![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПусть X -- аффинная нетерова схема с горенштейновыми особенностями, w -- регулярная функция на X (нас интересует случай, когда w не является делителем нуля). Допустим, что естественный вполне строгий функтор из абс. производной (= гомотопической, поск. схема аффинна) категории локально свободных матричных факторизаций конечного ранга потенциала w в абс. производную категорию когерентных м.ф. является эквивалентностью (хотя бы с точностью до карубизации), и попытаемся прийти к противоречию.
Прежде всего, компактные образующие копроизводной (= гомотопической) категории локально свободных м.ф. бесконечного ранга описываются в терминах когерентных м.ф. Если все когерентные м.ф. являются прямыми слагаемыми локально свободных конечного ранга, описание это сводится к тому, что все локально свободные м.ф. получаются из локально свободных м.ф. конечного ранга конусами и прямыми суммами. Следовательно, коацикличные квазикогерентные м.ф. ортогональны справа всем локально свободным.
Заметим кстати, что для горенштейновой схемы копроизводные категории локально свободных м.ф. бесконечного ранга и когерентных м.ф. совпадают. Из перечисленных утверждений следует, что в наших предположениях гомотопическая категория м.ф. имеет полуортогональное разложение на локально свободные и коацикличные (наряду с известным в общем случае полуортогональным разложением на коацикличные и инъективные). Таким образом, класс коацикличных м.ф. замкнут относительно бесконечных произведений.
Пусть M -- любая когерентная м.ф., подлежащие два когерентных пучка которой максимальные коэн-маколеевы (буюем называть такие м.ф. просто коэн-маколеевыми). Тогда M имеет правую резольвенту из локально свободных м.ф. Тотализируя ее с помощью бесконечных прямых сумм, мы получаем треугольник вида коэн-маколеева -> локально свободная -> коацикличная. Таким образом, наша коэн-маколеева м.ф. гомотопически эквивалентна прямой сумме локально свободной и коацикличной.
(и так далее)
Прежде всего, компактные образующие копроизводной (= гомотопической) категории локально свободных м.ф. бесконечного ранга описываются в терминах когерентных м.ф. Если все когерентные м.ф. являются прямыми слагаемыми локально свободных конечного ранга, описание это сводится к тому, что все локально свободные м.ф. получаются из локально свободных м.ф. конечного ранга конусами и прямыми суммами. Следовательно, коацикличные квазикогерентные м.ф. ортогональны справа всем локально свободным.
Заметим кстати, что для горенштейновой схемы копроизводные категории локально свободных м.ф. бесконечного ранга и когерентных м.ф. совпадают. Из перечисленных утверждений следует, что в наших предположениях гомотопическая категория м.ф. имеет полуортогональное разложение на локально свободные и коацикличные (наряду с известным в общем случае полуортогональным разложением на коацикличные и инъективные). Таким образом, класс коацикличных м.ф. замкнут относительно бесконечных произведений.
Пусть M -- любая когерентная м.ф., подлежащие два когерентных пучка которой максимальные коэн-маколеевы (буюем называть такие м.ф. просто коэн-маколеевыми). Тогда M имеет правую резольвенту из локально свободных м.ф. Тотализируя ее с помощью бесконечных прямых сумм, мы получаем треугольник вида коэн-маколеева -> локально свободная -> коацикличная. Таким образом, наша коэн-маколеева м.ф. гомотопически эквивалентна прямой сумме локально свободной и коацикличной.
(и так далее)
