберем открытую аффинную подсхему U \sub X, подчиненную \W
и такую что f(V) \sub U, и положим (f^!F)(V) =
Hom_{O_X(U)}(O_Y(V),F(U)). Условия контраприспособленности и
локальной контрагерентности проверяются так же, как в разделе II.3.
Пусть X -- схема и \W -- ее открытое покрытие. \W-локально
контрагерентный копучок P на X называется локально контрагерентным
копучком локально кокручения, если для любой аффинной открытой
подсхемы U\sub X, подчиненной \W, модуль P(U) над кольцом O_X(U)
является модулем кокручения. Эквивалентным образом, локально
контрагерентный копучок P на X является локально контрагерентным
копучком локально кокручения тогда и только тогда, когда для
любого открытого подмножества U \sub X, такого что копучок P|_U
контрагерентен на U, модуль P(U) над кольцом O_X(U) является
модулем кокручения.
\W-локально контрагерентный копучок J на X называется локально
инъективным, если для любой аффинной открытой подсхемы U\sub X,
подчиненной \W, модуль J(U) над кольцом O_X(U) инъективен.
Эквивалентным образом, локально контрагерентный копучок J на X
локально инъективен тогда и только тогда, когда для любого
открытого подмножества U \sub X, такого что копучок J|_U
контрагерентен на U, модуль J(U) над кольцом O_X(U) инъективен.
Пусть f: Y \to X -- плоский (\W,\T)-коаффинный морфизм схем, и
пусть P -- \W-локально контрагерентный копучок локально кокручения
на X. Такое же правило, как выписано выше, определяет \T-локально
контрагерентный копучок локально кокручения f^!P на Y.
Для любого (\W,\T)-коаффинного морфизма схем f: Y \to X и локально
инъективного \W-локально контрагерентного копучка J на X то же
самое правило определяет локально инъективный \T-локально
контрагерентный копучок f^!J на Y.
Если f: Y \to X -- (\W,\T)-аффинный морфизм и G -- \T-локально
контрагерентный копучок локально кокручения на Y, то f_!G --
\W-локально контрагерентный копучок локально кокручения на X.
Если f -- плоский (\W,\T)-аффинный морфизм и G -- локально
инъективный \T-локально контрагерентный копучок на Y, то f_!G --
локально инъективный \W-локально контрагерентный копучок на X.
Пусть f: Y \to X -- (\W,\T)-аффинный (\W,\T)-коаффинный морфизм.
Тогда если G -- \T-локально контрагерентный копучок на Y, а F --
локально инъективный \W-локально контрагерентный копучок на X,
то имеется изоморфизм сопряжения Hom^X(f_!G, F) = Hom^Y(G, f^!F),
где Hom^X и Hom^Y обозначают абелевы группы морфизмов в категориях
локально контрагерентных копучков на X и на Y, соответственно.
Если морфизм f, кроме того, плоский то такой же изоморфизм
сопряжения имеет место для всех \T-локально контрагеренных копучков
G на Y и \W-локально контрагерентных копучков локально кокручения
F на X; в частности, f_! и f^! образуют пару сопряженных функторов
между точными категориями \W- и \T-локально контрагерентных
копучков локально кокручения на X и на Y. Если морфизм f очень
плоский, то функтор f^!, действующий между точными категориями
\W- и \T-локально контрагерентных копучков на X и Y, сопряжен
справа к функтору f^!, действующему между теми же двумя точными
категориями.
Во всех перечисленных случаях, обе абелевы группы Hom^X(f_!G, F)
и Hom^Y(G, f^!F) отождествляются с группой, элементами которой
являются все согласованные наборы гомоморфизмов O_X(U)-модулей
G(V) \to F(U), определенных для всех аффинных открытых подсхем
U \sub X и V \sub Y, подчиненных соответственно \W и \T, таких
что f(V) \sub U.
Все функторы, построенные выше в этом разделе, являются точными
функторами между теми точными категориями локально контрагерентных
копучков, между которыми они действуют.
В частности, если \W -- открытое покрытие полуотделимой схемы Х,
j: U \to X -- аффинное открытое вложение, подчиненное \W (т.е., U
содержится в одном из открытых подмножеств покрытия \W) и схема U
снабжена покрытием \T, состоящим из единственного открытого
подмножества U в U, то морфизм j являтся (\W,\T)-аффинным и
(\W,\T)-коаффинным, а также очень плоским. Поэтому j^! и j_!
образуют пару сопряженных точных функторов между точными
категориями \W-локально контрагерентных копучков на X и
контрагерентных копучков на U. При этом образ функтора j_!
содержится в точной подкатегории (глобально) контрагерентных
копучков на X.
Пусть теперь \W -- открытое покрытие квазикомпактной полуотделимой
схемы X, и пусть {U_i} -- конечное аффинное покрытие X, подчиненное
\W. Обозначим через j_{i_1,..,i_s} открытое вложение пересечения
U_{i_1}\cap ... \cap U_{i_s} в X. Тогда для любого \W-локально
контрагерентного копучка F на X последовательность Чеха 0 \to
j_{1,...,n}_! j_{1,...,n}^! F \to ... \to \bigoplus_{i_1 < i_2}
j_{i_1,i_2}_! j_{i_1,i_2}^! F \to \bigoplus_i j_{i,!} j_i^! F
\to F \to 0 точна в точной категории \W-локально контрагерентных
копучков на X, как следует из леммы I.1.6б). Мы построили конечную
левую резольвенту \W-локально контрагерентного копучка F, состоящую
из контрагерентных копучков.
III.3. Cohom в локально контрагерентный копучок
Пусть \W -- открытое покрытие схемы X. Пусть F -- очень
плоский квазикогерентный пучок на X, и пусть P -- \W-локально
контрагерентный копучок на X. \W-локально контрагерентный копучок
Cohom_X(F,P) на X определяется правилом
U \mpsto Hom_{O(U)}(F(U),P(U)) для всех аффинных открытых подсхем
U \sub X, подчиненных \W. Условия контраприспособленности и
локальной контрагерентности проверяются так же, как в разделе II.4.
Аналогично, если F -- плоский квазикогерентный копучок на X, а P
-- \W-локально контрагерентный копучок локально кокручения, то
\W-локально контрагерентный копучок локально кокручения
Cohom_X(F,P) на X определяется тем же правилом
U \mpsto Hom_{O(U)}(F(U),P(U)) для всех аффинных открытых подсхем
U \sub X, подчиненных \W.
Наконец, если M -- квазикогерентный пучок на X, а J -- локально
инъективный \W-локально контрагерентный копучок на X, то
\W-локально контрагерентный копучок локально кокручения
Cohom_X(M,J) определяется тем же правилом, что и выше. Если F --
плоский квазикогерентный пучок, а J -- \W-локально контрагерентный
копучок локально кокручения на X, то \W-локально контрагерентный
копучок Cohom_X(F,J) локально инъективен.
Еще более общее определение Cohom в производно локально
контрагерируемый копучок O_X-модулей (см. определение
в разделе IV.4) будет рассматриваться в разделе V.3.
III.4. Согласованность прямых и обратных образов
с тензорными операциями
Пусть \W и \T -- открытые покрытия схем X и Y, и пусть
f: Y \to X -- (\W,\T)-коаффинный морфизм. Пусть F -- плоский
квазикогерентный пучок, а J -- локально инъективный \W-локально
контрагерентный копучок на X. Тогда имеется естественный
изоморфизм локально инъективный \T-локально контрагерентных
копучков f^!Cohom_X(F,J) = Cohom_Y(f^*F,f^!J) на Y.
Предположим дополнительно, что f -- плоский морфизм. Пусть M --
квазикогерентный пучок, а J -- локально инъективный \W-локально
контрагерентный копучок на X. Тогда имеется естественный
изоморфизм \T-локально контрагерентных копучков локально
кокручения f^!Cohom_X(M,J) = Cohom_Y(f^*M,f^!J) на Y. Аналогично,
если F -- плоский квазикогерентный пучок, а P -- \W-локально
контрагерентный копучок локально кокручения на X, то имеется
естественный изоморфизм \T-локально контрагерентных копучков
локально кокручения f^!Cohom_X(F,P) = Cohom_Y(f^*F,f^!P) на Y.
Предположим, более того, что f -- очень плоский морфизм. Пусть F
-- очень плоский квазикогерентный пучок, а P -- \W-локально
контрагерентный копучок на X. Тогда имеется естественный
изоморфизм \T-локально контрагерентных копучков f^!Cohom_X(F,P) =
Cohom_Y(f^*F,f^!P) на Y.
Пусть f: Y \to X -- (\W,\T)-аффинный (\W,\T)-коаффинный морфизм.
Пусть N -- квазикогерентный пучок на Y, а J -- локально инъективный
\W-локально контрагерентный копучок на X. Тогда имеется
естественный изоморфизм \W-локально контрагерентных копучков
локально кокручения Cohom_X(f_*N,J) = f_!Cohom_Y(N,f^!J).
Предположим дополнительно, что f -- плоский морфизм. Пусть G --
плоский квазикогерентный пучок на Y, а P -- \W-локально
контрагерентный копучок локально кокручения на X. Тогда имеется
естественный изоморфизм \W-локально контрагерентных копучков
локально кокручения Cohom_X(f_*G,P) = f_!Cohom_Y(G,f^!P).
Предположим, более того, что f -- очень плоский морфизм. Пусть G
-- очень плоский квазикогерентный пучок на Y, а P -- \W-локально
контрагерентный копучок на X. Тогда имеется естественный
изоморфизм \W-локально контрагерентных копучков локально кокручения
Cohom_X(f_*G,P) = f_!Cohom_Y(G,f^!P).
Пусть f: Y \to X -- (\W,\T)-аффинный морфизм. Пусть F -- плоский
квазикогерентный пучок на X, а Q -- \T-локально контрагерентный
копучок локально кокручения на Y. Тогда имеется естественный
изоморфизм \W-локально контрагерентных копучков локально кокручения
Cohom_X(F,f_!Q) = f_!Cohom_Y(f^*F,Q). Аналогичный изоморфизм
\W-локально контрагерентных копучков имеет место для очень плоского
квазикогерентного пучка F на X и \T-локально контрагерентного
копучка Q на Y.
Предположим дополнительно, что f -- плоский морфизм. Пусть
M -- квазикогерентный пучок на X, а I -- локально инъективный
\T-локально контрагерентный копучок на Y. Тогда имеется
естественный изоморфизм \W-локально контрагерентных копучков
локально кокручения Cohom_X(M,f_!I) = f_!Cohom_Y(f^*M,I).
Пусть f: Y \to X -- аффинный морфизм полуотделимых схем. Пусть F
-- плоский квазикогерентный пучок на X, а Q -- квазикогерентный
пучок кокручения на Y. Тогда имеется естественный изоморфизм
контрагерентных копучков локально кокручения fHom_X(F,f_*Q) =
f_!fHom_Y(f^*F,Q). Аналогичный изоморфизм контрагерентных копучков
имеет место для очень плоского квазикогерентного пучка F на X и
контраприспособленного квазикогерентного пучка Q на Y.
В самом деле, пусть j: U \to X -- вложение аффинной открытой
подсхемы, V = U\times_X Y, j': V \to Y и f': V \to U --
естественные отображения. Тогда Hom_X(j_*j^*F, f_*Q) =
Hom_Y(f^*j_*j^*F, Q) = Hom_Y(j'_*j'^*f^*F, Q). (Отметим, что
прямые образы квазикогерентных пучков при аффинных морфизмах
коммутируют с обратными образами в ситуациях замены базы.)
Предположим дополнительно, что f -- плоский морфизм. Пусть M --
квазикогерентный пучок на X, а I -- инъективный квазикогерентный
пучок на Y. Тогда имеется естественный изоморфизм контрагерентных
копучков локально кокручения fHom_X(M,f_*I) = f_!fHom_Y(f^*M,I)
на Y.
Пусть f: Y \to X -- аффинный морфизм полуотделимых схем.
Пусть М -- квазикогерентный пучок на X, а Q -- копучок O_Y-модулей.
Тогда имеется естественный изоморфизм квазикогерентных пучков
M\ocn_X f_! Q = f_*(f^*M\ocn_Y Q) на X.
В самом деле, в обозначениях выше, для любой открытой аффинной
подсхемы U \sub X, имеем
j_*j^*M\ot_{O_X(U)} (f_!Q)(U) = j_*j^*M\ot_{O_X(U)} Q(V) =
(j_*j^*M\ot_{O_X(U)} O_Y(V))\ot_{O_Y(V)} Q(V) =
(j_*(j^*M\ot_{O_X(U)} O_Y(V)))\ot_{O_Y(V)} Q(V) =
j_*f'_*f'^*j^*M\ot_{O_Y(V)} Q(V) = f_*j'_*j^*f^*M\ot_{O_Y(V)} Q(V)
= f_*(j'_*j^*f^*M\ot_{O_Y(V)} Q(V)). Как показано в разделе II.6,
квазикогерентный пучок f^*M\ocn_Y Q можно вычислять по базе
аффинных открытых подсхем в Y, образы которых содержатся
в аффинных отрытых подсхемах в X. Ввиду конфинальности,
можно далее ограничиться аффинными открытыми подсхемами V \sub Y
вида V = U\times_X Y, где U -- аффинные открытые подсхемы в X
как выше. Остается воспользоваться точностью функтора прямого
образа квазикогерентных пучков при аффинном морфизме.
