![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicЭто продолжение первого постинга из этой серии -- http://posic.livejournal.com/706009.html . Пусть теперь C -- DG-категория, подлежащая градуированная категория которой нетерова, скажем, слева (в смысле рассуждений по ссылке выше, т.е. абелева категория левых градуированных модулей над ней локально нетерова).
Пусть N -- правый DG-модуль над C, а M -- конечно порожденный левый DG-модуль. Тогда Tor второго рода между N и M над B можно вычислять так: выбрать для N левую резольвенту Q из градуированно плоских DG-модулей, тотализовать ее с помощью бесконечных произведений, и помножить результат тензорно на M над B. А Tor первого рода -- так: выбрать для N левую резольвенту Q из гомотопически плоских DG-модулей, остающуюся резольвентой (т.е., точной) после перехода к когомологиям DG-модулей, тотализовать ее с помощью бесконечных прямых сумм, и опять же помножить результат тензорно на M над B.
Для простоты, можно использовать в обоих случаях одну и ту же резольвенту Q (удовлетворяющую обоим условиям). Тогда между двумя тотализациями будет естественный морфизм, конус которого является градуированно плоским ацикличным DG-модулем над C (и это более-менее все, что можно сказать про этот конус).
Поэтому если бы мы знали, что всякий ацикличный правый DG-модуль над C контраацикличен, или, скажем, всякий ацикличный градуированно плоский правый DG-модуль C вполне ацикличен (completely acyclic, в смысле все тех же статей 0905.2621 и 1010.0982) по отношению к классу градуированно плоских DG-модулей, отсюда бы следовало, что Tor первого и второго рода совпадают для любого правого DG-модуля N и любого конечно порожденного левого DG-модуля N.
Аналогично, пусть L -- конечно порожденный левый DG-модуль над B, а M -- любой левый DG-модуль. Тогда Ext второго рода между L и M можно вычислять так: выбрать для M правую резольвенту J из градуированно инъективных DG-модулей, тотализовать ее с помощью бесконечных произведений, и взять Hom над B из L. А Ext первого рода -- так: выбрать для M правую резольвенту J из гомотопически инъективных DG-модулей, остающуюся резольвентой (т.е., точной) после перехода к когомологиям DG-модулей, тотализовать ее с помощью бесконечных произведений, и взять Hom над B из L.
Для простоты, можно использовать в обоих случаях одну и ту же резольвенту J (удовлетворяющую обоим условиям). Тогда между двумя тотализациями будет естественный морфизм, конус которого является градуированно инъективным ацикличным DG-модулем над C (и это более-менее все, что можно сказать про этот конус).
Поэтому если бы мы знали, что всякий ацикличный левый DG-модуль над C коацикличен, отсюда бы следовало, что ExtB(L,M) первого и второго рода совпадают для любого конечно порожденного левого DG-модуля L и любого левого DG-модуля M над B.
Пусть N -- правый DG-модуль над C, а M -- конечно порожденный левый DG-модуль. Тогда Tor второго рода между N и M над B можно вычислять так: выбрать для N левую резольвенту Q из градуированно плоских DG-модулей, тотализовать ее с помощью бесконечных произведений, и помножить результат тензорно на M над B. А Tor первого рода -- так: выбрать для N левую резольвенту Q из гомотопически плоских DG-модулей, остающуюся резольвентой (т.е., точной) после перехода к когомологиям DG-модулей, тотализовать ее с помощью бесконечных прямых сумм, и опять же помножить результат тензорно на M над B.
Для простоты, можно использовать в обоих случаях одну и ту же резольвенту Q (удовлетворяющую обоим условиям). Тогда между двумя тотализациями будет естественный морфизм, конус которого является градуированно плоским ацикличным DG-модулем над C (и это более-менее все, что можно сказать про этот конус).
Поэтому если бы мы знали, что всякий ацикличный правый DG-модуль над C контраацикличен, или, скажем, всякий ацикличный градуированно плоский правый DG-модуль C вполне ацикличен (completely acyclic, в смысле все тех же статей 0905.2621 и 1010.0982) по отношению к классу градуированно плоских DG-модулей, отсюда бы следовало, что Tor первого и второго рода совпадают для любого правого DG-модуля N и любого конечно порожденного левого DG-модуля N.
Аналогично, пусть L -- конечно порожденный левый DG-модуль над B, а M -- любой левый DG-модуль. Тогда Ext второго рода между L и M можно вычислять так: выбрать для M правую резольвенту J из градуированно инъективных DG-модулей, тотализовать ее с помощью бесконечных произведений, и взять Hom над B из L. А Ext первого рода -- так: выбрать для M правую резольвенту J из гомотопически инъективных DG-модулей, остающуюся резольвентой (т.е., точной) после перехода к когомологиям DG-модулей, тотализовать ее с помощью бесконечных произведений, и взять Hom над B из L.
Для простоты, можно использовать в обоих случаях одну и ту же резольвенту J (удовлетворяющую обоим условиям). Тогда между двумя тотализациями будет естественный морфизм, конус которого является градуированно инъективным ацикличным DG-модулем над C (и это более-менее все, что можно сказать про этот конус).
Поэтому если бы мы знали, что всякий ацикличный левый DG-модуль над C коацикличен, отсюда бы следовало, что ExtB(L,M) первого и второго рода совпадают для любого конечно порожденного левого DG-модуля L и любого левого DG-модуля M над B.
