![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicOrganization: Independent University of Moscow
From: "Leonid Positselski"
Date: Sat, 3 Aug 2002 08:04:30 +0400 (MSD) [ispravleno 10 OCt 2002]
Reply-To: posic @ mccme.ru
Subject: opredelenie polubeskonechnyh gomologij (nabrosok, ispravlennyj)
Lines: 322
Privet, Roma i Serezha,
V konce aprelya etogo goda ya nachal rasskazyvat' vam pro polubeskonechnye kogomologii, no, k sozhaleniyu, otvleksya (na setevoj filosofsko-politicheskij proekt, plody kotorogo vy mozhete chastichno nablyudat' po adresu http://posic.livejournal.com) ne uspev dopisat' bol'shoe pis'mo s podrobnymi poyasneniyami, kotoroe ya togda gotovil. Sejchas ya ego dopisyvayu i posylayu vam.
Nizhe propisany sleduyuschie voprosy, otnosyaschiesya k opredeleniyu funktora polubeskonechnogo tenzornogo proizvedeniya, t.e., Tor^{\infty/2}, kak pishet Serezha.
I: kakie abelevy kategorii modulej rassmatrivayutsya;
II: ot kakogo funktora na etih kategoriyah nado brat'
proizvodnyj funktor;
III: otnoshenie ekvivalentnosti na kompleksah modulej,
t.e., kakie kompleksy modulej schitat' trivial'nymi;
IV: poluploskie kompleksy S-modulej;
V: konstrukcii rezol'vent;
VI: opredelenie proizvodnogo funktora.
Vy smozhete zametit', chto naibolee zaputannye ob'yasneniya i slozhnye formuly voznikayut pri poputke perepisat' vse eto na yazyke algebr A i A^#, t.e., ne ispol'zuya v yavnom vide komodulej i komodul'nyh algebr. Na yazyke zhe koalgebry C, komodul'noj algebry S i (ko)modulej nad nimi vse operacii vyglyadyat dovol'no prosto i prozrachno (za isklyucheniem, vprochem, neskol'ko zamyslovatyh vychislenij iz razdela V).
I-1. Pust' dana koalgebra C i komodul'naya algebra S nad nej, t.e. S yavlyaetsya ob''ektom-algebroj v tenzornoj kategorii bikomodulej nad C otnositel'no kotenzornogo proizvedeniya. Predpolagaetsya, chto S injektivna nad C kak sleva, tak i sprava. Argumentami funktora polubeskonechnyh gomologij budut kompleksy levyh i pravyh S-modulej (t.e., sootv., levyh i pravyh C-komodulej, snabzhennyh dejsviem S).
I-2. Esli C konechnomerna, to bez upominaniya koalgebr i t.d. mozhno obojtis'. Vmesto etogo rassmatrivaetsya algebra A i v nej konechnomernaya podalgebra N. Predpolagaetsya, chto
a. A yavlyaetsya proektivnym levym N-modulem; i
b. tenzornoe proizvedenie S = N^*\ot_N A yavlyaetsya injektivnym pravym N-modulem.
Pust' A^# := Hom_{N-right}(N^*, S). Po postroeniyu, A^# yavlyaetsya N-bimodulem, snabzhennym bimodul'nym otobrazheniem N \to A^#. Na samom dele, na A^# imeetsya struktura algebry (kak ob'yasneno v pis'me nomer 2 iz predyduschej serii, t.e., leta 2000 goda), a N yavlyaetsya v nej podalgebroj.
Argumentami funktora polubeskonechnyh gomologij yavlyayutsya kompleksy levyh A^#-modulej i kompleksy pravyh A-modulej.
I-3. Sootvetstvie mezhdu naborami dannyh 1. i 2. sostoit v tom, chto C = N^*, S = N^*\ot_N A = A^#\ot_N N^*. V obratnuyu storonu imeem A = Hom_{N-left}(N^*,S), A^# = Hom_{N-right}(N^*,S). Pravye S-moduli sut' to zhe samoe, chto pravye A-moduli, a levye S-moduli -- eto levye A^#-moduli. V chastnosti, sam S yavyaetsya bimodulem, levym nad A^# i pravym nad A.
Zamechanie: ya ne dumayu, chtoby mozhno bylo korrektno obojtis' bez koalgebr i komodulej v situacii, kogda C (ona zhe N) beskonechnomerna.
II-1. Polubeskonechnye gomologii yavlyayutsya proizvodnym funktorom funktora tenzornogo proizvedeniya S-modulej. Funktor etot opredelyaetsya tak. Esli M i L -- pravyj i levyj S-moduli, to prostranstvo M\ot_S L est' koyadro otobrazheniya
M\oc_C S\oc_C L \to M\oc_C L,
gde \oc_C oboznachaet kotenzornoe proizvedenie nad C. Takim obrazom, tenzornoe proizvedenie nad komodul'noj algebroj est' faktorprostranstvo nekotorogo podprostranstva tenzornogo proizvedeniya vektornyh prostranstv. Etot funktor ne tochen ni sleva, ni sprava.
II-2. Na yazyke algebr A i A^# s podalgebroj N nuzhnyj funktor mozhno napisat' neskol'kimi sposobami. Vo-pervyh, v formule s koyadrom vyshe mozhno perepisat' M\oc_C S\oc_C L kak Hom_N(N, M\ot_N A\ot_k L) = Hom_N(N, M\ot_k A^#\ot_N L) i M\oc_C L kak Hom_N(N, M\ot_k L). V takom vide etu konstrukciyu mozhno pytat'sya sravnivat' s sevast'yanovskim opredeleniem polutenzornogo proizvedeniya kak yakoby obraza kotenzornogo proizvedeniya v tenzornom (hotya na samom dele takoe sravnenie ne ochen' poluchaetsya, a sevast'yanovskoe opredelenie predstavlyaetsya mne ne ochen' pravil'nym).
Po-moemu, gorazdo interesnee Serezhiny formuly iz ego stat'i "Semi-infinite cohomology of quantum groups II" (sm. subsection 4.7 pod nazvaniem "Choice of resolutions"). Pust' M -- pravyj A-modul', a L -- levyj A^#-modul'. Togda esli M injektiven nad N, to M\ot_S L = Hom_{A-right}(S,M) \ot_{A^#} L; a esli L injektiven nad N, to M\ot_S L = M \ot_A Hom_{A^#-left}(S,L). (Ne vpolne samoochevidnoe) dokazatel'stvo etih utverzhdenij predostavlyaetsya chitatelyam.
V nizhesleduyuschem izlozhenii yazyk A i A^# ne ispol'zuetsya. Ya budu govorit' isklyuchitel'no o kompleksah levyh ili pravyh modulej nad komodul'noj algebroj S (nad koalgebroj C).
III. Pravil'noe (na moj vzglyad) otnoshenie ekvivalentnosti na kompleksah modulej, k kotorym primenyaetsya funktor polubeskonechnyh gomologij, yavlyaetsya nekotoroj smes'yu dvuh vidov otnoshenij ekvivalentnosti, pro kotorye ya vam vsegda rasskazyval kak "proizvodnye kategorii D i D-shtrih". Napomnyu, chto esli E -- nekotoraya DG-algebra ili DG-koalgebra, to est' dva osnovnyh sposoba opredelit' proizvodnuyu kategoriyu DG-(ko)modulej nad E. A imenno, v proizvodnoj kategorii "D" DG-modul' trivialen, esli ego kogomologii (po otnosheniyu k ego differencialu) trivial'ny. V kategorii "D-shtrih" trivial'nymi yavlyayutsya DG-moduli, kotorye mozhno poluchit' iz total'nyh modulej tochnyh troek DG-modulej s pomosch'yu operacij konusa i beskonechnoj pryamoj summy. Proizvodnaya kategoriya, kotoraya nuzhna dlya polubeskonechnyh gomologij, est' kak by kategoriya "D-shtrih" po napravleniyu koalgebry C, no kategoriya "D" po dopolnitel'nym napravleniyam v S (tak skazat', "D-shtrih" vdol' N-polovinki, no "D" vdol' B-polovinki). Tut est' takoj moment, chto komodul'naya algebra S (ravno kak i algebry A i A^#) nikakogo netrivial'nogo differenciala ne imeyut, odnako teoriya pro D i D-shtrih mozhet byt' ne vpolne trivial'na i dlya takih DG-algebr, kotorye est' na samom dele obyknovennye algebry (sosredotochennye v gomologicheskoj graduirovke 0 pritom).
Formal'noe opredelenie prosto: pust' imeetsya (voobsche govorya, beskonechnyj v obe storony i vo vseh smyslah beskonechnomernyj) kompleks modulej X nad komodul'noj algebroj S. Primenim zabyvayuschij funktor i rassmotrim X kak kompleks komodulej nad coalgebroj C. Kompleks X nazyvaetsya trivial'nym, esli on yavlyaetsya trivial'nym kak kompleks komodulej nad C, v smysle nizhesleduyuschego opredleleniya.
Kompleks komodulej X nad C nazyvaetsya trivial'nym, esli on udovletvoryaet sleduyuschim dvum ekvivalentnym usloviyam:
a) dlya lyubogo kompleksa injektivnyh komodulej I nad C imeem Hom(X,I)=0 v gomotopicheskoj kategorii C-komodulej; ili
b) X kak kompleks komodulej mozhno poluchit' operaciyami konusa i beskonechnoj pryamoj summy iz total'nyh kompleksov tochnyh troek kompleksov komodulej.
Naprimer, esli C trivial'na, t.e. C=k=N, to my imeem S=A=A^#=B i vysheopredelennye trivial'nye kompleksy S-modulej sut' samye obyknovennye (beskonechnye vo vse storony) aciklichnye kompleksy modulej nad algebroj A, ona zhe B.
Opredelenie: proizvodnoj kategoriej levyh ili pravyh modulej nad komodul'noj algebroj S nazyvaetsya faktorkategoriya gomotopicheskoj kategorii kompleksov S-modulej po podkategorii trivial'nyh kompleksov, opredelennoj vyshe. Analogichnym obrazom opredelyaetsya proizvodnaya kategoriya (levyh ili pravyh) C-komodulej.
IV. Napomnyu, chto na S-modulyah imeetsya operaciya tenzornogo proizvedeniya nad S, obsuzhdavshayasya v razdele II. Kak vsegda, eta operaciya trivial'nym obrazom rasprostranyaetsya na kompleksy S-modulej.
Opredelenie. Kompleks levyh S-modulej F nazyvaetsya poluploskim, esli dlya lyubogo trivial'nogo kompleksa pravyh S-modulej T kompleks tenzornogo proizvedeniya T\ot_S F aciklichen kak kompleks vektornyh prostranstv. Analogichnym obrazom opredelyayutsya poluploskie kompleksy pravyh S-modulej.
Kompleks levyh C-komodulej E nazyvaetsya koploskim, esli dlya lyubogo trivial'nogo kompleksa pravyh C-comodulej U kompleks kotenzornogo proizvedeniya U\ot_C E aciklichen kak kompleks vektornyh prostranstv; analogichno dlya pravyh C-komodulej.
Utverzhdenie: vsyakij poluploskij kompleks S-modulej yavlyaetsya komploskim kak kompleks C-komodulej. Dokazatel'stvo: pust' F -- poluploskij kompleks levyh S-modulej; nas interesuet kotenzornoe proizvedenie U\oc_C F. Neobhodimo ispol'zovat' funktor indukcii, sopostavlyayuschij kazhdomu C-komodulyu P inducirovannyj S-modul' P\ot_C S. Netrudno videt', chto funktor indukcii perevodit trivial'nye kompleksy C-komodulej v trivial'nye (naprimer, udobno ispol'zovat' opredelenie b) trivial'nyh kompleksov). Teper' imeem U\oc_C F = (U\oc_C S) \ot_S F i poluploskost' vlechet koploskost'.
V. Teorema: faktorkategoriya gomotopicheskoj kategorii poluploskih kompleksov S-modulej po tolstoj podkategorii poluploskih trivial'nyh kompleksov ekvivalentno proeciruetsya na faktorkategoriyu vseh kompleksov S-modulej po trivial'nym (drugimi slovami, proizvodnuyu kategoriyu S-modulej).
Ya ne budu zdes' dokazyvat' etu teoremu o triangulirovannyh kategoriyah v polnoj sile, no ogranichus' lish' dokazatel'stvom syur'ektivnosti dannogo funktora na ob'ektah. Drugimi slovami, ya pokazhu, chto vsyakij kompleks S-modulej svyazan s nekotorym poluploskim kompleksom cepochkoj (na samom dele, cepochkoj dliny dva, t.e. prosto "domikom") otobrazhenij s trivial'nymi konusami.
Dokazyvat' poslednij fakt mozhno raznymi sposobami -- naprimer, ispol'zuya koshulevu dvojstvennost' v duhe togo, kak eto delal v svoih pervyh rabotah na dannuyu temu Serezha -- odnako ya privedu zdes' pryamoe, otnositel'no elementarnoe dokazatel'stvo. Ono osnovyvaetsya na sleduyuschej lemme.
Lemma. Suschestvuet funktor, sopostavlyayuschij proizvol'nomu S-modulyu ego vlozhenie v C-injektivnyj S-modul'.
Kommentarij: ponyatno, chto eto tot samyj vopros, kotoryj v standartnyh izlozheniyah etoj nauki (u vas oboih, naprimer, ravno kak u Sevast'yanova) reshalsya s pomosch'yu "indukcii s podalgebry B". U menya zdes' nikakoj takoj "podalgebry B" net, tak chto mne nuzhen pryamoj put'.
V-1. Dokazatel'stvo Lemmy. Pust' M -- proizvol'nyj S-modul'. Rassmotrim M kak C-komodul' i vlozhim ego v injektivnyj C-komodul' P=P(M). Ponyatno, chto eto mozhno sdelat' funktorial'nym obrazom, naprimer, prosto vybrav P(M)=C\ot_k M. Oboznachim cherez Q(M) faktormodul' S-modulya S\oc_C P(M) po ego podmodulyu, yavlyayuschemusya obrazom yadra otobrazheniya S\oc_C M \to M pri vlozhenii S\oc_C M \to S\oc_C P(M). Netrudno videt', chto kompoziciya M \to P(M) \to S\oc_C P(M) \to Q(M) yavlyaetsya otobrazheniem S-modulej (v to vremya kak komponuemye morfizmy sut' lish' otobrazheniya C-komodulej). Krome togo, otobrazhenie M v Q(M) yavlyaetsya vlozheniem. Odnako Q(M) mozhet ne byt' injektivnym C-komodulem.
Poslednyaya problema preodolevaetsya iterirovaniem konstrukcii. Rassmotrim cepochku vlozhenij M \to Q(M) \to Q(Q(M)) \to ... i t.d. Ya utverzhdayu, chto induktivnyj predel etoj cepochki injektiven kak C-komodul'. V samom dele, etot predel yavlyaetsya takzhe, kak C-komodul', induktivnym predelom cepochki injektivnyh komodulej S\oc_C P(M) \to S\oc_C P(Q(M)), gde otobrazheniya v cepochke sut' kompozicii cherez Q(M), Q(Q(M)), i t.d. Odnako netrudno videt', chto induktivnyj predel po cepochke sohranyaet injektivnost' komodulej nad proizvol'noj koalgebroj, potomu chto vsyakij komodul' yavlyaetsya ob''edineniem konechnomernyh. V samom dele, dostatochno prodolzhit' otobrazhenie v pryamoj predel s konechnomernogo podkomodulya na konechnomernyj komodul'; teper' otobrazhenie iz konechnomernogo komodulya propuskaetsya cherez odin iz Q^n(M), i, znachit, cherez S\oc_C P(Q^n(M)). Takim obrazom, lemma dokazana.
V-2. Teper' pokazhem, chto dlya lyubogo kompleksa S-modulej X najdetsya otobrazhenie f: X \to Y, takoe chto vse chleny kompleksa Y sut' kosvobodnye C-komoduli, a konus f yavlyaetsya trivial'nym kompleksom v smysle opredeleniya iz razdela III. Eto delaetsya prosto. Pol'zuyas' lemmoj, vlozhim kompleks X v kakoj-nibud' kompleks C-injektivnyh S-modulej J, voz'mem faktorkompleks J/X, vlozhim ego tochno tak zhe esche raz, i t.d. Postroim takim obrazom kompleks kompleksov X \to J \to J_1 \to J_2 \to ... Rassmotrim total'nyj kompleks Y=Tot(J\to J_1\to...), obrazovannyj s pomosch'yu vzyatiya pryamyh summ po diagonalyam.
Ochevidno, chto kompleks Y yavlyaetsya kompleksom C-injektivnyh S-modulej, a otobrazhenie f: X\to Y -- morfizmom kompleksov S-modulej. Ostaetsya proverit', chto posle vzyatiya zabyvayuschego funktora v kompleksy C-komodulej konus morfizma f okazyvaetsya trivial'nym kompleksom. Eto delaetsya standartnym obrazom, kak sootvetstvuyuschij rezul'tat pro kategoriyu D-shtrih dlya komodulej nad proizvol'noj (DG-)koalgebroj. Ispol'zuetsya konstrukciya gomotopicheskogo pryamogo predela ("teleskopa") i opredelenie trivial'nosti v variante b) iz razdela III.
V-3. Ostalos' dokazat', chto dlya lyubogo kompleksa C-injektivnyh S-modulej Y najdetsya poluploskij kompleks Z vmeste s morfizmom g: Z\to Y, takim chto konus g trivialen. Na samom dele, my dokazhem bol'shee, a imenno:
1. Vse kompleksy S-modulej, inducirovannye (s pomosch'yu operacii S\oc_C *) s kompleksov injektivnyh C-komodulej poluploski;
2. Poluploskoskie kompleksy obrazuyut v gomotopicheskoj kategorii kompleksov S-modulej triangulirovannuyu podkategoriyu, zamknutuyu otnositel'no beskonechnyh pryamyh summ;
3. Dlya lyubogo kompleksa C-injektivnyh S-modulej Y najdetsya morfizm kompleksov S-modulej g: Z\to Y, takoj chto
i. konus g, rassmotrennyj kak kompleks C-komodulej, styagivaem;
ii. Kompleks Z stroitsya iz kompleksov tipa 1. s pomosch'yu operacij konusa i beskonechnoj pryamoj summy.
Utverzhdenie 1. ochevidno, poskol'ku kotenzornoe proizvedenie kompleksa injektivnyh C-komodulej i trivial'nogo kompleksa C-komodulej yavlyaetsya aciklichnym kompleksom vektornyh prostranstv, kak netrudno videt'. Utverzhdenie 2. yasno. Nakonec, utverzhdenie 3. dokazyvaetsya vzyatiem total'nogo kompleksa otnositel'noj bar-konstrukcii nad S otnositel'no C.
Konkretnee, nuzhno napisat'
... \to S\oc_C S \oc_C Y \to S\oc_C Y \to Y
i vzyat' za Z total'nyj kompleks vsego etogo dela, krome poslednego Y. Punkt i. proveryaetsya yavnoj kanonicheskoj gomotopiej, prisuschej bar-konstrukciyam takogo roda; a punkt ii. dokazyvaetsya standartnym obrazom, ispol'zuya snova konstrukciyu "teleskopa".
Osnovnuyu teoremu razdela V mozhno schitat' (s ogovorkami, sdelannymi v samom nachale razdela) dokazannoj.
VI. Teper', kogda vsya trudnaya rabota zavershena, opredelenie funktora polubeskonechnyh gomologij daetsya razmahivaniem rukami. My hotim opredelit' nekotoryj funktor dvuh argumentov, odin iz kotoryh probegaet kategoriyu kompleksov pravyh, a drugoj -- levyh S-modulej. Na samom dele etot funktor budet opredelen na faktorkategoriyah gomotopicheskih kategorij kompleksov S-modulej po tolstym podkategoriyam trivial'nyh kompleksov (oni tolstye, poskol'ku vsyakaya triangulirovannaya kategoriya, zamknutaya otnositel'no schetnyh pryamyh summ, zamknuta i otnositel'no pryamyh slagaemyh). Odnako soglasno teoreme iz razdela V, interesuyuschie nas faktorkategorii ekvivalentny faktorkategoriyam poluploskih kompleksov S-modulej po trivial'nym poluploskim kompleksam. Teper' na poluploskih kompleksah funktor polubeskonechnyh gomologij opredelyaetsya neposredstvenno v lob kak tenzornoe proizvedenie modulej nad komodul'noj algebroj S (sm. razdel II). Ochevidno, chto etot funktor na gomotopicheskih kategoriyah poluploskih kompleksov spuskaetsya na faktorkategorii po trivial'nym (poluploskim) kompleksam (sm. razdel IV). Konec rassuzhdeniya.
Opredelenie funktora polubeskonechnyh gomologij na kategoriyah modulej nad komodul'nymi algebrami takim obrazom mnoyu dano.
From: "Leonid Positselski"
Date: Sat, 3 Aug 2002 08:04:30 +0400 (MSD) [ispravleno 10 OCt 2002]
Reply-To: posic @ mccme.ru
Subject: opredelenie polubeskonechnyh gomologij (nabrosok, ispravlennyj)
Lines: 322
Privet, Roma i Serezha,
V konce aprelya etogo goda ya nachal rasskazyvat' vam pro polubeskonechnye kogomologii, no, k sozhaleniyu, otvleksya (na setevoj filosofsko-politicheskij proekt, plody kotorogo vy mozhete chastichno nablyudat' po adresu http://posic.livejournal.com) ne uspev dopisat' bol'shoe pis'mo s podrobnymi poyasneniyami, kotoroe ya togda gotovil. Sejchas ya ego dopisyvayu i posylayu vam.
Nizhe propisany sleduyuschie voprosy, otnosyaschiesya k opredeleniyu funktora polubeskonechnogo tenzornogo proizvedeniya, t.e., Tor^{\infty/2}, kak pishet Serezha.
I: kakie abelevy kategorii modulej rassmatrivayutsya;
II: ot kakogo funktora na etih kategoriyah nado brat'
proizvodnyj funktor;
III: otnoshenie ekvivalentnosti na kompleksah modulej,
t.e., kakie kompleksy modulej schitat' trivial'nymi;
IV: poluploskie kompleksy S-modulej;
V: konstrukcii rezol'vent;
VI: opredelenie proizvodnogo funktora.
Vy smozhete zametit', chto naibolee zaputannye ob'yasneniya i slozhnye formuly voznikayut pri poputke perepisat' vse eto na yazyke algebr A i A^#, t.e., ne ispol'zuya v yavnom vide komodulej i komodul'nyh algebr. Na yazyke zhe koalgebry C, komodul'noj algebry S i (ko)modulej nad nimi vse operacii vyglyadyat dovol'no prosto i prozrachno (za isklyucheniem, vprochem, neskol'ko zamyslovatyh vychislenij iz razdela V).
I-1. Pust' dana koalgebra C i komodul'naya algebra S nad nej, t.e. S yavlyaetsya ob''ektom-algebroj v tenzornoj kategorii bikomodulej nad C otnositel'no kotenzornogo proizvedeniya. Predpolagaetsya, chto S injektivna nad C kak sleva, tak i sprava. Argumentami funktora polubeskonechnyh gomologij budut kompleksy levyh i pravyh S-modulej (t.e., sootv., levyh i pravyh C-komodulej, snabzhennyh dejsviem S).
I-2. Esli C konechnomerna, to bez upominaniya koalgebr i t.d. mozhno obojtis'. Vmesto etogo rassmatrivaetsya algebra A i v nej konechnomernaya podalgebra N. Predpolagaetsya, chto
a. A yavlyaetsya proektivnym levym N-modulem; i
b. tenzornoe proizvedenie S = N^*\ot_N A yavlyaetsya injektivnym pravym N-modulem.
Pust' A^# := Hom_{N-right}(N^*, S). Po postroeniyu, A^# yavlyaetsya N-bimodulem, snabzhennym bimodul'nym otobrazheniem N \to A^#. Na samom dele, na A^# imeetsya struktura algebry (kak ob'yasneno v pis'me nomer 2 iz predyduschej serii, t.e., leta 2000 goda), a N yavlyaetsya v nej podalgebroj.
Argumentami funktora polubeskonechnyh gomologij yavlyayutsya kompleksy levyh A^#-modulej i kompleksy pravyh A-modulej.
I-3. Sootvetstvie mezhdu naborami dannyh 1. i 2. sostoit v tom, chto C = N^*, S = N^*\ot_N A = A^#\ot_N N^*. V obratnuyu storonu imeem A = Hom_{N-left}(N^*,S), A^# = Hom_{N-right}(N^*,S). Pravye S-moduli sut' to zhe samoe, chto pravye A-moduli, a levye S-moduli -- eto levye A^#-moduli. V chastnosti, sam S yavyaetsya bimodulem, levym nad A^# i pravym nad A.
Zamechanie: ya ne dumayu, chtoby mozhno bylo korrektno obojtis' bez koalgebr i komodulej v situacii, kogda C (ona zhe N) beskonechnomerna.
II-1. Polubeskonechnye gomologii yavlyayutsya proizvodnym funktorom funktora tenzornogo proizvedeniya S-modulej. Funktor etot opredelyaetsya tak. Esli M i L -- pravyj i levyj S-moduli, to prostranstvo M\ot_S L est' koyadro otobrazheniya
M\oc_C S\oc_C L \to M\oc_C L,
gde \oc_C oboznachaet kotenzornoe proizvedenie nad C. Takim obrazom, tenzornoe proizvedenie nad komodul'noj algebroj est' faktorprostranstvo nekotorogo podprostranstva tenzornogo proizvedeniya vektornyh prostranstv. Etot funktor ne tochen ni sleva, ni sprava.
II-2. Na yazyke algebr A i A^# s podalgebroj N nuzhnyj funktor mozhno napisat' neskol'kimi sposobami. Vo-pervyh, v formule s koyadrom vyshe mozhno perepisat' M\oc_C S\oc_C L kak Hom_N(N, M\ot_N A\ot_k L) = Hom_N(N, M\ot_k A^#\ot_N L) i M\oc_C L kak Hom_N(N, M\ot_k L). V takom vide etu konstrukciyu mozhno pytat'sya sravnivat' s sevast'yanovskim opredeleniem polutenzornogo proizvedeniya kak yakoby obraza kotenzornogo proizvedeniya v tenzornom (hotya na samom dele takoe sravnenie ne ochen' poluchaetsya, a sevast'yanovskoe opredelenie predstavlyaetsya mne ne ochen' pravil'nym).
Po-moemu, gorazdo interesnee Serezhiny formuly iz ego stat'i "Semi-infinite cohomology of quantum groups II" (sm. subsection 4.7 pod nazvaniem "Choice of resolutions"). Pust' M -- pravyj A-modul', a L -- levyj A^#-modul'. Togda esli M injektiven nad N, to M\ot_S L = Hom_{A-right}(S,M) \ot_{A^#} L; a esli L injektiven nad N, to M\ot_S L = M \ot_A Hom_{A^#-left}(S,L). (Ne vpolne samoochevidnoe) dokazatel'stvo etih utverzhdenij predostavlyaetsya chitatelyam.
V nizhesleduyuschem izlozhenii yazyk A i A^# ne ispol'zuetsya. Ya budu govorit' isklyuchitel'no o kompleksah levyh ili pravyh modulej nad komodul'noj algebroj S (nad koalgebroj C).
III. Pravil'noe (na moj vzglyad) otnoshenie ekvivalentnosti na kompleksah modulej, k kotorym primenyaetsya funktor polubeskonechnyh gomologij, yavlyaetsya nekotoroj smes'yu dvuh vidov otnoshenij ekvivalentnosti, pro kotorye ya vam vsegda rasskazyval kak "proizvodnye kategorii D i D-shtrih". Napomnyu, chto esli E -- nekotoraya DG-algebra ili DG-koalgebra, to est' dva osnovnyh sposoba opredelit' proizvodnuyu kategoriyu DG-(ko)modulej nad E. A imenno, v proizvodnoj kategorii "D" DG-modul' trivialen, esli ego kogomologii (po otnosheniyu k ego differencialu) trivial'ny. V kategorii "D-shtrih" trivial'nymi yavlyayutsya DG-moduli, kotorye mozhno poluchit' iz total'nyh modulej tochnyh troek DG-modulej s pomosch'yu operacij konusa i beskonechnoj pryamoj summy. Proizvodnaya kategoriya, kotoraya nuzhna dlya polubeskonechnyh gomologij, est' kak by kategoriya "D-shtrih" po napravleniyu koalgebry C, no kategoriya "D" po dopolnitel'nym napravleniyam v S (tak skazat', "D-shtrih" vdol' N-polovinki, no "D" vdol' B-polovinki). Tut est' takoj moment, chto komodul'naya algebra S (ravno kak i algebry A i A^#) nikakogo netrivial'nogo differenciala ne imeyut, odnako teoriya pro D i D-shtrih mozhet byt' ne vpolne trivial'na i dlya takih DG-algebr, kotorye est' na samom dele obyknovennye algebry (sosredotochennye v gomologicheskoj graduirovke 0 pritom).
Formal'noe opredelenie prosto: pust' imeetsya (voobsche govorya, beskonechnyj v obe storony i vo vseh smyslah beskonechnomernyj) kompleks modulej X nad komodul'noj algebroj S. Primenim zabyvayuschij funktor i rassmotrim X kak kompleks komodulej nad coalgebroj C. Kompleks X nazyvaetsya trivial'nym, esli on yavlyaetsya trivial'nym kak kompleks komodulej nad C, v smysle nizhesleduyuschego opredleleniya.
Kompleks komodulej X nad C nazyvaetsya trivial'nym, esli on udovletvoryaet sleduyuschim dvum ekvivalentnym usloviyam:
a) dlya lyubogo kompleksa injektivnyh komodulej I nad C imeem Hom(X,I)=0 v gomotopicheskoj kategorii C-komodulej; ili
b) X kak kompleks komodulej mozhno poluchit' operaciyami konusa i beskonechnoj pryamoj summy iz total'nyh kompleksov tochnyh troek kompleksov komodulej.
Naprimer, esli C trivial'na, t.e. C=k=N, to my imeem S=A=A^#=B i vysheopredelennye trivial'nye kompleksy S-modulej sut' samye obyknovennye (beskonechnye vo vse storony) aciklichnye kompleksy modulej nad algebroj A, ona zhe B.
Opredelenie: proizvodnoj kategoriej levyh ili pravyh modulej nad komodul'noj algebroj S nazyvaetsya faktorkategoriya gomotopicheskoj kategorii kompleksov S-modulej po podkategorii trivial'nyh kompleksov, opredelennoj vyshe. Analogichnym obrazom opredelyaetsya proizvodnaya kategoriya (levyh ili pravyh) C-komodulej.
IV. Napomnyu, chto na S-modulyah imeetsya operaciya tenzornogo proizvedeniya nad S, obsuzhdavshayasya v razdele II. Kak vsegda, eta operaciya trivial'nym obrazom rasprostranyaetsya na kompleksy S-modulej.
Opredelenie. Kompleks levyh S-modulej F nazyvaetsya poluploskim, esli dlya lyubogo trivial'nogo kompleksa pravyh S-modulej T kompleks tenzornogo proizvedeniya T\ot_S F aciklichen kak kompleks vektornyh prostranstv. Analogichnym obrazom opredelyayutsya poluploskie kompleksy pravyh S-modulej.
Kompleks levyh C-komodulej E nazyvaetsya koploskim, esli dlya lyubogo trivial'nogo kompleksa pravyh C-comodulej U kompleks kotenzornogo proizvedeniya U\ot_C E aciklichen kak kompleks vektornyh prostranstv; analogichno dlya pravyh C-komodulej.
Utverzhdenie: vsyakij poluploskij kompleks S-modulej yavlyaetsya komploskim kak kompleks C-komodulej. Dokazatel'stvo: pust' F -- poluploskij kompleks levyh S-modulej; nas interesuet kotenzornoe proizvedenie U\oc_C F. Neobhodimo ispol'zovat' funktor indukcii, sopostavlyayuschij kazhdomu C-komodulyu P inducirovannyj S-modul' P\ot_C S. Netrudno videt', chto funktor indukcii perevodit trivial'nye kompleksy C-komodulej v trivial'nye (naprimer, udobno ispol'zovat' opredelenie b) trivial'nyh kompleksov). Teper' imeem U\oc_C F = (U\oc_C S) \ot_S F i poluploskost' vlechet koploskost'.
V. Teorema: faktorkategoriya gomotopicheskoj kategorii poluploskih kompleksov S-modulej po tolstoj podkategorii poluploskih trivial'nyh kompleksov ekvivalentno proeciruetsya na faktorkategoriyu vseh kompleksov S-modulej po trivial'nym (drugimi slovami, proizvodnuyu kategoriyu S-modulej).
Ya ne budu zdes' dokazyvat' etu teoremu o triangulirovannyh kategoriyah v polnoj sile, no ogranichus' lish' dokazatel'stvom syur'ektivnosti dannogo funktora na ob'ektah. Drugimi slovami, ya pokazhu, chto vsyakij kompleks S-modulej svyazan s nekotorym poluploskim kompleksom cepochkoj (na samom dele, cepochkoj dliny dva, t.e. prosto "domikom") otobrazhenij s trivial'nymi konusami.
Dokazyvat' poslednij fakt mozhno raznymi sposobami -- naprimer, ispol'zuya koshulevu dvojstvennost' v duhe togo, kak eto delal v svoih pervyh rabotah na dannuyu temu Serezha -- odnako ya privedu zdes' pryamoe, otnositel'no elementarnoe dokazatel'stvo. Ono osnovyvaetsya na sleduyuschej lemme.
Lemma. Suschestvuet funktor, sopostavlyayuschij proizvol'nomu S-modulyu ego vlozhenie v C-injektivnyj S-modul'.
Kommentarij: ponyatno, chto eto tot samyj vopros, kotoryj v standartnyh izlozheniyah etoj nauki (u vas oboih, naprimer, ravno kak u Sevast'yanova) reshalsya s pomosch'yu "indukcii s podalgebry B". U menya zdes' nikakoj takoj "podalgebry B" net, tak chto mne nuzhen pryamoj put'.
V-1. Dokazatel'stvo Lemmy. Pust' M -- proizvol'nyj S-modul'. Rassmotrim M kak C-komodul' i vlozhim ego v injektivnyj C-komodul' P=P(M). Ponyatno, chto eto mozhno sdelat' funktorial'nym obrazom, naprimer, prosto vybrav P(M)=C\ot_k M. Oboznachim cherez Q(M) faktormodul' S-modulya S\oc_C P(M) po ego podmodulyu, yavlyayuschemusya obrazom yadra otobrazheniya S\oc_C M \to M pri vlozhenii S\oc_C M \to S\oc_C P(M). Netrudno videt', chto kompoziciya M \to P(M) \to S\oc_C P(M) \to Q(M) yavlyaetsya otobrazheniem S-modulej (v to vremya kak komponuemye morfizmy sut' lish' otobrazheniya C-komodulej). Krome togo, otobrazhenie M v Q(M) yavlyaetsya vlozheniem. Odnako Q(M) mozhet ne byt' injektivnym C-komodulem.
Poslednyaya problema preodolevaetsya iterirovaniem konstrukcii. Rassmotrim cepochku vlozhenij M \to Q(M) \to Q(Q(M)) \to ... i t.d. Ya utverzhdayu, chto induktivnyj predel etoj cepochki injektiven kak C-komodul'. V samom dele, etot predel yavlyaetsya takzhe, kak C-komodul', induktivnym predelom cepochki injektivnyh komodulej S\oc_C P(M) \to S\oc_C P(Q(M)), gde otobrazheniya v cepochke sut' kompozicii cherez Q(M), Q(Q(M)), i t.d. Odnako netrudno videt', chto induktivnyj predel po cepochke sohranyaet injektivnost' komodulej nad proizvol'noj koalgebroj, potomu chto vsyakij komodul' yavlyaetsya ob''edineniem konechnomernyh. V samom dele, dostatochno prodolzhit' otobrazhenie v pryamoj predel s konechnomernogo podkomodulya na konechnomernyj komodul'; teper' otobrazhenie iz konechnomernogo komodulya propuskaetsya cherez odin iz Q^n(M), i, znachit, cherez S\oc_C P(Q^n(M)). Takim obrazom, lemma dokazana.
V-2. Teper' pokazhem, chto dlya lyubogo kompleksa S-modulej X najdetsya otobrazhenie f: X \to Y, takoe chto vse chleny kompleksa Y sut' kosvobodnye C-komoduli, a konus f yavlyaetsya trivial'nym kompleksom v smysle opredeleniya iz razdela III. Eto delaetsya prosto. Pol'zuyas' lemmoj, vlozhim kompleks X v kakoj-nibud' kompleks C-injektivnyh S-modulej J, voz'mem faktorkompleks J/X, vlozhim ego tochno tak zhe esche raz, i t.d. Postroim takim obrazom kompleks kompleksov X \to J \to J_1 \to J_2 \to ... Rassmotrim total'nyj kompleks Y=Tot(J\to J_1\to...), obrazovannyj s pomosch'yu vzyatiya pryamyh summ po diagonalyam.
Ochevidno, chto kompleks Y yavlyaetsya kompleksom C-injektivnyh S-modulej, a otobrazhenie f: X\to Y -- morfizmom kompleksov S-modulej. Ostaetsya proverit', chto posle vzyatiya zabyvayuschego funktora v kompleksy C-komodulej konus morfizma f okazyvaetsya trivial'nym kompleksom. Eto delaetsya standartnym obrazom, kak sootvetstvuyuschij rezul'tat pro kategoriyu D-shtrih dlya komodulej nad proizvol'noj (DG-)koalgebroj. Ispol'zuetsya konstrukciya gomotopicheskogo pryamogo predela ("teleskopa") i opredelenie trivial'nosti v variante b) iz razdela III.
V-3. Ostalos' dokazat', chto dlya lyubogo kompleksa C-injektivnyh S-modulej Y najdetsya poluploskij kompleks Z vmeste s morfizmom g: Z\to Y, takim chto konus g trivialen. Na samom dele, my dokazhem bol'shee, a imenno:
1. Vse kompleksy S-modulej, inducirovannye (s pomosch'yu operacii S\oc_C *) s kompleksov injektivnyh C-komodulej poluploski;
2. Poluploskoskie kompleksy obrazuyut v gomotopicheskoj kategorii kompleksov S-modulej triangulirovannuyu podkategoriyu, zamknutuyu otnositel'no beskonechnyh pryamyh summ;
3. Dlya lyubogo kompleksa C-injektivnyh S-modulej Y najdetsya morfizm kompleksov S-modulej g: Z\to Y, takoj chto
i. konus g, rassmotrennyj kak kompleks C-komodulej, styagivaem;
ii. Kompleks Z stroitsya iz kompleksov tipa 1. s pomosch'yu operacij konusa i beskonechnoj pryamoj summy.
Utverzhdenie 1. ochevidno, poskol'ku kotenzornoe proizvedenie kompleksa injektivnyh C-komodulej i trivial'nogo kompleksa C-komodulej yavlyaetsya aciklichnym kompleksom vektornyh prostranstv, kak netrudno videt'. Utverzhdenie 2. yasno. Nakonec, utverzhdenie 3. dokazyvaetsya vzyatiem total'nogo kompleksa otnositel'noj bar-konstrukcii nad S otnositel'no C.
Konkretnee, nuzhno napisat'
... \to S\oc_C S \oc_C Y \to S\oc_C Y \to Y
i vzyat' za Z total'nyj kompleks vsego etogo dela, krome poslednego Y. Punkt i. proveryaetsya yavnoj kanonicheskoj gomotopiej, prisuschej bar-konstrukciyam takogo roda; a punkt ii. dokazyvaetsya standartnym obrazom, ispol'zuya snova konstrukciyu "teleskopa".
Osnovnuyu teoremu razdela V mozhno schitat' (s ogovorkami, sdelannymi v samom nachale razdela) dokazannoj.
VI. Teper', kogda vsya trudnaya rabota zavershena, opredelenie funktora polubeskonechnyh gomologij daetsya razmahivaniem rukami. My hotim opredelit' nekotoryj funktor dvuh argumentov, odin iz kotoryh probegaet kategoriyu kompleksov pravyh, a drugoj -- levyh S-modulej. Na samom dele etot funktor budet opredelen na faktorkategoriyah gomotopicheskih kategorij kompleksov S-modulej po tolstym podkategoriyam trivial'nyh kompleksov (oni tolstye, poskol'ku vsyakaya triangulirovannaya kategoriya, zamknutaya otnositel'no schetnyh pryamyh summ, zamknuta i otnositel'no pryamyh slagaemyh). Odnako soglasno teoreme iz razdela V, interesuyuschie nas faktorkategorii ekvivalentny faktorkategoriyam poluploskih kompleksov S-modulej po trivial'nym poluploskim kompleksam. Teper' na poluploskih kompleksah funktor polubeskonechnyh gomologij opredelyaetsya neposredstvenno v lob kak tenzornoe proizvedenie modulej nad komodul'noj algebroj S (sm. razdel II). Ochevidno, chto etot funktor na gomotopicheskih kategoriyah poluploskih kompleksov spuskaetsya na faktorkategorii po trivial'nym (poluploskim) kompleksam (sm. razdel IV). Konec rassuzhdeniya.
Opredelenie funktora polubeskonechnyh gomologij na kategoriyah modulej nad komodul'nymi algebrami takim obrazom mnoyu dano.
