Контрагерентные копучки - 1
Apr. 30th, 2012 06:40 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicНачало; окончание см. в http://posic.livejournal.com/827050.html?mode=reply
Часть 1. Контрагерентные копучки над схемами
I. Контраприспособленные модули и модули кокручения
I.1. Контраприспособленные и очень плоские модули
Пусть R -- коммутативное кольцо. R-модуль P называется
контраприспособленным, если для любого элемента r\in R модуль
Ext_R^1(R[r^{-1}], P) равен нулю. R-модуль F называется
очень плоским, если для любого контраприспособленного
R-модуля P модуль Ext_R^1(F,P) равен нулю.
Отметим, что R-модуль R[r^{-1}] имеет проективную размерность,
не превосходящую 1, откуда следует, что всякий фактормодуль
контраприспособленного модуля контраприспособлен и проективная
размерность всякого очень плоского модуля не превосходит 1.
Ясно также, что классы контраприспособленных и очень плоских
R-модулей замкнуты относительно расширений, а класс очень
плоских модулей замкнут, кроме того, относительно перехода
к ядру сюръекции. Отметим еще, что класс контраприспособленных
R-модулей замкнут относительно бесконечных произведений, а класс
очень плоских R-модулей -- относительно бесконечных прямых сумм.
Следующие два утверждения вытекают из результатов работы
Eklof-Trlifaj "How to make Ext vanish" (см. там Lemma 1, Theorem 2,
Theorem 10).
Теорема. а) Любой R-модуль можно вложить в контраприспособленный
R-модуль так, что фактормодуль будет очень плоским.
б) На любой R-модуль можно сюръективно отобразить очень плоский
R-модуль так, что ядро этого морфизма будет контраприспособлено.
Лемма 1. R-модуль является очень плоским тогда и только тогда,
когда его можно представить как прямое слагаемое транфинитно
итерированного (в смысле прямого предела) расширения R-модулей
вида R[r^{-1}].
Доказательство: следует из доказательства в работе Eklof-Trlifaj.
Лемма 2. а) Класс очень плоских R-модулей замкнут относительно
тензорных произведений над R. б) Для любого очень плоского
R-модуля F и контраприспособленного R-модуля P, модуль Hom_R(F,P)
над кольцом R является контраприспособленным.
Доказательство: пункт а) следует из леммы 1, пункт б) следует
из пункта а).
Лемма 3. Пусть f: R \to S -- гомоморфизм коммутативных колец.
Тогда а) всякий контраприспособленный S-модуль P является также
контраприспособленным R-модулем в структуре R-модуля, полученной
ограничением скаляров с помощью f; б) если F -- очень плоский
R-модуль, то S-модуль S\otimes_R F тоже очень плоский.
Доказательство. Пункт а): Ext_R^1(R[r^{-1}], P) =
Ext_S^1(S[f(r)^{-1}], P) для любого S-модуля P и элемента r\in R.
Пункт б) следует из пункта а) или, альтернативным образом, из
леммы 1.
Лемма 4. Пусть f: R \to S -- гомоморфизм коммутативных колец,
такой что S[s^{-1}] является очень плоским R-модулем для любого
элемента s\in S. Тогда а) S-модуль Hom_R(S,P) контраприспособлен
для любого контраприспособленного R-модуля P; б) всякий очень
плоский S-модуль является очень плоским R-модулем (в структуре
R-модуля, полученной ограничением скаляров с помощью f);
в) S-модуль Hom_R(F,P) контраприспособлен для любого очень
плоского S-модуля F и контраприспособленного R-модуля P.
Доказательство. Пункт а): Ext_S^1(S[s^{-1}], Hom_R(S,P)) =
Ext_R^1(S[s^{-1}], P) для любого R-модуля P, для которого
Ext^1_R(S,P) = 0 и любого элемента s\in S. Пункт б) следует из
пункта а) или, альтернативным образом, из леммы 1. Пункт в):
Ext_S^1(S[s^{-1}], Hom_R(F,P)) = Ext_R^1(F\otimes_S S[s^{-1}], P)
= 0 согласно лемме 2а) (примененной к кольцу S) и пункту б).
Лемма 5. Пусть R \to S -- гомоморфизм коммутативных колец, для
которого соответствующий морфизм аффинных схем Spec S \to Spec R
является открытым вложением. Тогда S является очень плоским
R-модулем.
Доказательство: подмножество Spec S \sub Spec R, будучи открытым
и квазикомпактным, может быть покрыто конечным числом главных
аффинных открытых подмножеств Spec R[r_i^{-1}] \sub Spec R,
где i = 1, ..., N. Последовательность Чеха
0 \to S \to \bigoplus_i R[r_i^{-1}] \to
\bigoplus_{i < j} R[(r_ir_j)^{-1}] \to ...
\to R[(r_1...r_N)^{-1}] \to 0
точна, посколько точна ее локализация по каждому из элементов r_i,
и следовательно, по любому простому идеалу кольца S
(последовательностью модулей над которым она является). Остается
вспомнить, что класс очень плоских R-модулей замкнут относительно
перехода к ядрам сюръективных отображений.
Следствие. В условиях леммы 5, а) S-модуль F является очень
плоским тогда и только тогда, когда он очень плоский как R-модуль,
б) S-модуль Hom_R(S,P) контраприспособлен для любого
контраприспособленного R-модуля P.
Доказательство: пункт а) следует из леммы 3б) (вместе
с изоморфизмом S\otimes_R F = F) и леммы 4б) (вместе с леммой 5).
Пункт б) следует из леммы 4а) и леммы 5.
Лемма 6. Пусть R \to S_i, i = 1, ..., N -- набор гомоморфизмов
коммутативных колец, для которого соответствующий набор морфизмов
аффинных схем Spec S_i \to Spec R является открытым покрытием.
Тогда а) R-модуль F является очень плоским в том и только том
случае, когда все S_i-модули S_i\otimes_R F очень плоские; б) для
любого контраприспособленного R-модуля P, последовательность Чеха
0 \to Hom_R(S_1\ot_R S_2\ot_R ... \ot_R S_N, P) \to ...
\to \bigoplus_i Hom_R(S_i, P) \to P \to 0 точна.
Доказательство. Часть а): согласно лемме 3б) и пункту а)
следствия, если все S_i-модули S_i\otimes_R F очень плоские, то
все R-модули S_{i_1}\ot_R ... \ot_R S_{i_k}\ot_R F очень плоские.
Для любого R-модуля F имеется точная последовательность Чеха
0 \to F \to \bigoplus_i S_i\ot_R F \to \bigoplus_{i < j}
S_i\ot_R S_j\ot_R F \to ... \to S_1\ot_R ...\ot_R S_N\ot_R F \to 0.
Остается вспомнить, что класс очень плоских R-модулей замкнут
относительно перехода к ядру сюръекции.
Часть б): точная последовательность R-модулей 0 \to R \to
\bigoplus_i S_i \to \bigoplus_{i < j} S_i\ot_R S_j \to ... \to
S_1\ot_R ...\ot_R S_N \to 0 составлена из точных троек очень
плоских R-модулей, поэтому применение к ней функтора Hom_R(-,P)
в контраприспособленный R-модуль P сохраняет ее точность.
Лемма 7. Пусть f_i: S \to T_i, i = 1,...,N -- набор гомоморфизмов
коммутативных колец, для которого соответствующий набор морфизмов
аффинных схем Spec T_i \to Spec S является открытым покрытием,
и пусть R \to S -- гомоморфизм коммутативных колец. Тогда
а) если все R-модули T_{i_1}\ot_S ...\ot_S T_{i_k} очень плоские,
то R-модуль S очень плоский; б) все R-модули T_i[t_i^{-1}] очень
плоские для всех t_i \in T_i тогда и только тогда, когда R-модуль
S[s^{-1}] очень плоский для всех s \in S.
Доказательство: пункт а) следует из точности последовательности
Чеха 0 \to S \to \bigoplus_i T_i \to \bigoplus_{i < j} T_i\ot_S T_j
\to ... \to T_1\ot_S ...\ot_S T_N \to 0. Утверждение "тогда"
в пункте б) следует из пункта а) и того, что Spec T_i[t_i^{-1}]
как открытую аффинную подсхему Spec S можно покрыть аффинными
открытыми подсхемами Spec S вида Spec S[s^{-1}], причем пересечения
этих открытых подсхем будут иметь такой же вид. Утверждение
"только тогда" следует из пункта а), примененного к покрытию
аффинной схемы Spec S[s^{-1}] аффинными открытыми подсхемами
Spec T_i[f_i(s)^{-1}] и того факта, что пересечение любого
подмножества этих аффинных открытых подсхем можно покрыть главными
открытыми аффинными подсхемами одной из схем Spec T_i.
Лемма 8. а) Для любого конечно-порожденного R-модуля M и любого
контраприспособленного R-модуля P, модуль M\otimes_R P над кольцом
R контраприспособлен. б) Если кольцо R когерентно, то для любого
очень плоского R-модуля F и любого плоского контраприспособленного
R-модуля P, модуль Hom_R(F,P) над кольцом R контраприспособленный
и плоский.
Доказательство: утверждение части а) сразу следует из того, что
класс контраприспособленных R-модулей замкнут относительно конечных
прямых сумм и всякий фактормодуль контраприспособленного
R-модуля контраприспособлен. Доказательство части б) аналогично
доказательству леммы I.3.5б) ниже (с использованием части а)
настоящей леммы вместо леммы I.3.5а) и леммы 2б) выше вместо
леммы I.3.21а)).
I.2. Точная категория контраприспособленных модулей
Как полные подкатегории абелевой категории R-модулей, замкнутые
относительно расширений, категории контраприспособленных и очень
плоских R-модулей имеют естественные структуры точных категорий.
В точной категории контраприспособленных R-модулей всякий морфизм
имеет коядро, которое является допустимым эпиморфизмом.
В точной категории контраприспособленных R-модулей определены
и точны функторы бесконечных произведений, а в точной категории
очень плоских R-модулей определены и точны функторы бесконечных
прямых сумм.
Из теоремы I.1 следует, что в точной категории
контраприспособленных R-модулей достаточно много проективных
объектов, которыми являются в точности очень плоские
контраприспособленные R-модули. Двойственным образом, в точной
категории очень плоских R-модулей достаточно много инъективных
объектов, которыми являются в точности контраприспособленные
очень плоские R-модули.
Тензорное произведение двух очень плоских R-модулей является точным
функтором двух аргументов, действующим из декартова квадрата точной
категории очень плоских R-модулей в ту же самую точную категорию.
Hom_R из очень плоского R-модуля в контраприспособленный R-модуль
является точным функтором двух аргументов, действующим из декартова
произведения категории, противоположной к точной категории очень
плоских R-модулей и точной категории контраприспособленных
R-модулей в точную категорию контраприспособленных R-модулей.
В случае когерентного коммутативного кольца R, функтор тензорного
умножения на плоский контраприспособленный R-модуль является точным
функтором из абелевой категории конечно-представимых R-модулей
в точную категорию контраприспособленных R-модулей.
Для любого гомоморфизма коммутативных колец f: R \to S, ограничение
скаляров при помощи f является точным функтором из точной категории
контраприспособленных S-модулей в точную категорию
контраприспособленных R-модулей. Расширение скаляров F\mpsto
S\otimes_R F является точным функтором из точной категории
очень плоских R-модулей в точную категорию очень плоских S-модулей.
Для любого гомоморфизма коммутативных колец f: R \to S,
удовлетворяющего условию леммы I.1.4, ограничение скаляров при
помощи f является точным функтором из точной категории очень
плоских S-модулей в точную категорию очень плоских R-модулей.
Корасширение скаляров P\mpsto Hom_R(S,P) является точным функтором
из точной категории контраприспособленных R-модулей в точную
категорию контраприспособленных S-модулей. В частности, эти
утверждения справедливы для гомоморфизма коммутативных колец
R \to S, удовлетворяющего условию леммы I.1.5.
Лемма. Пусть R \to S_i -- набор гомоморфизмов коммутативных колец,
для которого соответствующий набор морфизмов аффинных схем Spec S_i
\to R является открытым покрытием. Тогда а) пара гомоморфизмов
контраприспособленных R-модулей K \to L \to M является короткой
точной последовательностью тогда и только тогда, когда таковыми
являются последовательности контраприспособленных S_i-модулей
Hom_R(S_i,K) \to Hom_R(S_i, L) \to Hom_R(S_i,M) для всех i;
б) гомоморфизм контраприспособленных R-модулей P \to Q является
допустимым эпиморфизмом тогда и только тогда, когда таковыми
являются гомоморфизмы контраприспособленных S_i-модулей
Hom_R(S_i,P) \to Hom_R(S_i,Q) для всех i.
Доказательство. Часть а): утверждение "только тогда" следует из
леммы I.1.5. Аналогичным образом, если последовательности
0 \to Hom_R(S_i,K) \to Hom_R(S_i, L) \to Hom_R(S_i,M) \to 0 точны,
то точны и последовательности, получающиеся применением
к последовательности 0 \to K \to L \to M \to 0 функтора Hom над R
из тензорного произведения над R любого непустого подмножества
колец S_i. Остается применить лемму I.1.6б).
Часть б): из крайнего правого отрезка точной последовательности
в лемме I.1.6б) ясно, что сюръективность отображений
Hom_R(S_i,P) \to Hom_R(S_i,Q) влечет сюръективность отображения
P \to Q. Остается проверить, что ядро последнего отображения
является контраприспособленным R-модулем. Обозначим это ядро
через K. Поскольку гомоморфизмы контраприспособленных S_i-модулей
Hom_R(S_i,P) \to Hom_R(S_i,Q) являются допустимыми эпиморфизмами,
таковыми же являются морфизмы, получающиеся применением к морфизму
P \to Q функтора коограничения скаляров по отношению
к естественному гомоморфизму из кольца R в тензорное произведение
над R любого непустого подмножества колец S_i. Переходя к ядру
сюръективного гомоморфизма точных последовательностей из леммы
I.1.6б), связанного с морфизмом контраприспособленных R-модулей
P \to Q, мы получаем короткую точную последовательность R-модулей,
самым правым членом которой является модуль K, а все остальные
модули контраприспособлены. Отсюда R-модуль K также
контраприспособлен.
I.3. Модули кокручения
Пусть R -- ассоциативное кольцо. Левый R-модуль P называется
R-модулем кокручения, если Ext_R^1(F,P) = 0 для любого плоского
левого R-модуля F, или, что эквивалентно, Ext_R^i(F,P) = 0 для
любого плоского R-модуля F и всех i > 0. Ясно, что класс R-модулей
кокручения замкнут относительно расширений и перехода к коядру
вложения, а также бесконечных произведений.
Следующие утверждения доказаны в работах Eklof-Trlifaj и
Bican-Bashir-Enochs.
Теорема. а) Любой R-модуль можно вложить в R-модуль кокручения
так, что фактормодуль будет плоским R-модулем. б) На любой R-модуль
можно сюръективно отобразить плоский R-модуль так, что ядро этого
морфизма будет R-модулем кокручения.
Лемма 1. Пусть R -- коммутативное кольцо. Тогда а) для любого
плоского R-модуля F и R-модуля кокручения P, модуль Hom_R(F,P) над
кольцом R является модулем кокручения; б) для любого R-модуля M
и инъективного R-модуля J, модуль Hom_R(M,J) над кольцом R является
модулем кокручения.
Доказательство: Ext_R^1(G, Hom_R(F,P)) = Ext_R^1(F\otimes_R G, P)
для любых R-модулей F, G, P, таких что Ext_R^1(F,P) = 0 =
Tor^R_1(F,G).
Следующая лемма доставляет обобщение результатов леммы 1 на случай
некоммутативных колец.
Лемма 2. Пусть R, S -- ассоциативные кольца. Тогда a) для любого
R-плоского R-S-бимодуля F и любого левого R-модуля кокручения P,
левый модуль Hom_R(F,P) над кольцом S является модулем кокручения;
б) для любого R-S-бимодуля M и инъективного левого R-модуля J,
левый модуль Hom_R(M,J) над кольцом S является модулем кокручения.
Доказательство такое же, как для леммы 1.
Лемма 3. Пусть f: R \to S -- гомоморфизм колец. Тогда всякий
S-модуль кокручения является также R-модулем кокручения в структуре
R-модуля, полученной ограничением скаляров с помощью f.
Доказательство: Ext_R^1(F,P) = Ext_S^1(S\otimes_R F, P) для
любого плоского R-модуля F и любого S-модуля P.
Лемма 4. Пусть f: R \to S -- гомоморфизм колец, такой что S
является плоским левым R-модулем. Тогда S-модуль Hom_R(S,P)
является левым S-модулем кокручения для любого левого R-модуля
кокручения P.
Доказательство: Ext_S^1(F,Hom_R(S,P)) = Ext_R^1(F,P) для любого
R-модуля P, такого что Ext_R^1(S,P) = 0, и любого S-модуля F.
Лемма 5: Пусть R -- когерентное коммутативное кольцо, над которым
всякий плоский модуль имеет конечную проективную размерность.
Тогда а) для любого конечно-представимого R-модуля M и плоского
R-модуля кокручения P, модуль M\otimes_R P является R-модулем
кокручения; б) для любого плоского R-модуля F и плоского R-модуля
кокручения P, модуль Hom_R(F,P) над кольцом R является плоским
модулем кокручения.
Доказательство. Часть а): над кольцом, над которым всякий
плоский модуль имеет конечную проективную размерность, всякий
модуль имеет конечную размерность кокручения, т.е. достаточно
длинная конечная точная последовательность, у которой все
средние члены являются модулями кокручения, имеет самым правым
членом тоже модуль кокручения. Осталось применить это
утверждение к тензорному произведению конечно-порожденной
проективной левой резольвенты R-модуля M на R-модуль P
(канонически обрезанному достаточно далеко слева).
Часть б): функтор M\mpsto Hom_R(F, M\otimes_R P) точен на
категории конечно-представимых R-модулей M, поскольку Hom из
плоского R-модуля в точную тройку R-модулей кокручения является
точной тройкой R-модулей. Поскольку функтор M\mpsto M\otimes_R
Hom_R(F,P) точен справа и два функтора изоморфны в ограничении
на конечно порожденные проективные R-модули M, эти функторы
изоморфны на всей категории конечно-представимых R-модулей M,
откуда функтор M\mpsto M\otimes_R Hom_R(F,P) точен и R-модуль
Hom_R(F,P) плоский. То, что Hom_R(F,P) является R-модулем
кокручения, было показано (в более слабых предположениях)
в лемме 1а).
I.4. Точная категория модулей кокручения
Как полная подкатегория абелевой категории R-модулей,
замкнутая относительно расширений, категория R-модулей кокручения
имеет естественную структуру точной категории. Функторы
бесконечных произведений определены и точны в этой точной
категории. Аналогично, категория плоских R-модулей имеет
естественную структуру точной категории с точными функторами
бесконечных произведений.
Из теоремы I.3 следует, что в точной категории R-модулей кокручения
достаточно много проективных объектов, которыми являются в точности
плоские R-модули кокручения. Двойственным образом, в точной
категории плоских R-модулей достаточно много инъективных объектов,
которыми являются в точности плоские R-модули кокручения.
Для любого коммутативного кольца R, функтор Hom_R из плоского
R-модуля в R-модуль кокручения является точным функтором двух
аргментов, действующим из произведения категории, противоположной
к точной категории плоских R-модулей и точной категории R-модулей
кокручения в точную категорию R-модулей кокручения. Аналогичными
свойствами обладают функторы Hom из лемм I.3.1б) и I.3.2.
Пусть R -- когерентное коммутативное кольцо, над которым всякий
плоский модуль имеет конечную проективную размерность. Тогда
функтор тензорного умножения на плоский R-модуль кокручения
является точным функтором из абелевой категории конечно
представимых R-модулей в точную категорию R-модулей кокручения.
В тех же предположениях, функтор Hom_R в плоский R-модуль
кокручения переводит точные тройки плоских R-модулей в расщепимые
точные тройки плоских R-модулей кокручения.
Для любого гомоморфизма колец f: R \to S, ограничение скаляров
при помощи f является точным функтором из точной категории
S-модулей кокручения в точную категорию R-модулей кокручения.
Для любого гомоморфизма колец f: R \to S, такого что S является
плоским левым R-модулем, корасширение скаляров P\mpsto Hom_R(S,P)
является точным функтором из точной категории R-модулей кокручения
в точную категорию S-модулей кокручения.
Лемма. Пусть R \to S_i -- набор гомоморфизмов коммутативных колец,
для которого соответствующий набор морфизмов аффинных схем Spec S_i
\to R является открытым покрытием. Тогда а) пара гомоморфизмов
R-модулей кокручения K \to L \to M является короткой точной
последовательностью тогда и только тогда, когда таковыми являются
последовательности контраприспособленных S_i-модулей Hom_R(S_i,K)
\to Hom_R(S_i, L) \to Hom_R(S_i,M) для всех i; б) гомоморфизм
R-модулей кокручения P \to Q является допустимым эпиморфизмом тогда
и только тогда, когда таковыми являются гомоморфизмы S_i-модулей
кокручения Hom_R(S_i,P) \to Hom_R(S_i,Q) для всех i.
Доказательство: см. доказательство леммы I.2.
II. Контрагерентные копучки над схемой
II.1. Копучки модулей над пучком колец
Пусть X -- топологическое пространство. Предкопучком абелевых
групп на X называется ковариантный функтор из категории открытых
подмножеств X (с тождественными вложениями в качестве морфизмов)
в категорию абелевых групп. Предкопучок абелевых групп F на X
называется копучком, если для любого открытого подмножества U\sub X
и его открытого покрытия U = \bigcup_\alpha U_\alpha следующая
последовательность абелевых групп точна:
\bigoplus_{\alpha,\beta} F(U_\alpha\cap U_\beta) \to (*)
\bigoplus_\alpha F(U_\alpha) \to F(U) \to 0.
Пусть O -- пучок колец на X. Предкопучок абелевых групп F на X
называется предкопучком (левых) O-модулей, если для каждого
открытого подмножества U\sub X задана структура (левого)
O(U)-модуля на группе F(U), причем для каждой пары вложенных
открытых подмножеств V\sub U\sub X отображение продолжения
косечений F(V) \to F(U) копучка F является морфизмом O(U)-модулей
(где структура O(U)-модуля на F(V) получена ограничением скаляров
при помощи гомоморфизма колец O(U) \to O(V) из структуры
O(V)-модуля на F(V)).
Предкопучок O-модулей на X называется копучком O-модулей, если его
подлежащий предкопучок абелевых групп является копучком абелевых
групп на X.
Замечание: определение копучка множеств можно встретить
в литературе [см.] Отметим, однако, что свойство предкопучка
абелевых групп быть копучком абелевых групп нельзя проверить
по подлежащему предкопучку множеств, поскольку забывающий функтор
из абелевых групп в множества не согласован с копроизведениями
и отображения в диаграмме (*) зависят от структур абелевых групп
на множествах косечений. Подлежащий предкопучок множеств копучка
абелевых групп не является в большинстве случаев копучком множеств.
Теорема. Пусть B -- база открытых подмножеств X; будем
рассматривать ее как полную подкатегорию категории открытых
подмножеств X. Ковариантный функтор G из B в категорию абелевых
групп, снабженный заданием для каждого открытого множества
U\in B структуры O(U)-модуля на G(U), согласованной в описанном
выше смысле с отображениями продолжения G(V) \to G(U), где
V, U \in B и V\sub U, продолжается до копучка O-модулей на X
тогда и только тогда, когда выполнено следующее условие.
Для любого открытого множества V\in B, любого его покрытия
V = \bigcup_\alpha V_\alpha открытыми множествами V_\alpha\in B,
и любого (или, что все равно, какого-то одного) покрытия
V_\alpha\cap V_\beta = \bigcup_\gamma V_{\alpha\beta\gamma}
пересечений V_\alpha\cap V_\beta открытыми множествами
V_{\alpha\beta\gamma} \in B последовательность
\bigoplus_{\alpha,\beta,\gamma} G(V_{\alpha\beta\gamma}) \to (**)
\bigoplus_\alpha G(V_\alpha) \to G(V) \to 0.
должна быть точна. Функтор ограничения копучков O-модулей на X
на базу B, рассматриваемую как полная подкатегория категории
открытых подмножеств X, является эквивалентностью между
категорией копучков O-модулей на X и категорией ковариантных
функторов из B в абелевы группы, снабженных структурой O-модулей
и удовлетворяющих условию (**).
Доказательство. Если функтор G (с его O-модульной структурой)
продолжен до копучка O-модулей F на X, то для любого открытого
подмножества U\sub X имеется точная последовательность
O(U)-модулей
\bigoplus_{W,V',V''} G(W) \to \bigoplus_V G(V) \to F(U) \to 0
где суммирование в среднем члене идет по всем открытым
множествам V\in B, содержащимся в U, а в левом члене --
по всем парам таких открытых множеств V', V'' и открытым
множествам W\in B, содержащимся в V'\cap V''. Наоборот, если
задан только функтор G и O-модульная структура на нем, то
O(U)-модуль F(U) можно восстановить как коядро левой стрелки.
Очевидно, что соответствие U \mpsto F(U) является предкопучком
O(U)-модулей. Прежде чем доказывать, что F копучок, следует
проверить, что для любого покрытия U = \bigcup V_\alpha
открытого множества U множествами V_\alpha \in B и любых покрытий
V_\alpha\cap V_\beta = \bigcup_\gamma V_{\alpha\beta\gamma}
пересечений V_\alpha\cap V_\beta открытыми множествами
V_{\alpha\beta\gamma} \in B естественное отображение из
коядра морфизма \bigoplus_{\alpha,\beta,\gamma}
G(V_{\alpha\beta\gamma}) \to \bigoplus_\alpha G(V_\alpha)
O(U)-модуль F(U) (определенный выше) является изоморфизмом.
В частности, отсюда следует, что F(V) = G(V) для V \in B.
Оба утверждения достаточно проверять для копучков абелевых групп,
и оба они следуют из аналогичных утверждений для пучков,
являющихся стандартными [ссылка?] и легко проверяемыми. Отметим,
что предкопучок O-модулей F является копучком тогда и только
тогда, когда предпучок O-модулей U\mpsto Hom_{\Z}(F(U),J) является
пучком O-модулей для любой абелевой группы J (или конкретно
для J = \Q/\Z). Аналогичным образом, условие (**) для
ковариантного функтора G из базы открытых подмножеств X выполнено
тогда и только тогда, когда двойственное условие, гарантирующее
продолжение контравариантного функтора из базы открытых
подмножеств до пучка абелевых групп, выполнено для функтора
V\mpsto Hom_{\Z}(G(V),J). Теорема доказана.
Категория предкопучков O-модулей на X абелева и допускает
бесконечные прямые суммы и произведения. Функтор, сопоставляющий
предкопучку O-модулей над X O(U)-модуль его косечений над
открытым подмножеством U \sub X, точен и коммутирует с бесконечными
прямыми суммами и произведениями. Категория копучков O-модулей
над X является полной подкатегорией категории предкопучков
O-модулей, замкнутой относительно бесконечных прямых сумм и
коядер морфизмов; соответственно, это аддитивная категория
с бесконечыми прямыми суммами и коядрами (иначе говоря,
с произвольными индуктивными пределами). Функтор косечений
над открытым подмножеством U \sub X сохраняет бесконечные прямые
суммы и коядра в категории копучков O-модулей над X.
II.2. Точная категория контрагерентных копучков
Пусть X -- схема, O = O_X -- ее структурный пучок. Копучок
O_X-модулей F называется контрагерентным, если для любой пары
вложенных аффинных открытых подсхем V\sub U\sub X морфизм
O(V)-модулей F(V) \to Hom_{O(U)}(O(V),F(U)), индуцированный
морфизмом O(U)-модулей F(V) \to F(U), является изоморфизмом,
и при этом Ext^i_{O(U)}(O(V),F(U)) = 0 при i > 0.
Теорема. Ограничение копучков O_X-модулей на базу открытых
подмножеств X, состоящую из всех аффинных открытых подсхем,
индуцирует эквивалентность между категорией контрагерентных
копучков на X и категорией ковариантных функторов G из
категории аффинных открытых подсхем X (с тождественными
вложениями в качестве морфизмов) в категорию абелевых групп,
снабженных структурой O_X-модулей таким образом, что для любой
аффинной открытой подсхемы U\sub X модуль G(U) над кольцом O(U)
контраприспособлен и для любой пары вложенных аффинных открытых
подсхем V\sub U\sub X морфизм O(V)-модулей G(V) \to
Hom_{O(U)}(O(V),G(U)), индуцированный морфизмом O(U)-модулей
G(V) \to G(U), является изоморфизмом.
Доказательство: согласно теореме II.1, копучок O_X-модулей
однозначно определяется своим ограничением на базу аффинных
открытых подмножеств X. При этом условие контрагерентности,
по определению, достаточно проверять для такого ограничения.
Согласно лемме I.1.5, для любой аффинной открытой подсхемы
U \sub X, модуль F(U) = G(U) над кольцом O(U) контраприспособлен
тогда и только тогда, когда для любой аффинной открытой подсхемы
V \sub U модули Ext^i_{O(U)}(O(V),F(U)) зануляются при всех i > 0.
Наконец, согласно лемме I.1.6б), всякий ковариантный функтор G
с O_X-модульной структурой, удовлетворяющий условиям
контраприспособленности и контрагерентности, удовлетворяет также
и аксиоме копучка для аффинного открытого покрытия аффинного
открытого подмножества U \sub X.
Короткая последовательность контрагерентных копучков F \to G \to H
на X называется точной, если последовательность модулей косечений
0 \to F(U) \to G(U) \to H(U) \to 0 точна для всех аффинных открытых
подсхем U \sub X. Отметим, что если V_i -- аффинное открытое
покрытие открытой аффинной подсхемы U \sub X и F \to G \to H --
короткая последовательность контрагерентных копучков на X, то
последовательность O(U)-модулей 0 \to F(U) \to G(U) \to H(U) \to 0
точна тогда и только тогда, когда точны все последовательности
O(V_i)-модулей 0 \to F(V_i) \to G(V_i) \to H(V_i) \to 0. Это
следует из условия на Ext в определении контрагерентного копучка
и леммы I.1.6б).
Следствие. Функтор, сопоставляющий контрагерентному копучку F
модуль F(X) над кольцом O(X), является эквивалентностью между
точными категориями контрагерентных копучков на аффинной схеме X
и контраприспособленных модулей над коммутативным кольцом O(X).
Доказательство: следует из предыдущей теоремы, леммы I.1.5
и следствия I.1б).
Отметим, что морфизм контрагерентных копучков на X является
допустимым мономорфизмом тогда и только тогда, когда он действует
инъективно на модулях косечений над всеми аффинными открытыми
подсхемами X. В то же время, свойство морфизма контрагерентных
копучков быть допустимым мономорфизмом не является локальным по X,
как не является локальным и свойство копучка O_X-модулей быть
контрагерентным -- http://posic.livejournal.com/800532.html
Свойство морфизма контрагерентных копучков быть допустимым
эпиморфизмом, с другой стороны, локально (см. лемму I.2).
Сказанное выше в равной мере применимо и к контрагерентным
копучкам локально кокручения (см. определение в разделе II.3).
II.3. Прямые и обратные образы контрагерентных копучков
Пусть f: Y \to X -- морфизм окольцованных пространств и G --
копучок O_Y-модулей. Тогда правило f_!G(W) = G(f^{-1}W) определяет
копучок O_X-модулей f_!G.
Пусть f: Y \to X -- аффинный морфизм схем, и пусть G --
контрагерентный копучок на Y. Тогда f_!G является контрагерентным
копучком на X.
В самом деле, для любой открытой аффинной подсхемы U \sub X, модуль
(f_!G)(U) = G(f^{-1}U) над кольцом O_X(U) контраприспособлен
согласно лемме I.1.3а), примененной к гомоморфизму коммутативных
колец O_X(U) \to O_Y(f^{-1}U). Для любой пары открытых аффинных
подсхем V \sub U \sub X имеем естественные изоморфизмы
O_X(V)-модулей (f_!G)(V) = G(f^{-1}V) = Hom_{O_Y(f^{-1}U)}
(O_Y(f^{-1}V), G(f^{-1}U)) = Hom_{O_X(U)}(O_X(V), G(f^{-1}U)) =
Hom_{O_X(U)}(O_X(V), (f_!G)(U)), поскольку O_Y(f^{-1}V) =
O_Y(f^{-1}U)\otimes_{O_X(U)}O_X(V).
Назовем морфизм схем f: Y\to X коаффинным, если для любой аффинной
открытой подсхемы V \sub Y найдется аффинная открытая подсхема
U \sub X, такая что f(V) \sub U и для любых двух таких таких
аффинных открытых подсхем f(V) \sub U', U'' \sub X найдется
аффинная открытая подсхема U в X, такая что f(V) \sub U \sub
U', U''. Если схема X полуотделима, то второе условие тривиально.
Всякий морфизм в аффинную схему является коаффинным; всякое
вложение открытой подсхемы является коаффинным морфизмом.
Композиция двух коаффинных морфизмов между полуотделимыми схемами
является коаффинным морфизмом.
Назовем морфизм схем f: Y\to X очень плоским, если для любых
аффинных открытых подсхем V \sub Y и U \sub X, таких что
f(V) \sub U, кольцо O_Y(V) является очень плоским модулем над
кольцом O_X(U). Согласно лемме I.1.5, всякое вложение открытой
подсхемы является очень плоским морфизмом. Согласно леммам I.1.6а)
и I.1.7б), свойство очень плоскости морфизма схем локально как по
базе, так и по отображаемой схеме. Морфизм аффинных схем Spec S
\to Spec R является очень плоским тогда и только тогда, когда
гомоморфизм коммутативных колец R \to S удовлетворяет условию
леммы I.1.4. Согласно лемме I.1.4б), композиция очень плоских
морфизмов является очень плоским морфизмом.
Пусть f: Y \to X -- очень плоский коаффинный морфизм схем, и пусть
F -- контрагерентный копучок на X. Определим контрагерентный
копучок f^!F на Y следующим образом.
Пусть V \sub Y -- аффинная открытая подсхема. Выберем аффинную
открытую подсхему U \sub X, такую что f(V) \sub U, и положим
(f^!F)(V) = Hom_{O_X(U)}(O_Y(V),F(U)). Ввиду условия
контрагерентности F, это определение O_Y(V)-модуля (f^!F)(V)
не зависит от выбора аффинной открытой подсхемы U \sub X.
Поскольку f -- очень плоский морфизм, O_Y(V)-модуль (f^!F)(V)
контраприспособлен согласно лемме I.1.4а). Условие
контрагерентности очевидным образом выполнено для f^!F.
Контрагерентный копучок J на схеме X называется локально
инъективным, если для любой аффинной открытой подсхемы U \sub X
модуль J(U) над кольцом O_X(U) инъективен. Нетрудно видеть, что
инъективность контрагерентного копучка на аффинной схеме является
локальным свойством, так что наша терминология консистентна.
В самом деле, если модуль J над коммутативным кольцом R инъективен,
то для любого морфизма коммутативных колец R \to S модуль
Hom_R(S,J) над кольцом S также инъективен. Обратно, если R \to S_i
-- конечный набор морфизмов коммутативных колец, соответствующий
аффинному открытому покрытию Spec S_i \to Spec R аффинной схемы
Spec R, и P -- контраприспособленный R-модуль, такой что все
S_i-модули Hom_R(S_i,P) инъективны, то R-модули Hom_R(S_{i_1}\ot_R
... \ot_R S_{i_k}, P) также инъективны, так как ограничение
скаляров с S_{i_1}\ot_R ... \ot_R S_{i_k} до R сохраняет
инъективность (поскольку R-модуль S_{i_1}\ot_R ... \ot_R S_{i_k}
плоский), и теперь инъективность R-модуля P вытекает из точной
последовательности в лемме I.1.6б).
Контрагерентный копучок P на схеме X называется контрагерентным
копучком локально кокручения, если для любой аффинной открытой
подсхемы U \sub X модуль P(U) над кольцом O_X(U) является модулем
кокручения. Так же, как выше, показывается (используя леммы
I.3.3 и I.3.4), что быть копучком локально кокручения -- локальное
свойство для контрагерентного копучка.
Пусть f: Y \to X -- плоский коаффинный морфизм схем, и пусть P --
контрагерентный копучок локально кокручения на X. Такое же
правило, как выписано выше, определяет контрагерентный копучок
f^!P на Y, являющийся к тому же контрагерентным копучком локально
кокручения.
Для любого коаффинного морфизма схем f: Y \to X и локально
инъективного контрагерентного копучка J на X то же самое правило
определяет локально инъективный контрагерентный копучок f^!J на Y.
Если f: Y \to X -- аффинный морфизм схем и G -- контрагерентный
копучок локально кокручения на Y, то f_!G -- контрагерентный
копучок локально кокручения на X. Если f -- плоский аффинный
морфизм и G -- локально инъективный контрагерентный копучок на Y,
то f_!G -- локально инъективный контрагерентный копучок на X.
Пусть f: Y \to X -- аффинный коаффинный морфизм схем. Тогда если
G -- контрагерентный копучок на Y, а F -- локально инъективный
контрагерентный копучок на X, то имеется изоморфизм сопряжения
Hom^X(f_!G, F) = Hom^Y(G, f^!F), где Hom^X и Hom^Y обозначают
абелевы группы морфизмов в категориях контрагерентных копучков
на X и на Y, соответственно.
Если морфизм f, кроме того, плоский, то такой же изоморфизм
сопряжения имеет место для всех контрагерентных копучков G на Y
и контрагерентных копучков локально кокручения F на X; в частности,
f_! и f^! образуют пару сопряженных функторов между точными
категориями контрагерентных копучков локально кокручения на X и
на Y. Если морфизм f даже очень плоский, то функтор f^!,
действующий между точными категориями контрагерентных копучков
на X и Y, сопряжен справа к функтору f_!, действующему между
теми же двумя точными категориями.
Во всех перечисленных случаях, обе абелевы группы Hom^X(f_!G, F)
и Hom^Y(G, f^!F) отождествляются с группой, элементами которой
являются все наборы гомоморфизмов O_X(U)-модулей G(V) \to F(U),
определенных для всех аффинных открытых подсхем U \sub X и
V \sub Y, таких что f(V) \sub U (удовлетворяющие условию
согласованности при коограничениях).
Все функторы, построенные выше в этом разделе, являются точными
функторами между теми точными категориями контрагерентных копучков,
между которыми они действуют.
Часть 1. Контрагерентные копучки над схемами
I. Контраприспособленные модули и модули кокручения
I.1. Контраприспособленные и очень плоские модули
Пусть R -- коммутативное кольцо. R-модуль P называется
контраприспособленным, если для любого элемента r\in R модуль
Ext_R^1(R[r^{-1}], P) равен нулю. R-модуль F называется
очень плоским, если для любого контраприспособленного
R-модуля P модуль Ext_R^1(F,P) равен нулю.
Отметим, что R-модуль R[r^{-1}] имеет проективную размерность,
не превосходящую 1, откуда следует, что всякий фактормодуль
контраприспособленного модуля контраприспособлен и проективная
размерность всякого очень плоского модуля не превосходит 1.
Ясно также, что классы контраприспособленных и очень плоских
R-модулей замкнуты относительно расширений, а класс очень
плоских модулей замкнут, кроме того, относительно перехода
к ядру сюръекции. Отметим еще, что класс контраприспособленных
R-модулей замкнут относительно бесконечных произведений, а класс
очень плоских R-модулей -- относительно бесконечных прямых сумм.
Следующие два утверждения вытекают из результатов работы
Eklof-Trlifaj "How to make Ext vanish" (см. там Lemma 1, Theorem 2,
Theorem 10).
Теорема. а) Любой R-модуль можно вложить в контраприспособленный
R-модуль так, что фактормодуль будет очень плоским.
б) На любой R-модуль можно сюръективно отобразить очень плоский
R-модуль так, что ядро этого морфизма будет контраприспособлено.
Лемма 1. R-модуль является очень плоским тогда и только тогда,
когда его можно представить как прямое слагаемое транфинитно
итерированного (в смысле прямого предела) расширения R-модулей
вида R[r^{-1}].
Доказательство: следует из доказательства в работе Eklof-Trlifaj.
Лемма 2. а) Класс очень плоских R-модулей замкнут относительно
тензорных произведений над R. б) Для любого очень плоского
R-модуля F и контраприспособленного R-модуля P, модуль Hom_R(F,P)
над кольцом R является контраприспособленным.
Доказательство: пункт а) следует из леммы 1, пункт б) следует
из пункта а).
Лемма 3. Пусть f: R \to S -- гомоморфизм коммутативных колец.
Тогда а) всякий контраприспособленный S-модуль P является также
контраприспособленным R-модулем в структуре R-модуля, полученной
ограничением скаляров с помощью f; б) если F -- очень плоский
R-модуль, то S-модуль S\otimes_R F тоже очень плоский.
Доказательство. Пункт а): Ext_R^1(R[r^{-1}], P) =
Ext_S^1(S[f(r)^{-1}], P) для любого S-модуля P и элемента r\in R.
Пункт б) следует из пункта а) или, альтернативным образом, из
леммы 1.
Лемма 4. Пусть f: R \to S -- гомоморфизм коммутативных колец,
такой что S[s^{-1}] является очень плоским R-модулем для любого
элемента s\in S. Тогда а) S-модуль Hom_R(S,P) контраприспособлен
для любого контраприспособленного R-модуля P; б) всякий очень
плоский S-модуль является очень плоским R-модулем (в структуре
R-модуля, полученной ограничением скаляров с помощью f);
в) S-модуль Hom_R(F,P) контраприспособлен для любого очень
плоского S-модуля F и контраприспособленного R-модуля P.
Доказательство. Пункт а): Ext_S^1(S[s^{-1}], Hom_R(S,P)) =
Ext_R^1(S[s^{-1}], P) для любого R-модуля P, для которого
Ext^1_R(S,P) = 0 и любого элемента s\in S. Пункт б) следует из
пункта а) или, альтернативным образом, из леммы 1. Пункт в):
Ext_S^1(S[s^{-1}], Hom_R(F,P)) = Ext_R^1(F\otimes_S S[s^{-1}], P)
= 0 согласно лемме 2а) (примененной к кольцу S) и пункту б).
Лемма 5. Пусть R \to S -- гомоморфизм коммутативных колец, для
которого соответствующий морфизм аффинных схем Spec S \to Spec R
является открытым вложением. Тогда S является очень плоским
R-модулем.
Доказательство: подмножество Spec S \sub Spec R, будучи открытым
и квазикомпактным, может быть покрыто конечным числом главных
аффинных открытых подмножеств Spec R[r_i^{-1}] \sub Spec R,
где i = 1, ..., N. Последовательность Чеха
0 \to S \to \bigoplus_i R[r_i^{-1}] \to
\bigoplus_{i < j} R[(r_ir_j)^{-1}] \to ...
\to R[(r_1...r_N)^{-1}] \to 0
точна, посколько точна ее локализация по каждому из элементов r_i,
и следовательно, по любому простому идеалу кольца S
(последовательностью модулей над которым она является). Остается
вспомнить, что класс очень плоских R-модулей замкнут относительно
перехода к ядрам сюръективных отображений.
Следствие. В условиях леммы 5, а) S-модуль F является очень
плоским тогда и только тогда, когда он очень плоский как R-модуль,
б) S-модуль Hom_R(S,P) контраприспособлен для любого
контраприспособленного R-модуля P.
Доказательство: пункт а) следует из леммы 3б) (вместе
с изоморфизмом S\otimes_R F = F) и леммы 4б) (вместе с леммой 5).
Пункт б) следует из леммы 4а) и леммы 5.
Лемма 6. Пусть R \to S_i, i = 1, ..., N -- набор гомоморфизмов
коммутативных колец, для которого соответствующий набор морфизмов
аффинных схем Spec S_i \to Spec R является открытым покрытием.
Тогда а) R-модуль F является очень плоским в том и только том
случае, когда все S_i-модули S_i\otimes_R F очень плоские; б) для
любого контраприспособленного R-модуля P, последовательность Чеха
0 \to Hom_R(S_1\ot_R S_2\ot_R ... \ot_R S_N, P) \to ...
\to \bigoplus_i Hom_R(S_i, P) \to P \to 0 точна.
Доказательство. Часть а): согласно лемме 3б) и пункту а)
следствия, если все S_i-модули S_i\otimes_R F очень плоские, то
все R-модули S_{i_1}\ot_R ... \ot_R S_{i_k}\ot_R F очень плоские.
Для любого R-модуля F имеется точная последовательность Чеха
0 \to F \to \bigoplus_i S_i\ot_R F \to \bigoplus_{i < j}
S_i\ot_R S_j\ot_R F \to ... \to S_1\ot_R ...\ot_R S_N\ot_R F \to 0.
Остается вспомнить, что класс очень плоских R-модулей замкнут
относительно перехода к ядру сюръекции.
Часть б): точная последовательность R-модулей 0 \to R \to
\bigoplus_i S_i \to \bigoplus_{i < j} S_i\ot_R S_j \to ... \to
S_1\ot_R ...\ot_R S_N \to 0 составлена из точных троек очень
плоских R-модулей, поэтому применение к ней функтора Hom_R(-,P)
в контраприспособленный R-модуль P сохраняет ее точность.
Лемма 7. Пусть f_i: S \to T_i, i = 1,...,N -- набор гомоморфизмов
коммутативных колец, для которого соответствующий набор морфизмов
аффинных схем Spec T_i \to Spec S является открытым покрытием,
и пусть R \to S -- гомоморфизм коммутативных колец. Тогда
а) если все R-модули T_{i_1}\ot_S ...\ot_S T_{i_k} очень плоские,
то R-модуль S очень плоский; б) все R-модули T_i[t_i^{-1}] очень
плоские для всех t_i \in T_i тогда и только тогда, когда R-модуль
S[s^{-1}] очень плоский для всех s \in S.
Доказательство: пункт а) следует из точности последовательности
Чеха 0 \to S \to \bigoplus_i T_i \to \bigoplus_{i < j} T_i\ot_S T_j
\to ... \to T_1\ot_S ...\ot_S T_N \to 0. Утверждение "тогда"
в пункте б) следует из пункта а) и того, что Spec T_i[t_i^{-1}]
как открытую аффинную подсхему Spec S можно покрыть аффинными
открытыми подсхемами Spec S вида Spec S[s^{-1}], причем пересечения
этих открытых подсхем будут иметь такой же вид. Утверждение
"только тогда" следует из пункта а), примененного к покрытию
аффинной схемы Spec S[s^{-1}] аффинными открытыми подсхемами
Spec T_i[f_i(s)^{-1}] и того факта, что пересечение любого
подмножества этих аффинных открытых подсхем можно покрыть главными
открытыми аффинными подсхемами одной из схем Spec T_i.
Лемма 8. а) Для любого конечно-порожденного R-модуля M и любого
контраприспособленного R-модуля P, модуль M\otimes_R P над кольцом
R контраприспособлен. б) Если кольцо R когерентно, то для любого
очень плоского R-модуля F и любого плоского контраприспособленного
R-модуля P, модуль Hom_R(F,P) над кольцом R контраприспособленный
и плоский.
Доказательство: утверждение части а) сразу следует из того, что
класс контраприспособленных R-модулей замкнут относительно конечных
прямых сумм и всякий фактормодуль контраприспособленного
R-модуля контраприспособлен. Доказательство части б) аналогично
доказательству леммы I.3.5б) ниже (с использованием части а)
настоящей леммы вместо леммы I.3.5а) и леммы 2б) выше вместо
леммы I.3.21а)).
I.2. Точная категория контраприспособленных модулей
Как полные подкатегории абелевой категории R-модулей, замкнутые
относительно расширений, категории контраприспособленных и очень
плоских R-модулей имеют естественные структуры точных категорий.
В точной категории контраприспособленных R-модулей всякий морфизм
имеет коядро, которое является допустимым эпиморфизмом.
В точной категории контраприспособленных R-модулей определены
и точны функторы бесконечных произведений, а в точной категории
очень плоских R-модулей определены и точны функторы бесконечных
прямых сумм.
Из теоремы I.1 следует, что в точной категории
контраприспособленных R-модулей достаточно много проективных
объектов, которыми являются в точности очень плоские
контраприспособленные R-модули. Двойственным образом, в точной
категории очень плоских R-модулей достаточно много инъективных
объектов, которыми являются в точности контраприспособленные
очень плоские R-модули.
Тензорное произведение двух очень плоских R-модулей является точным
функтором двух аргументов, действующим из декартова квадрата точной
категории очень плоских R-модулей в ту же самую точную категорию.
Hom_R из очень плоского R-модуля в контраприспособленный R-модуль
является точным функтором двух аргументов, действующим из декартова
произведения категории, противоположной к точной категории очень
плоских R-модулей и точной категории контраприспособленных
R-модулей в точную категорию контраприспособленных R-модулей.
В случае когерентного коммутативного кольца R, функтор тензорного
умножения на плоский контраприспособленный R-модуль является точным
функтором из абелевой категории конечно-представимых R-модулей
в точную категорию контраприспособленных R-модулей.
Для любого гомоморфизма коммутативных колец f: R \to S, ограничение
скаляров при помощи f является точным функтором из точной категории
контраприспособленных S-модулей в точную категорию
контраприспособленных R-модулей. Расширение скаляров F\mpsto
S\otimes_R F является точным функтором из точной категории
очень плоских R-модулей в точную категорию очень плоских S-модулей.
Для любого гомоморфизма коммутативных колец f: R \to S,
удовлетворяющего условию леммы I.1.4, ограничение скаляров при
помощи f является точным функтором из точной категории очень
плоских S-модулей в точную категорию очень плоских R-модулей.
Корасширение скаляров P\mpsto Hom_R(S,P) является точным функтором
из точной категории контраприспособленных R-модулей в точную
категорию контраприспособленных S-модулей. В частности, эти
утверждения справедливы для гомоморфизма коммутативных колец
R \to S, удовлетворяющего условию леммы I.1.5.
Лемма. Пусть R \to S_i -- набор гомоморфизмов коммутативных колец,
для которого соответствующий набор морфизмов аффинных схем Spec S_i
\to R является открытым покрытием. Тогда а) пара гомоморфизмов
контраприспособленных R-модулей K \to L \to M является короткой
точной последовательностью тогда и только тогда, когда таковыми
являются последовательности контраприспособленных S_i-модулей
Hom_R(S_i,K) \to Hom_R(S_i, L) \to Hom_R(S_i,M) для всех i;
б) гомоморфизм контраприспособленных R-модулей P \to Q является
допустимым эпиморфизмом тогда и только тогда, когда таковыми
являются гомоморфизмы контраприспособленных S_i-модулей
Hom_R(S_i,P) \to Hom_R(S_i,Q) для всех i.
Доказательство. Часть а): утверждение "только тогда" следует из
леммы I.1.5. Аналогичным образом, если последовательности
0 \to Hom_R(S_i,K) \to Hom_R(S_i, L) \to Hom_R(S_i,M) \to 0 точны,
то точны и последовательности, получающиеся применением
к последовательности 0 \to K \to L \to M \to 0 функтора Hom над R
из тензорного произведения над R любого непустого подмножества
колец S_i. Остается применить лемму I.1.6б).
Часть б): из крайнего правого отрезка точной последовательности
в лемме I.1.6б) ясно, что сюръективность отображений
Hom_R(S_i,P) \to Hom_R(S_i,Q) влечет сюръективность отображения
P \to Q. Остается проверить, что ядро последнего отображения
является контраприспособленным R-модулем. Обозначим это ядро
через K. Поскольку гомоморфизмы контраприспособленных S_i-модулей
Hom_R(S_i,P) \to Hom_R(S_i,Q) являются допустимыми эпиморфизмами,
таковыми же являются морфизмы, получающиеся применением к морфизму
P \to Q функтора коограничения скаляров по отношению
к естественному гомоморфизму из кольца R в тензорное произведение
над R любого непустого подмножества колец S_i. Переходя к ядру
сюръективного гомоморфизма точных последовательностей из леммы
I.1.6б), связанного с морфизмом контраприспособленных R-модулей
P \to Q, мы получаем короткую точную последовательность R-модулей,
самым правым членом которой является модуль K, а все остальные
модули контраприспособлены. Отсюда R-модуль K также
контраприспособлен.
I.3. Модули кокручения
Пусть R -- ассоциативное кольцо. Левый R-модуль P называется
R-модулем кокручения, если Ext_R^1(F,P) = 0 для любого плоского
левого R-модуля F, или, что эквивалентно, Ext_R^i(F,P) = 0 для
любого плоского R-модуля F и всех i > 0. Ясно, что класс R-модулей
кокручения замкнут относительно расширений и перехода к коядру
вложения, а также бесконечных произведений.
Следующие утверждения доказаны в работах Eklof-Trlifaj и
Bican-Bashir-Enochs.
Теорема. а) Любой R-модуль можно вложить в R-модуль кокручения
так, что фактормодуль будет плоским R-модулем. б) На любой R-модуль
можно сюръективно отобразить плоский R-модуль так, что ядро этого
морфизма будет R-модулем кокручения.
Лемма 1. Пусть R -- коммутативное кольцо. Тогда а) для любого
плоского R-модуля F и R-модуля кокручения P, модуль Hom_R(F,P) над
кольцом R является модулем кокручения; б) для любого R-модуля M
и инъективного R-модуля J, модуль Hom_R(M,J) над кольцом R является
модулем кокручения.
Доказательство: Ext_R^1(G, Hom_R(F,P)) = Ext_R^1(F\otimes_R G, P)
для любых R-модулей F, G, P, таких что Ext_R^1(F,P) = 0 =
Tor^R_1(F,G).
Следующая лемма доставляет обобщение результатов леммы 1 на случай
некоммутативных колец.
Лемма 2. Пусть R, S -- ассоциативные кольца. Тогда a) для любого
R-плоского R-S-бимодуля F и любого левого R-модуля кокручения P,
левый модуль Hom_R(F,P) над кольцом S является модулем кокручения;
б) для любого R-S-бимодуля M и инъективного левого R-модуля J,
левый модуль Hom_R(M,J) над кольцом S является модулем кокручения.
Доказательство такое же, как для леммы 1.
Лемма 3. Пусть f: R \to S -- гомоморфизм колец. Тогда всякий
S-модуль кокручения является также R-модулем кокручения в структуре
R-модуля, полученной ограничением скаляров с помощью f.
Доказательство: Ext_R^1(F,P) = Ext_S^1(S\otimes_R F, P) для
любого плоского R-модуля F и любого S-модуля P.
Лемма 4. Пусть f: R \to S -- гомоморфизм колец, такой что S
является плоским левым R-модулем. Тогда S-модуль Hom_R(S,P)
является левым S-модулем кокручения для любого левого R-модуля
кокручения P.
Доказательство: Ext_S^1(F,Hom_R(S,P)) = Ext_R^1(F,P) для любого
R-модуля P, такого что Ext_R^1(S,P) = 0, и любого S-модуля F.
Лемма 5: Пусть R -- когерентное коммутативное кольцо, над которым
всякий плоский модуль имеет конечную проективную размерность.
Тогда а) для любого конечно-представимого R-модуля M и плоского
R-модуля кокручения P, модуль M\otimes_R P является R-модулем
кокручения; б) для любого плоского R-модуля F и плоского R-модуля
кокручения P, модуль Hom_R(F,P) над кольцом R является плоским
модулем кокручения.
Доказательство. Часть а): над кольцом, над которым всякий
плоский модуль имеет конечную проективную размерность, всякий
модуль имеет конечную размерность кокручения, т.е. достаточно
длинная конечная точная последовательность, у которой все
средние члены являются модулями кокручения, имеет самым правым
членом тоже модуль кокручения. Осталось применить это
утверждение к тензорному произведению конечно-порожденной
проективной левой резольвенты R-модуля M на R-модуль P
(канонически обрезанному достаточно далеко слева).
Часть б): функтор M\mpsto Hom_R(F, M\otimes_R P) точен на
категории конечно-представимых R-модулей M, поскольку Hom из
плоского R-модуля в точную тройку R-модулей кокручения является
точной тройкой R-модулей. Поскольку функтор M\mpsto M\otimes_R
Hom_R(F,P) точен справа и два функтора изоморфны в ограничении
на конечно порожденные проективные R-модули M, эти функторы
изоморфны на всей категории конечно-представимых R-модулей M,
откуда функтор M\mpsto M\otimes_R Hom_R(F,P) точен и R-модуль
Hom_R(F,P) плоский. То, что Hom_R(F,P) является R-модулем
кокручения, было показано (в более слабых предположениях)
в лемме 1а).
I.4. Точная категория модулей кокручения
Как полная подкатегория абелевой категории R-модулей,
замкнутая относительно расширений, категория R-модулей кокручения
имеет естественную структуру точной категории. Функторы
бесконечных произведений определены и точны в этой точной
категории. Аналогично, категория плоских R-модулей имеет
естественную структуру точной категории с точными функторами
бесконечных произведений.
Из теоремы I.3 следует, что в точной категории R-модулей кокручения
достаточно много проективных объектов, которыми являются в точности
плоские R-модули кокручения. Двойственным образом, в точной
категории плоских R-модулей достаточно много инъективных объектов,
которыми являются в точности плоские R-модули кокручения.
Для любого коммутативного кольца R, функтор Hom_R из плоского
R-модуля в R-модуль кокручения является точным функтором двух
аргментов, действующим из произведения категории, противоположной
к точной категории плоских R-модулей и точной категории R-модулей
кокручения в точную категорию R-модулей кокручения. Аналогичными
свойствами обладают функторы Hom из лемм I.3.1б) и I.3.2.
Пусть R -- когерентное коммутативное кольцо, над которым всякий
плоский модуль имеет конечную проективную размерность. Тогда
функтор тензорного умножения на плоский R-модуль кокручения
является точным функтором из абелевой категории конечно
представимых R-модулей в точную категорию R-модулей кокручения.
В тех же предположениях, функтор Hom_R в плоский R-модуль
кокручения переводит точные тройки плоских R-модулей в расщепимые
точные тройки плоских R-модулей кокручения.
Для любого гомоморфизма колец f: R \to S, ограничение скаляров
при помощи f является точным функтором из точной категории
S-модулей кокручения в точную категорию R-модулей кокручения.
Для любого гомоморфизма колец f: R \to S, такого что S является
плоским левым R-модулем, корасширение скаляров P\mpsto Hom_R(S,P)
является точным функтором из точной категории R-модулей кокручения
в точную категорию S-модулей кокручения.
Лемма. Пусть R \to S_i -- набор гомоморфизмов коммутативных колец,
для которого соответствующий набор морфизмов аффинных схем Spec S_i
\to R является открытым покрытием. Тогда а) пара гомоморфизмов
R-модулей кокручения K \to L \to M является короткой точной
последовательностью тогда и только тогда, когда таковыми являются
последовательности контраприспособленных S_i-модулей Hom_R(S_i,K)
\to Hom_R(S_i, L) \to Hom_R(S_i,M) для всех i; б) гомоморфизм
R-модулей кокручения P \to Q является допустимым эпиморфизмом тогда
и только тогда, когда таковыми являются гомоморфизмы S_i-модулей
кокручения Hom_R(S_i,P) \to Hom_R(S_i,Q) для всех i.
Доказательство: см. доказательство леммы I.2.
II. Контрагерентные копучки над схемой
II.1. Копучки модулей над пучком колец
Пусть X -- топологическое пространство. Предкопучком абелевых
групп на X называется ковариантный функтор из категории открытых
подмножеств X (с тождественными вложениями в качестве морфизмов)
в категорию абелевых групп. Предкопучок абелевых групп F на X
называется копучком, если для любого открытого подмножества U\sub X
и его открытого покрытия U = \bigcup_\alpha U_\alpha следующая
последовательность абелевых групп точна:
\bigoplus_{\alpha,\beta} F(U_\alpha\cap U_\beta) \to (*)
\bigoplus_\alpha F(U_\alpha) \to F(U) \to 0.
Пусть O -- пучок колец на X. Предкопучок абелевых групп F на X
называется предкопучком (левых) O-модулей, если для каждого
открытого подмножества U\sub X задана структура (левого)
O(U)-модуля на группе F(U), причем для каждой пары вложенных
открытых подмножеств V\sub U\sub X отображение продолжения
косечений F(V) \to F(U) копучка F является морфизмом O(U)-модулей
(где структура O(U)-модуля на F(V) получена ограничением скаляров
при помощи гомоморфизма колец O(U) \to O(V) из структуры
O(V)-модуля на F(V)).
Предкопучок O-модулей на X называется копучком O-модулей, если его
подлежащий предкопучок абелевых групп является копучком абелевых
групп на X.
Замечание: определение копучка множеств можно встретить
в литературе [см.] Отметим, однако, что свойство предкопучка
абелевых групп быть копучком абелевых групп нельзя проверить
по подлежащему предкопучку множеств, поскольку забывающий функтор
из абелевых групп в множества не согласован с копроизведениями
и отображения в диаграмме (*) зависят от структур абелевых групп
на множествах косечений. Подлежащий предкопучок множеств копучка
абелевых групп не является в большинстве случаев копучком множеств.
Теорема. Пусть B -- база открытых подмножеств X; будем
рассматривать ее как полную подкатегорию категории открытых
подмножеств X. Ковариантный функтор G из B в категорию абелевых
групп, снабженный заданием для каждого открытого множества
U\in B структуры O(U)-модуля на G(U), согласованной в описанном
выше смысле с отображениями продолжения G(V) \to G(U), где
V, U \in B и V\sub U, продолжается до копучка O-модулей на X
тогда и только тогда, когда выполнено следующее условие.
Для любого открытого множества V\in B, любого его покрытия
V = \bigcup_\alpha V_\alpha открытыми множествами V_\alpha\in B,
и любого (или, что все равно, какого-то одного) покрытия
V_\alpha\cap V_\beta = \bigcup_\gamma V_{\alpha\beta\gamma}
пересечений V_\alpha\cap V_\beta открытыми множествами
V_{\alpha\beta\gamma} \in B последовательность
\bigoplus_{\alpha,\beta,\gamma} G(V_{\alpha\beta\gamma}) \to (**)
\bigoplus_\alpha G(V_\alpha) \to G(V) \to 0.
должна быть точна. Функтор ограничения копучков O-модулей на X
на базу B, рассматриваемую как полная подкатегория категории
открытых подмножеств X, является эквивалентностью между
категорией копучков O-модулей на X и категорией ковариантных
функторов из B в абелевы группы, снабженных структурой O-модулей
и удовлетворяющих условию (**).
Доказательство. Если функтор G (с его O-модульной структурой)
продолжен до копучка O-модулей F на X, то для любого открытого
подмножества U\sub X имеется точная последовательность
O(U)-модулей
\bigoplus_{W,V',V''} G(W) \to \bigoplus_V G(V) \to F(U) \to 0
где суммирование в среднем члене идет по всем открытым
множествам V\in B, содержащимся в U, а в левом члене --
по всем парам таких открытых множеств V', V'' и открытым
множествам W\in B, содержащимся в V'\cap V''. Наоборот, если
задан только функтор G и O-модульная структура на нем, то
O(U)-модуль F(U) можно восстановить как коядро левой стрелки.
Очевидно, что соответствие U \mpsto F(U) является предкопучком
O(U)-модулей. Прежде чем доказывать, что F копучок, следует
проверить, что для любого покрытия U = \bigcup V_\alpha
открытого множества U множествами V_\alpha \in B и любых покрытий
V_\alpha\cap V_\beta = \bigcup_\gamma V_{\alpha\beta\gamma}
пересечений V_\alpha\cap V_\beta открытыми множествами
V_{\alpha\beta\gamma} \in B естественное отображение из
коядра морфизма \bigoplus_{\alpha,\beta,\gamma}
G(V_{\alpha\beta\gamma}) \to \bigoplus_\alpha G(V_\alpha)
O(U)-модуль F(U) (определенный выше) является изоморфизмом.
В частности, отсюда следует, что F(V) = G(V) для V \in B.
Оба утверждения достаточно проверять для копучков абелевых групп,
и оба они следуют из аналогичных утверждений для пучков,
являющихся стандартными [ссылка?] и легко проверяемыми. Отметим,
что предкопучок O-модулей F является копучком тогда и только
тогда, когда предпучок O-модулей U\mpsto Hom_{\Z}(F(U),J) является
пучком O-модулей для любой абелевой группы J (или конкретно
для J = \Q/\Z). Аналогичным образом, условие (**) для
ковариантного функтора G из базы открытых подмножеств X выполнено
тогда и только тогда, когда двойственное условие, гарантирующее
продолжение контравариантного функтора из базы открытых
подмножеств до пучка абелевых групп, выполнено для функтора
V\mpsto Hom_{\Z}(G(V),J). Теорема доказана.
Категория предкопучков O-модулей на X абелева и допускает
бесконечные прямые суммы и произведения. Функтор, сопоставляющий
предкопучку O-модулей над X O(U)-модуль его косечений над
открытым подмножеством U \sub X, точен и коммутирует с бесконечными
прямыми суммами и произведениями. Категория копучков O-модулей
над X является полной подкатегорией категории предкопучков
O-модулей, замкнутой относительно бесконечных прямых сумм и
коядер морфизмов; соответственно, это аддитивная категория
с бесконечыми прямыми суммами и коядрами (иначе говоря,
с произвольными индуктивными пределами). Функтор косечений
над открытым подмножеством U \sub X сохраняет бесконечные прямые
суммы и коядра в категории копучков O-модулей над X.
II.2. Точная категория контрагерентных копучков
Пусть X -- схема, O = O_X -- ее структурный пучок. Копучок
O_X-модулей F называется контрагерентным, если для любой пары
вложенных аффинных открытых подсхем V\sub U\sub X морфизм
O(V)-модулей F(V) \to Hom_{O(U)}(O(V),F(U)), индуцированный
морфизмом O(U)-модулей F(V) \to F(U), является изоморфизмом,
и при этом Ext^i_{O(U)}(O(V),F(U)) = 0 при i > 0.
Теорема. Ограничение копучков O_X-модулей на базу открытых
подмножеств X, состоящую из всех аффинных открытых подсхем,
индуцирует эквивалентность между категорией контрагерентных
копучков на X и категорией ковариантных функторов G из
категории аффинных открытых подсхем X (с тождественными
вложениями в качестве морфизмов) в категорию абелевых групп,
снабженных структурой O_X-модулей таким образом, что для любой
аффинной открытой подсхемы U\sub X модуль G(U) над кольцом O(U)
контраприспособлен и для любой пары вложенных аффинных открытых
подсхем V\sub U\sub X морфизм O(V)-модулей G(V) \to
Hom_{O(U)}(O(V),G(U)), индуцированный морфизмом O(U)-модулей
G(V) \to G(U), является изоморфизмом.
Доказательство: согласно теореме II.1, копучок O_X-модулей
однозначно определяется своим ограничением на базу аффинных
открытых подмножеств X. При этом условие контрагерентности,
по определению, достаточно проверять для такого ограничения.
Согласно лемме I.1.5, для любой аффинной открытой подсхемы
U \sub X, модуль F(U) = G(U) над кольцом O(U) контраприспособлен
тогда и только тогда, когда для любой аффинной открытой подсхемы
V \sub U модули Ext^i_{O(U)}(O(V),F(U)) зануляются при всех i > 0.
Наконец, согласно лемме I.1.6б), всякий ковариантный функтор G
с O_X-модульной структурой, удовлетворяющий условиям
контраприспособленности и контрагерентности, удовлетворяет также
и аксиоме копучка для аффинного открытого покрытия аффинного
открытого подмножества U \sub X.
Короткая последовательность контрагерентных копучков F \to G \to H
на X называется точной, если последовательность модулей косечений
0 \to F(U) \to G(U) \to H(U) \to 0 точна для всех аффинных открытых
подсхем U \sub X. Отметим, что если V_i -- аффинное открытое
покрытие открытой аффинной подсхемы U \sub X и F \to G \to H --
короткая последовательность контрагерентных копучков на X, то
последовательность O(U)-модулей 0 \to F(U) \to G(U) \to H(U) \to 0
точна тогда и только тогда, когда точны все последовательности
O(V_i)-модулей 0 \to F(V_i) \to G(V_i) \to H(V_i) \to 0. Это
следует из условия на Ext в определении контрагерентного копучка
и леммы I.1.6б).
Следствие. Функтор, сопоставляющий контрагерентному копучку F
модуль F(X) над кольцом O(X), является эквивалентностью между
точными категориями контрагерентных копучков на аффинной схеме X
и контраприспособленных модулей над коммутативным кольцом O(X).
Доказательство: следует из предыдущей теоремы, леммы I.1.5
и следствия I.1б).
Отметим, что морфизм контрагерентных копучков на X является
допустимым мономорфизмом тогда и только тогда, когда он действует
инъективно на модулях косечений над всеми аффинными открытыми
подсхемами X. В то же время, свойство морфизма контрагерентных
копучков быть допустимым мономорфизмом не является локальным по X,
как не является локальным и свойство копучка O_X-модулей быть
контрагерентным -- http://posic.livejournal.com/800532.html
Свойство морфизма контрагерентных копучков быть допустимым
эпиморфизмом, с другой стороны, локально (см. лемму I.2).
Сказанное выше в равной мере применимо и к контрагерентным
копучкам локально кокручения (см. определение в разделе II.3).
II.3. Прямые и обратные образы контрагерентных копучков
Пусть f: Y \to X -- морфизм окольцованных пространств и G --
копучок O_Y-модулей. Тогда правило f_!G(W) = G(f^{-1}W) определяет
копучок O_X-модулей f_!G.
Пусть f: Y \to X -- аффинный морфизм схем, и пусть G --
контрагерентный копучок на Y. Тогда f_!G является контрагерентным
копучком на X.
В самом деле, для любой открытой аффинной подсхемы U \sub X, модуль
(f_!G)(U) = G(f^{-1}U) над кольцом O_X(U) контраприспособлен
согласно лемме I.1.3а), примененной к гомоморфизму коммутативных
колец O_X(U) \to O_Y(f^{-1}U). Для любой пары открытых аффинных
подсхем V \sub U \sub X имеем естественные изоморфизмы
O_X(V)-модулей (f_!G)(V) = G(f^{-1}V) = Hom_{O_Y(f^{-1}U)}
(O_Y(f^{-1}V), G(f^{-1}U)) = Hom_{O_X(U)}(O_X(V), G(f^{-1}U)) =
Hom_{O_X(U)}(O_X(V), (f_!G)(U)), поскольку O_Y(f^{-1}V) =
O_Y(f^{-1}U)\otimes_{O_X(U)}O_X(V).
Назовем морфизм схем f: Y\to X коаффинным, если для любой аффинной
открытой подсхемы V \sub Y найдется аффинная открытая подсхема
U \sub X, такая что f(V) \sub U и для любых двух таких таких
аффинных открытых подсхем f(V) \sub U', U'' \sub X найдется
аффинная открытая подсхема U в X, такая что f(V) \sub U \sub
U', U''. Если схема X полуотделима, то второе условие тривиально.
Всякий морфизм в аффинную схему является коаффинным; всякое
вложение открытой подсхемы является коаффинным морфизмом.
Композиция двух коаффинных морфизмов между полуотделимыми схемами
является коаффинным морфизмом.
Назовем морфизм схем f: Y\to X очень плоским, если для любых
аффинных открытых подсхем V \sub Y и U \sub X, таких что
f(V) \sub U, кольцо O_Y(V) является очень плоским модулем над
кольцом O_X(U). Согласно лемме I.1.5, всякое вложение открытой
подсхемы является очень плоским морфизмом. Согласно леммам I.1.6а)
и I.1.7б), свойство очень плоскости морфизма схем локально как по
базе, так и по отображаемой схеме. Морфизм аффинных схем Spec S
\to Spec R является очень плоским тогда и только тогда, когда
гомоморфизм коммутативных колец R \to S удовлетворяет условию
леммы I.1.4. Согласно лемме I.1.4б), композиция очень плоских
морфизмов является очень плоским морфизмом.
Пусть f: Y \to X -- очень плоский коаффинный морфизм схем, и пусть
F -- контрагерентный копучок на X. Определим контрагерентный
копучок f^!F на Y следующим образом.
Пусть V \sub Y -- аффинная открытая подсхема. Выберем аффинную
открытую подсхему U \sub X, такую что f(V) \sub U, и положим
(f^!F)(V) = Hom_{O_X(U)}(O_Y(V),F(U)). Ввиду условия
контрагерентности F, это определение O_Y(V)-модуля (f^!F)(V)
не зависит от выбора аффинной открытой подсхемы U \sub X.
Поскольку f -- очень плоский морфизм, O_Y(V)-модуль (f^!F)(V)
контраприспособлен согласно лемме I.1.4а). Условие
контрагерентности очевидным образом выполнено для f^!F.
Контрагерентный копучок J на схеме X называется локально
инъективным, если для любой аффинной открытой подсхемы U \sub X
модуль J(U) над кольцом O_X(U) инъективен. Нетрудно видеть, что
инъективность контрагерентного копучка на аффинной схеме является
локальным свойством, так что наша терминология консистентна.
В самом деле, если модуль J над коммутативным кольцом R инъективен,
то для любого морфизма коммутативных колец R \to S модуль
Hom_R(S,J) над кольцом S также инъективен. Обратно, если R \to S_i
-- конечный набор морфизмов коммутативных колец, соответствующий
аффинному открытому покрытию Spec S_i \to Spec R аффинной схемы
Spec R, и P -- контраприспособленный R-модуль, такой что все
S_i-модули Hom_R(S_i,P) инъективны, то R-модули Hom_R(S_{i_1}\ot_R
... \ot_R S_{i_k}, P) также инъективны, так как ограничение
скаляров с S_{i_1}\ot_R ... \ot_R S_{i_k} до R сохраняет
инъективность (поскольку R-модуль S_{i_1}\ot_R ... \ot_R S_{i_k}
плоский), и теперь инъективность R-модуля P вытекает из точной
последовательности в лемме I.1.6б).
Контрагерентный копучок P на схеме X называется контрагерентным
копучком локально кокручения, если для любой аффинной открытой
подсхемы U \sub X модуль P(U) над кольцом O_X(U) является модулем
кокручения. Так же, как выше, показывается (используя леммы
I.3.3 и I.3.4), что быть копучком локально кокручения -- локальное
свойство для контрагерентного копучка.
Пусть f: Y \to X -- плоский коаффинный морфизм схем, и пусть P --
контрагерентный копучок локально кокручения на X. Такое же
правило, как выписано выше, определяет контрагерентный копучок
f^!P на Y, являющийся к тому же контрагерентным копучком локально
кокручения.
Для любого коаффинного морфизма схем f: Y \to X и локально
инъективного контрагерентного копучка J на X то же самое правило
определяет локально инъективный контрагерентный копучок f^!J на Y.
Если f: Y \to X -- аффинный морфизм схем и G -- контрагерентный
копучок локально кокручения на Y, то f_!G -- контрагерентный
копучок локально кокручения на X. Если f -- плоский аффинный
морфизм и G -- локально инъективный контрагерентный копучок на Y,
то f_!G -- локально инъективный контрагерентный копучок на X.
Пусть f: Y \to X -- аффинный коаффинный морфизм схем. Тогда если
G -- контрагерентный копучок на Y, а F -- локально инъективный
контрагерентный копучок на X, то имеется изоморфизм сопряжения
Hom^X(f_!G, F) = Hom^Y(G, f^!F), где Hom^X и Hom^Y обозначают
абелевы группы морфизмов в категориях контрагерентных копучков
на X и на Y, соответственно.
Если морфизм f, кроме того, плоский, то такой же изоморфизм
сопряжения имеет место для всех контрагерентных копучков G на Y
и контрагерентных копучков локально кокручения F на X; в частности,
f_! и f^! образуют пару сопряженных функторов между точными
категориями контрагерентных копучков локально кокручения на X и
на Y. Если морфизм f даже очень плоский, то функтор f^!,
действующий между точными категориями контрагерентных копучков
на X и Y, сопряжен справа к функтору f_!, действующему между
теми же двумя точными категориями.
Во всех перечисленных случаях, обе абелевы группы Hom^X(f_!G, F)
и Hom^Y(G, f^!F) отождествляются с группой, элементами которой
являются все наборы гомоморфизмов O_X(U)-модулей G(V) \to F(U),
определенных для всех аффинных открытых подсхем U \sub X и
V \sub Y, таких что f(V) \sub U (удовлетворяющие условию
согласованности при коограничениях).
Все функторы, построенные выше в этом разделе, являются точными
функторами между теми точными категориями контрагерентных копучков,
между которыми они действуют.
