Как учить математике

[posic]

http://ailev.livejournal.com/970638.html

На вопрос этот нет и не ожидается общезначимого ответа, по меньшей мере, по трем фундаментальным причинам.

1. Как уже не раз отмечалось в этом журнале, ответ на вопрос "как делать X", где X -- любая практическая задача (а преподавание -- это практическая задача), производится как продукт поиска и конкуренции подходов, попросту -- производится рынком. При нынешнем уровне огосударствления преподавания математики, приходится ожидать, в целом, скорее регресса, чем прогресса в этой сфере.

2. Математика сочетает в себе элементы искусства, в котором ключевую роль играют эстетические критерии, и области знания с огромным накопленным запасом, из которого нужно выбирать темы для изучения. Поскольку эстетика у разных людей разная, ответ на вопрос "как учить?", неизбежно сведется к встречному вопросу "кого?"

3. Математика имеет дело с абстракциями. Способности и готовность к восприятию абстракций вообще и математических абстракций в особенности сильнейшим образом варьируется от человека к человеку. Как говорят, даже доля людей, которых существующие педагогические технологии не позволяют научить счету до десяти, не так мала (научиться считать человеку со сниженным интеллектом труднее, чем научиться читать, например). На другом конце спектра, подавляющее большинство важных идей в математике производится исчезающе малой долей человечества.

Ближе к середине, ответ на вопрос, как учить математике среднестатистического школьника, сильно отличается от того, как лучше учить среднестатистического школьника из математического класса, а представителей условных верхних 20% из этого класса лучше учить не так, как остальных. Соответственно, на мехмате МГУ (при всех возможных претензиях к этому заведению) учат не так, как в МАДИ, хотя бы уже просто потому, что там контингент другой; а у нас на факультете учат не так, как на мехмате.

Если кто думает, что причины различий сводятся к тому, что в перечисленных местах учат по-старинке и неправильно, может ознакомиться с практикой ведущих западных университетов. В Гарварде, где я учился в аспирантуре, студентам, начиная с первого курса, предоставляется широкий выбор математических курсов разного уровня сложности и абстрактности. В том числе, имеется целый спектр вариантов курсов калькулюса/анализа для первокурсников, от базовых вводных до знаменитых своей трудностью (наряду с вполне реальной возможностью, в порядке исключения, пропустить их всех тому, кто это уже знает) и т.д.

Я однажды, в целях ознакомления с окружающей действительностью, вызвался за небольшие деньги помогать некой отстающей студентке с ее курсом теоретико-множественной топологии (в Гарварде). Курс был из числа тех, что рассчитаны на студентов-нематематиков. Впечатление, в отношении степени бессмысленности, с моей точки зрения, того, чему их там учат, было в полной мере шоковым. Знающие люди меня уверяли, что курс и учебник считаются вполне хорошими.

Comments

[birdwatcher.livejournal.com]

Почти все перечисленное можно сказать про музыку; в школе даже тоже есть уроки музыки. Так вот, интересно, что про музыку никто не спрашивает абстрактно, как, мол, ее всем преподавать. Известно, что есть такие специальные люди, музыканты, и они как-то между собой обходятся.

[solomon2.livejournal.com]

Без музыки человечество обойдется, а вот без математики - элементарно вымрет. Поэтому общественность и волнуется.

[posic.livejournal.com]

Я согласен в том отношении, что нынешняя массовая образовательная система в целом, и составляющее немалую ее часть массовое преподавание математики в частности, представляют собой некоторое неадекватное явление. Собственно говоря, продукт сосуществования в одних и тех же головах двух противоположных идей "я/он должен доказать им/мне, что он не верблюд" и "давайте все согласимся с тем, что никаких верблюдов не существует" не может быть адекватным чему бы то ни было.

[birdwatcher.livejournal.com]

Спросите учительницу музыки (школьную), она вам расскажет, как без искусства люди немедленно поубивают друг друга.

[solomon2.livejournal.com]

искусство не есть только музыка

[chaource.livejournal.com]

Никто не знаетъ, какъ преподавать музыку. Не существуетъ даже настоящихъ учебниковъ игры на инструментахъ, композицiи, т.е. учебниковъ, въ которыхъ была бы изложена какая-либо система знанiй или упражненiй, позволяющая любому изучить музыку или научиться играть. Поэтому преподаютъ такъ: учитель что-то такое разсказываетъ и показываетъ, и ждутъ эффекта. У кого изъ учениковъ появился какой-то навыкъ, того и берутъ заниматься музыкой дальше.

[birdwatcher.livejournal.com]

Разве в математике (нешкольной) по-другому? Учитель дает задачу, кто решил - того берут заниматься математикой дальше.

[chaource.livejournal.com]

Да, "нешкольная математика" - высокое искусство. Но мы здѣсь обсуждаемъ именно школьную математику. И здѣсь есть большая разница между математикой и музыкой. Эйлеръ показалъ, что математикѣ можно обучить существенно бо'льшую часть людей, чѣмъ считалось раньше. Мы сейчасъ знаемъ и принимаемъ какъ очевидное, что можно обучить практически всѣхъ школьниковъ азамъ алгебры, геометрiи и т.д. Въ музыкѣ такого педагогическаго открытiя пока не произошло. Есть во всёмъ мiрѣ лишь отдѣльные учителя, знающiе, какимъ методомъ можно обучить азамъ музыки практически всѣхъ школьниковъ. Ихъ методы никому, кромѣ нихъ, неизвѣстны.

[birdwatcher.livejournal.com]

Я думаю, если угробить столько времени, сколько гробится на алгебру с геометрией, и по результатам принимать в колледж, то практически все бы и в музыке про двинулись куда дальше, чем сейчас.

[chaource.livejournal.com]

Думаю, что это не такъ. Примѣръ тому - изученiе иностранныхъ языковъ въ школѣ. Гробится очень много времени, результаты нулевые. Проблема та же самая, что и с музыкой - не умѣютъ учить, не знаютъ дѣйственныхъ методовъ преподаванiя. (Лишь въ очень немногихъ странахъ эти методы реально примѣняются, но въ этихъ странахъ дѣйствительно большинство школьниковъ овладѣваетъ иностранными языками.)

[birdwatcher.livejournal.com]

На иностранный язык же выделялся один час в неделю? В языковых школах, если я правильно помню, чуть ли не шесть. Результаты тоже не ахти, конечно, но, думаю, примерно раз в шесть получше.

[chaource.livejournal.com]

Если выдѣлять очень много времени, то результаты будутъ лучше, но не настолько, какъ если бы методы обученiя использовать правильные. Даже сравненiе съ россiйскими "языковыми" школами будетъ не въ ихъ пользу. Въ тѣхъ странахъ, гдѣ школьники нормально говорятъ на иностранныхъ языкахъ, на ихъ преподаванiе не выдѣляютъ такую прорву времени, какъ въ россiйскихъ языковыхъ школахъ, а результаты куда лучше. Выпускникъ голладской или шведской школы имѣетъ три-четыре иностранныхъ языка свободно, причёмъ это не спецiальныя "языковыя" школы, а просто гимназiи. Въ Россiи никому не снилось получить такой результатъ. (Россiя не одна такая - почти нигдѣ не умѣютъ преподавать языки. Дѣло именно въ методахъ преподаванiя.) Также я знаю это по себѣ - училъ разные языки разными методами, и совершенно несопоставимые результаты.

Преподаватели, не умѣющiе преподавать, слишкомъ часто оправдываются якобы неспособностью учениковъ. Но надо смотрѣть правдѣ въ глаза. Было бы совершенно умѣстно, если бы всѣ осознавали и не стеснялись признать, что эффективныхъ методовъ преподаванiя такихъ-то дисциплинъ пока не существуетъ, - посему пыжимся какъ можемъ, наше вамъ сорри.

[birdwatcher.livejournal.com]

У знания языка и умения играть на скрипке все-таки очень суровые практические критерии, неуспех буквально бьет по ушам каждого. В школьной математике такого нет, не в этом ли больший успех ее преподавания?